Многие прикладные задачи требуют решения систем обыкновенных дилеренциальных уравнений следующих двух видов:
A (t) ' B (t)a>(t) +f (t), (I) и.
— oo 4 < c>0 / мтж. B (t)cc (t) + oC 4 Ъ 4 Je < cx=>. (2) oo.
При этом матрицы A (t) и В (t) могут оказаться прямоугольными. А если даже они квадратные, то матрица A (t) может быть особенной.
Дополнительные условия, налагаемые на искомые решения, часто допускают следующую запись: J> d S (s)] С (s) ce (s) =a, (3) cu.
ИЛИ 0 f[d S (s) ] С (s) A (s) x (s)= a, (4) где a — заданны! вектор, С (s) — заданная матрица с непрерывными наэлементами, S (s) — заданная матрица, элементы которой суть вещественные на [,?/3] функции с ограниченной полной вариацией (все остальные величины в (1)-(4) могут быть, вообще говоря, комплексными). Интеграл в. левых частях условий (3), (4) — это интеграл Стилтьеса. Смысл условий состоит в следующем: если С (s) — (cjr * п) — матрица с элементами (jT — число строк, п — число столбцов), {р*(]г) — матрица с элементами $??(3) «~ вектор размерности п с компонентами? K (s), ce — вектор размерности р с компонентами сс^, то равенство (3) есть система следующих р скалярных равенств .
.
5).
I = •.
Если же С (в) — (ср*т) — матрица с элементами (в), А (в)-(т х п) — матрица с элементами &-к£ (в), то подставляя в (5) вместо сск (в) сумму п,.
Е аке (я) гсе (в) и заменяя в (5) /г на/тг, получим систему равенств? сА т п J оС.
1> - р, эквивалентную условию (4).
Часто для задания условий в отдельных точках отрезка/^ в качестве функций (з) используются ступенчатые функции. В связи с этим напомним, что если функция У (в) — ступенчатая, т. е. Б = «$*0 —, а функция *P (s) — непрерывная, то сА d W (s)] т -(?0 — а) vw+ty 6) т. е. в этом случае интеграл Стилтьеса равен сумме №+1 слагаемых, каждое из которых есть произведение величины скачка функции WCs) на значение функции ^(s) в соответствующей точке S. (i= О, /,., Ж).
Очевидно, что постановки задач для уравнений (I), (2) должны быть сформулированы так, чтобы интегралы Стилтьеса (3), (4) на искомых решениях сс (s) существовали. По этой причине мы будем в случае услови (3) требовать непрерывность компонент ccfs), а в случае условия (4) — непрерывность компонент, А (в) сс fs).
Заметим еще, что системы (I), (2) являются разными, далее если матрица, А постоянна: в системе (I) оператор дифференцирования действует на компоненты вектора ас С$), а в системе (2) — на их линейные комбинации. Этим должно обусловиться различие постановок задач для систем (I) и (2).
Наша главная цель — поставить задачи для систем (I), (2) с условиями (3), (4), найти формулы общих решений поставленных задач, обсудить вопросы корректности и исследовать возможность применения разностных схем для приближенных вычислений. Этому посвящена большая часть диссертации. Теперь же, чтобы пояснить обозначения и немного обрисовать класс задач, которые приводят к необходимости решения систем (I), (2) с условиями (3), (4), рассмотрим ряд примеров. Пример I. Многоточечная краевая задача.
A cc (t) = 3 zc (i), oC С t ,.
7).
Z/ cc (sj) = a, s, < sz< .< S% =c/$.
0, — - постоянные матрицы) записывается в виде (I), (3), если в качестве матрицы С (д) взять непрерывную матрицу, которая на^ -м промежутке/"-, «^7/У определяется с помощью линейной интерполяции.
Si — s.
V V1 а в качестве матрицы 8(S) — диагональную матрицу с элементами.
0, S=oC>
1, г, sz.
8it (s) iTf, St-it=(/>>.
Отметим, что выбор способа интерполяции при получении матрицы C (S) не имеет значения. Важно лишь, чтобы матрица C (s) оказалась непрерывной и чтобы в точках сетки (? = /,., У) она совпадала с заданными значениями fy. Это следует из того, что в силу ступенчатого характера функций (8) и формулы (6) в сумме (5) будут присутствовать значения элементов матрицы C (S) лишь только в точках сетки Si (i =/,., t)..
Ясно, что в формулировке (7) содержится также и задача Коши с начальным условием.
СС (обJ = СС (9) чтобы ее получить, достаточно положить в (7) 2 = (Е — единичная матрица) и £>г = О (0 — нулевая матрица)). Однако задачу Коши можно записать и проще. Для этого в качестве матрицы С (в) нужно взять С (в) = Е, а в качестве матрицы 8 (в) — диагональную матрицу, все диагональные элементы которой равны ступенчатой функции.
О, Я, [ /, оС < в ¦.
При таком выборе 8(в) в силу формул (5), (6) /[с1ё (з)]ос (з) = х (&bdquo-с) об и поэтому условие (9) можно записать так: <0.
