Краевая задача Гильберта

Одной из основных краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного является краевая задача Гильберта, состоящая в отыскании всех аналитических в некоторой области функций, непрерывных в, где — граница области, и удовлетворяющих на краевому условию:

(0.1)

где — заданные на функции класса (Гельдера), причем, .

В теории краевых задач комплексного анализа и ее приложениях, наряду с задачей Гильберта (0.1), важную роль играют различные ее обобщения, например, задачи типа Гильберта для бианалитических функций, т. е. для функций, являющихся решениями обобщенного уравнения Коши-Римана

.

Основной целью настоящей работы является изучение одной из модельных задач типа Гильберта в классах бианалитических функций в односвязной области, которая состоит в отыскании всех бианалитических в функций F (z), удовлетворяющих на гладком контуре следующим краевым условиям:

(0.2)

(0.3)

где, , (k = 0, 1) - заданные на L функции, причем, и на L.

Сформулированную выше задачу назовем задачей H₂, а соответствующую однородную задачу — задачей H ₂°.

1. Вспомогательные утверждения и методы решения краевой задачи Гильберта для аналитических функций

1.1 Некоторые вспомогательные понятия и утверждения

В этом параграфе введем некоторые основные обозначения, понятия и утверждения, которыми в дальнейшем будем часто пользоваться.

Пусть - произвольная односвязная область на плоскости комплексного переменного, ограниченная простым замкнутым гладким контуром .

Обозначим через класс функций, определенных на L и удовлетворяющих условию Гельдера с показателем (), т. е. таких, что для любых точек t₁, t₂ в L при некоторой (зависящей от) положительной константе А. Класс функций, определенных на L и удовлетворяющих условию Гельдера (с показателем) вместе со своими производными до порядка m (m? 1) включительно, будем обозначать через .

Во всех рассуждениях, где значение показателя Гельдера не играет роли, вместо H_м(L), H_м^(m)(L) будем писать H (L), H^(m)(L), соответственно.

Рассмотрим интеграл типа Коши

(1.1)

и оператор сингулярного интегрирования

(1.2)

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, а плотность .

Перечислим некоторые важнейшие свойства интеграла (1.1) и оператора (1.2), которыми в дальнейшем будем пользоваться.

Теорема 1.1. (см., напр., [6], с. 38; с. 55). Пусть L — гладкий контур и. Тогда в каждой точке существуют граничные значения интеграла типа Коши (1.1):

причем имеют место формулы Сохоцкого

(1.3)

где I — единичный оператор, т. е. .

Теорема 1.2. (см., напр., [15], с. 58). Оператор сингулярного интегрирования S является линейным ограниченным оператором, действующим из в, если, и действующим из в, где — сколь угодно малое положительное число, если .

Приведем основные факты теории линейных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода вида

(1.4)

где — фредгольмово ядро, , — некоторое число, а - искомая функция.

Рассмотрим также соответствующее (1.4) однородное уравнения Фредгольма

(1.5)

Определение 1.1. (см, напр., [6], с. 174) Если при некотором значении параметра однородное уравнение Фредгольма (1.5) имеет нетривиальное решение, то называется собственным значением, а сами решения (линейно независимые) — собственными функциями ядра или, что все равно, однородного уравнения (1.5).

Следующие три теоремы называют соответственно первой, второй и третьей теоремами Фредгольма.

Теорема 1.3. (см., напр., [6], с. 174). Если не является собственным значением ядра, т. е. если однородное уравнение (1.5) неразрешимо, то неоднородное уравнение (1.4) разрешимо при любой правой части.

Общее решение уравнения (1.4) дается формулой

(1.6)

где функция — резольвента уравнения, которая определенным образом выражается через ядро .

Теорема 1.5. (см., напр., [6], с. 174). Если является собственным значением однородного уравнения (1.5), то оно является собственным значением также и для союзного уравнения

(1.7)

причем оба уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений (собственных функций, принадлежащих собственному значению).

Общее решение однородного уравнения (1.5) представляется в виде

(1.8)

где — полная система линейно независимых собственных функций, принадлежащих собственному значению, a - произвольные постоянные.

Теорема 1.6. (см., напр., [6], с. 175). Если однородное уравнение (1.5) разрешимо, то неоднородное уравнение (1.4), вообще говоря, неразрешимо. Оно будет разрешимо тогда и только тогда, когда выполнены условия

(1.9)

где (k = 1, 2,…, n) есть полная система собственных функций союзного уравнения (1.7), принадлежащих данному собственному значению .

