Численные решения задач оптимального управления для параболических и гиперболических уравнений

Теория оптимального управления систем с распределенными параметрами является одним из ведущих разделов теории оптимизации и имеет широкое приложение в различных областях практики.

Основными вопросами теории оптимального управления являются: исследование корректности решения рассматриваемых задач оптимального управления, установление необходимых и достаточных условий оптимальности и разработка численных методов для нахождения решения. Задачи оптимального управления с распределенными параметрами изучены в работах [б], [7], [ 9], [ 13], [.18], [ 19], [27], [28] и др.

В настоящее время мало разработаны численные методы решения задач оптимального управления систем с распределенными параметрами" В этом направлении о шеищ работы Б. М. Будака, Е.М.Бер-ковича, Е. Н. Соловьева, Ф. П. Васильева, В.П.1^ленко, Ю. М. Ермольева, М. М. Потапова, А. З. Ишмухаметова, Б. Ш. Мордуковича, Л. Д. Ивановича, A.A.Кулешова, В. Л. Дурковской, В. Л. Макарова, Ф. В. Лубышева, Т. Абдикеримова, Т. П. Евсеенко, Р. К. Тагиева, ([l]-l5], [э], [п], [12], [14] - [17], [20], [21], [23], [3l], [33] - [Зб], [40] -[42]) и др., где исследованы вопросы сходимости разностного метода и метода прямых нахождения решения задачи оптимального управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых уравнений в частных производных. Озметим, что разностные методы решения задач оптимального управления для дифференциальных уравнений в частных производных при наличии фазовых и интегральных ограничений исследованы сравнительно мало. В этом направлении ошетим работы М. М. Потапова [33] - [Зб],.

Л.Д.Ивановича [16], [17].

Б настоящей работе исследуются вопросы корректности и численного решения задач оптимального управления для параболических и гиперболических уравнений при наличии интегральных ограничений и с критерием качества, содержащим интегралы по границе области С1. Работа состоит из трех глав и двух дополнений. Третья глава является приложением.

Первая глава работы состоит из трех параграфов и посвящена задачам оптимального управления для параболических уравнений при наличии интегрального ограничения. В § I первой главы рассматривается следующая задача.

Пусть требуется минимизировать функционал т т о о ет о о при условиях г L^ п п «э? +, (*,{)€!2, (2) и з).

Ъи* 1 I -7−1.

I сс = СР I ОС =? ¦ ье^СП), 11Ы1 ет и (Л) 5 Ы*Л-Ь))ЫхсИ * | Г2(и (оЛ и (еу{-Ь))Ы{ * о }, (5).

00 о где Я, $, т > о, &, Д, * > ° «А + % * ° - заданные чиола-: хс (о, 6?, { € - ?,, (л «(о, т), ? Х/21 Со, Я), а € С С-О? — заданные функции своих аргументов, Я, (?) «~ заданные непрерывные выпуклые функции в областях Ел, а Е «соответственно, удовлетворяющие неравенс твам.

1де ас, а.,, , % >о — некоторые постоянные. Предполагается, чт®V Ф 0 .

Задачу о нахождении функции и («Д- 1>) из условий (2).

4) при заданном управлении ъ — ъ ОД ] с назовем редуцированной задачей,.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Решением редуцированной задачи (2) — (4), соответствующим управлению Ц СП), называется функция и = и (зс,-1−1>- 6, равная ^(эс.) при 1-о и удовлетворяющая интегральному товдеству.

— О, (6) о 0 ^ при V е аЛ°СШ .

Обозначим через.

V ={ = Ъ (*, 1) «¦V: 1Ы— г ¦ 1п11 ы ^ v. Ъ? V множество оптимальных управлений задачи (I) — (5).

Исследованы вопросы корректности постановки задачи (I).

5). Доказана следующая.

ТЕОРЕМА I, Множеотв®непусто, выпукло, замкнуто, ограниченно, любая минимизирующая последовательность функционала (>) слабо сходи тся к Ч/^ • Если и > о, то множес т-во V* состоит из единственной точки — С^-Ь) и.

Цехи где — любая минимизирующая последовательность,.

