Автокорреляционная функция (примеры, расчеты)

Вычтем из (2) соотношение (3), умноженное на :

. (5)

Положив, , и с учетом (4), получим:

. (6)

Так как по предположению коэффициент известен, то очевидно,, , вычисляются достаточно просто. В силу того, что случайные отклонения удовлетворяют предпосылкам МНК, то оценки и будут обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок.

Однако способ вычисления, приводит к потере первого наблюдения (если мы не обладаем предшествующим ему наблюдением). Число степеней свободы уменьшится на единицу, что при больших выборках не так существенно, но при малых выборках может привести к потере эффективности. Эта проблема обычно преодолевается с помощью поправки Прайса-Винстена:

(7)

Отметим, что авторегрессионное преобразование может быть обобщено на произвольное число объясняющих переменных, т. е. использовано для уравнения множественной регрессии.

Авторегрессионное преобразование первого порядка AR (1) может быть обобщено на преобразования более высоких порядков AR (2), AR (3) и т. д.:

(8)

Однако на практике значение коэффициента обычно неизвестно и его необходимо оценивать. Существует несколько методов оценивания. Приведем наиболее употребляемые.

2.

6.1 Определение на основе статистики Дарбина-Уотсона

Статистика Дарбина-Уотсона тесно связана с выборочным коэффициентом корреляции :

. (9)

Тогда в качестве оценки коэффициента может быть взят коэффициент. Из (9) имеем:

.

Этот метод оценивания весьма неплох при большом числе наблюдений. В этом случае оценка r параметра будет достаточно точной.

2.

6.2 Метод Кохрана-Оркатта

Другим возможным методом оценивания является итеративный процесс, называемый методом Кохрана-Оркатта. Опишем данный метод на примере парной регрессии (1):

и авторегрессионной схемы (4) первого порядка AR (1):

.

1. Оценивается по МНК регрессия (1) и для нее определяются оценки отклонений, t=1,2,…, n.

2. Используя схему AR (1), оценивается регрессионная зависимость

(10)

где — оценка коэффициента .

3. На основе данной оценки строится уравнение:

(11)

с помощью которого оцениваются коэффициенты и (в этом случае значение неизвестно).

4. Значения и подставляются в (1). Вновь вычисляются оценки отклонений и процесс возвращается к этапу 2.

Чередование этапов осуществляется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. То есть пока разность между предыдущей и последующей оценками не станет меньше любого наперед заданного числа.

2.

6.3 Метод Хилдрета-Лу

По данному методу регрессия (5) оценивается для каждого возможного значения из интервала [-1; 1] с любым шагом (например, 0,001; 0,01 и т. д.). Величина, дающая наименьшую стандартную ошибку регрессии, принимается в качестве оценки коэффициента. И значения и оцениваются из уравнения регрессии (5) именно с данным значением .

Этот итерационный метод широко используется в эконометрических пакетах.

2.

6.4 Метод первых разностей

В случае, когда есть основания считать, что автокорреляция отклонений велика, можно использовать метод первых разностей.

Для временных рядов характерна положительная автокорреляция остатков. Поэтому при высокой автокорреляции полагают, и, следовательно, уравнение (5) принимает вид:

или (12)

.

Обозначив, , из (12) получим

. (13)

Из уравнения (13) по МНК оценивается коэффициент. Заметим, что коэффициент в данном случае не определяется непосредственно. Однако из МНК известно, что .

В случае, сложив (2) и (3) с учетом (4), можно получить следующее уравнение регрессии:

или (14)

.

Однако метод первых разностей предполагает уж слишком сильное упрощение (). Поэтому более предпочтительными являются приведенные выше итерационные методы.

3. Заключение

Итак, подведем итог. В силу ряда причин (ошибок спецификации, инерционности рассматриваемых зависимостей и др.) в регрессионных моделях может иметь место корреляционная зависимость между соседними случайными отклонениями. Это нарушает одну из фундаментальных предпосылок МНК. Вследствие этого оценки, полученные на основе МНК, перестают быть эффективными. Это делает ненадежными выводы по значимости коэффициентов регрессии и по качеству самого уравнения. Поэтому достаточно важным является умение определить наличие автокорреляции и установить это нежелательное явление. Существует несколько методов определения автокорреляции, среди которых были выделены графический, метод рядов, критерий Дарбина-Уотсона.

При установлении автокорреляции необходимо в первую очередь проанализировать правильность спецификации модели. Если после ряда возможных усовершенствований регрессии (уточнение состава объясняющих переменных либо изменения формы зависимости) автокорреляция по-прежнему имеет место, то, возможно, это связано с внутренними свойствами ряда отклонений. В этом случае возможны определенные преобразования, устраняющие автокорреляцию. Среди них выделяется авторегрессионная схема первого порядка AR (1), которая в принципе может быть обобщена в AR (k), k=2,3,… Для применения указанных схем необходимо оценить коэффициент корреляции между отклонениями. Это может быть сделано различными методами: на основе статистики Дарбина-Уотсона, Кохрана-Оркатта, Хилдрета-Лу, и др.