Если условия (1.9) выполнены, то общее решение неоднородного уравнения (1.4) дается формулой

(1.10)

где — так называемая обобщенная резольвента (см., напр., [6], с. 176), а - общее решение соответствующего однородного уравнения (1.5).

1.2 Об одном методе решения задачи Гильберта для аналитических функций в круге

В этом параграфе излагается один из методов решения краевой задачи Гильберта для аналитических функций, предложенного в монографии Г. С. Литвинчука.

Пусть,. Рассмотрим следующую краевую задачу Гильберта: требуется найти все аналитические в функции, непрерывные в и удовлетворяющие на краевому условию:

(2.1)

где — заданные на L функции класса, причем, .

Так как, то равенство (2.1) можно записать в комплексной форме

(2.2)

где

. (2.3)

Замечание 2.1. Важно отметить, что на контуре выполняются следующие соотношения:

и,. (*)

Число, где будем называть индексом задачи Гильберта (2.1) (или, что, то же самое, (2.2)).

Если в (2.2), , то получаем однородную задачу Гильберта

. (2.4)

Решим сначала простейшую однородную задачу Гильберта

. (2.5)

Лемма 2.1. Общее решение задачи (2.5) задается в виде

(2.6)

где — произвольная действительная постоянная.

Доказательство. Так как — граничное значение аналитической в функции, то справедливо соотношение (см., напр., [6], с. 44)

. (2.7)

Переходя к сопряженным значениям в (2.7), получим

. (2.8)

Но в силу (2.5) из (2.8) будем иметь

. (2.9)

Почленно складывая равенства (2.7) и (2.9), имеем:

. (2.10)

Так как на выполняется тождество, то и, следовательно, ядро. Значит, уравнение (2.10) имеет вид:

. (2.11)

Нетрудно проверить, что общее решение интегрального уравнения Фредгольма (2.11) задается в виде, где — произвольная комплексная постоянная. Поскольку должна удовлетворять еще и краевому условию (2.5), то будем иметь или, откуда .

Итак, действительно решение краевой задачи (2.5) задается в виде, где — произвольная действительная постоянная.

О решении однородной задачи Гильберта (2.4)

Рассмотрим сначала случай, когда При этом предварительно найдем одно частное решение следующей простейшей неоднородной задачи Гильберта:

(2.12)

где под понимается однозначная функция класса .

Известно (см., напр., [13], с. 180), что одним из решений задачи (2.12) является функция

(2.13)

где — решение интегрального уравнения

. (2.14)

Нетрудно проверить, что единственным решением интегрального уравнения Фредгольма (2.14) является функция

(2.15)

где .

В силу (2.15) из (2.13) получим частное решение задачи (2.12) в следующем виде

. (2.16)

Замечание 2.2. Из равенства (2.12) вытекает, что для граничных значений аналитической в функции справедливо тождество:

. (2.17)

С учетом (2.17) из (2.4) получим

. (2.18)

Но, в силу леммы 2.1, общее решение краевой задачи (2.18) задается в виде

или, (2.19)

где — произвольная действительная постоянная.

Таким образом, справедлива

Лемма 2.2. Если, то общее решение однородной задачи Гильберта (2.4) можно задавать формулой (2.19).

Пусть теперь, где — отличное от нуля целое число.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию. Ясно, что и, .

Как показано выше, функция

где ,

удовлетворяет условию

. (2.20)

Следуя Г. С. Литвинчуку (см. [13], c. 183) функцию вида

, (2.21)

будем называть канонической функцией задачи Гильберта (2.4).

Нетрудно проверить, что на справедливо тождество («факторизация коэффициента»):

. (2.22)

С учетом (2.22) из (2.4) получим

. (2.23)

Далее отдельно исследуем два случая: и .

Случай 1. Пусть. Тогда функция может иметь в точке полюс порядка. Поэтому она представима в виде

(2.24)

где — аналитическая в функция, непрерывная в, а, , — произвольные комплексные постоянные.

В силу (2.24) из (2.23) получаем

(2.25)

где .

Теперь вводя в рассмотрение функции

, (2.26)

краевое условие (2.25) можно записать так:

(2.27)

где .