10) об см. (3)). Заметим, что ничто не мешает в условии (10) допустить равенство ^ =, т. е. рассмотреть задачу Коши для случая бесконечного промежутка й <с^>.
Пример 2. Пусть элементы матрицы 3(Ь) и компоненты векторасуммируемы (интегрируемы по Лебегу) на отрезке [оС,^], и пусть на отрезке [,?5] выделена система точек с^ =¦ ?0 < <. < =^/2). Поставим задачу определения вектора ссСй), компоненты которого абсолютно непрерывны на каждом из сегментов [, ¿-¿-^У* ¿-=оЖ-/, и который удовлетворяет почти всюду на [,?/5] системе, а в выделенных точках — условиям .
.
0 ¿-г (об) =, где <�®, , ?9- , — з£ заданные матрицы, а сс0, , ¿-гу — заданные векторы..
Заметим, что задача И. Тауфера [30], с. 28, при надлежащем выборе матриц и векторов может быть записана в виде (II), (12). Чтобы убедиться в этом, достаточно иметь в виду, что матрицы в условиях (12) необязательно квадратные. В нашей работе всюду предполагается, что если порядок матрицы или размерность вектора не указаны, то они безразличны или. легко определяются по порядкам и размерностям рядом стоящих матриц и векторов. Покажем, как свести задачу (II), (12) к виду (I),.
3)..
Запишем систему N одинаковых уравнений.
13) с Л неизвестными функциями сс- (Ь), 1 = 0,., Ж-/, и потребуем выполнения условий о Г.
14).
Очевидно, что на сегменте, ] функция хг- (Ь) (из решения задачи (13), (14)) совпадает с решением задачи (II), (12)..
Введем теперь векторы.
ССо (Ь) (№) а) ум ш и матрицы вт о в а)-о. о.
В (Ь).. о о о. В (ь)) сс= осл сс< о о о.
8(3) =.
Ъо М о о о о е, о о о о о о о.
0.. 0 ?) у у о.
8гСв) О.
0.
8: (Б) = где (в), 1 = 0,., N, суть ступенчатые функции г = /,. ^ м, & =.
Тогда задача (13), (14) запишется в виде (У = В (Ъ)+ оС 4 0 в) ] С (в) сс (в) ~ сс. оС ср. с (I), (3)). Возможен другой способ сведения задачи (II), (12) к задаче вида (I), (3). Этот способ связан с отображением отрезка [0,1] на отрезок [Ь^, ?? + 4] с помощью формулы Ь = (??^ - tj/) Г + t?, О < й. Получающаяся при этом задача (I), (3) оказывается даухточечной краевой задачей (см. 60], пример 4 во Введении)..
Рассмотренная задача является чрезвычайно общей. К необходимости ее решения приводят постановки многих прикладных задач и задач вычислительной математики (например, задач о расчете балки [30], с. 22, и задач о различных интерполяциях функций и решений дифференциальных уравнений)..
Рассмотрим, к примеру, задачу о проведении дважды непрерывно дифференцируемого векторного сплайна $ы (Ъ) третьей степени, определенного на сетке ^ = Ь0 < < • • • < ^ -и удовлетворяющего условиям /,., Ж, где азаданный вектор, А — заданная (для простоты постоянная) матрица, ??), г =/,., Ж , — значения заданной вектор-функции Ъ) в точках сетки, а^" (оС) и^) -значения вторых производных этой функции в точках оСть.^. Ясно, что решение рассматриваемой задачи эквивалентно решению задачи Коши.
А = а?(£)-/(£), об 41}.
С (оС) = СС методом сплайн-коллокации (об этом методе см., например, [13], с.284), а при, А — О, аг (оС) перечисленные выше условия приводят к интерполяционному сплайну (о таких сплайнах см., например, [1],[13]). Если теперь ввести обозначения = ??V, я:/ = ссг, сс^=сс3, сс'3 = сс4, то построение искомого сплайна сведется к решению системы хг (Ь), сс4, сс'4 (?) = о.
15) с условиями.
С, (сС) = 6С, А СС" (*С) = (<*) > я^) -/" (/), А (¿-г) = (16).
Очевидно, что при надлежащем выборе векторов и матриц задача (15), (16) запишется в виде (II), (12). Условия разрешимости этой задачи могут быть выяснены с помощью результатов, изложенных в диссертации..
Пример 3. Рассмотрим систему с запаздыванием.
А сЬ (Ь) = 3, сс^) + В2 я (¿—г),.
17).
V = сопв£ >0, оС + Т? = + Жт, где N>2 — целое число,.
СС (й)=<�Р№, аС^Ь^об+Т у (18).
— заданная функция, А, В< и В2 — заданные постоянные матрицы..
Ставится задача определения решения системы (17), непрерывного в точках + ?V (?=/,.. ., Ж~ /У, непрерывно дифференцируемого в остальных точках отрезка [&-С + ъ] и удовлетворяющего условию (18) с непрерывной функцией ^(Ь)..
