Системы массового обслуживания с отказами в хозяйственной деятельности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Кафедра статистики, эконометрики и информатики Курсовая работа по дисциплине: «Информационные технологии анализа управления персоналом»

Тема: Системы массового обслуживания с отказами в хозяйственной деятельности Исполнитель:

Щербинин И.В.

Екатеринбург, 2014

Содержание Введение

1. Теоретические аспекты анализа хозяйственной деятельности

1.1 Сущность и основные принципы организации анализа хозяйственной деятельности

1.2 Экономико-математическое моделирование как способ изучения и оценки хозяйственной деятельности

1.3 Применение теории массового обслуживания в изучении и оценки хозяйственной деятельности

2. Системы массового обслуживания с отказами

2.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами

2.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами

3. Практическое применение многоканальной системы массового обслуживания с отказами в вычислительной лаборатории

3.1 Постановка задачи

3.2 Решение задачи Вывод Заключение Список использованных источников

Введение

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства. Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики и информатики. Одной из главных задач создания единой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе широкого применения математических методов и информационных технологий в экономике.

За последнее время в самых разных областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживание. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.

Теория массового обслуживания (СМО) посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности человека. Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность теории «Системы массового обслуживания с отказами» определяют несомненную актуальность выбранной темы курсовой работы.

1. Теоретические аспекты экономического анализа хозяйственной деятельности

1.1 Сущность и основные принципы организации анализа хозяйственной деятельности Хозяйственная деятельность — это целенаправленно осуществляемый процесс практической реализации функций предприятия, связанных с формированием и использованием его производственных и финансовых ресурсов для обеспечения экономического и социального развития. Она осуществляется на всех стадиях жизненного цикла предприятия: от момента его рождения и до момента его ликвидации как самостоятельного субъекта хозяйствования. Основная цель хозяйственной деятельности — получение максимально возможных результатов. Поэтому часто на предприятии проводят процедуры изучения и оценки хозяйственной деятельности, другими словами анализ хозяйственной деятельности.

Анализ хозяйственной деятельности — это комплексное изучение работы организации, ее структурных подразделений с целью объективной оценки результатов деятельности и выявления возможностей дальнейшего повышения эффективности хозяйствования. Предметом анализа хозяйственной деятельности является причинно-следственные связи экономических явления и процессов. Объектами анализа хозяйственной деятельности являются экономические результаты хозяйственной деятельности.

Аналитическая работа хозяйственной деятельности подразделяется на следующие организационные этапы:

1) определение субъектов и объектов анализа хозяйственной деятельности, выбор организационных форм его проведения и распределения обязанностей между отдельными службами и подразделениями;

2) планирование аналитической работы;

3) информационное и методическое обеспечение анализа хозяйственной деятельности;

4) контроль за внедрением в производство предложений, сделанных по результатам анализа.

Анализ хозяйственной деятельности выполняет следующие функции:

— изучение характера действия экономических законов, установление закономерностей и тенденций экономических процессов в рамках предприятия;

— научное обоснование текущих и перспективных планов;

— контроль выполнения планов и управленческих решений, экономического использования ресурсов;

— поиск резервов повышения эффективности производства на основании изучения передового опыта и достижений науки и практики;

— оценка результатов выполнения планов, достигнутого уровня развития экономики, использования имеющихся возможностей;

— разработка мероприятий по использованию выявленных резервов.

Следовательно, анализ хозяйственной деятельности является одним из важных элементов системы управления предприятием (см. рисунок 1).

Рисунок 1 — Анализ хозяйственной деятельности в системе управления предприятием

Проведение квалифицированного анализа хозяйственной деятельности предприятий требует знания многих наук: макрои микроэкономики, технологии, бухгалтерского учета, маркетинга, основ промышленной психологии; в основе всех аналитических процедур лежит знание математического анализа, статистики и эконометрики. В современных условиях анализ невозможен без применения новейших компьютерных технологий. Таким образом, экономический анализ хозяйственной деятельности предприятий можно назвать перекрестком многих наук — математики, информатики, экономики, бухгалтерского учета, права.

