Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Анализ квантовых поправок и проблема аномалий в N=1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными

Диссертация: Анализ квантовых поправок и проблема аномалий в N=1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Было бы естественным предположить, что в голоморфной нормировке чисто однопетлевой результат для /^-функции может возникать при использовании регуляризации высшими ковариантными производными, дополненной регуляризацией Паули-Вилларса для устранения остаточных однопетлевых расходимостей. Известно, что на однопетлевом уровне результаты вычислений в такой регуляризации всегда согласуются… Читать ещё >

Анализ квантовых поправок и проблема аномалий в N=1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. N = 1 суперсимметричная электродинамика
    • 1. 1. Функционал действие, симметрии, уравнения движения
    • 1. 2. Супермультиплеты токов и аномалий
    • 1. 3. Квантование модели
      • 1. 3. 1. Регуляризация высшими производными
      • 1. 3. 2. Фиксация калибровки
      • 1. 3. 3. Производящий функционал
      • 1. 3. 4. Правила Фейнмана
    • 1. 4. Индекс расходимости
    • 1. 5. Вспомогательная регуляризация
    • 1. 6. Ренормгрупповые функции
  • 2. Квантовые поправки к эффективному действию
    • 2. 1. Однопетлевые вычисления
      • 2. 1. 1. Аномальная размерность
      • 2. 1. 2. /^-функция
    • 2. 2. Двухпетлевая аномальная размерность
      • 2. 2. 1. Вычисление двухпетлевого вклада
      • 2. 2. 2. Получение дважды логарифмических расходимостей при помощи метода ренормгруппы
    • 2. 3. Трехпетлевая /3-функция
  • 3. Сравнительный анализ регуляризаций высшими производными и размерной редукцией. Проблема аномалий
    • 3. 1. Регуляризация размерной редукцией
    • 3. 2. Регуляризация высшими производными
    • 3. 3. Вклад в /^-функцию диаграмм с контрчленными вставками
    • 3. 4. Решение проблемы аномалий
  • А Нахождение супермультиплета токов
  • В Вычисление двухпетлевых интегралов, регуляризованных при помощи высших производных
  • С Результаты вычисления диаграмм Фейнмана
  • D Анализ трехпетлевых вкладов в /^-функцию
  • Е Вычисление трехпетлевых интегралов, регуляризованных при помощи высших производных

Хорошо известно [1, 2, 3, 4], что в суперсимметричных теориях аксиальная аномалия и аномалия следа тензора энергии-импульса принадлежат одному супермультиплету. В силу теоремы Адлера-Бардина [5, 6] аксиальная аномалия является чисто однопетлевой, тогда как аномалия следа пропорциональна /^-функции [7]. Поэтому суперсимметричная инвариантность должна по-видимому приводить к тому, что в суперсимметричных теориях поправки к /^-функции должны существовать только в однопетлевом приближении [8]. Этот факт действительно имеет место в N = 2 суперсимметричных теориях [9]. Однако вычисления, выполненные для N = 1 суперсимметричных моделей при использовании регуляризации размерной редукцией [10, 11, 12], показали, что в /^-функцию дают нетривиальный вклад также и высшие петли. Полученное противоречие получило в литературе название «проблемы аномалий» .