В § 2 первой главы построена неявная разностная схема для редуцированной задачи (2) — (4) при заданном управленииг (осД-) «доказаны устойчивость и сходимость полученной схемы.

На прямоугольнике XI вводится последовательность сеток ~, зо, Мк «и лл*1 простоты обозначается:

Заданные функции в задаче (2) — (4) аппроксимируются следующим образом.

I I у/ - ——, 1−57М > о где, 1, ;

Используя интегральное тождество (6), для редуцированной задачи (2) — (4) получена следующая неявная разностная схема:

— - (У,) + а' У.3 — V.', 1 = , — =.

1 осэс «с 0 ' '.

1 = 0, Н, (8).

О) Ш).

ТЕОРЕМА 2. Разностная схема (7) — (10) устойчива в норме (.й) и интерполяции ^дС^О^ «построенные по решениям схемы (7) — (10), сходятся сильно в 1 г (-0.») к решению и (ос,-О задачи (2) — (4), их производные ^^ ^ схо~.

1 /АЛ ^ дятоя слабо в в -¿-а:,^т соответственно, а интерполяции Уд (о, и э ЧдСЯД") сходятся сильно в 12(о, т) к и (оД) «соответственно при —>о .

В § 3 первой главы исследуется сходимость по функционалу разностной аппроксимации задачи оптимального управления (I) -(5).

Предполагается, что кроме перечисленных выше условий выполняется следующее условие: если последовательности функций ^м^ }, 1 ^ равномерно ограничены в и.

Г С*1 1 г (П т ((V 1 последовательности функций оо^ (*) ^ (I? }, (4)} «Э¹ (Л) ^ равномерно ограничены в то выполняются следующие неравенства.

IIЬ (V. с*,") — Е, 4 кл1 л, ,.

IР, (Л д>) — рг «*ЛII + где, К⁰- некоторые постоянные, не зависящие от п.

Для любого п. рассматривается задача минимизации функции 2 м з" ^ «км 1 при условиях (7) — (10) на множестве.

V]" Ы е1г (-а), II [уЩ^. Я,.

V" Iм.

Ь’Щ ^А'М^НК)] - т! Гг ^ < о ].

О -1 ' ^ = 1.

II).

12) где МГ + .

Ысп ¦> ния.

В задачах (I) — (5) и (II), (7) — (10), (12) введем обозначе.

V ^ ЗЫ, 1″ - Ч 1И (М], п-1,2,.

V ;

I т I.

О о.

Исоледуютоя вопросы корректное си постановки разнос гной задачи (II), (7) — (10), (12) при каждом фиксированном л, .

ТЕОРЕМА 3. Пусть множество непусто. Тогда множество V. непусто, выпукло, компактно. Любая минимизирующая по-г* следовательно ть [м]и £сходится к ,.

Если >о то множество V, состоит из единственной точки и.

1де tv1j — любая минимизирующая последовательность функционала на /к.

Предположим, что для каждого заданного к ^ 1 найдена приближенная нижняя грань функционала Х^СС^]") и полученное дискретное управление С VI, а V*., удовлетворяющее условию.

Ч4 ^ 0*414 Ч+ • (13) где ^ о и & о при л- —> со •.

I—•.

Определяется отображение Р^, действующее из в Ь-абй'), которое определяется следующим образом.

Р^СиЛ = Ч' при (Ч-иеХ}., , з-^Я .

Доказывается сходимооть решений аппроксимирующей задачи оптимального управления (II), (7) — (10), (12) к решению исходной задачи (I) — (5) по функционалу.

ТЕОРЕМ 4. Пусть V V 0 пр некотором > о и последовательность разбиений прямоугольника Л, такова, что lim = iim во, ?xvw — •=. О.

Тогда при достаточно больших п. множество V^ непусто и.

Jim I — К-> °° *.

Кроме того, еоли дискретные управления G ^ удовлетворяют условию (13), то последовательность является минимизирующей для задачи (I) — (5).

Вторая глава работы состоит из трех параграфов и посвящена задачам оптимального управления для гиперболических уравнений при наличии интегрального ограничения.