Результативность анализа определяется соблюдением следующих принципов организации экономического анализа хозяйственной деятельности:

1. анализ должен носить научный характер, основываться на положениях диалектической теории познания, учитывать требования экономических законов развития производства, использовать достижения научно-технического прогресса (НТП) и передового опыта, новейшие методы экономических исследований;

2. анализ должен быть комплексным. Комплексность исследования требует охвата всех звеньев и всех сторон деятельности и всестороннего изучения причинных зависимостей в экономике предприятия;

3. одним из требований к анализу является обеспечение системного подхода, когда каждый изучаемый объект рассматривается как сложная динамическая система, состоящая из ряда элементов, определённым способом связанных между собой и внешней средой. Изучение каждого объекта должно осуществляться с учётом всех внутренних и внешних связей, взаимозависимости и соподчиненности его отдельных элементов;

4. анализ хозяйственной деятельности должен быть объективным, конкретным, точным, базироваться на достоверной, проверенной информации, реально отражающей объективную действительность, а выводы его должны обосновываться точными аналитическими расчётами. Из этого требования вытекает необходимость постоянного совершенствования организации учёта, а также методики анализа с целью повышения точности и достоверности его расчётов;

5. анализ должен быть действенным, активно воздействовать на ход производства и его результаты, своевременно выявляя недостатки, просчёты, упущения в работе и информируя об этом руководство предприятия. Из этого принципа вытекает необходимость практического использования материалов анализа для управления предприятием, для разработки конкретных мероприятий, для обоснования, корректировки и уточнения плановых данных. В противном случае цель анализа не достигается;

6. анализ должен проводиться по плану, систематически, а не от случая к случаю. Из этого требования вытекает необходимость планирования аналитической работы на предприятиях, распределения обязанностей по её выполнению между исполнителями и контроля за её проведением;

7. анализ должен быть оперативным. Оперативность означает умение быстро и чётко проводить анализ, принимать управленческие решения и претворять их в жизнь;

8. один из принципов анализа — это его демократизм, предполагающий участие в проведении анализа широкого круга работников предприятия, что обеспечивает более полное выявление передового опыта и использование имеющихся внутрихозяйственных резервов;

9. анализ должен базироваться на государственном подходе при оценке экономических явлений, процессов, результатов хозяйствования. Иначе говоря, оценивая результаты финансовой деятельности, нужно учитывать их соответствие государственной экономической, социальной, экологической, международной политике и законодательству;

10. анализ должен быть эффективным, то есть затраты на его проведение должны давать многократный эффект.

Таким образом, анализ хозяйственной деятельности представляет систему специальных знаний, на основании которой дается оценка производственно-хозяйственной и финансово-хозяйственной деятельности, вносятся предложения и принимаются мероприятия по рациональному и эффективному использованию основных фондов, материальных, трудовых и финансовых ресурсов, устранению излишних издержек и потерь. [1]

1.2 Экономико-математическое моделирование как способ изучения и оценки хозяйственной деятельности Моделирование является эффективным средством исследования сложных систем при их проектировании, определении параметров функционирования, рационального решения проблем совершенствования их структуры и качества работы. Одним из видов моделирования является экономико-математическое моделирование.

Суть экономико-математического моделирования заключается в изучении и оценки социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей, которые следует понимать как продукт процесса экономико-математического моделирования, а экономико-математические методы — как инструмент.

В анализе используются главным образом экономико-математические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств. Различают экономико-математические модели с количественными характеристиками, записанными в виде формул; числовые модели с конкретными числовыми характеристиками; логические, записанные с помощью логических выражений, и графические, выраженные в графических образах.

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемого объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели любого вида.

Процесс экономико-математического моделирования можно условно разделить на три этапа:

1) анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемой системе, или изучаемому процессу, и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели;

2) определение теорий и методов, с помощью которых можно решить задачу;

3) анализ полученных результатов.

