Эллиптические уравнения для мер

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Хорошо известно, что инвариантная вероятностная мера ц диффузионного процесса с генератором d d L := ]Г a^(x)dXidXj + J2 i, j=1 i= 1 при широких условиях на коэффициенты агJ и Ьг удовлетворяет стационарному уравнению А. Н. Колмогорова.

LV — 0, (1) которое понимается в смысле интегрального тождества hudfj, — 0 для всех и е С£°(Mfi). (2).

JRd.

Здесь (функции Ьг являются компонентами борелевского векторного поля b = (Ъг), — борелевские (функции. Далее предполагается, что матрица А (х) = (агз (x))ij.

Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Уел ох и мат. наук, 1938, т. V, с. 5−41.

2Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 198С.

3Хасьминский Р. З. Эргодичег. кие свойства рекуррентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Каши для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее иримен., 19G0, т. 5, с. 179−196. под названием &bdquo-сопряженных решений", см. работы4'5. Такие решения существенно отличаются по своим свойствам от решений обычных дивергентных или недивергентных эллиптических уравнений. Например, даже в одномерном случае с гельдеровыми коэффициентами решение может быть лишь гельдеровым и не иметь первой производной. В последние 15 лет уравнения = 0 активно исследовались В. И. Богачевым, Н. В. Крыловым, М. Рёкнером, В. Штаннатом, G. Metafune, D. Pallara, A. Rhandi (см. работы6'7'8'9'10'11'12'13'14'15).

Уравнение (1) позволяет исследовать диффузионные процессы с сингулярными коэффициентами. Как было установлено В. Штаннатом13'14, изучение этого уравнения без каких-либо предположений о существовании диффузионного процесса с производящим оператором L оказывается полезным для построения такого процесса. Таким образом, вероятностные решения уравнения L*/j, — 0 являются исходным пунктом построения и исследования диффузионного процесса, особенно в случаях сингулярных коэффициентов. Кроме того, такие уравнения появляются при.

4Sjogren P. On the adjoint of an elliptic linear differential operator and its potential theory. Ark. Mat,. 1973, v. 11, p. 153−165. sEscauriaza E., Kenig C.E. Area integral estimates for solutions and normalized adjoint solutions to nondivergence form elliptic equations. Ark. Mat,., 1993, v. 31, p. 275−29G. fiBogachev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications., T. Funct. Anal., 1995, v. 133, p. 108−223.

7Bogachev V.I., Krylov N.V., Rookner M. Regularity of invariant measures: the case of non-constant, diffusion part. J. Funcf,. Anal., 199G, v. 138, p. 223−242.

8Богачев В.И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хасъмпнского об инвариантных мерах. Теория верпятн. и ее примен., 2000, т. 45, п 3, с. 363−378.

Bogar.hev V.I., Krylov N.V., Rockner М. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26, n 11−12, p. 2037;2080.

10Bogachev V.I., Rookner M. Elliptic equations for measures on infinite-dimensional spaces and applications. Probab. Theory Relat. Fields, 2001, v. 120, n 4, p. 445−49G. иБогачев В.И., Рекнер М., Штаннат В. Единственность решении эллиптических уравнений и единственность инвариаптнжг, мер диффузий. Матем. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3−36.

12Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner М. Elliptic equations for measures: regularity and global bounds of densities. J. Math. Pares Appl., 200G, v. 85, n 6, 743−757. lriStannat W. (Nonsymmetric) Dirir.hlet. operators on L1: existence, uniqueness and associated Markov processes. Annali Scuola Normale Super, di Pisa CI. Sci. (4), 1999, v. 28, n 1, p. 99−140.

14St, annat W. Time-dependent diffusion operators on L1. J. Evol. Equat., 2004, v. 4, p. 463−495.

1RMet, afune G., Pallara D., Rhandi A. Global regularity of invariant, measures. J. Funct. Anal., 2005, v. 223, p. 396−424. исследовании бесконечномерных диффузий как уравнения на конечномерные проекции инвариантных мер (см.6'10). При этом коэффициент b оказывается очень сингулярным, и единственное, что можно утверждать о нем — интегрируемость относительно решения. Сингулярность коэффициентов делает неприменимыми классические результаты из теории эллиптических уравнений в частных производных.

