Постановка задачи
Пусть заданы произвольные значения, полученные в результате эксперимента (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), …, (xn, yn).
Найти такой многочлен y = ax2+ bx + c, чтобы сумма квадратов невязок была бы минимальной.
Основные формулы
a, b, c должны удовлетворять системе трех уравнений с тремя неизвестными.
Пример 2
Рассмотрим пример п. 2.
2.
Пусть в результате какого-либо опыта получены следующие значения.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0,7055 0,3334 0,5795 0,2896 0,3019 0,7747 0,0140 0,7607 0,8145 0,7090
Тогда уравнения для коэффициентов интерполяционного многочлена второй степени a, b, c запишутся так:
Получаем: a = -0,16 005; b = -0,15 211; c = 0,74 869
Результат интерполяции (рис. 2):
Рис. 2. Квадратичная регрессия, пример 2.
Прогноз по этой интерполяции: x = 11, y = 1,012
Из графика видно, что параболическая зависимость между двумя процессами не имеет место или зависимость очень слабая.
Пример 3
Рассмотрим пример, когда имеют место два процесса x и y, и требуется определить степень зависимости одного процесса от другого (рис. 3).
x 0,5767 0,8681 0,2421 0,1107 0,6633 0,4854 0,3385 0,3425 0,7822 0,6995 y 0,9573 0,4400 0,3414 0,8745 0,9843 0,8492 0,9969 0,5604 0,7130 0,4568
Рис. 3. Квадратичная регрессия, пример 3.
Из графика видно, что параболическая зависимость между двумя процессами не имеет место.
Пример 4
Рассмотрим еще один процесс.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 6,814 5,512 9,392 19,42 27,23 37,18 45,57 52,12 62,29 85,57
Рис. 4. Квадратичная регрессия, пример 4.
На этом примере видна параболическая зависимость между процессами (рис. 4). По выявленной закономерности получается прогнозируемое значение при x = 11, оно равно y = 96.
7.
Здесь можно получить прогноз и при значениях x, от 1 до 10, не равных ни одному из указанных значений. Например, при x = 4.5 y = 21.
7.
Пример 5
Для сравнения двух методов рассмотрим данные примера 4 и построим точечную интерполяцию с помощью многочлена Лагранжа второй степени.
Рис. 5. Квадратичная регрессия, пример 5.
На примере этих значений (рис. 5) видно, что точки, интерполируемые многочленом Лагранжа второй степени, соединяются негладкой кривой, что ухудшает качество прогноза.
Выводы
Если значения в процессе содержат элементы закономерности, то она проявляется при обоих методах, однако, метод точечной интерполяции многочленом Лагранжа второй степени, хотя и может использоваться, имеет существенные недостатки, описанные в п. 2.
3.
Заключение
Роль численных методов в современном мире трудно переоценить. Все, с чем мы имеем дело в повседневном общении, как правило, получено в результате каких-либо вычислений [3].
В работе рассмотрены два метода интерполяции с использованием многочлена второй степени, на тестовых процессах построены графики, показаны прогнозируемые значения.
На графиках показаны преимущества и недостатки метода Лагранжа по сравнению с методом квадратичной регрессии.
На этих примерах можно обучиться решению более сложных вычислительных задач, не зависимо от области применения.
1. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 2000, 420 с.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы. М: Высшая школа, 2001, 385 с.
3. Самарский А. А.
Введение
в численные методы. М., Наука, 2004, 269 с.