Покажем, что эта задача также может быть записана в виде (I), (3)..
Введем обозначение = сс (? + I ?), об ^ t < оС + Т, Ж-Г, где сс (й) — решение задачи (17), (18)..
Легко видеть, что функции сСг (£) удовлетворяют системе.
А сс, (V = В, ос,(Ь) + В2, а?, (об) = + Г),.
А (Ь) = В1 ссг + В2 сс, (?),.
СС2 (об) = СС1 (об + Т),.
1{ 7 (20) вг а^ (?), оС) = сс&bdquo-2 (оС + Т), об ^? + г..
Обратно, если функции удовлетворяют системе (20), то можно показать, что вектор-функция ас (, составленная из ^¿-(б} по формуле (19), удовлетворяет системе (17), (18). Таким образом, задачи (17), (18) и (20) эквивалентны..
Если теперь надлежащим образом ввести векторы и матрицы, то на отрезке [оС, с? С система (20) запишется в виде.
I), (3) (см. об этом [60], с.15)..
Отметим, что запись краевых и других условий в виде интеграла Стилтьеса не только удобна, но и дает основание считать задачи с условиями (3), (4) родственными в том смысле, что с точки зрения способов их решения они неразличимы. Аналогичная запись условий применяется в статье [32]..
Дальнейшие примеры призваны показать, когда приходится рассматривать системы (I), (2) с прямоугольными или особенными матрицами..
Пример 4. Большой класс систем типа (I) с особенной матрицей, А возникает при применении метода сферических гармоник к решению задачи переноса нейтронов гш+^-т-/ <*г'+/- (21) о 4 ж /, 8 — +.
С о.
У (о,{и)=0, (22).
Метод сферических гармоник состоит в том, что для искомой функции У сначала выписывается разложение.
С^О —7 /и) — Е У^Г1% (23) гд&Рк ((и.) — полиномы Лежандра. Затем это разложение подставляется в уравнение (21), предварительно умноженное на 1/(2 ш +1)/2 Рт (¡-и,), и результат подстановки интегрируется по (и, в пределах отI до I. При этом с учетом соотношений ортогональности и некоторых тождеств, справедливых для полиномов Лежандра, для коэффициентов разложения (23) получается бесконечная система.
У (2т-1)(2т+1} ¿-я ]/'(2тИ)(2т+з) ¿-¿-сс + (24) где.
0 [о, ШФО, т 11, т=о..
Далее в системе (24) ограничиваются первыми N +1 уравнениями и полагают У/ы+1 = ^ =.. = ?7. Получающаяся при этом конечная система называется Рприближением бесконечной системы (24). Нетрудно показать, что матрица при производных в этой системе неособенная при Ж нечетном и особенна при Ж четном. Подробное изложение метода сферических гармоник имеется в книгах [22],[27]..
Пример 5. Академик Н. Н. Яненко обратил мое внимание на то, что изучение систем вида (I), (2) полезно в связи с системой линеаризованных нестационарных уравнений Навье-Стокса.
— А У = - р, а?? г? гг = о, У / =: (¿-=о если применить к (25) метод Фурье, т. е. подставить в систему (25) ряды.
-Л) V-, ,, а?3, ъ- = Ь (?) е к р (ее 1, сс2, сс3, = ?7 рк (6) е я, = Е/к (?) к х,, яс2, сс3) = П е К.
К, я) где к, ос) —? ^ ж, + г сс2 + ь? ос3. лярное произведение векторов.
— эрмитово скак сс =.
Iмнимая единица,, ?2, пробегают множество целых чисел, то относительно коэффициентов Фурье гг, /юк получится система обыкновенных дифференциальных уравнений яГг?.
О = -, к) с начальными данными в которой (к, к) и (ггк, к) произведения трехмерных векторов е. кV 4.
26).
27).
28) суть эрмитовы скалярные.
1К г? г к г? зк.
Легко видеть, что матрица при производных в системе (26), (27) является особенной..
Заме титл, что если еще заданы какие-нибудь граничные условия, то к-системе (26), (27) присоединяются дополнительные алгебраические соотношения (между компонентами неизвестных), причем системы (26), (27) при различных к, вообще говоря, связываются друг с другом и получается система с прямоугольными матрицами коэффициентов. В последней главе к этой системе мы еще вернемся..
Пример 6. Рассмотрим модельную задачу фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил [15] Пусть ?9 — плоская односвязная область с границей Г. Задача состоит в том, чтобы в цилиндре О, = {?д*[О^ Т']} с боковой поверхностью 3 = ]} найти решение системы.
1 о>и?.
Эи1 ^ 9 и at Л, А и,, А, уО,.
29) s>t удовлетворяющее тем или иным начальным и граничным-.условиям..
Если Ли Я2 постоянны, то также, как и в предыдущем примере, системе (29) можно поставить в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Л. сМ и<, К и.
2, К/.
-А, (к, к) о оя2(к, к).
1,К.
2, К..
К, К) = + и.
30) с особенной матрицей при производных (см.(I))..