Достаточные условия существования решения уравнения TL*fi — 0 получены в работах Р. З. Хасьминского, В. И. Богачева и М. Рёкнера (см.3'8). При построении решения существенную роль играет априорная оценка W^-HopMM решения эллиптического уравнения второго порядка на внутренней области Qf С Q через правую часть уравнения и Ь^норму решения на большей области Г2. Такая оценка доказывается в первой главе диссертации.

Единственность решения исследовалась В. И. Богачевым, М. Рёкне-ром, В. Штаннатом11. Ими были получены достаточные условия единственности, изучена взаимосвязь единственности решения уравнения и единственности инвариантной меры у соответствующей полугруппы, построен пример уравнения с единичной матрицей, А и гладким коэффициентом Ь, которое имеет по крайней мере два вероятностных решения. Однако оставалось неясным, при каких условиях появляется неединственность в случае гладких коэффициентов и какова может быть размерность симплекса вероятностных решений. Отметим также, что единственность и неединственность решений задач, связанных с эллиптическими уравнениями, исследовались О.А. Ладыженской16, Н.С. Надира-швили17, М.В. Сафоновым18, В.В. Жиковым19−20.

Важные результаты о регулярности решения получены В.И. БоlfiЛадыженская О.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, М., 1973.

17Nadirashvili N. S. Nonuniqueness in the martingale problem and Dirir. hlet problem for uniformly elliptic operators. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (-1), 1997, v. 24, p. 537−550.

ISSafonov M. Nonvniqueness for second order elliptic equations with measurable coefficients. SIAM Л.

Math. Anal., 1999, v. 30, p. 879−895.

1ЧЖиков B.B. Замечания о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами. Функц. анализ и его прял., 2004, т. 38, вып. 3, с. 15−28.

2ПЖиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Матем. сб., 1998, т. 189, п 8, с. 27−58. гачевым, М. Рёкнером и Н.В. Крыловым9. В частности, ими было установлено, что если отображения, А и А~1 равномерно ограничены, aij? wlfc{Rd) и Ьг? Цос{Rd) или Ьг? Цос{ц.) для некоторого р > d, то решение ц задастся плотностью д? относительно меры Лебега. Более того, если Ьг? U}0C (M.d). то непрерывная версия д является строго положительной функцией, что немедленно следует из неравенства Харнака (см.21'22) для слабых решений эллиптических уравнений. В последнем утверждении даже при единичной матрице, А нельзя заменить условие Ьг? на условие Ьг? или даже на более сильное условие Ьг? Lrloc (fi) для всех г > 1. Необходимость иметь условия строгой положительности в терминах интегрируемости сноса b относительно меры /i, а не меры Лебега, появляется при исследовании уравнений вида (1) как уравнений на конечномерные проекции решений слабых эллиптических уравнений для мер в бесконечномерных пространствах (см.6'10).

Глобальные свойства решений исследовались в работах6'7'15'12. В частности, было доказано, что если отображения, А и A~L равномерно ограниченны, отображение, А равномерно липшицево и при некотором р > d имеет место включение |6|? ^(/х). то i = gdx, д? И/1'Р (Ж^) и потому д? L°°(M.d). Более того, если задана положительная функция Ф? Wfo^R^) такая, что имеют место включения Ф, |7Ф|Р? Ь1{ц), то выполняется оценка д (х) < СФ (х)~1.

Отметим, что при получении этих результатов применялась техника Мо-зера. В работе10 были получены экспоненциальные оценки снизу д{х) > С1ехр (-С2|й:|^1) в предположении, что aij? Cf (Rd), Ь*? C2(Rd) dXkbx)| + dXkdXlbx) < C (1 + |xf).

21Moser J. On Harnack’s theorem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 19G1, v. 14, p. 577−591.

22Trudinger N. S. On Harnar. k type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations. Comm. Pure and Appl. Mat.h., 1967, v. 20, 721−748.

Кроме того, при таких же требованиях на коэффициенты были получены достаточные условия наличия у меры /i плотности д. для которой In д входит в класс W1, p (fi). Исследовано также включение In ?> G W2,7'(ц). Естественным является вопрос о том, можно ли отказаться в этих утверждениях от столь высокой гладкости коэффициентов.