В § I второй главы рассматривается следующая задача. Пусть требуется минимизировать функционал т т ы — ?Д[и (оД-ъ)-4Ш]!au — IjuUi 1t т о о при условиях i^? +, с"," е II, (15) uLo'4eCac}' Ш^-о"⁷ ' (16).

— о, (17) ъл/Лъ^с*^ •• ^Lca), IMI ^я,.

1 L2 СП.) т т.

UCX^^W* + ^(МоД^Ц&^оЦбО Т л О ^ о о где Е Л, Т > о, р0,^, ^ ^ о «f0 + } ф о — заданные чио-ла, осеСоД), t€(o, t3) — |0, Q La (o, t) ,.

V (/2Чо, 0, ^ 12СоД), a e ССЛ) — заданные функции своих аргументов, ^ Cf) «- заданные непрерывные выпуклые функции в областях Е., и Е^Е,, соответственно, удовлетворяющие неравенствам где i, >о — постоянные. Предполагается, что V^ 0 .

Задачу о нахождении функции u. = u (=c, J: — ъ) из условий (15)-(17) пр заданном управлении назовем редуцированной задачей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Решением редуцированной задачи (15)-(17), соответствующим управлению 1> = ЬЫЛ) ^L2(il), называется функция u = € К/21 С-Л), равная Ч’оС*} при t — о и удовлетворяющая интегральному товдеству ет doz cli = о о с.

19) при = € СЛ) и .

Исследуются вопросы корректности постановки задачи (14)-(18). ТЕОРЕМА 5. Множество оптимальных управлений задачи.

14) — (18) непусто, выпукло, замкнуто, ограниченно, любая минимизирующая последовательность [ функционала олабо сходится к N4. Если и >о, то множество Л/^ состоит из единственной точки (эсД) и ч.

1де — любая минимизирующая последовательность.

В § 2 второй главы поотроена неявная разностная схема для редуцированной задачи (15) — (17) при заданном управлении «Ь—= е доказаны устойчивость и сходимость полученной схемы».

На прямоугольнике Л введем последовательность сеток V — -I. =^, Ьо/мл «т^т/м и для просто.

Н и ^ К ты обозначим N —, М —, , т = яг^ ,.

Заданные функции в задаче (15) — (17) аппроксимируются следующим образом.

V1 = —-, О о, л/, 3, нле 5 XX.:

Используя интегральное тождество (19), для редуцированной задачи (15) — (17) получена следующая неявная разностная схема:

20).

21).

1ТмГ7. (23).

ТЕОРЕМА 6. Разноотная схема (20) — (23) устойчива в норме к аС0.)и если —>о, при кд ->о, то интерполяции.

ЬсД]^ «построенные по решениям ^ ^ ^ схемы (20) — (23), сходятся сильно в к решению и с*, О задачи (15) — (17),.

V* их производные 4.

А ^ сходятйя слабо в 1а (-й) к чх соответственно, а интерполяции ч’Ло,*) ,.

X О X ¦ «сходятся сильно в 1-а (.о, т») к иСоД), и.(4,-и соответственно пр к, т -> о.

В § 3 второй главы исследуется сходимость по функционалу разностной аппроксимации задачи (14) — (18).

Предполагается, что кроме перечисленных выше условий выполняется следующее условие: если последовательности функций ^уД^ЛЛ равномерно ограничены в и последова тельное ти функция Ш^, ^(-ь)" 1-, {, (-и} равномерно ограничены в ЦСо. т), то выполняются следующие неравенства.

И" ?—Г11 Рг и1>, 5-и)|| «к,.

Щол? «цсод;

ЦС^Т) где к. л, кг >о — некоторые постоянные, не зависящие от п. Для любою VI рассматривается задача минимизации функции.

1к0лл)=ХМ-? У —^сТ Н" С ^ НмН^ при условиях (20) — (23) на множестве lLv3ll.

24) г (Л).

• Г л М.

0 ?-1 о.

25) где к — итЕ{г +1 [ш + (V;

МД) 0−1 1 г и ° 1 **).

В задачах (14) — (18) и (24), (20) — (23), (25) введем обозначения.

П «СП* ,.

1><�Л/.

1., ы? 1 (IV!), к-1,2,. ,.

П — ' ' VI ^КУк.

— 6.

V а>€ 1сй), II-и-К ^ Т Т 1 о о.

