Численные методы решения систем дифференциальных уравнений

ВВЕДЕНИЕ

Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения прак-тических задач: измерений на местности, навигации и т. д. Вследствие этого ма-тематика была численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изуче-ния явлений природы, получение их математического описания, как иногда го-ворят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложнен-ных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных или асимптотических методов решения задач. Названия некоторых из таких мето-дов методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита, Крылова свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.

Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи ычисления однократных интегралов, и доля задач, интегрируемых в явном виде, здесь существенно меньше.

Когда говорят об интегрируемости в явном виде, имеют в виду, что ре-шение может быть вычислено при помощи конечного числа «элементарных» операций: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисления синуса и косинуса и т. п. Уже в период, предшествовавший появлению ЭВМ, понятия «элементарной» опера-ции претерпели изменение. Решения некоторых частных задач настолько часто встречаются в приложения, что пришлось составить таблицы их значений, в ча-стности таблицы интегралов Френеля, функций Бесселя и ряда других, так на-зываемых специальных функций. При наличии таких таблиц исчезает принци-пиальная разница между вычислением функций, и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функции можно вычислять, приближая их мно-гочленами, рациональными дробями и т. д. Таким образом, в класс задач, интег-рируемых в явном виде, включились задачи, решения которых выражаются че-рез специальные функции. Однако и этот, более широкий, класс составляет от-носительно малую долю задач, предъявляемых к решению. Существенное рас-ширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а, следова-тельно, и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов и активным повсеместным использованием ЭВМ.

Настоящее время характерно резким расширением приложений матема-тики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ с программным управлением менее чем за пятьдесят лет скорость выполнения арифметических операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до 1012 операций на современных се-рийных ЭВМ, т. е. примерно в 1013 раз.

Распространенное мнение о всемогуществе современных ЭВМ часто по-рождает впечатление, что математики избавились почти от всех хлопот, свя-занных с численным решением задач, и разработка новых методов для их ре-шения уже не столь существенна. В действительности дело обстоит иначе, по-скольку потребности эволюции, как правило, ставят перед наукой задачи, нахо-дящиеся на грани ее возможностей. Расширение возможностей приложения ма-тематики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, геологии, географии, психологии, экологии, метеорологии, медицины, конкретных разде-лов техники и др. Суть математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и в разработке методов их исследования.

Применение ЭВМ и расширение математического образования резко уве-личило возможности построения и исследования математических моделей. Все чаще результаты расчетов позволяют обнаруживать и предсказывать ранее ни-когда не наблюдавшиеся явления; это дает основания говорить о математиче-ском эксперименте. В некоторых исследованиях доверие к результатам числен-ных расчетов так велико, что при расхождении между результатами расчетов и экспериментов в первую очередь ищут погрешность в результатах эксперимен-тов.

Требование численного решения новых задач привело к появлению большого количества новых методов. Наряду с этим последние полвека проис-ходило интенсивное теоретическое переосмысливание и старых методов, а также систематизация всех методов. Эти теоретические исследования оказыва-ют большую помощь при решении конкретных задач и играют существенную роль в наблюдаемом сейчас широком распространении сферы приложений ЭВМ и математики вообще.

Итак, целью исследования является демонстрация применения различных методов систем дифференциальных уравнений.

Из определения целей вытекают задачи исследования: изучить алгоритмы решения систем дифференциальных уравнений.

Предметом исследования являются численные методы. Объектом исследо-вания является содержание дисциплины.