Математические методы

Содержание

• Задача

Для производства двух видов изделий A и B используется три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия, А оборудование первого типа используется a1 часов, оборудование второго типа — a2 часов, оборудование третьего типа — a3 часов. Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется b1 часов, оборудование типа — b2 часов, оборудование третьего типа — b3 часов. На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более, чем t1 часов, второго типа не более, чем t2 часов, третьего типа не более, чем t3 часов. Прибыль от реализации готового изделия, А составляет α денежных единиц, а изделия В-β денежных единиц. Составить план производства изделий, А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс-таблиц. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого ее формулировку с ограничениями-неравенствами.

a1 a2 a3 b1 b2 b3 t1 t2 t3 α β

3 1 5 3 2 1 60 32 80 2 3

Задача 2.

Имеются три пункта отправления А1, А2, А3 однородного груза и пять пунктов В1, В2, В3, В4, В5 его назначения. На пунктах А1, А2, А3 груз находится в количестве а1, а2, а3 тонн соответственно. В пункты В1, В2, В3, В4, В5 требуется доставить соответственно b1, b2, b3, b4, b5 тонн груза. Расстояние в сотнях километров между пунктами отправления и назначения приведены в матрице D:

Пункты отправления Пункты назначения

В1 В2 В3 В4 В5

А1 d11 d12 d13 d14 d15

А2 d21 d22 d23 d24 d25

А3 d31 d32 d33 d34 d35

Найти такой план перевозок, при котором общие затраты на перевозку грузов будут минимальными.

Указания: 1) считать стоимость перевозок пропорциональной количеству груза и расстоянию, на которое груз перевозится, т. е. для решения задачи достаточно минимизировать общий объем плана, выраженный в тонно-километрах; 2) для решения задачи использовать методы северо-западного угла и потенциалов.

а1=60, а2=40, а3=80, b1=10, b2=50, b3=60, b4=50, b5=10,

2 3 3 1 7

D=5 7 5 8 6

6 6 5 6 4

Задача 3.

Дана задача выпуклого программирования. Требуется:

1) Найти решение графическим методом,

2) Написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.

(x1−7)2+(x2−1)2 → min,

7x1+4x2≤43

5x1-x2≥-4

x1−2x2≤1

x1≥0,x2≥0

Задача 4.

Для двух предприятий выделено, а единиц средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно, что доход от x единиц средств, вложенных в первое предприятие, равен ƒ1(х), а доход от y единиц средств, вложенных во второе предприятие, равен ƒ2(y). Остаток средств к концу года составляет g1(x) для первого предприятия и g2(y) для второго предприятия. Задачу решить методом динамического программирования.

а ƒ1 g1 ƒ2 g2

700 4×0,3×3у 0,5у

Задача 5.

В мастерской по ремонту холодильников работает n мастеров. В среднем в течение дня поступает в ремонт λ холодильников. Поток заявок пуассоновский. Время ремонта подчиняется экспоненциальному закону распределения вероятностей, в среднем в течение дня при семичасовом рабочем дне каждый из мастеров ремонтирует μ холодильников. Требуется определить: 1) вероятность того, что все мастера свободны от ремонта холодильников, 2) вероятность того, что все мастера заняты ремонтом, 3) среднее время ремонта одного холодильника, 4) в среднем время ожидания начала ремонта для каждого холодильника, 5) среднюю длину очереди, которая определяет необходимое место для хранения холодильника, требующего ремонта, 6) среднее число мастеров, свободных от работы.

n=5, λ=14, μ=2.

Задача 6.

Магазин получает овощи из теплиц. Автомобили с грузом прибывают с интенсивностью λ машин в день. Подсобные помещения позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный m автомобилями. В магазине работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течении обсл. часов. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 часов. Определить емкость подсобных помещений при заданной вероятности Р* обсл. полной обработки товаров.

λ=8, m=2, n=3, обсл.=4, Р* обсл.=0,97.

Задача 7.

Рабочий обслуживает m станков. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром λ станков в час. Время обслуживания одного станка подчинено экспоненциальному закону. Среднее время обслуживания одного станка равна μ минут. Определить: 1) среднее число станков, ожидающих обслуживания, 2) коэффициент простоя станка, 3) коэффициент простоя рабочего.

n=1, m=3, λ=2, μ=8.

Задача 8.

Швейное предприятие реализует свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует, а костюмов и b платьев, а при прохладной погоде — c костюмов и d платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны α0 рублям, а платья — β0 рублям, цена реализации соответственно равна α1 рублей и β1 рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.

а=200, b=1400, c=600, d=500, α0=32, β0=12, α1=55, β1=22.