Предполагавгоя, что для каждого заданного к ^ найдена приближенная нижняя грань функционала и получены дискретные управления, удовлетворяющие условию.

I", 6 6 1к# + 6″, (26).

Где? ъ о, и? о при к оэ.

Определим отображение, действующее из в.

1^(11) следующим образом: у/ при, , ^М'М.

-?

— о > О.

ТЕОРЕМА 7. Пусть «V 0 при некотором £с последовательность разбиений прямоугольника 12 такова, что.

Л Л I у^.

Кю. N — - оо,^УЧА- -о. Тогда при достаточ.

С. «- — * но больших VI. множество V» непусто и — * .

УЛ. 1 т.

Кроме того, если дискретные управления е Л/уг удовлетворяют условию (26), то последовательность С^^и. «) является минимизирующей для задачи (14) — (18).

Третья глава работы состоит из двух параграфов и посвящена описанию алгоритмов и программы решения задачи оптимального управления для параболического и гиперболического уравнения при наличии квадратичного интегрального ограничения. Здесь же дан анализ численных расчетов по предложенным алгоритмам и программам.

В § I главы Ш рассматривается следующая задача. Пусть требуется минимизировать функционал:

7 т, А (ос-, л при условиях «Эй. ТГи.

I + (X. и. = ЪС*, 1), ОэсД) € Л.

1 т — о.

1<�эс.

— Х=о.

Эос О, ¦(: €(о, Т), на множестве.

Ст ъ-ъс^лу-ъ^ист, N1 о о о.

27).

28).

29).

30).

31) дде О^о — заданное число, 2 -^С^А) заданная функция,, {л С-Ь), оЦхД), С**) — заданные функции, удовлетворяющие условиям, наложенным на них в § I главы I.

Для учета интегрального ограничения вводится штрафная функция т Т п2.

00 где А^] - заданная положительная последовательность, Ак.

— оо при к. При каждом к «4,а, ••• минимизации функционала Ы = lw + p 00 ,.

К VC. 7 на множестве i>"LaCu), M. (зз) при условиях (28) — С 30)•.

Пусть ^.^k^J — последовательность, удовлетворяющая условиям где ф*= ?hI Ф"Ы. е, го, iim = о к т г к 'К «V-^oO ъеУ0.

Устанавливается, что последовательность олабо сходится в (SLl к множеству Vi. оптимальных управлений задачи (27) — (31) и '•К'1**") —, кроме того, если ci >о, то множество V* состоит из единственной точки % и сходи тоя в L1(il) к. Доказана дифференцируемое ть по Фреше функционала (32) в L^G-fr) и найдено выражение для его градиента.

ТЕОРЕМА 8. функционал (32) дифференцируем по Фреше в LJJV) и для его градиента справедливо выражение ф= + (34) тле — п>) — решение сопряженной к (32), (28) — (30), (33) задачи.

При каждом к ^ i для минимизации функционала применяв аррас сматривается задача.

32) оя метод проекции градиента. Далее описывается разностный аналог изложенного метода. Приводится описание программы изложенного алгоритма, составленной на языке Ф0РТРАН-1У. В конце параграфа приводятся результаты численных расчетов,.

В § 2 третьей главы рассматривается задача минимизации функционала (27) при условиях (15) — (17) на множестве (31), Для пр-ближенного решения этой задачи применяется метод штрафных функций, Приводится разностный аналог этого метода, описывается программа изложенного алгоритма и анализируются результаты численных расчетов.

В дополнении I приводится текст программы, описанной в § I главы Ш,.

В дополнении 2 прводится текст программы, описанной в § 2 главы Ш.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах С 42], [44] - [4б1 автора и доложено на семинарах кафедры оптимизаций и управления А1У им, С. М. Кирова, на У1, УП республиканских конференциях аспирантов вузов Азербайджана (1983 г., 1984 г,), на республиканской школе-семинаре молодых ученых Азербайджана по прикладной математике и кибернетике (1984 г,), на официальном тематическом семинаре ИК АН Азерб.ССР.