Цель работы. Получить достаточные условия неединственности вероятностных решений эллиптических уравнений для мер с единичной матрицей диффузии и гладким сносом. Исследовать размерность симплекса вероятностных решений. Найти достаточные условия для строгой положительности непрерывной версии плотности решения в терминах интегрируемости сноса относительно решения. Получить оценки снизу на плотность решения без предположений о дифференцируемости сноса. Исследовать интегрируемость логарифмического градиента решения.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для плотности д решения уравнения L= 0 получена оценка.

20zO>Ciexp (-C2|rif+1) в предположении, что коэффициент диффузии, А равномерно ограничен вместе с А-1, отображение, А равномерно липшицево и функция |6(ж)| имеет мажоранту С (1 + В качестве применения найдены эффективные достаточные условия для включения в класс LP{li).

2. Получены достаточные условия существования двух и более линейно независимых вероятностных решений уравнения L*fi — 0 с единичной матрицей диффузии и гладким сносом b в предположении, что одно вероятностное решение уже известно. Кроме того, построен пример такого уравнения для мер, симплекс вероятностных решений которого бесконечномерен.

3. Доказано, что если, А и А~1 равномерно ограничены, А равномерно липшицево, то экспоненциальная интегрируемость сноса Ьг относительно решения /л уравнения L*// = 0 влечет существование у меры ц непрерывной строго положительной плотности относительно меры Лебега.

Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, в том число метод априорных оценок и итерационная техника Мозера, методы теории меры и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории эллиптических уравнений, теории случайных процессов, теории меры и функциональном анализе.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре &bdquo-Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В. И. Богачева и Н. А. Толмачева (2005;2008) — на научно-исследовательском семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН B.C. Кашина (2007), на семинаре &bdquo-Стохастический анализ" в университете Билофельда (Германия, 2005;2008) — на семинаре в Пекинском Нормальном Университете (Китай, 2007) — на семинаре в институте Миттаг-Леффлера (Швеция, 2007). Кроме того, результаты диссертации докладывались на международной конференции им. И. Г. Петровского &bdquo-Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, МГУ. 2007), российско-японской конференции по теории вероятностей (МИАН, 2007) и на международных конференциях «Stochastic Analysis of the Advanced Statistical Models» и «Recent Developments in Statistics and Econometrics» (Япония, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях автора в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК, и тезисах международной конференции им. И. Г. Петровского &bdquo-Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", список которых приведен в конце работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых включает три параграфа, и списка литературы из 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 75 страниц.

1. Богачев В. И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хаеьминокого об инвариантных мерах. Теория вероятн. и ее примен., 2000, т. 45, п 3, с. 363−378.

2. Богачев В. И., Рёкнер М., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матем. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3−36.

3. Богачев В. И., Крылов Н. В., Рёкнер М. Регулярность и глобальные оценки плотностей инвариантных мер диффузионных процессов. Докл. РАН. 2005, т. 405, и 5, с. 583−587.

4. Богачев В. И., Рёкнер М., Шапошников С. В. Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., т. 52, н 2, с. 1−29.

5. Богачев В. И., Рёкнер М., Шапошников С. В. Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 2008, т. 53, в. 2, с. 213−239.

6. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 1986.

7. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Наука, М., 1989.

8. Жиков В. В. Замечания о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами Функц. анализ и его прил., 2004, т. 38, п 3, с. 15−28.

9. Жиков В. В. О весовых соболевских пространствах Матем. сб., 1998, т. 189, II 8, с. 27−58.

10. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи матем. наук, 1938, вып. V, с. 5−41.

11. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука. М., 1973.

12. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1985.

13. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд. ЛГУ, Л., 1950.

14. Хасьминский Р. З. Эргодические свойства рекурентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее примен., I960, т. 5, с. 179−196.

15. Шапошников С. В. О внутренних оценках соболевских норм решений эллиптических уравнений. Матем. заметки, 2008, т. 83, и 2, с. 316−320.

16. Шапошников С. В. Положительность инвариантных мер диффузионных процессов. Докл. РАН, 2007, т. 415, п 2, с. 174−179.

17. Шапошников С. В. Оценки плотностей решений параболических уравнений для борелевских мер. Сборник тезисов международной конференции &bdquo-Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И. Г. Петровского, Москва, МГУ, 2007, с. 287 288.

18. Шапошников С. В. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2008, т. 420, п 3, с. 320−323.

19. Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск, 2003.

20. Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.