Часто считают, что замена 2. К=и1 -и2 } (р=71ги^ + Л, 2 и2 приводит систему (29) к двум независимым уравнениям относительно К и. Однако такая замена, по крайней мере, предполагает, что матрица коэффициентов левой части системы (29) находится справа от оператора дифференцирования и, как следствие, в отличие от (30) образ Фурье системы имеет вид 1 и сИ.
1С и г, к.
-Л, (К, К) О окг (к, к) I и и2, К.
1,К.
31).
1л к, ср. с (2))..
Отметим еще, что к системам типа (I), (2) приводит также метод прямых, примененный к системе (29) в том варианте, когда правая часть системы аппроксимируется конечно-разностным выражением, а. левая часть не меняется. Разумеется, это замечание справедливо и относительно системы (25). Вопросы корректной постановки граничных и начальных условий могут быть разрешены с помощью результатов этой диссертации..
Пример 7. В теории автоматического регулирования большое значение имеет система вида а?, (Ь) = А (Ь) х, ($) + В2 (Ь) сс2 ($), я, (?) = Я, сс, ($) яг (Ь)..
32).
33).
Здесь сс^А) — вектор, определяющий состояние физической системы в момент времени $ - сс2 (Ъ) — вектор управляющих переменных, сс3 (й) — вектор выходных переменныхВ1, В2, , -известные матрицы..
Систему (32), (33) можно записать по-разному в зависимости от того, что известно и что неизвестно. Если, например, входная переменная ¿-^известна, а состояние СС^ и выходная переменная неизвестны, то система запишется так: где, А = 5 =.
В, о /В, х, А.
Все другие комбинации также приводят к (34), так что системы автоматического регулирования (32),(33) — это системы типа (2). Примеры применения результатов данной работы к решению задач об управляемости и наблюдаемости систем (32),(33) тлеются в монографии [60]..
Пример 8. Системы типа (I) ,(2) возникают также при анализе. линейных электрических цепей. Дело в том, что уравнения, описывающие электрическую цепь выводятся на основании двух законов Кирхгофа для токов и напряжений, из которых первый дает линейные алгебраические связи между токами, а второй. линейные интегродифференциальные связи мевду токами и напряжениями. На этот счет в [60] рассмотрен один пример..
Пример 9. Системы с ограничениями в виде неравенств, рассматриваемые, например, в теории оптимального управления, могут быть записаны как системы с особенной матрицей при производных. Правда, эти системы оказываются нелинейными. И хотя эта диссертация посвящена только. линейным уравнениям, имею- ¦ ся уже соображения и о способах решения нелинейных вырожденных систем. Эти соображения навеяны, естественно, линейной теорией..
Приведем простейший пример..
В системе ее = Лсс +^, сс <> О заменил неравенство на равенство «введя новую неизвестную^. Тогда для системы (35) выписывается эквивалентная система.
Следующая серия примеров показывает, как системы типа (I), (2) возникают в самой математике..
Пример 10. Введем обозначения сс0 сс,=сс, ссг=а? Тогда уравнение второго порядка асс +всс +ссс представится системой сС I i о.
0 10 О 01.
0 10 О О 1 -св -а !х0 / * 0 ос*-, типа (2) (но не (I)!)..
Пример II. Решения так называемых «жестких» систем вдали от начальной точки ведут себя как решения систем с выч рожденной матрицей при производных. Это показано, например, в монографии [60]. Поэтому анализ и построение численных алгоритмов для решения «жестких» систем могут базироваться на развитой в следующих главах теории (о «жестких» системах можно прочитать, например, в [3],[23]). Обратно, методы решения «жестких» систем применимы также и для решения систем с вырожденной матрицей при производных, как это показано в монографии [60]. Дело в том, что решение системы при определенных условиях мало отличается от решения системы.
А-%В)а-'= Всс +, когда Т>0 мало (см. об этом подробные исследования в [60], с.103−128, 166−170)..
Отметим еще, что при исследовании и решении систем с малым параметром при производной оо, — Вих, + В12 ср2, ~ СХ?^ + В22 часто полезно предварительно рассмотреть свойства предельной системы (3 = О) Д = В,.
11 в.
12.
21 + Вгг •.
Пример 12. Задачу численного дифференцирования функции^ можно свести к задаче численного решения системы 1.
О О 2 о о' типа (I)..
На этом завершим список примеров. Нетрудно быть уверенным в том, что этот список может быть продолжен. Но уже этот небольшой список позволяет судить о важности изучения систем вида (I),(2) и разработки численных методов для их решения. В. литературе (см., например, [4]) есть свидетельства о малой изученности методов интегрирования алгебро-дифференциальных уравнений, к которым сводится моделирование переходных процессов в устройствах автоматического управления и в сложных электронных или электроэнергетических системах. В упомянутой работе предлагается метод решения нелинейных алгебро-дифференциальных систем, состоящий в сведении исходной системы к системе, тлеющей форму Коши, но обоснования метода не приводится. В беседе с моим сотрудником В. Ф. Чистяковым выяснилось, что в случае систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами этот метод дает решение только в том случае, если каноническая форма (см. 8], с.331) пары матриц системы не содержит нилъпотентных блоков типа Н^, имеющих порядок выше второго..