Но равенство (2.27) представляет собой краевое условие известной задачи о скачке (см., например, [6], с. 107) и ее решение задается в виде

(2.28)

где — произвольная комплексная постоянная.

Из (2.28) получаем

(2.29)

Поскольку должно выполняться условие «симметрии»

,

то в (2.29), т. е. — действительная постоянная.

Итак, общее решение краевой задачи (2.25) имеет вид:

(2.30)

где , — произвольные комплексные постоянные, а — произвольная действительная постоянная.

С учетом (2.30) из (2.24) получаем общее решение однородной задачи Гильберта (2.4) при :

. (2.31)

Лемма 2.3. При общее решение однородной задачи (2.4) задается в виде (2.31) и оно зависит от произвольных действительных постоянных.

Случай 2. Пусть теперь. В этом случае из (2.23) видно, что функция является аналитической в круге, причем. Следовательно, в силу леммы 2.1 общим решением задачи (2.23) является произвольная постоянная, т. е.. Но поскольку, то .

Лемма 2.4. Если, то однородная задача Гильберта (2.4) не имеет нетривиальных решений.

Перейдем теперь к решению неоднородной задачи Гильберта (2.2).

Поскольку имеет место факторизация (2.22), то краевое условие (2.2) можно переписать так:

. (2.32)

Здесь, также как и при решении однородной задачи, отдельно рассмотрим два случая: и .

Случай 1. Пусть. В этом случае функция может иметь полюс порядка в точке. Следовательно, имеет место представление (2.24). С учетом (2.24) краевое условие (2.32) можно переписать так:

. (2.33)

Поскольку одним из решений краевой задачи

, (2.33а) является функция (см., [13], с. 180)

(2.34)

где — некоторая действительная постоянная, а общее решение задачи (2.27) задается в виде (2.30), то общее решение задачи (2.33) можно задавать так:

(2.35)

где — произвольная действительная постоянная.

Тогда из (2.24) с учетом (2.35) получим общее решение неоднородной задачи Гильберта (2.2) при :

(2.36)

где — общее решение соответствующей однородной задачи Гильберта, задаваемое формулой (2.31).

Случай 2. Пусть теперь. В этом случае функция является аналитической в, причем точка является нулем порядка не ниже, т. е.. Поэтому общее решение краевой задачи (2.32) задается в виде (см. [13], с. 180):

(2.37)

где — произвольная действительная постоянная.

Из (2.37), в случае разрешимости, получаем решение исходной задачи Гильберта (2.2) в виде

. (2.38)

Из формулы (2.38) видно, что при для разрешимости задачи Гильберта (2.2) необходимо и достаточно, чтобы аналитическая в функция

(2.39)

имела в точке нуль порядка не ниже, т. е. .

Для того чтобы найти требуемые условия разрешимости задачи Гильберта (2.2), запишем разложение в ряд Тейлора функции в точке :

. (2.40)

Из (2.40) видно, что для выполнения условия должны выполняться следующие условия:

(2.41)

Очевидно, что условия (2.41) можно переписать в виде следующих действительных условий разрешимости:

, (2.42)

где положено

. (2.43)

Итак, в случае (и с учетом (2.43)), при выполнении действительных условий разрешимости (2.42), единственное решение задачи Гильберта (2.2) можно задавать формулой (2.38), где определяется формулой (2.43).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если, то неоднородная задача Гильберта (2.2) безусловно разрешима и ее общее решение задается формулой (2.36), причем оно линейно зависит от произвольных действительных постоянных. Если же, то для разрешимости неоднородной задачи Гильберта (2.2) необходимо и достаточно выполнения действительных условий (2.42). При выполнении указанных условий разрешимости единственное решение этой задачи можно задавать формулой (2.38), где определяется по формуле (2.43).

1.3 Метод регуляризующего множителя для решения задачи Гильберта для аналитических функций в случае произвольной односвязной области

Дан простой гладкий замкнутый контур, ограничивающий область, и действительные функции дуги контура удовлетворяющие условию Гёльдера.

Краевую задачу Гильберта можно сформулировать так. найти аналитическую в области и непрерывную на контуре функцию, предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют на контуре линейному соотношению

(3.1)

При будем иметь однородную задачу и при, отличной от нуля, — неоднородную.

Оператор Шварца для односвязной области.