21. Agrachev A., Kuksin S., Sarychev A., Shirikyan A. On finite-dimensional projections of distributions for solutions of randomly forced PDE’s. Arm. Inst. H. Poincare. 2007, v. 43, p. 399−415.

22. Bogaehev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, и 1, p. 168−223.

23. Bogaehev V.I., Rockner M. Elliptic equations for measures on infiiiite-dirriensioiial spaces and applications. Probab. Theory Relat. Fields, 2001, v. 120, n 4, p. 445−496.

24. Bogaehev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, ii 1, p. 168−223.

25. Bogaehev V.I., Krylov N.V., Rockner M. Regularity of invariant measures: the case of non-constant diffusion part. J. Funct. Anal., 1996, v. 138, n 1, p. 223−242.

26. Bogaehev V.I., Krylov N.V., Rockner M. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26, n 11−12, p. 20 372 080.

27. Bogaehev V.I., Krylov N.V., Rockner M. Elliptic equations for measures: regularity and global bounds of densities. J. Math. Pures Appl., 2006, v. 85, n 6, p. 743−757.

28. Byun S.-S. Elliptic equations with BMO coefficients in Lipschitz domains. Trans. Arner. Math. Soc., 2005, v. 357, n 3, p. 1025−1046.

29. De Giogi E. Sulla differenziabilita e l’analiticita delle estremali dgli integrali inultipli regolari. Mem. Ace. Sci. Torino, 1957, v. 3, p. 1−19.

30. Eberle A. Uniqueness and non-uniqueness of singular diffusion operators. Lecture Notes in Math. V. 1718. Springer, Berlin, 1999.

31. Escauriaza E., Kenig C.E. Area integral estimates for solutions and normalized adjoint solutions to nondivergeiice form elliptic equations. Ark. Mat., 1993, v. 31, p. 275−296.

32. Krylov N.V. Parabolic and elliptic equations with VMO coefficients. Comm. Partial Diff. Eq., 2007, v. 32, N 3, p. 453−475.

33. Lunardi A., Vespri V. Holder regularity in variational parabolic nonhoinogeneous equations. J. Diff. Eq., 1991, v. 94, n 1, p. 1−40.

34. Metafune G., Pallara D., Rhandi A. Global regularity of invariant measures. J. Funct. Anal., 2005, v. 223, p. 396−424.

35. Morrey C.B. Multiple integrals in the calculus of variations. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg — New York, 1966.

36. Moser J. A new proof of De Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., I960, v. 13, u 3, p. 457−468.

37. Moser J. On Harnack’s theorem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1961, v. 14, p. 577−591.

38. Nadirashvili N. S. Nonuniqueness in in the martingale problem and Dirichlet problem for uniformly elliptic operators. Arm. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4), 1997, v. 24, p. 537−550.

39. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. Airier. J. Math., 1958, v. 80, n 4, p. 931−954.

40. Nualart, E. Exponential divergence estimates and heat kernal tail. C. R. Acad. Sci. Paris, ser. I, 2004, t. 338, p. 77−80.

41. Safonov M. Nonuniqueness for second order elliptic equations with measurable coefficients. SIAM J. Math. Anal., 1999, v. 30, p. 879−895.

42. Scheutzow M., Weizsacker H. von. Which moments of a logarithmic derivative imply quasiinvariance? Doc. Math., 1998, v. 3, p. 261−272.

43. Sjogren P. On the adjoint of an elliptic linear differential operator and its potential theory. Ark. Mat, 1973, v. 11, p. 153−165.

44. Shaposhnikov S. V. On normniqueness of solutions to elliptic equations for probability measures. J. Funct. Anal., 2008, v. 254, p. 2690−2705.

45. Shirikyan A. Qualitative properties of stationary measures of three-dimensional Navier-Stokes equations. J. Funct, Anal., 2007, v. 249, p. 284−306.

46. Stannat W. (Nonsymmetric) Dirichlet operators on L1: existence, uniqueness and associated Markov processes. Ann. Scuola Norm. Super, di Pisa CI. Sci. (4), 1999, v. 28, n 1, p. 99−140.

47. Stannat W. Time-dependent diffusion operators on L1. J. Evol. Eq., 2004, v. 4, p. 463−495.

48. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations. Comm. Pure and Appl. Math. 1967, v. 20, p. 721−748.