Настоящая диссертация является плодом размышлений о том, кап строить численные (в том числе разностные и основанные на расщеплении [40]) методы решения систем вида (I) и (2), частным случаем которых являются алгебро-дифференциальные системы. При этом оказалось, что теория талих систем для целей конструирования численных алгоритмов недостаточно разработана. В предлагаемой диссертации дается вариант такой теории, основанный на использовании различных обобщенных обратных матриц. Автор лелеет надежду, что ему удалось описать весь класс уравнений (I), (2), которые допускают явное представление решения, и указать путь конструирования численных алгоритмов..
Понятно, что в случае постоянных матриц, А и В теория систем (I), (2) может быть легко построена на основании приводимости произвольного пучка матриц к каноническому виду Кро-некера — Вейерштрасса (см., например,[8]). Но эта теория не будет конструктивной (как это понимается в современной вычислительной математике).
Наш путь использования различных обобщенных обращений особенных и прямоугольных матриц позволяет сводить системы (I),(2) к системам с единичной матрицей цри производных (для таких систем в настоящее время имеется весьма полная теория)..
Насколько известно автору, литература, посвященная изучению систем вида (1),(2) с произвольными матрицами, в настоящее время невелика. Конечно, это заявление не относится к случаю различных сингулярностей, связанных с вырождением коэффициентов в отдельных изолированных точках: литература по этим вопросам весьма обширна, а история изучения случаев вырождения в изолированных точках чрезвычайно продолжительна. Но моя диссертация этому не посвящена. В ней речь идет о системах, пара матриц (А, В) которых имеет постоянную каноническую структуру на всем промежутке, на котором ведется исследование или решение системы, хотя результаты оказывается иногда применимы и для случая вырождения в точке..
Среди работ, так или иначе связанных с постоянством структуры пары матриц (А, В), прежде всего отметим книгу Ф.Р.Гант-махера[8], в которой на основании теории элементарных делителей для случая постоянных матриц построено общее решение системы (I). Системам типа (I) с переменными матрицами посвящены следующие работы..
В статье [44] рассматривается система, А (#) в которой, В (£), ^(?) — голоморфны, и исследуются алгоритмы понижения порядка этой системы. Показывается, что в области, в которой det, А () = О, решение системы — либо алгеброидная функция либо фундаментальная система решений определяется системой меньшего порядка, чем исходная. .
.
В работе Ю. Д. Шлапака [38] рассматривается система Р (?)х = А (Ь)яс, где Р (Ъ), А (Ь) являются периодическими, а матрица Р (Ь) имеет неизменную структуру по нулям для Ь € (-0°,). Доказывается, что исходную систему невырожденной заменой переменных можно привести к виду.
R =.
Ро у д.
В о с? ?7 к / где.
5,.?? 5 АI.
6} - 0 или I для всех t е (- <=><=>, ^^) ..
В статье [39] того же автора рассматривается тот же вопрос и даются признаки, когда матрица Р (Ь) имеет неизменную структуру при всех t е (- ,) ..
В работе В. А. Еременко [12] рассматривается система.
P (t)x = А (Ь)сс +J (t), в которой Р, А, J — также периодические, причем tccnk Р (Ь) не зависит от t, и доказывается, что существует ортогональная матрица V такая, что 2?'РТУ — ^^ ^ при всех.
Ь е.), и даются достаточные условия для того, чтобы порядок системы в, 7 й полученной из исходной после подстановки «2* -, можно было понизить так, чтобы система меньшего порядка обладала теми же свойствами, что и исходная система, или матрица при производных в ней была неособенной.
В работе [46] с точки зрения обобщенной задачи на собственные значения Л, А и = В и исследуется однородная система, А X' =Вх..
В статье В. П. Скрипника [26] изучается система (А ос)' = В (Ь) ее у, ее (О) = сса, t е [а, в], в которой, А — постоянная симметричная (?гхп)-матрица ранга п — /. При некоторых предположениях о спектре симметричной части матрицы, в частности, обеспечивающих неособенность В (й)-> доказывается существование решения исследуемой системы (решение определяется особым образом). Далее рассматривается система, зависящая от малого параметра 8 и формулируются условия, при которых решение системы при <5 —- О стремится к решению вырожденной системы. Из перечисленных выше работ эта работа больше всего примыкает к нашим исследованиям: это так называемый регулярный случай (в главе 5 он подробно рассмотрен при значительно менее жестких ограничениях)..
Отношение к нашей работе имеет также статья [41], в которой для решения системы (I) применяется обратная матрица Дразина [43] к матрице А, но лишь в случае системы с постоянными (квадратными) матрицами, приводимой, как легко показать к регулярной системе. л*.
В предлагаемой диссертации обратная матрица Дразина, А считается ассоциированной с единичной матрицей Е, что приводит к обобщению: вместо матрицы Л? применяется матрица.