Часто приходится решать задачу об определении аналитической в области функции по заданной на границе области действительной части. В дальнейшем будем эту задачу для краткости называть задачей Шварца. По определяется гармоническая в области функция, а по ней интегрированием полного дифференциала (уравнения Коши — Римана) с точностью до произвольного слагаемого находится сопряженная гармоническая функция. Таким образом, задача Шварца решается с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Решение будет вполне определенным, если задать в какой-либо точке области значение мнимой части искомой аналитической функции. Для решения задачи Шварца введем понятие оператора Шварца.

Под оператором Шварца будем понимать оператор, восстанавливающий аналитическую функцию по граничным значениям ее действительной части.

Пусть на гладком контуре задана некоторая действительная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера. Оператором Шварца будем называть оператор, который определяет аналитическую функцию, предельное значение действительной части которой на контуре совпадает с функцией, а мнимая часть в заданной точке обращается в нуль.

Символически это будем записывать так:

Если контур L есть единичная окружность, то оператор Шварца совпадает с известным интегралом Шварца; если — действительная ось, оператор Шварца есть удвоенный интеграл типа Коши. Для произвольного контура можно дать явное выражение оператора Шварца через функцию Грина. Пусть

— функция Грина оператора Лапласа для области, причем, a — гармоническая функция обеих пар переменных и, принимающая значение, когда одна из точек, оказывается лежащей на контуре.

Будем рассматривать как функцию двух комплексных переменных, , изменяющихся каждая в области, и обозначать ее далее .

Из теории гармонических функций известно (см. [1]), что решение первой краевой задачи гармонических функций — задачи Дирихле — дается формулой

(3.2)

где — комплексная координата точки контура, — внутренняя нормаль.

Пусть — гармоническая функция, сопряженная функции по переменной. Она определяется на основании уравнений Коши — Римана формулой

(3.3)

где z₀ — фиксированная точка области .

Так как область односвязная, то функция определяется однозначно, причем на основании формулы (3.3) удовлетворяет условию Функция

называется комплексной функцией Грина области. Она будет аналитической по переменной всюду, кроме точки, где она имеет логарифмическую особенность.

В силу равенств (3.2) и (3.3) формула дает гармоническую функцию, сопряженную функции .

Отсюда равенство определяет аналитическую функцию, действительная часть которой на контуре равна заданной функции, удовлетворяющую дополнительному условию .

Следовательно, оператор Шварца задается формулой

(3.4)

Если отбросить условие, то

(3.5)

где — произвольная постоянная, равная .

Функция называется ядром Шварца для контура. При конформном отображении области на единичный круг она переходит в ядро Шварца для круга

Комплексная функция Грина и оператор Шварца тесно связаны с конформным отображением области на круг. Пусть есть функция, конформно отображающая область плоскости, ограниченную контуром, на единичный круг плоскости и переводящая некоторую точку области в начало координат. В силу взаимной однозначности отображения никакая другая точка области не переходит в начало, поэтому .

Определение аналитической функции, имеющей полюс, по значениям ее действительной части на контуре (задача А).

В предыдущем пункте определялась аналитическая в области функция по действительной части на контуре. В дальнейшем нам понадобится решение более общей задачи, когда для искомой аналитической функции в некоторой точке области допустим полюс. Задачу эту в дальнейшем, следуя [6], будем именовать задачей А. Дадим ее точную формулировку.

Дан простой гладкий замкнутый контур, ограничивающий внутреннюю область. Требуется определить функцию, аналитическую в области, за исключением точки z₀, где для нее допустим полюс порядка не выше и действительная часть которой на контуре L обращается в заданную функцию .

Соответствующую однородную задачу () назовем задачей А₀. Решение ее будем обозначать .

Дадим сначала решение задачи А₀ для случая, когда контур L есть единичная окружность и .

Выпишем разложение искомой функции в окрестности начала координат:

По условию Обозначая, получим В силу единственности разложения в ряд Фурье будем иметь

Отсюда

Следовательно, искомая функция Q (z) имеет вид

(3.6)

Замечание. 3.1. Если в формулировке задачи А₀ для единичного круга заменить область, внутреннюю для единичной окружности, на область, внешнюю для нее, то как рассуждения, так и окончательный результат останутся неизменными и, следовательно, формула (3.6) дает решение задачи А₀ также и для области, внешней по отношению к единичной окружности с полюсом на бесконечности.