Предпринимались неоднократные попытки решения этой проблемы. Например, в работе [13] возникновение проблемы аномалий объяснялось различием между вильсоновским эффективным действием и производящим функционалом для одночастично неприводимых диаграмм. При этом утверждалось, что константа связи в вильсоновском действии является чисто однопетлевой, тогда как константа связи в производящем функционале имеет поправки во всех порядках теории возмущений. Отличие в поведении констант связи связывалось с некоторым дополнительным аномальным вкладом (который, например, для случая электродинамики, оказывается тесно связанным с аномалией Кониши [14, 15]). При этом для /^-функции было получено точное во всех порядках теории возмущений выражение, связывающее ее с аномальной размерностью суперполей материи. Ранее такое выражение было построено в работе [16], исходя из требования ренорминвариантности инстантонных вкладов в эффективное действие, и получило название «точная /^-функция Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова (NSVZ)». Для случая N = 1 суперсимметричной электродинамики, который далее будет рассматриваться в диссертации, точная NSVZ /^-функция имеет следующий вид: где 7(a) — аномальная размерность суперполя материи. Оказалось, что NSVZ /^-функция точно согласуется с двухпетлевыми вычислениями, выполненными с использованием размерной редукции, однако в трехпетлевом приближении [17, 18, 19] были выявлены разногласия между разложением формулы (1) в ряд по, а и конкретными вычислениями. Впоследствии было показано [18], что эти разногласия могут быть устранены специальным выбором схемы перенормировки, причем сама возможность выбора такой схемы, как оказалось, является крайне нетривиальной [20]. В принципе, схему, в которой получается точная /^-функция можно построить, устанавливая ее связь с MS схемой в каждом порядке теории возмущений [21].

Еще одним шагом в решении проблемы аномалий является работа [22]. В ней было показано, что преобразования масштабирования суперполей в суперсимметричных теориях являются аномальными, благодаря чему в зависимости от выбираемой нормировки кинетических членов полей может возникать либо чисто однопетлевой результат, либо точная NSVZ /^-функция. В случае т.н. голоморфной нормировки, для которой а) перенормированное действие записывается в виде.

Srm = ^3(e, A//i)Re J dAxd20WaCabWb +.

Z (e, A//i)i/^х^в (ф*е2Уф + ф*е~2Уф), (2) было высказано предположение, что /^-функция является чисто однопетлевой, тогда как при канонической нормировке, в которой.

Srm = ^3(e, A//z)Re J dAxd2dWaCabWb + jdAx d46 (ф*е2Уф + ф*е~2Уф), (3).

— функция имеет поправки от всех порядков теории возмущений и совпадает с точной NSVZ /^-функцией (см. также [23]). Однако, такое решение проблемы аномалий противоречит явным двухпетлевым вычислениям, проведенным в рамках метода размерной редукции.

Было бы естественным предположить, что в голоморфной нормировке чисто однопетлевой результат для /^-функции может возникать при использовании регуляризации высшими ковариантными производными [24, 25, 26], дополненной регуляризацией Паули-Вилларса для устранения остаточных однопетлевых расходимостей. Известно, что на однопетлевом уровне результаты вычислений в такой регуляризации всегда согласуются с результатами вычислений в размерной регуляризации (редукции) [27]. Однако в высших петлях выражения даже для схемнонезависимых величин, вычисленных при использовании метода размерной редукции, могут отличаться от результатов вычисления в методе высших производных. Это связано с тем, что регуляризация при помощи размерной редукции [28] является математически противоречивой [29], и таким образом переход от размерной редукции к какой-либо другой регуляризации уже не может рассматриваться как изменение схемы перенормировкиполучаемые в размерной редукции результаты могут оказаться неверными в силу внутренней противоречивости метода. В частности, вычисление аксиальной аномалии в методе размерной редукции приводит к неправильному нулевому результату, если не накладывать никаких дополнительных условий. Кроме того, как уже упоминалось ранее, в методе размерной редукции имеет место противоречие между суперсимметрией и теоремой Адлера-Бардина [30]. Для нас наиболее важным является то, что данная регуляризация по всей видимости не позволяет вычислить аномалию масштабирования, которая, как указывается в работе [22], дает вклад в /^-функцию. Таким образом размерная редукция оказывается непригодной для исследования проблемы аномалий.

При этом необходимо подчеркнуть существенную разницу между размерной регуляризацией [31] и размерной редукцией: в размерной регуляризации аномалии могут быть легко вычислены [31]. Однако, размерная регуляризация явно нарушает суперсимметрию и поэтому для проведения вычислений в суперсимметричных теориях неудобна1.

Поэтому регуляризация высшими ковариантными производными представляется наиболее подходящей для исследования суперсимметричных калибровочных теорий: данный метод является внутренне непротиворечивым, а также не нарушает ни калибровочную, ни суперсимметричную инвариантность.