А = (В'АГ В', где В — некоторая полуобратная матрица к матрице В, и это позволяет получить общие результаты относительно систем (I), (2) с переменными и прямоугольными матрицами..
Следующая группа статей выполнена моими сотрудниками, с которыми я бок о бок работалили работаю на протяжении ряда лет. Некоторые из этих статей написаны в соавторстве со мной..
Прежде всего отметим статью Ю. Е. Бояринцеваи В.М.Корсуко-ва [47], содержащую обоснование неявного метода Эйлера для численного решения системы (I) в случае, когда для некоторого с det (А-сВ)ф О, а матрицы, А и В постоянны. Отметим еще работу тех же авторов [48], в которой для решения системы (I) (с произвольными постоянными матрицами, А и В) использована, как ив [41], обратная матрица Дразина [43] и получены более общие результаты, чем результаты работы [41]..
Статьи В. Ф. Чистякова [35]-[37] посвящены различным аспектам приближенного решения системы (I). В статье [35] показывается, что. если каноническая форма пучка Ah-B не содержит нильпотентных блоков в матрице А, то существует константа К такая, что из неравенства ЦАсс?-Вссе -?f Ц* <8 следует неравенство Цссе — сс*Ц2 < К£, где ¿-с* - некоторое решение системы (I) с постоянными матрицами (?г^и х* удовлетворяют одному и тому же начальному условию). Исследуется один вариант градиентного спуска..
Работа [36] посвящена изучению метода исключения для решения системы (I) с постоянными {тт)-матрицами А, В. Здесь исследуется вопрос о понижении порядка системы и доказывается, что если т=п и существует X такое, что det (А Л — В) Ф О, то общее решение системы записывается в виде ccfu) = Ф (Ь)+ V (tj, где Ф (tj — (т*£) — матрица,^ - произвольный постоянный вектор, а — степень многочлена det (А, А — В) Кроме того, показывается, что равенство kez (A7laВ)=0 влечет отсутствие произвольных функций в общем решении..
Работа [37] содержит исследования системы (I) с переменными матрицами. В ней показывается, что если tcenfe A (t) = = const = k и для некоторой точки t0 степень многочлена det [A (ta) Л — В (tQ)] равна k, то существует окрестность точки tQ, на которой решение системы существует и имеет вид &-(Ь) — ф (1))0/Ь +, где0-вектор произвольных постоянных, а (п*Ь) — матрица. Кроме того, даются условия, при которых из малости невязки следует, что отклонение приближенного решения от точного мало и в этой части работа [37] примыкает к работе [35]..
В статьях Ю. Е. Бояринцева и В. А. Данилова [49], [50] исследовалась возможность понижения порядков алгебраических систем вида сс = А сс. Впоследствие было понято [60], что рассмотренные в этих статьях алгоритмы, тесно связаны со свойствами обратных матриц Дразина, а это позволило сформулировать алгоритмы понижения порядков также и для вырожденных дифференциальных систем, имеющих вид, А сс = сс (см. [60], с.52−55, 100−101)..
В связи с разработками пакета программ опубликованы статьи [51](Ю.Е.Бояринцева А.А.Логинов) и [52](Ю.Е.Бояринцев, А. А. Логинов, В.Ф.Чистяков)..
Что касается различных обобщенных обратных матриц, которые широко используются в диссертации, то здесь можно было бы представить чрезвычайно большой список. Упомянем лишь книгу [45], в которой приведена обширная библиография, а также книгу С. Л. Соболева [28], первая глава которой посвящена полуобратным матрицам..
Предлагаемая вниманию диссертация написана по материалам работ [53]-[64]. Она является итогом моих собственных исследований. Результаты совместных работ в ней не излагаются. Необходимые заимствования из других источников отмечены ссылками и приводятся без доказательства (за исключением тех редких случаев, когда доказательства были мной придуманы в процессе написания диссертации)..
Несмотря на то, что диссертация написана на основе материалов монографии [60], от указанной монографии она резко отличается: в диссертацию введено значительное количество новых результатов и, вместе с тем, некоторые результаты из монографии [60] в диссертацию вообще не вошли (в частности, ради экономии места опущено описание метода возмущении [60], с.103−128- этот метод в [60] описан достаточно подробно). Кроме того, изменен сам стиль изложения: алгебраические, дифференциальные и разностные уравнения рассматриваются с общих позиций..
Диссертация состоит из настоящего введения и из шести глав..
Первая глава самая большая по объему. И это не случайно: в ней подробно изложены почти все основные идеи, на основании которых, строятся обшде решения вырожденных систем дифференциальных и разнос’тных уравнений и приведены необходимые для этого результаты исследований различных свойств обобщенных обратных матриц..
Основной результат этой главы состоит в том, что системы вида.
А АхВое, А (Аос) = Всс, (36) в которых А, В — прямоугольные матрицы, а Л — число либо дифференциальный или разностный оператор, с помощью обобщенных обратных матриц могут быть сведены к другим (эквивалентным) системам, решения и условия совместности которых при определенных условиях выписываются явно..
