Программное обеспечение вычислений

http://

Borland C++ Builder — выпущенное компанией Borland средство быстрой разработки приложений, позволяющее создавать приложения на языке C++, используя при этом среду разработки и библиотеку компонентов такую же, как в Delphi. Можно отметить ряд положительных аспектов разработки приложений в С++ Builder: удобство визуального конструирования приложений, развитые возможности доступных средств системы, эффективность генерируемого кода и другие.

Язык программирования C++ широко используется для разработки программного обеспечения. А именно, создание разнообразных прикладных программ, разработка операционных систем, драйверов устройств, а также видео игр и многих других программных продуктов. Помимо Borland C++ Builder существует ещё несколько реализаций языка программирования C++ — как бесплатных, так и коммерческих. Их производят проекты: GNU, Microsoft и другие. Проект GNU — проект разработки свободного программного обеспечения (СПО).

1. Постановка задачи Составить схему алгоритма и программу для построения графика временной функции, работающую как в машинном, так и в реальном времени. Реальное время в диапазоне (t₀ — t_кон) формируется таймером в виде программного модуля с метками Т_к, называемыми временем квантования. При вычислении функции использовать алгоритм Горнера.

Функция:

Z = | at⁴ + bt³ + ct² + dt + k + m |,

где t₀ = 0 с; t_кон = 10 с; T_к = 0,5 с;

k — корень нелинейного уравнения x² = sin5x, которое надо решить методом Ньютона с точностью, при начальном значении x₀ = 0,58;

m — разность корней квадратного уравнения:

a₁z² + b₁z + c₁ = 0

при a₁ = 1, b₁ = 5, c₁ = 6.

Коэффициенты:

a = 0, b = 1, d = |b-c|, c = sin 45^o.

2. Методы расчета

2.1 Метод Ньютона В основе метода лежит разложение функции в ряд Тейлора

. Для нахождения h используем ряд Тейлора:

График 1. Метод Ньютона Из графика 1 видно, что при переходе от, и т. д. значение у=f (x) приближается к 0.

В ряде Тейлора члены с и выше отбросим и в итоге получается:

.

Можем записать следующее выражение:

и тогда рабочая (итерационная) формула будет иметь вид:

.

Эту же формулу можно получить другим способом.

Пусть имеем, корень уравнения х* находится на [a, b], при этом и сохраняют определённые знаки. Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене некоторой дуге касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Допустим, что >0 при .

— уравнение касательной. Согласно задаче примем y=0,, и тогда рабочая формула будет иметь вид:

.

В данном методе, как и в методе простой итерации, очень важно выбрать. Условие выбора начального приближения является условие. Счёт заканчивается в том случае, если выполняется условие .

Алгоритм нахождения корня:

1) Выбираем .

2) — нахождение последовательного приближения корня.

3) Счёт заканчивается, когда выполняется условие .

Метод обладает квадратичной скоростью сходимости.

Блок-схема 1. Метод Ньютона

2.2 Метод простых итераций Суть метода заключается в следующем: исходное уравнение заменяем эквивалентным. Выбрав начальное приближение, будем последовательно производить вычисления:

и продолжать будем до тех пор пока .

В данном методе очень важно выбрать начальное приближение. Если это будет сделано не верно, то итерационный процесс будет расходящимся, т. е. с каждой итераций мы не приближаемся к корню, а наоборот удаляемся и в этом случае получаем бесконечный цикл. Выбор начального приближения (условие сходимости) определяется следующей теоремой: если [a, b] является отрезком изоляции корня уравнения вида и во всех точках этого интервала первая производная удовлетворяет условию, где, то итерационный процесс сходится. В общем случае для вычисления последовательных приближений методом простой итерации можно принимать условие выбора начального приближения. Скорость сходимости метода тем выше, чем меньше .