При разработке экономико-математических моделей необходимо соблюдать следующие основные требования:

1) модель должна базироваться на строго научной экономической теории, раскрывающей категории и закономерности данной формации;

2) модель должна отображать реальную структуру моделируемого процесса или объекта в соответствии с принципом структурного подобия (изоморфизма);

3) в модели должно быть обеспечено единство масштаба и соблюдено соответствие размерностей экономических величин;

4) в модели должно проводиться принципиальное различие между управляемыми, полууправляемым и неуправляемыми параметрами;

5) модель должна удовлетворять условиям, определяющим степень ее соответствия объекту и границы применяемости. [2]

При построении и изучении экономико-математических моделей хозяйственной деятельности используются различные экономико-математические методы. Применение экономико-математических методов повышает эффективность анализа за счет расширения изучаемых факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства. На рисунке приведена классификация экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности.

Охарактеризуем подробнее каждую группу экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности.

Методы элементарной математики используются в традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, разработке планов, проектов и т. д.

Классические методы математического анализа используются как самостоятельно (дифференцирование и интегрирование), так и в рамках других методов (математической статистики, математического программирования).

Методы математической статистики используются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайный процесс. Статистические методы, являясь основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой эконометрических методов является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт.

Методы математического программирования служат основным средством решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для анализа хозяйственной деятельности состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов.

Методы исследований операций — это методы целенаправленных действий (операций), направленные на количественную оценку полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе хозяйственная деятельность предприятий. Цель — такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных.

Теория массового обслуживания исследует на основе теорий вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений.

Методы экономической кибернетики позволяют анализировать экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Наибольшее распространение в экономическом анализе получили методы кибернетического моделирования и системного анализа.

Эвристические методы (решения) — это неформализированные методы решения аналитических задач, связанные с опросом и экспертными оценками специалистов, высказывающих свое мнение на основе интуиции, опыта, с математической обработкой разных мнений для нахождения правильного решения.

Методы теории оптимальных процессов применяются для управления технико-экономическими процессами и ресурсами.

Применение экономико-математических методов в анализе хозяйственной деятельности требует соблюдения ряда условий, среди которых:

• системный подход к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий;

• разработка комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического анализа;

• совершенствование системы экономической информации о работе предприятий;

• наличие технических средств (ЭВМ и др.) осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;

• организация специального коллектива аналитиков, состоящего из экономистов-производственников, специалистов по экономико-математическому моделированию, математиков-вычислителей, программистов-операторов и др.

Таким образом, экономико-математические модели и методы — это не только аппарат для получения экономических закономерностей, но и широко используемый инструментарий практического решения проблем в управлении, прогнозировании, бизнесе, банковском деле и других разделах экономики. [3]

1.3 Применение теории массового обслуживания в изучении и оценки хозяйственной деятельности Достаточно часто при анализе хозяйственных систем деятельности человека приходится решать так называемые задачи массового обслуживания, возникающие в следующих ситуациях: обслуживание клиентов на автозаправочных станциях, обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т. д. Изучением и решением задач обслуживания массового характера в вышеперечисленных ситуациях занимается теория массового обслуживания.

Сущность теории массового обслуживания состоит в том, что на основе теории вероятностей разрабатывается оценка функционирования систем массового обслуживания.

В теории массового обслуживания обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе и т. д.

Средства обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассы, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах и т. д.

Системы массового обслуживания — это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, обслуживаются поступившие заявки с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Общая схема системы массового обслуживания представлена на рисунке (см. рисунок 2). [4]

Рисунок 2 — Общая схема системы массового обслуживания Поступив в обслуживающую систему, требование (заявка), присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает одно из требований, находящихся в очереди и приступает к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания канал приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования происходит мгновенно, в случайные моменты.

Основными компонентами любой системы массового обслуживания являются:

— входящий поток требований или заявок на обслуживание;

— механизм обслуживания;

— дисциплина обслуживания.

Раскроем содержания каждого из указанных выше компонентов.

1) Входящий поток требований или заявок на обслуживание (поток случайных событий) представляет собой последовательность однородных, неразличимых по каким-либо признакам, кроме моментов появления, событий (например, обрыв нити в ткацком производстве). Поток этих событий можно интерпретировать как последовательность точек на оси времени:

Можно фиксировать моменты поступления заявок и определить среднее время между двумя последовательными заявками Т. Для описания входящего потока заявок на обслуживание как потока случайных событий необходимо задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов времени поступления заявок на обслуживание.