В данной диссертации мы впервые применяем метод высших ковариантных производных к вычислению квантовых вкладов в эффективное действие суперсимметричной теории — N = 1 суперсимметричной безмассовой электродинамики. На основе проделанных вычислений исследуется проблема аномалий в рассматриваемой модели.

1 Конечно, с теоретической точки зрения использование неинвариантной регуляризации совершенно допустимо для проведения вычислений. Выбором специальной схемы вычитаний всегда можно восстановить нарушенные тождества Уорда (это касается нарушения как суперсимметричной, так и калибровочной инвариантности) [32, 33, 34, 35]. Тем не менее для исследования общих вопросов предпочтительнее использовать регуляризации, не нарушающие симметрии классического действия, тем более что, как известно, суперсимметрия не является аномальной, т. е. не нарушается квантовыми поправками [36, 37].

Диссертация состоит из введения, трех глав, пяти приложений, заключения и списка используемой литературы.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

• Разработан метод вычисления квантовых поправок в N — 1 суперсимметричных теориях с использованием регуляризации высшими ковариантными производными. Этот метод является внутренне непротиворечивым, не нарушает суперсимметричную инвариантность (в том числе и в высших петлях), а также позволяет самосогласованным образом вычислять аномалии в суперсимметричных теориях.

• С помощью вышеуказанного метода впервые были вычислены двухпетлевая аномальная размерность и трехпетлевая /^-функция в N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамике, регуляризованной высшими производными.

• Доказано, что в трехпетлевом приближении вклад в /^-функцию, пропорциональную аномалии следа тензора энергии-импульса, в используемой регуляризации является чисто однопетлевым, тогда как функция Гелл-Манна-JIoy совпадает с точной /^-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова.

• Показано, что в рамках предложенного метода вычисления квантовых поправок в суперсимметричных теориях, регуляризованных высшими производными, структура супермультиплета аномалий не противоречит структуре вкладов высших петель в /^-функцию.