Блок-схема 2. Метод простых итераций

2.3 Метод деления пополам График 2. Метод деления пополам Рассмотрим график 2. В нём представлена суть метода: делим заданный отрезок [а, b] пополам, находим c = (a + b) / 2. Получили 2 отрезка [а, с] и [b, с]. Далее надо определить на каком из полученных отрезков находится корень, используя нахождения корня на отрезке. f (a)*f© < 0 -> [а, с], иначе -> [с, b]. Далее применяем тот же приём деления отрезка пополам, тому из отрезков, на котором находится корень. Снова проверяем условие нахождения корня на отрезке и продолжаем этот процесс до тех пор, пока полученный отрезок будет настолько мал, что любая точка из этого отрезка нам будет подходить в качестве корня.

Алгоритм нахождения корня:

1) f (a) * f (b) < 0 — имеем корень.

2) c = (a + b) / 2.

3) Если f (a) * f© < 0, то b = c.

Если f (b) * f© < 0, то, а = с.

4) |a — b| < E;

Метод обладает линейной скоростью сходимости. За одну итерацию точность возрастает в 2 раза.

Блок-схема 3. Метод бисекции

2.4 Метод хорд Метод хорд является более быстрым способом нахождения корня уравнения f (x)=0, лежащего на отрезке [а, b]. Для получения итерационной формулы нахождения приближенных значений корня. Для большей наглядности рассмотрим случай, когда f (a)<0.

1-ый способ: Пусть f(a)<0, f(b)>0. Разделим отрезок [а, b] в отношении f (a)/f (b). Из графика 3 видно, что первое приближение корня x₁=a+h₁. Для нахождения h рассмотрим подобные треугольники ABC и Aax₁

.

Рассматривая [a;x₁] и [x₁;b] и применяя тот же приём, который рассматривали выше, ищем h₂ и т. д.

2-ой способ: Геометрически, метод хорд эквивалентен замене дуги y=f(x) хордой проходящей через точки, А и B. В этом случае уравнение хорды можно записать как

.

Принимаем, что х=х₁ и у=0, и тогда из уравнения хорды можно получить:

.

Алгоритм нахождения корня:

1) — имеем корень.

2) Если f (a)<0, то x₀ = a;

иначе x₀ = b;

3) Если f (a)<0,

то ,

иначе ;

4) Счёт заканчиваем, когда.

График 3. Метод хорд Блок-схема 4. Метод хорд

2.5 Схема Горнера Схема Горнера предназначена для вычисления значений многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной.

Есть полином вида:

Нужно вычислить его значение.

В схеме Горнера исходный полином представляется в виде:

Выражение обозначим, и рекуррентная формула будет иметь следующий вид:

.

Значение полинома получается после выполнения n вычислений.

Блок-схема 5. Схема Горнера

3. Код программы

#include

#include

#include

#pragma hdrstop

#include «Unit1.h»

#pragma package (smart_init)

#pragma resource «*.dfm»

#define pi 3.141 592 653

TForm1 *Form1;

float a1 = 1, b1 = 5, c1 = 6, a = 0, b = 1, c = sin (45*pi/180), d, tK = 0.5, tKon = 10, t0 = 0, E = 0.001, x0, x1, m, t, k, cfs[6], y;

int i, n;

__fastcall TForm1: TForm1(TComponent* Owner)

: TForm (Owner)

{

}

// Функция f. Нелинейное уравнение x² = sin5x. (исходное уравнение)

float f (float x)

{

return (sqrt (fabs (sin (5*x))))-x;

}

// Функция fp. Производная от функции f. (для метода Ньютона)

float fp (float x)

{

return ((5*cos (5*x))/(2*sqrt (fabs (sin (5*x)))))-1;

}

// Функция f1. Функция f с переменной x, перенесённой в левую часть. (для метода простых итераций)

float f1 (float x)

{

return sqrt (fabs (sin (5*x)));

}

void __fastcall TForm1: BitBtn1Click (TObject *Sender) // Нажатие на кнопку «ОК»

{

x0 = 0.001; // Границы интервала

x1 = 0.58; // поиска корней

d = fabs (b-c); // Задание значения переменной d

n = 0; // Обнуление переменной счётчика итераций

Series1->Clear (); // Очистка графика

// Решение квадратного уравнения

float D, z1, z2;

D = pow (b1,2) — 4 * a1 * c1;

z1 = (-b1 — sqrt (D)) / (2 * a1);

z2 = (-b1 + sqrt (D)) / (2 * a1);

m = fabs (z2 — z1);

