Здесь проверка нулевой гипотезы ведётся методом Спирмена. Пусть признаков два и каждый из n объектов характеризуется парой чисел (xi, yj) — своими значениями признаков, А и В. От чисел переходим к их рангам (ri, sj). Cчитаем, что среди чисел xi и yj нет повторяющихся. Если признаки взаимосвязаны, то порядок, в котором следуют числа xi влияет на порядок, в котором следуют числа yj. Чем более тесно связаны эти признаки, тем в большей степени последовательность ri предопределяет последовательность sj.
Если же признаки такой связи не проявляют, то порядок среди игреков случаен по отношению к порядку среди иксов. В этом случае все n! перестановок чисел 1, 2, …, n, которые могут выступать как ранги, оказываются равновероятными при любом порядке чисел ri.
По предложению Спирмена, близость двух рядов рангов ri и sj можно характеризовать статистикой:
Принято, что коэффициент корреляции должен изменяться от (-1) до 1. Поэтому нормированный и центрированный коэффициент связи Спирмена:
Крайние значения ±1 он принимает в случаях полной предсказуемости одной ранговой последовательности по другой. Значение S не зависит от первоначальной нумерации объектов. Поэтому обычно упорядочивают данные по одному из признаков. Последовательность рангов по этому признаку: 1, 2,…, n.
Глава II. Построение регрессионных моделей
Расчёт ведётся в таблице Excel. Каждый лист соответствует одному заданию.
Задание 1 (лист 1)
Обозначим У — себестоимость добычи 1 т. руды, х1 — месячный объём добычи руды, х6 — объём отбитой руды за месяц в блоках, т.; х8 — удельный расход сжатого воздуха на добычу 1 тыс. т. руды.
Средние значения У ср. = 874,9/25=34,996
Х1 ср. = 1694,9/25=67,796
Х6 ср. = 1575,4/25= 63,016
Х8 ср. = 1400,8/25= 56,032
С помощью функции КВАДРОТКЛ, возвращающей сумму квадратов отклонений, находим дисперсию По У — 95,6264
По Х1 — 472,9496
По Х6 — 11 929,97
По Х8 — 544,9144
Среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из этой величины По У — 9,7789
По Х1 — 21,7474
По Х6 — 109,2244
По Х8 — 23,3434
Средние величины по произведениям УХ1 — 2474,3492
УХ6 — 2297,864
УХ8 — 2057,44
Ковариация По паре У — Х1
2474,3492 — 34,996×67,796 = 101,760 384
По паре У — Х6
2297,864 — 34,996×63,016 = 155,572 064
По паре У — Х8
2057,44 — 34,996×56,032 = 96,544 128
Коэффициент корреляции По паре У — Х1
101,760 384/(9,7789×21,7474) = 0,478 (связь плохая) По паре У — Х6
155,572 064/(9,7789×109,2244) = 0,146 (связь плохая) По паре У — Х8
96,544 128/(9,7789×23,3434) = 0,443 (связь плохая) Везде мы имеем плохую связь, так как коэффициент корреляции меньше 0,5
Коэффициент линейной регрессии равен По паре У — Х1
101,760 384/472,9496 = 0,22
По паре У — Х6
155,572 064/11929,97= 0,013
По паре У — Х8
96,544 128/544,9144= 0,177
В данном случае нет необходимости строить уравнение линейной зависимости в силу очень слабой тесноты связи.
Задача 2 (лист 2)
Обозначим: Фондоотдача — У, доля активной части ОПФ — Х1, годовая производительность труда рабочих — Х2, фондовооружённость — Х3
Средние значения У ср. = 820,79/25=32,8316
Х1 ср. = 3,249/25=0,12 996
Х2 ср. = 73 195/25= 2927,8
Х3 ср. = 2241,55/25= 89,662
С помощью функции КВАДРОТКЛ, возвращающей сумму квадратов отклонений, находим дисперсию По У — 101,9237
По Х1 — 0,165
По Х2 — 1 438 792
По Х3 — 2749,043
Среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из этой величины По У — 10,0957
По Х1 — 0,1 285
По Х2 — 1199,4966
По Х3 — 52,4313
Средние величины по произведениям по таблице УХ1 — 4,262 986
УХ2 — 95 947,8928
УХ3 — 2927,92 654
Ковариация По паре У — Х1
4,262 986 — 10,0957×0,165= 4,262 987
По паре У — Х2
95 947,8928 — 10,0957×1199,4966 = 83 838,135
По паре У — Х3
2927,92 654 — 10,0957×52,4313 = 2398,645
Коэффициент корреляции По паре У — Х1
4,262 987 /(9,7789×21,7474) = 0,02 (связь практически отсутствует) По паре У — Х2
83 838,135/(9,7789×1199,4966) = 0,296 (связь плохая) По паре У — Х3
2398,645/(9,7789×52,4313) = 0,502 (связь на уровне удовлетворительной) Везде мы имеем плохую связь, так как коэффициент корреляции меньше 0,5. Только в последнем случае связь удовлетворительная Коэффициент линейной регрессии равен По паре У — Х1
4,262 987 /0,165 = 25 818,18
По паре У — Х2
83 838,135/2927,8= 28,635
По паре У — Х3
2398,645/2749,043= 0,8725
В данном случае нет необходимости строить уравнение линейной зависимости в силу очень слабой тесноты связи.
