Для доказательства этого свойства достаточно применить к определителям, стоящим в левой и правой частях равенства, формулу (2) и убедиться в равенстве полученных выражений.
Значение определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на любой общий множитель λ.
В самом деле, полученный в результате такого прибавления определитель согласно свойству 7° можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй имеет два пропорциональных столбца и в силу свойства 6° равен нулю.
Для формулировки следующего свойства определителя необходимо дать определения понятиям алгебраического дополнения и минора.
Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Например, минором элемента а1, определителя ∆является определитель второго порядка:
минором элемента b1 — определитель второго порядка и т. д.
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)p, где р — сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так, алгебраическое дополнение элемента а1, обозначается через А1, элемента b1 — через В1, и т. д.
Если, например, элемент а2 находится на пересечении первого столбца и второй строки, то для него р = 1+2= 3 и алгебраическим дополнением является:
.
Таким образом, алгебраическое дополнение и минор одного и того же элемента отличаются только знаком.
Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
Чтобы доказать, например, первое из этих равенств, достаточно записать правую часть формулы (2) в виде:
Величины, стоящие в скобках, являются алгебраическими дополнениями элементов a1, a2, a3, т. е.
Отсюда и из предыдущего равенства получаем:
Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равна нулю.
Докажем, что сумма произведений элементов второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Для этого разложим определитель (1) по элементам первого столбца:
Алгебраические дополнения A1, A2, A3 не зависят от самих элементов а1, а2, a3. Поэтому, если в обеих частях равенства (6) чиста а1, а2, а3 заменить произвольными числами h1, h2, h3, то получим верное равенство:
.
Если теперь в равенстве (7) в качестве h1, h2, h3 взять элементы b1, b2, b3 второго столбца и учесть, что согласно свойству 3° определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, то получим:
что и требовалось доказать.
Заключение
Матричная символика оказалась весьма удобным и эффективным способом упорядочения информации. Представление совокупностей математических элементов в виде матриц и правила операций над ними оказались плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике, технике, экономике. Работа с матрицами не только экономит время, но и определяет более высокий уровень математической культуры и мышления [22, 12].
Являясь математическим элементом, определитель имеет свои специфические свойства. Основными из них могут быть: определитель треугольной матрицы эквивалентен значению, полученному в результате умножения диагональных элементов матрицы; при осуществлении операции умножения на число, равное n, числовое значение определителя увеличивается в n-раз; значение определителя не изменится, если к любой строке матрицы, элементы которой составляют линейную комбинацию, добавить другие строки; нулевым определитель станет в том случае, если две строки матрицы будут являться эквивалентными; значения определителя могут менять знак в зависимости от перестановки строк матрицы; определитель является нулевым, если, как минимум, значение одной строки матрицы равно нулю; если произведения всех элементов матрицы умножить на их же алгебраические дополнения, то полученная сумма будет равна значению определителя.
В целом можно отметить, что феномен определителя представляется важным в решении математических задач, особенно если это касается матриц, которые могут иметь числовое, векторное и функциональное значения, соответственно если возникает математическая задача.
Список используемых источников
и литературы
Алфёрова З. В. Матричная алгебра, М. МЭСИ, 2003.
Боярчук А. К. Справочное пособие по высшей математике, ч. 4, функции комплексной переменной. Теория и практика, М., Издательство «УРСС», 2004.
Булдык Г. М. Высшая математика. Общий курс. Задачи и упражнения. (Мн.: БИП — С, 2002.
Высшая математика: Общий курс: Учебник / Под ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2000.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, М., Наука, 1998.
Гусак Г. М., Гусак Е. А. Справочник по высшей математике, Минск, «Наука и техника», 1991.
Данко П.Е., и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.
1. 2003.
Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М., «Физматлит», 2002.
Ильин В. А. Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия М., «Физматлит», 2001.
Ильин В.А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М., МГУ, 1998.
Индивидуальные задания по высшей математике: Учеб. пособие /под ред. А. П. Рябушко — Мн.: Выш.шк., 2000.
Исследование операций в экономике. Под редакцией Н. Ш. Кремера. М., Юнити, 1997.
Кадомцев С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, М., «Физматлит», 2001.
Кузнецов А.В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика. Математическое программирование.
Мн.: Высшая школа, 1994.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры, М., Наука, 1989.
Мантуров О.В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики. — М.: ВШ, 1996.
Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 2005.
Романников А.Н. «Линейная алгебра», М.: МЭСИ, 2003.
Хасеинов К. А. Каноны математики. 2003.
Шипачев В. С. Высшая математика: Учеб. пособие.- 5-е изд. — М.: Высш. шк., 2000.
Кеда О. А. Матрицы, определители, системы: Учеб. Пособие. «Уральский государственный технический университет — УПИ», 2005
Периодические издания:
Захаров С. В. Матрицы и определители / С. В. Захаров, В. А. Верхозина, В. В. Верхотуров // Сибирь-Восток: Сб. научных трудов. — Иркутск, 2006. С. 54−62.