• На основе полученных результатов решена проблема аномалий ъ N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамике.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Я глубоко признателен моему научному руководителю доценту Пронину П. И. и доценту Степаньянцу К. В. за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы, а также сотрудникам кафедры теоретической физики за многочисленные консультации и обсуждение результатов, полученных в диссертации.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Ferrara S. and Zumino B. Transformation properties of the supercur-rent// Nucl. Phys. В — 1975. — 87. — p. 207 — 220.
  2. Clark Т.Е., Piguet 0. and Sibold K. Supercurrents, renormalization and anomalies// Nucl. Phys. В 1978. — 143. — p. 445 — 484.
  3. Piguet O. and Sibold K. The supercurrent in N = 1 supersymmetric Yang-Mills theories. (I). The classical case// Nucl. Phys. В 1982. — 196.- p. 428 446.
  4. Piguet 0. and Sibold K. The supercurrent in N = 1 supersymmetric Yang-Mills theories. (II). Renormalization// Nucl. Phys. В 1982. — 196.- p. 447 460.
  5. Adler S.L. and Bardeen W.A. Absence of higher-order corrections in the anomalous axial-vector divergence equation// Phys. Rev. 1969. — 182.- p. 1517 1536.
  6. А.А., Фаддеев JI.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей// М.: Наука 1988. — 271 с.
  7. Adler S.L., Collins J.C. and Duncan A. Energy-momentum tensor trace anomaly in spin-½ quantum electrodynamics// Phys. Rev. D 1977. -15. — p. 1712 — 1721.
  8. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainshtein A.I. and Zakharov V.I. Super-symmetric extention of the Adler-Bardeen theorem// Phys. Lett. В -1985. 157. — p. 169 — 173.
  9. Howe P. S., Stelle K.S. and West P. S. A class of finite four-dimensional supersymmetric field theories// Phys. Lett. В 1983. — 124. — p. 55 — 58.
  10. Avdeev L. V, Tarasov О. V. and Vladimirov A. A. Vanishing of the three-loop charge renormalization function in a supersymmetric gauge theory// Phys. Lett. В 1980. — 96. — p. 94 — 96.
  11. Grisaru M.T., Rocek M. and Siegel W. Zero value for the three-loop (3-function in N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory// Phys. Rev. Lett.- 1980. 45. — p. 1063 — 1066.
  12. Caswell W. and Zanon D. Vanishing three-loop beta function in N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory// Phys. Lett. В 1981. — 100. — p. 152 — 156.
  13. Shifman M.A. and Vainshtein A.I. Solution of the anomaly puzzle in SUSY gauge theories and the Wilson operator expansion// Nucl. Phys. В 1986. — 277. — p. 456 — 486.
  14. Konishi K. Anomalous supersymmetry transformation of some composite operators in SQCD// Phys. Lett. В 1984. — 135. — p. 439 — 444.
  15. Clark Т.Е., Piguet O. and Sibold K. The absence of radiative corrections to the axial current anomaly in supersymmetric QED// Nucl. Phys. В -1979. 159. — p. 1 — 15.
  16. Novikov V., Shifman M., Vainshtein A. and Zakharov V. The beta function in supersymmetric gauge theories. Instantons versus traditional approach// Phys. Lett. В 1986. — 166. — p. 329 — 333.
  17. Avdeev L. V. and Tarasov О. V. The three-loop beta-function in the N = 1, 2, 4 supersymmetric Yang-Mills theories// Phys. Lett. В 1982.- 112. p. 356 — 358.
  18. Jack I., Jones D.R.T. and North C. G. N — 1 supersymmetry and the three-loop anomalous dimension for the chiral superfield// Nucl. Phys. В 1996. — 473. — p. 308 — 322.
  19. Jack I., Jones D.R.T. and North C.G. N = 1 supersymmetry and the three-loop gauge /^-function// Phys. Lett. В 1996. — 386. — p. 138 — 140.
  20. Jack I. and Jones D.R.T. Regularisation of supersymmetric theories// hep-ph 9 707 278.
  21. Jack I., Jones D.R. T. and North C. G. Scheme dependence and the NSVZ /^-function// Nucl. Phys. В 1997. — 486. — p. 479 — 499.
  22. Arkani-Hamed N. and Murayama H. Holomorphy, rescaling anomalies and exact beta functions in supersymmetric gauge theories// hep-th 9 707 133.
  23. Carlino G., Konishi K., Maggiore N. and Magnoli N. On the beta function in supersymmetric gauge theories// Phys. Lett. В 1999. — 455. -p. 171 — 178.
  24. А.А. Перенормировка суперсимметричной квантовой электродинамики// ТМФ 1975. — 23. — с. 3 — 10.
  25. Bakeyev T.D. and Slavnov A.A. Higher covariant derivative regulariza-tion revisited// Mod. Phys. Lett. A 1996. — 11. — p. 1539 — 1554.
  26. West P. Higher derivative regulation of supersymmetric theories// Nucl. Phys. В 1986. — 268. — p. 113 — 124.
  27. Pronin P.I. and Stepanyantz К. V. One-loop counterterms for higher derivative regularized Lagrangians// Phys. Lett. В 1997. — 414. — p. 117−122.