4.

Список литературы

Эконометрика. Под редакцией члена-корреспондента РАН И. И. Елисеевой. М., «Финансы и статистика», 2004. с.225−289.

Сайт Федеральной службы государственной статистики

http://www.gks.ru/.

Вводный курс эконометрики. Бородич С. А. Учебное пособие. Мн.: БГУ, 2000. с. 227−240.

Основы эконометрики. В. М. Буре, Е. А. Евсеев. Учебное пособие. С-Петербургский гос. Унив-т, 2004.

Статистика. Учебник под ред. В. С. Мхитаряна. М., «Экономист», 2006 с. 256−261.

Практикум по общей теории статистики. Ефимова М. Р., Ганченко О. И., Петрова Е. В. Учебное пособие. М., «Финансы и статистика», 2000.

Приложение

Критические значениястатистики Дарбина—Уотсона при разных числах наблюдений и объясняющих переменных для уровня значимости .

15 0,81 1,07 0,70 1,25 0,59 1,46 0,49 1,70 0,39 1,96 16 0,84 1,09 0,74 1,25 0,63 1,44 0,53 1,66 0,44 1,90 17 0,87 1,10 0,77 1,25 0,67 1,43 0,57 1,63 0,48 1,85 18 0,90 1,12 0,80 1,26 0,71 1,42 0,61 1,60 0,52 1,80 19 0,93 1,13 0,83 1,26 0,74 1,41 0,65 1,58 0,56 1,77 20 0,95 1,15 0,86 1,27 0,77 1,41 0,68 1,57 0,60 1,74 21 0,97 1,16 0,89 1,27 0,80 1,41 0,72 1,55 0,63 1,71 22 1,00 1,17 0,91 1,28 0,83 1,40 0,75 1,54 0,66 1,69 23 1,02 1,19 0,94 1,29 0,86 1,40 0,77 1,53 0,70 1,67 24 1,04 1,20 0,96 1,30 0,88 1,41 0,80 1,53 0,72 1,66 25 1,05 1,21 0,98 1,30 0,90 1,41 0,83 1,52 0,75 1,65 26 1,07 1,22 1,00 1,31 0,93 1,41 0,85 1,52 0,78 1,64 27 1,09 1,23 1,02 1,32 0,95 1,41 0,88 1,51 0,81 1,63 28 1,10 1,24 1,04 1,32 0,97 1,41 0,90 1,51 0,83 1,62 29 1,12 1,25 1,05 1,33 0,99 1,42 0,92 1,51 0,85 1,61 30 1,13 1,26 1,07 1,34 1,01 1,42 0,94 1,51 0,88 1,61 31 1,15 1,27 1,08 1,34 1,02 1,42 0,96 1,51 0,90 1,60 32 1,16 1,28 1,10 1,35 1,04 1,43 0,98 1,51 0,92 1,60 33 1,17 1,29 1,11 1,36 1,05 1,43 1,00 1,51 0,94 1,59 34 1,18 1,30 1,13 1,36 1,07 1,43 1,01 1,51 0,95 1,59 35 1,19 1,31 1,14 1,37 1,08 1,44 1,03 1,51 0,97 1,59 36 1,21 1,32 1,15 1,38 1,10 1,44 1,04 1,51 0,99 1,59 37 1,22 1,32 1,16 1,38 1,11 1,45 1,06 1,51 1,00 1,59 38 1,23 1,33 1,18 1,39 1,12 1,45 1,07 1,52 1,02 1,58 39 1,24 1,34 1,19 1,39 1,14 1,45 1,09 1,52 1,03 1,58 40 1,25 1,34 1,20 1,40 1,15 1,46 1,10 1,52 1,05 1,58 45 1,29 1,38 1,24 1,42 1,20 1,48 1,16 1,53 1,11 1,58 50 1,32 1,40 1,28 1,45 1,24 1,49 1,20 1,54 1,16 1,59 55 1,36 1,43 1,32 1,47 1,28 1,51 1,25 1,55 1,21 1,59 60 1,38 1,45 1,35 1,48 1,32 1,52 1,28 1,56 1,25 1,60 65 1,41 1,47 1,38 1,50 1,35 1,53 1,31 1,57 1,28 1,61 70 1,43 1,49 1,40 1,52 1,37 1,55 1,34 1,58 1,31 1,61 75 1,45 1,50 1,42 1,53 1,39 1,56 1,37 1,59 1,34 1,62 80 1,47 1,52 1,44 1,54 1,42 1,57 1,39 1,60 1,36 1,62 85 1,48 1,53 1,46 1,55 1,43 1,58 1,41 1,60 1,39 1,63 90 1,50 1,54 1,47 1,56 1,45 1,59 1,43 1,61 1,41 1,64 95 1,51 1,55 1,49 1,57 1,47 1,60 1,45 1,62 1,42 1,64 100 1,52 1,56 1,50 1,58 1,48 1,60 1,46 1,63 1,44 1,65

ПО данным Федеральной службы государственной статистики

http://www.gks.ru/

Здесь, и далее, при расчетах используется табличный редактор MS Excel.