Чтобы эти условия представить компактно, в главе I вводится ряд полезных понятий. А именно, даются определения тО.
I вполне совершенной пары матриц,.
2° совершенной пары матриц,.
3° полусовершенной пары матриц и 0.
4° разрешающей пары матриц (А, Y), соответствующей данной паре матриц (А, В)..
Вполне совершенная пара матриц (А.В) по определению обладает тем свойством, что матричное уравнение АХ = В разрешимо относительно X, В главе I показано, что решение первой. из систем (36) (и, в частности, системы (I)) легко представляется в явном виде, если пара матриц (А, В) вполне совершенна, и приведен алгоритм, с помощью которого первой из систем (36) можно поставить в соответствие эквивалентную систему, пара матриц (А.В) которой вполне совершенна..
Совершенство и полусовершенетво пары матриц — более сложные понятия. Наличие этих свойств у пары матриц также приводят к явным решениям. В случае постоянства матриц А, В совершенство пары (А, В) эквивалентно выполнению при всех комплексных об неравенства varnk, А > -zank (В-оСА), а полусовершенство означает, что в каноническом представлении пары матриц (А.В) матрица, А не содержит нильпотентных блоков порядка выше первого..
Понятие разрешающей пары матриц возникло в результате попытки обобщить определение обратной матрицы Дразина на слу чай прямоугольных матриц. В разрешающей паре матриц (А, Y), соответствующей паре матриц (А, В), матрица У является решением системы.
E-BY)(AY)*~o, (YA)ss (E-YB)=o, (37).
BYB =В, л 3 а матрица, А определяется по формуле.
A°-(YAf7, где (YA)*- обратная матрица Дразина [43] к матрице JA. в %.
Очевидно, что если В-Е, то, А = А. Использование разрешающей пары матриц позволило свести системы (36) к таким эквивалентным системам, анализ которых дает возможность выделить из всех дифференциальных и разностных систем те системы, которые допускают простое явное решение, и выписать для них условия совместности. Кроме того, применение разрешающей пары матриц позволило понять, что такое регулярные системы (см. гл.5). В главе I для подготовки к изучению регулярных систем приводится ряд признаков, наличие которых обеспечивает существование такого числа Я, при котором c? e/ (3-АА) = 0 ¦.
Отметим еще, что для доказательства конструктивности построений, связанных с разрешающей парой, в § 16 главы I приводится и подробно обосновывается алгоритм получения разрешающей пары в случае, если пара матриц (В, А) является совершенной..
Глава 2 посвящена постановке шести задач (задачи I-УТ).которые решаются в следующих главах. При этом три из них (задачи 1У-У1) ставятся для систем (I), (2), пара матриц которых обладает одним из так называемых свойств Q. В § I главы 2 на этот счет дается три определения (свойство Q, левое свойство Q и правое свойство Q). Наличие свойства Q позволяет, как это показано в следующих главах, выписать явные формулы для общих решений задач 1У-У1..
В § 2 главы 2 дается одно из возможных описаний множества пар матриц, обладающих тем или иным свойством ?2. Б частности, пары постоянных матриц обладают всеми свойствами Q. Что касается переменных пар матриц, то для этого в § 2 даны некоторые достаточные условия..
В § 3 сформулированы разностные аналоги задач 1-У1 (задачи и определений свойств О..
В главе 3 даются решения первых трех из поставленных в главе 2 задач. Формулируются и доказываются теоремы о существовании и единственности решений и приводятся формулы общих решений как в дифференциальной, так и разностной постановках. При этом для решения задач I и 1| в случае постоянных матриц наряду с общим способом рассматривается способ решения, основанный на использовании понятия вполне совершенной пары матриц..
Разностные уравнения рассматриваются только в связи с неявной (двухточечной) схемой Эйлера. Однако показывается, что в случае постоянных коэффициентов для исследования многоточечных разностных схем могут быть использованы формулы В. С. Рябенького [24]..
В этой главе вводятся также важные определения совершенных (справа, слева) троек переменных матриц. Отмечается, что если тройка матриц (А, В, С), присутствующих в формулировках задач 1-Ш, обладает соответствующим свойством совершенства, то формулы общих решений, а также теоремы о существовании и единственности, значительно упрощаются. В § 5 даются некоторые необходимые, достаточные, а также необходимые и достаточные условия совершенства (справа, слева) тройки переменных матриц. В заключение главы 3 (§ 6) отмечается (со ссылкой на монографию [60], см. дополнение), что решение задач 1-Ш упрощается также в том случае, когда пара матриц (А, В) является полусовершенной и вводятся соответствующие определения..
Глава 4 содержит решения задач 1У-У1. Здесь строятся формулы общих решений задач 1У-У1 и доказываются теоремы о существовании и единственности. Как и в предыдущей главе, все изложение опирается на результаты главы I. Относительно разностных задач В^-УД^ отмечается, что прямое перенесение результатов о дифференциальных задачах на разностные задачи, вообще говоря, невозможно. Например, для неявной схемы Эйлера и задачи 1Удэто возможно лишь в том случае, если индекс матрицы УА не превосходит единицы, где V — матрица из разре шающей пары (А, У)..