Любую непрерывную случайную величину Т, равную интервалу времени между последовательными событиями потока заявок, можно задать функцией распределения вероятностей. Значения функции распределения вероятностей определяют вероятность того, что случайная величина принимает значение не более заданного. Например, для универсама функция распределения вероятностей потока покупателей имеет следующий вид:

.

Для приведенного примера величина функции распределения вероятностей F (t) означает, что 20% покупателей заходят через 5 минут друг после друга.

Среди разнообразия потоков случайных событий особое место в теории массового обслуживания принадлежит простейшему, или пуассоновскому, потоку случайных событий, позволяющих легко описывать и строить математическую модель системы массового обслуживания. Эти модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют именно их. В других случаях задачи исследования системы массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Учитывая величину плотности входящего потока заявок на обслуживание, запишем формулу функции распределения вероятностей для пуассоновского потока:

.

.

2) Механизм обслуживания поступающих заявок определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания. Система массового обслуживания, имеющая несколько каналов, способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, имеет место параллельное обслуживание. Система массового обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. обслуживание требований реализуются последовательно.

К характеристикам процедуры обслуживания относятся продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания заявок (требований)».

Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований, важнейшей из которых является продолжительность обслуживания заявок каналами системы массового обслуживания. Как правило, время обслуживания — случайная величина, которая задается функцией распределения вероятностей и плотностью вероятности.

Рассмотрим СМО, в которых время обслуживания распределено по показательному закону:

.

где плотность потока обслуженных заявок одним каналом системы массового обслуживания, при условии, что канал будет непрерывно занят.

3) Дисциплина обслуживания — это важный компонент системы массового обслуживания, который определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

— первым пришел — первый обслуживаешься;

— пришел последним — обслуживаешься первым;

— случайный отбор заявок;

— отбор заявок по критерию приоритетности;

— ограничение времени ожидания с момента наступления обслуживания.

В качестве основных критериев эффективности систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

• относительная и абсолютная пропускная способность системы;

• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

• среднее время ожидания в очереди;

• средняя длина очереди;

• средний доход от функционирования системы в единицу времени и т. п.

СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания.

По составу СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим устройством) и многоканальными (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

1) с ожиданием, или очередью (заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободиться один из каналов. Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожидание и системы с неограниченным ожиданием;

2) с отказами (заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь).

Таким образом, применение теории массового обслуживания в хозяйственной деятельности предприятий позволяет оптимизировать решение задач обслуживания посетителей массового характера, используя математический аппарат. [5]

2. Системы массового обслуживания с отказами Системой массового обслуживания с отказами является такая система, в которой приходящие для обслуживания требования (заявки) в случае занятости всех каналов обслуживания сразу ее покидают.

Основные показатели эффективности системы массового обслуживания с отказами:

1. абсолютная пропускная способность системы массового обслуживания, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2. относительная пропускная способность системы массового обслуживания, т. е. средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3. вероятность отказа, т. е. вероятность того, что заявка покинет систему массового обслуживания необслуженной;

4. вероятность занятости, т. е. вероятность того, что заявка останется в системе массового обслуживания;

5. среднее число занятых каналов (для многоканальной системы);

6. среднее число свободных каналов (для многоканальной системы).

2.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами Пусть система массового обслуживания включает в себя только один канал обслуживания, и на ее вход подается пуассоновский поток заявок с интенсивностью? т. е. непрерывная случайная величина время между двумя соседними заявками — распределена по закону Пуассона; другая случайная величина время обслуживания каналом одной заявки — также распределена по закону Пуассона с параметром

.

Одноканальная система массового обслуживания может находится в одном из двух состояний: канал свободен (простаивает) и канал занят. Переход из состояния в состояние переводит поток входящих заявок, а переход из состояния в состояние поток обслуживания. Плотности вероятностей перехода из состояния в состояние и обратно равны, соответственно,. Граф состояний одноканальной системы массового обслуживания показан на рисунке (см. рисунок 3).