Задача 3 (лист 3)
Примем У — себестоимость, Х1 — годовая добыча, Х2 — коэффициент вскрышки, Х3 — фондовооружённость Средние значения У ср. = 56/25=2,24
Х1 ср. = 23 234,41/25=929,3764
Х2 ср. = 85,82/25= 3,4328
Х3 ср. = 870,958/25= 56,032
С помощью функции КВАДРОТКЛ, возвращающей сумму квадратов отклонений, находим дисперсию По У — 0,1648
По Х1 — 581 570,3
По Х2 — 5,150 904
По Х3 — 402,1078
Среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из этой величины По У — 0,406
По Х1 — 762,608
По Х2 — 2,2696
По Х3 — 20,0526
Средние величины по произведениям УХ1 — 2076,644 612
УХ2 — 7,689 872
УХ3 — 97,219 315
Ковариация По паре У — Х1
2076,644 612- 2,24×929,3764= -191,0472
По паре У — Х2
7,689 872- 2,24×3,4328 = 0,0004
По паре У — Х3
97,219 315- 2,24×3,4328= 89,53
Коэффициент корреляции По паре У — Х1
— 191,0472/(9,7789×21,7474) = - 0,9 (связь очень хорошая и нисходящая) По паре У — Х2
0,0004/(9,7789×109,2244) — близко к 0 (связь практически отсутствует) По паре У — Х3
89,53/(9,7789×23,3434) = 0,39 (связь плохая) Коэффициент линейной регрессии равен По паре У — Х1
— 191,0472/581 570,3= - 0,3 289
По паре У — Х2
0,0004/5,150 904= 0,013
По паре У — Х3
89,53/402,1078= 0,177
В данном случае нет необходимости строить уравнение линейной зависимости в силу очень слабой тесноты связи по всем парам. Строим по первой паре, где коэффициент корреляции по модулю близок к 1.
Свободный член уравнения равен (56 — (-0,3 289) х 23 234,41)/25 = 5,29 672 т. е. У = 5,29 672 — 0,3 289 х Х1
Определим значение У и сравним их с фактическими. Сумма квадратов отклонений (дисперсия) по таблице равна 5,638
Критерий, равный отношению дисперсии модели к собственной дисперсии У равен
5,638/0,1648=34,21
Достоверность модели равна (1- 1/34,21)0,5= 0,985
Заключение
Основные выводы по итогам работы следующие:
Подавляющее большинство пар показателей плохо коррелирует ли вовсе не корреллирует между собой (в семи случаях коэффициент корреляции меньше 0.5 и в одном — 0.5, причём в одном случае он стремится к 0). Поэтому модель не была построена, так как она не будет отражать адекватно зависимость величин.
Только в одном случае получена хорошая корреляция, при этом соответствие модели на 98,5%. Однако необходима дополнительная проверка — критериями Фишера или Стьюдента.
Виноградова Н.М., Евдокимов В. Т., Хитарова Е. М., Яковлева Н. И. Общая теория статистики. — М.: Статистика, 1998. — 312 с.
Герчук Я. П. Графики в математико-статистическом анализе. — М.: Статистика, 1992. — 235 с.
Дружинин Н. К. Математическая статистика в экономике. Введ. в мат.-стат. методологию. — М.: Статистика, 2002. — 312 с.
Елисеева И.И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 400 с.
Ефимова М. Р. Статистические методы в управлении производством.
М.: Финансы и статистика. 1998. — 336 с.
Ефимова М.Р., Рябцев В. М. Общая теория статистики.
М.: Финансы и статистика, 2001. 272 с.
Рябушкин Т.В., Ефимова М. Р., Ипатова И. М., Яковлева Н. И. Общая теория статистики. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 464 с.
Статистический анализ в экономике /Под ред. Г. Л. Громыко. — М.: Изд-во МГУ, 2002. — 434 с.
Статистическое моделирование и прогнозирование /Под ред. А. Г. Гранберга. — М.: Финансы и статистика, 2000. — 280 с.