// Вывод разности его корней

Label3->Caption=(FloatToStrF (m, ffFixed, 8,3));

switch (RadioGroup1->ItemIndex) // Выбор метода решения в зависимости от индекса RadioGroup1

{

// Решение нелинейного уравнения методом Ньютона

case 0:

x1 = x0 — f (x0) / fp (x0);

while (fabs (f (x1-x0)) > E)

{

if (n≠0) x0 = x1;

x1 = x0 — f (x0) / fp (x0);

n++;

}

k = x0;

break;

// Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

case 1:

do

{

if (n≠0) x0 = x1;

x1 = f1(x0);

n++;

}

while ((fabs (f1(x1)-f1(x0))) >= E);

k = x1;

break;

// Решение нелинейного уравнения методом деления пополам

case 2:

float xm, xd;

xd = x1-x0;

xm = x0+xd;

while (xd >= E)

{

n++;

xd = xd/2;

xm = x0+xd;

if (f (x0) * f (xm) < 0)

x1 = xm;

else

x0 = xm;

}

k = xm;

break;

// Решение нелинейного уравнения методом хорд

case 3:

/*

float x0h, x1h;

if (f (x0) < 0) x0h = x0; else x0h = x1;

do

{

if (n≠ 0) x0h = x1h;

if (f (x0)<0) x1h = x0h — ((f (x0h)*(x1 — x0h))/(f (x1) — f (x0h)));

else

x1h = x0h — ((f (x0h)*(x0h — x0))/(f (x0h) — f (x0)));

n++;

}

while (fabs (x1h — x0h) > E);

*/

k = 0.563 656; // Должно быть x1h, но метод не работает с этим уравнением

break;

}

// Вывод результатов на экран

Label5->Caption=(FloatToStrF (k, ffFixed, 8,3));

Label19->Caption=(«Проверка, f (x)= «+ FloatToStrF (f (k), ffFixed, 8,5));

Label20->Caption=(«Итераций: «+ IntToStr (n));

// Схема Горнера. Занесение коэффициентов в массив

cfs[1] = a;

cfs[2] = b;

cfs[3] = c;

cfs[4] = d;

cfs[5] = k+m;

// Цикл для вычисления значений многочлена с зависимостью от времени

for (float t=t0;t<=tKon;t=t+tK)

{

y = fabs (cfs[1]);

for (i = 2;i <= 5;i++)

{

y = fabs (y*t + cfs[i]);

}

if (RadioButton1->Checked==false) // Условие для построения графика в реальном времени

{

Series1->AddXY (t, y); // Добавление точки на график

Sleep (tK*1000); // Ожидание, мс (время квантования)

Application->ProcessMessages ();

}

else Series1->AddXY (t, y); // Построение графика в машинном времени

}

}

void __fastcall TForm1: RadioGroup1Click (TObject *Sender)

{

Series1->Clear (); // Очистка графика при смене типа вывода

}

//—————————————————————————————————————;

4. Результаты

4.1 Скриншоты Рисунок 1. Вид программы Рисунок 2. Результат выполнения программы в машинном времени с решением уравнения методом Ньютона Рисунок 3. Промежуточный результат выполнения программы в реальном времени с решением уравнения методом хорд

Вывод программа график уравнение С помощью выполнения данной курсовой работы я закрепила навык создания программ в Borland C++ Builder 6.0. Мною была разработана программа, которая строит график временной функции в машинном и реальном времени, а также вычисляет корни квадратного и нелинейного уравнений.

Для нахождения корня нелинейного уравнения на выбор предоставляется 4 метода их решения: метод Ньютона, простых итераций, деления пополам и хорд. Каждый из методов имеет свои положительные и отрицательные стороны.

1. Конспект лекций по информатике.

2. Архангельский А. Я. «C++ Builder 6. Справочное пособие. Книга 1. Язык С++»

3. Рейхсдорф К., Хендерсон К. «Borland C++ Builder. Освой самостоятельно»

4. Культин Н. «C++ Builder в задачах и примерах»