Пользуясь случаем, выражаю глубокую признательность моему научному руководителю, доктору физиконматематических наук, профессору Искендерову А. Д. за постановку задач и постоянную заботу и кандидат физико-математических наук Тагиеву Р. К, за помощь и внимание.

1. Абдикермов Т., Евоеенко Т. П. О приближенном решении задач оптимального управления методом прямых. — В сб.: Математические методы оптимального управления оиотемами в распределенными параметрами. Фрунзе, 1973, с.86−91.

2. Дудак Б. М., Беркович Е. М., Соловьева Е. Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления. -IBM и МФ, 1969, 9, № 3, с.522−547.

3. Дудак Б. М., Беркович Е. М. Об аппроксимации экстремальных задач. I, П. ЖШ и МФ, 1971, II, № 3, с.580−596- Я 4, с.870−884.

4. Дудак Б. М., Васильев Ф. П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления (тексты лекций). М., изд-во Московок. ун-та, 1975, 300 с.

5. Дурковская В. Л., Макаров В. Л, 0 применимости метода сеток и метода прямых к решению одного класса задач теории оптимального управления. ЖВМ и МФ, 1983, 23, № 4, с.798−805.

6. Дутковский А. Г, Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965, 474 о.

7. Дутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975, 568 с.

8. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.-M.îНаука, 1980, 518 с.

9. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981, 400 с.

10. Грунд Ф. Программирование на языке ФОРТРАН 1У. М.: Мир, 1967, 183 с. 11. 1^ленко В.П., Ермольев Ю. М. Конечно-разносшый метод в задачах оптимального управления с уравнениями Дарбу. В об.: Труды семинара «Теория оптимальных решений», вып.2, Киев, 1968.

11. Евсеенко Т. П. Приближенное решение задач оптимального управления методом прямых. В сб.: Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. Фрунзе, 1975, с.31−65.

12. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978, 463 с.

13. Ермольев Ю. М., 1^ленко В.П. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Кибернетика, 1967, № 3.

14. Ермольев Ю. М., 1^ленко В.П., Царенко Т. И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Киев: Наукова думка, 1978, 164 с.

15. Иванович Л. Д. Разностная аппроксимация и регуляризация задач об оптимальном нагреве стержня. Вестник Москов. ун-та., сер. вычисл. матем и киберн., 1982, № 3, с.10−15.

16. Иванович Л. Д. Разностная аппроксимация и регуляризация макси-минной задачи о нагреве стержня. Вестник Москов. ун-та, сер. вычислит.матем. и киберн., 1984, № 2, с.20−23.

17. Искендеров А. Д., Тагиев Р. К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения. Дифференц. уравнения, 1983, 19, № 8, с.1324−1334.

18. Иокендеров А. Д. О вариационных постановках многомерных обратных задач математической физики. ДАН СССР, 1984, 274, № 3, с.531−533.

19. Ишмухаметов Л. З. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления поперечными колебаниями стержня. Сб, «Вычислительные методы и программирование», НИВЦ. М.: Изд-во Московок, ун-та, 1983, вып.39, с.155−165.

20. Ишмухаметов А. З. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления гиперболической системой. Деп. в ВИНИТИ, 4588−83 Деп. с. 37.

21. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболических уравнений. М., Гостехиздат, 1953, 279 с.

22. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 о.

23. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

24. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с чаотными производными. М.: Мир, 1972, 412 с.

25. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975, 478 с.

26. Мак-Кракен, Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. М.: Мир, 1969, 582 с.

27. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983, 424 с.

28. Мордухович Б. Ш. 0 разностных аппроксимациях систем оптимального управления. Пркладная матем. и механика, 1978, 42,$ 3, с.431−440.

29. Тагиев Р. К., Мохаммад M.G. Разноотная аппроксимация задачи оптимального управления для гиперболического уравнения. Деп. Аз. НЙШШ № 98, Аз-Д.83, с. 28.

30. Юценко Е. Л., Небрат О. П., Переход И. А., К*ценко A.A. ФОРТРАН (Программированное учебное пособие). Киев, Вища школа, 1976, 327 о.

31. Мохаммад М. С. Разностный метод решения задачи оптимального управления для гиперболического уравнения. У1 республиканская научная конференция аспирантов Вузов Азербайджана, 1983, с.183−185.