Динамика затухающих колебаний

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Динамика затухающих колебаний

Цель работы: исследование динамики затухающего колебательного движения на примере крутильного маятника, определение основных характеристик диссипативной системы.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер.

Применяемый в работе крутильный маятник (рис. 1) представляет собой диск 1, закрепленный на упругой стальной проволоке 2, свободный конец которой зажат в неподвижном кронштейне 3. На кронштейне расположено кольцо 4, масса которого известна. Кольцо 4 можно положить сверху на диск 1, изменив тем самым момент инерции маятника. На диске 1 установлен флажок, располагающийся под подставкой макета в ванночке с жидкостью. Поворачивая флажок, можно изменять момент сил сопротивления, действующих на маятник. Для отсчета значений угла поворота маятника служит градуированная шкала 5, помещенная на ободе диска 1.

Исследуемые закономерности

Крутильный маятник. При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, в результате деформации сдвига при закручивании подвеса возникает возвращающий момент упругих сил M = ?k?, где k — коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств материала подвеса, его размеров и формы,? — угол поворота. При малых углах поворота, без учета сил трения в подвесе, крутильные колебания маятника являются гармоническими, а уравнение движения тела имеет вид

и является уравнением движения осциллятора с затуханием. Колебания такого осциллятора уже не будут гармоническими. Коэффициент? = R/2I называют коэффициентом затухания. Если, движение крутильного маятника описывается уравнением затухающих колебаний

где - начальная амплитуда колебаний маятника, t = 1/b — время затухания, определяющее скорость убывания амплитуды A(t) маятника, численно равное времени, за которое амплитуда убывает в e раз (рис. 2), т. е.

Крутильный маятник как диссипативная система

Полная энергия колебаний маятника убывает со временем по закону

где - начальная энергия колебаний.

Убывание энергии происходит за счет совершения работы против сил трения. Энергия при этом превращается в тепло, идет процесс диссипации энергии. Скорость диссипации энергии (мощность потерь)

.

Помимо коэффициента затухания? (или времени затухания ?) и мощности потерь P_d колебательная диссипативная система характеризуется также добротностью Q, позволяющей судить о способности системы сохранять энергию. Добротность определяется отношением запасенной системой энергии к потерям энергии за время T/2? = 1/?. Легко видеть, что добротность

т.е. численно равна числу колебаний за время t = pt. За это время амплитуда колебаний уменьшается в e^p@23 раза, а энергия колебаний в e^2p@535 раз, иными словами, за это время колебания практически затухают.

В технике для характеристики колебательных систем с затуханием вводят декремент затухания (D), или его логарифм — логарифмический декремент затухания (d = lnD), определяя эти параметры через отношение амплитуд колебаний, соответствующих соседним периодам

или d = bT.

Задание по обработке результатов

1. Определяем по данным таблицы наблюдений периоды колебаний маятника.

;

Определяем по данным таблицы наблюдений частоты колебаний маятника.

;

Рассчитываем среднее значение по формуле

Рассчитываем среднее значение по формуле

Рассчитываем среднее значение по формуле

Рассчитываем среднее значение по формуле

Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.

Рассчитываем СКО по формуле

= 0,0115

Рассчитываем СКО среднего по формуле

0,005 © Расчет случайной погрешности по формуле

при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

Учитывая приборную погрешность, определяем

где ;

Ответ в округленной форме: при p = 95%

Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.

Рассчитываем СКО по формуле

= 0,0095

Рассчитываем СКО среднего по формуле

0,004 © Расчет случайной погрешности по формуле

при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

Учитывая приборную погрешность, определяем

где ;

Ответ в округленной форме: при p = 95%

Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.

Рассчитываем СКО по формуле

= 0,049

Рассчитываем СКО среднего по формуле

0,022 © Расчет случайной погрешности по формуле

при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

Учитывая приборную погрешность, определяем

где ;

Ответ в округленной форме: при p = 95%

Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.

Рассчитываем СКО по формуле

= 0,0198

Рассчитываем СКО среднего по формуле

0,009 © Расчет случайной погрешности по формуле

при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

Учитывая приборную погрешность, определяем

где ;

Ответ в округленной форме: при p = 95%

Определяем по данным таблицы наблюдений время затухания ? маятника и погрешность ?? при p = 95%.

Время затухания вычисляется по формуле

=ln

Рассчитываем среднее значение по формуле

Рассчитываем среднее значение по формуле

Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.

Рассчитываем СКО по формуле

? 0,138

Рассчитываем СКО среднего по формуле

Рассчитываем случайную погрешность по формуле

при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

Рассчитываем приборную погрешность:

Учитывая приборную погрешность, определяем

где

Ответ в округленной форме: при p=95%

Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.

Рассчитываем СКО по формуле

? 0,118

Рассчитываем СКО среднего по формуле

Рассчитываем случайную погрешность по формуле

при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

Рассчитываем приборную погрешность:

Учитывая приборную погрешность, определяем

где

Ответ в округленной форме: при p=95%

2. Определим собственную частоту колебаний гармонического осциллятора.

; ;

Вычислим доверительную погрешность

Формула

Таким образом,

Учитывая приборную погрешность, получаем:

Вычислим доверительную погрешность

Формула

Таким образом,

Учитывая приборную погрешность, получаем:

4. Определяем полную энергию, мощность потерь и добротность маятника, пользуясь соответствующими соотношениями

Определим момент инерции маятника.

;

Найдем коэффициент кручения материала подвеса

Определяем полную энергию, мощность потерь и добротность маятника, пользуясь соответствующими соотношениями.

Полная энергия:

Мощность потерь:

без кольца:

с кольцом:

Добротность маятника:

без кольца:

с кольцом:

Вывод

колебательный диссипативный маятник крутильный Выполнив данную лабораторную работу, мы провели исследование динамики колебательного движения крутильного маятника. Во время этого исследования экспериментальным путем был получен ряд данных, на основании которых мы рассчитали период колебаний маятника без кольца и с кольцом, время затухания маятника, собственную частоту его колебаний, коэффициент кручения, модуль сдвига материала подвеса, а также определили полную энергию, мощность потерь и добротность маятника. В процессе выполнения данной работы выяснилось, что колебательная система характеризуется достаточно малой потерей энергии и большой добротностью, что свидетельствует о хорошей способности системы сохранять энергию.