Рисунок 3 — Граф состояний одноканальной системы массового обслуживания Рассмотрим основные характеристики эффективности одноканальной системы массового обслуживания:

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы массового обслуживания имеет вид:

.

где вероятности нахождения системы массового обслуживания в состояниях соответственно.

Решая систему дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы массового обслуживания, получим финальные уравнения для вероятностей :

.

Вероятность по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки, т.к. канал является свободным, а вероятность по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки, т.к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки.

Относительная пропускная способность для одноканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

.

Абсолютная пропускная способность для одноканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

.

Среднее время обслуживания заявки в системе массового обслуживания рассчитывается по формуле:

.

Среднее время простоя канала системы рассчитывается по формуле:

.

Среднее время пребывания заявки в системе рассчитывается по формуле [6]:

2.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами Пусть система массового обслуживания содержит каналов. На ее вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью, а поток обслуживаний каждым каналом является также простейшим с интенсивностью .

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами представлен на рисунке (см. рисунок 4).

Рисунок 4 — Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами

Система может находиться только в одном из состояний: от состояния (все каналы свободны) до состояния все каналы заняты. Заявка, поступающая в систему, когда заняты все каналов, получает отказ в обслуживании и покидает систему массового обслуживания.

Входной поток заявок с интенсивностью (плотностью вероятности перехода)? переводит систему из любого состояния в соседнее состояние справа, причем плотность вероятности этого перехода одинакова. В силу ординарности входного потока заявок система массового обслуживания может переходить слева на право только в соседние состояния без перескока через какое-либо состояние.

Переход системы массового обслуживания в направлении справа налево из состояния когда каналов заняты в состояние, когда освобождается один из занятых каналов, происходит под воздействием суммарного потока обслуживаний с интенсивностью. Следовательно, плотность вероятности такого перехода равна. В этом случае система также не может перескакивать через состояние, а только последовательно переходит из одного состояния в другое.

Рассмотрим основные характеристики эффективности многоканальной системы массового обслуживания:

Решение многоканальной системы массового обслуживания имеет следующий вид:

.

Данные формулы называются формулами Эрланга и они определяют предельные вероятности состояний системы массового обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании заявки для многоканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

.

Относительная пропускная способность для многоканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

.

Абсолютная пропускная способность для многоканальной системы массового обслуживания с отказами рассчитывается по формуле:

.

Одной из важных характеристик многоканальной системы массового обслуживания является среднее число занятых каналов отношение абсолютной пропускной способности к интенсивности канала обслуживания.

Для многоканальной системы обслуживания с отказами среднее число занятых каналов определяется по формуле

.

Среднее время обслуживания заявки в системе рассчитывается по формуле [6]:

.

3. Практическое применение многоканальной системы массового обслуживания с отказами в вычислительной лаборатории

3.1 Постановка задачи Рассматривается вычислительная лаборатория с тремя персональными компьютерами, используемыми для решения поступающих задач. В среднем за один час поступает одна задача. Продолжительность решения одной задачи составляет 1,8 час. Поток заявок на решение и поток решенных задач являются простейшими. Определить вероятности состояний вычислительного центра, вероятность того, что поступившая задача не будет решена, относительную пропускную способность вычислительного центра, среднее количество занятых ПЭВМ. Определить при каком количестве ПЭВМ пропускная способность вычислительного центра увеличивается вдвое.

3.2 Решение задачи Для решаемой задачи:

1., количество каналов обслуживания (ПЭВМ);

2. час, среднее время обслуживания одной заявки;

3. заявка в час — интенсивность (плотность) входящего потока заявок.

Чтобы ответить на поставленные вопросы, определим числовые характеристики изучаемой системы массового обслуживания с отказами.

1. Определим приведенную плотность потока заявок т. е. среднее количество заявок, поступающее в систему массового обслуживания за среднее время обслуживания:

.