Для случаев, когда это возможно, в § 5 главы 4 даны соответствующие решения..
Главным в содержании главы 5 являются определения регулярности пары матриц. Здесь сформулировано три определения (регулярности пары матриц, регулярности ее слева или справа). Грубо говоря, регулярность (слева, справа) означает, что существует такое число /I, при котором о? е? (В-ЛА) Ф о, причем пара матриц (А, В — Л А) обладает соответствующим свойством слева, справа). Строгие определения даны в § I главы 5..
Далее даны решения задач 1У-У1, теоремы существования и единственности, а также оценки норм решений задач 1У-У1Д в регулярном случае..
В § 7 этой главы изучаются особенности применения неявной схемы Эйлера для решения задач 1У-У1 с регулярной парой матриц. Здесь показывается, что разностное решение задачи Коши сходится к точному решению, вообще говоря, неравномерно: если индекс матрицы УА, где V — матрица из разрешающей пары матриц (к 7)9 больше единицы, то в любой окрестности начальной точки отклонение точного решения задачи Коши от её разностного решения при измельчении шага сетки стремится к бесконечности..
В главе 6 на основании результатов, изложенных в предыдущих главах, строятся основы теории устойчивости дифференциальных и разностных систем линейных уравнений с вырожденной или прямоуголь ной матрицей при производных. Результаты этой главы удалось получить путём обобщения энергетического тождества А. А. Самарекого (см. [25], с. 359, [65], с. 109) и распространения метода А. М. Ляпунова [66] на случай систем вида /x~x-rf с вырожденной матрицей А. Возможности применения построенной теории демонстрируются на практически важных примерах..
Актуальность темы
диссертации определяется потребностью практики в решении и исследовании алгебро-дифференциальных систем, например, электроэнергетических..
7°.
Целью работы является]выяснение структуры и постраение формул общих решений систем (I), (22°изучение вопросов корректной пос тановки краевых задач с условиями (3), (4) и исследование возможностей применения разностных схем для их приближённого решения..
Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней на основе систематического использования различных обобщённых обратных матриц строится новый, весьма общий и конструктивный аппарат для решения, исследования и построения основ теории устойчивости систем вида (I], (2) и их разностных аппроксимаций. Попутно, в связи с изучением пар матриц (А В) из (I) и (2), получаются новые результаты относительно обобщённых обратных матриц..
Теоретическая и практическая ценность работы может быть определена тем, что представленные в ней теоретические результаты открывают перспективу для разработок численных в том числе, разностных методов решения систем (I), (2). Результаты диссертации уже позволили создать первый вариант пакета программ 31 N0&-Е для решения задач типа Ш, (3) и (2), (4). Межведомственная ко-мисия, действовавшая на основании распоряжения Президиума СО АН СССР, N-15 000 — 1075 от 05.12.82, 27 декабря 1982 г. признала пакет 5. Г МОЙ? годным к эксплуатации и рекомендовала его к сдаче в программную часть Г0СФАП. Пакет создан сотрудником лаборатории вычислительной математики Иркутского ВЦ СО АН СССР А. А. Логиновым при участии В. Ф. Чистякова..
Отметим также, что в диссертации содержатся все предпосылки для качественного исследования систем (I), (3)..
Условимся теперь в ряде обозначений. В качестве отрезка, на котором ищется решение, примем отрезок [0,1]. Множество суммируемых, непрерывных, абсолютно непрерывных на ?0,1] функций будем обозначать соответственно через 21, и (К. Если МЬУ матрица в частности, вектор, то включения М. будут обозначать, что все элементы матрицы -//принадлежат соответ ственно 2. ОЪ. Буквой Ь всюду в дальнейшем обозначается единичная матрица подходящего порядка (например, если.
М И N матрицы соответственно с размерами (пг хц) и (/гх/п), то в выражении ЕЛЦ[ матрица В есть единичная матрица порядка щ, а в выражении Е — ММ — единичная матрица порядка П. В указателе размеров (т число «строк матрицы, /1- число столбцов..
Используются также обозначения: А4- сопряженная матрица к матрице А, Кк’ь, А — ядро матрицы А, т. е. множество решений системы Ах-0 «Зт, А * образ матрицы А, т. е. множество векторов вида ц=Ах * ЮлЛАранг матрицы А, т. е. размерность Зт, А «» линейное пространство п — мерных векторов, А — дефект матрицы А, т. е. размерность к61. Д ..
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Итак, результаты диссертации ставят разработку теории разностных схем и теории устойчивости для линейных сингулярных систем о.д.у. на прочную основу. Автору стало известно, что публикации на тему диссертации находят отклик у нас и за рубежом, например, [70].
В заключение автор благодарит академика Н. Н. Яненко за плодотворные беседы, во многом определившим направленность диссертации, а также члена-корреспондента АН СССР В. М. Матросова за внимание к работе..