  28. Siegel W. Supersymmetric dimensional regularization via dimensional reduction// Phys. Lett. В 1979. — 84. — p. 193 — 196.
  29. Siegel W. Inconsistency of supersymmetric dimensional regularization// Phys. Lett. В 1980. — 94. — p. 37 — 40.
  30. Казаков Д И. К проблеме аксиальной аномалии в суперсимметричных калибровочных теориях// Письма в ЖЭТФ -1985. 41. — с. 272 — 275.31. t’Hooft G. and Veltman М. Regularization and renormalization of gauge fields// Nucl. Phys. В 1972. — 44. — p. 189 — 213.
  31. Slavnov A.A. Universal gauge invariant renormalization// Phys. Lett. В- 2001. 518. — p. 195 — 200.
  32. А.А. Независящая от регуляризации калибровочно-инвариантная перенормировка теории Янга-Миллса// ТМФ 2002.- 130. с. 3 — 14.
  33. А.А., Степаньянц К. В. Универсальная инвариантная перенормировка для суперсимметричных теорий// ТМФ 2003. — 135.- с. 265 279.
  34. Slavnov A.A. and Stepanyantz K.V. Universal invariant renormalization of super-symmetric Yang-Mills theory// hep-th 305 128.
  35. Piguet O., Sibold K. and Schweda M. General solution of the supersym-metry consistency conditions// Nucl. Phys. В 1980. — 174. — p. 183 -188.
  36. Piguet O. Supersymmetry, supercurrent and scale invariance// hep-th 9 611 003.
  37. Nicolai H. and Townsend P.K. Anomalies and supersymmetric regularization by dimensional reduction// Phys. Lett. В 1980. — 93. — p. Ill -115.
  38. П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию// М.: Мир- 1989. 328 с.
  39. Weinberg S. The quantum theory of fields. v.III. Supersymmetry// Cambridge university press 2000. — 419 p.
  40. Sohnius M.F. Introducing supersymmetry// Phys. Rep. 1985. — 128. -p. 39 — 204.
  41. Salam A. and Strathdee J. On superfields and Fermi-Bose symmetry// Phys. Rev. D 1975. — 11. — p. 1521 — 1535.
  42. Ferrara S. and Piguet O. Perturbation theory and renormalization of supersymmetric Yang-Mills theories// Nucl. Phys. В 1975. — 93. — p. 261 — 302.
  43. Grisaru M., Rocek M. and Siegel W. Improved methods for super-graphs// Nucl. Phys. В 1979. — 159. — p. 429 — 450.
  44. Ю., Беггер Даю. Суперсимметрия и супергравитация// М.: Мир- 1986. 179 с.
  45. М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля// Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 2001. — 784 с.
  46. К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля, т.1// М.: Мир -1984. 448 с.
  47. К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля, т.2// М.: Мир -1984. 400 с.
  48. Дж. Перенормировка// Новокузнецк.: Новокузнецкий физико-математический институт 2000. — 446 с.
  49. Stepanyantz К. V. Anomaly puzzle in N = 1 supersymmetric electrodynamics as artifact of dimensional reduction// hep-th 301 167.
  50. Capper D.M., Jones D.R. T. and van Nieuwenhuizen P. Regularization by dimensional reduction of supersymmetric and nonsupersymmetric gauge theories// Nucl. Phys. В 1980. — 167. — p. 479 — 499.
  51. Avdeev L. V., Chochia G.A. and Vladimirov A.A. On the scope of super-symmetric dimensional regularization// Phys. Lett. В 1981. — 105. — p. 272 — 274.
  52. Chanowitz M., Furman M. and Hinchliffe I. The axial current in dimensional regularization// Nucl. Phys. В 1979. — 159. — p. 225 — 243.
  53. Jones D.R.T. and Leveille J.P. Dimensional regularization and the two-loop axial anomaly in abelian, non-abelian and supersymmetric gauge theories// Nucl. Phys. В 1982. — 206. — p. 473 — 495.
  54. Townsend P.K. and van Nieuwenhuizen P. Dimensional regularization and supersymmetry at the two loop level// Phys. Rev. D 1979. — 20. -p. 1832 — 1838.
  55. Bertlmann R. Anomalies in quantum field theory// Clarendon press, Oxford 1996. — 566 p.
  56. А.А., Степаньянц К. В. Двухпетлевая /^-функция N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики, регуляризованной при помощи высших ковариантных производных// ТМФ 2002. -131. — с. 135 — 147.
  57. А.А., Степаньянц К. В. Двухпетлевая аномальная размерность N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики, регуляризованной при помощи высших ковариантных производных// ТМФ 2003. — 134. — с. 430 — 446.
  58. Soloshenko A.A. and Stepanyantz К. V. Three-loop /^-function for N = 1 supersymmetric electrodynamics, regularized by higher derivatives// hep-th 304 083.
  59. А.А., Степанъяпц К. В. Квантовые поправки в N = 1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными// Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. 2004. — 4.-е. 17 -20.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!