2. Определим, в каких состояниях может находиться изучаемая система массового обслуживания:

все компьютеры свободны;

в системе массового обслуживания находится одна заявка (задача), и занят один компьютер;

в системе массового обслуживания находится две заявки (задачи), и заняты два компьютера;

в системе массового обслуживания находится три заявки, и заняты все компьютеры, т. е. очередная поступающая задача получит отказ в решении.

3. Определим вероятности возможных состояний изучаемой системы массового обслуживания.

Воспользуемся формулами Эрланга:

.

Подставим в приведенные формулы числовые значения используемых параметров рассматриваемой системы массового обслуживания:

.

Вероятность того, что все компьютеры свободны и не заняты решением поступающих задач составляет 18,6%. Вероятность того, что только один компьютер занят решением поступившей задачи составляет 33,4%. Вероятность того, что решением задач заняты два компьютера — 30,1%. Вероятность того, что заняты все три компьютера (очередная поступившая задача не будет решена) равна 18%. Т. е. 18% рабочего времени все три компьютера заняты решением поступивших задач и, следовательно, 18% поступающих задач останутся нерешенными.

4. Определим относительную пропускную способность изучаемой системы массового обслуживания:

Следовательно, 82% задач, поступивших в вычислительную лабораторию, будут решены.

5. Определим среднее количество занятых каналов (компьютеров) изучаемой системы массового обслуживания:

.

При установившемся режиме работы системы массового обслуживания в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные будут простаивать. Для выполнения всей работы необходимо 1,5 компьютера, при условии, что они будут работать непрерывно.

6. Определим коэффициент простоя одного канала изучаемой системы массового обслуживания:

.

Поскольку коэффициент простоя одного компьютера составляет 50,8%, то примерно половину рабочего времени каждый компьютер простаивает.

Вывод Таким образом, работу вычислительной лаборатории нельзя признать удовлетворительной, так как примерно пятая часть поступающих задач не решается. В данном случае пропускную способность лаборатории при заданных и можно увеличить только за счет увеличения числа компьютеров. [7]

Заключение

В заключении хотелось бы отметить о несомненной практической значимости теории массового обслуживания в сфера хозяйственной деятельности человека. Системы массового обслуживания (СМО) в нашей жизни встречаются повсюду: в сферах обслуживания: ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские, в сфере связи: телефонные станции и т. п.

В ходе написания курсовой работы было выяснено, что основными признаками системы, позволяющими рассматривать ее как своеобразную систему массового обслуживания, являются:

— наличие объектов, нуждающихся в случайные моменты времени в обслуживании (в выполнении некоторых работ над собой или для себя); эти объекты порождают так называемый входящий поток заявок (требований) на обслуживание;

— наличие объектов, которые производят обслуживание и называются обслуживающими приборами (каналами);

— возникновение задержек в обслуживании (образование очереди).

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами представляют значительный интерес. Поэтому в качестве практического примера была выбрана задача обслуживания заявок в многоканальной системе массового обслуживания с отказами в вычислительной лаборатории. В ходе решения задачи были определены характеристики эффективности рассматриваемой системы.

математический моделирование хозяйственный отказ

Список использованных источников

1 Савицкая Г. В. Комплексный анализ хозяйственной деятельности предприятия: Учебник / под ред. Г. В. Савицкая. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 607 с.

2 Пелих А. С. Экономико-математические методы и модели в управлении производством / А. С, Пелих, Л. Л. Терехов, Л. А. Терехова. — Ростов н/Д: «Феникс», 2005. — 248 с.

3 Баканов М. И., Мельник М. В., Шермет А. Д. Теория экономического анализа: Учебник / под ред. М. И. Баканова. 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 536 с.: ил.

4 Математические методы и модели исследования операций: Учебник / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин — 5-е изд. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2012. — 400 с.

5 Кочкина Е. М., Радковская Е. В. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие. — Екатеринбург: Изд-во УрГЭУ, 2010. — 159 с.

6 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: Учебное пособие. 2-е изд., доп. — СПб.: Питер, 2010. — 496 с.: ил.

7 Кочкина Е. М., Радковская Е. В. Математические методы принятия оптимизационных решений в деятельности предприятий: учеб. пособие. — Екатеринбург: Изд-во УрГЭУ, 2012.