Решение задачи А₀ для произвольной области, а также для единичного круга, но с полюсом в точке, может быть получено из найденного решения при помощи конформного отображения. Пусть

(3.7)

есть функция, конформно отображающая область плоскости на единичный круг плоскости так, что некоторая точка переходит в начало координат и .

Тогда формула

(3.8)

дает решение задачи А₀ для произвольной области с полюсом порядка в точке

Теперь мы готовы к тому, чтобы решить задачу А.

По определению оператора Шварца, есть аналитическая в области D⁺ функция, действительная часть которой на контуре равна. Разность будет, очевидно, функцией, удовлетворяющей условиям задачи А₀. Следовательно,

откуда

(3.9)

где оператор Шварца определяется формулой (3.4), а решение однородной задачи А₀ - формулой (3.8).

Как показывают формулы (3.8), (3.9), в решения задач А₀ и, А входят линейно произвольных действительных постоянных

Для построения обладающей перечисленными выше свойствами функции по предельным значениям на контуре ее мнимой части достаточно заметить, что

откуда

(3.10)

Определение регуляризующего множителя.

Пусть - простой гладкий замкнутый контур, ограничивающий внутреннюю область, и

— заданная на нем комплексная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера и не обращающаяся в нуль. Произвольная функция, как это уже указывалось, вообще говоря, не является краевым значением функции, аналитической в области .

Выясним, можно ли определить такую удовлетворяющую условию Гёльдера функцию точек контура, умножив на которую функцию, получим краевое значение функции, аналитической в области, т. е.

. (3.11)

Функцию, обладающую указанным свойством, назовем регуляризующим множителем.

Задача в такой постановке не является определенной, так как если она допускает какое-нибудь одно решение, то она, очевидно, допускает и бесчисленное множество других решений, получаемых из данного путем умножения его на краевое значение любой функции, аналитической в. Поэтому постановка задачи нуждается в уточнении. Чтобы задача стала определенной, на регуляризующий множитель нужно наложить некоторые дополнительные условия.

В практике встречаются два вида регуляризующих множителей:

1) с постоянным аргументом;

2) с постоянным модулем;

Без ограничения общности можно в первом случае постоянный аргумент принять равным нулю и считать, следовательно, множитель действительным положительным, а во втором считать модуль равным единице.

Действительный регуляризующий множитель.

Потребуем, чтобы регуляризующий множитель был действительной функцией; обозначая его в этом случае, имеем

(3.12)

Беря индекс обеих частей и учитывая, что индекс равен нулю, получим

Согласно свойствам индекса, будем иметь:

1. При функция не может иметь нулей в области .

2. При функция должна иметь в нулей.

3. При функция не может быть аналитической в, она должна иметь там не менее полюсов.

Желая обеспечить разрешимость, и притом однозначную, задачи отыскания регуляризующего множителя рассматриваемого типа при любом индексе, дадим этому понятию несколько иное определение, при котором у искомой аналитической функции допускается полюс в области D⁺.

Для простоты записи будем считать, что начало координат лежит в области .

Определение 3.3. Регуляризующим множителем комплексной функции, заданной на контуре L, будем называть такую действительную положительную функцию точек контура, что произведение есть краевое значение функции аналитической и имеющей нулевой порядок всюду в области, за исключением разве что начала координат, где ее порядок равен индексу функции .

Докажем существование регуляризующего множителя и выведем формулы для его определения.

1.. Функцию как не имеющую в области нулей, можно представить в виде показательной функции

(3.13)

По определению регуляризующего множителя будем иметь

(3.14)

Приравнивая модули и аргументы обеих частей последнего равенства, получим

(3.15)

Последняя формула определяет краевое значение гармонической функции. Сама функция определяется решением задачи Дирихле. Затем из уравнений Коши - Римана определяется сопряженная гармоническая функция, через краевое значение которой выражается искомый регуляризующий множитель .

Проще всего выразить результаты при помощи оператора Шварца.

Согласно (3.5) и (3.15) будем иметь

(3.16)

где на для определенности наложено условие

(3.17)

Регуляризующий множитель определяется формулой

(3.18)

2.. По определению будем иметь

(3.19)

Взяв модули и аргументы обеих частей, получим

(3.20)

Отсюда

(3.21)

Регуляризующий множитель определится формулой (3.20).

Таким образом, доказана

Теорема. 3.2. (см., напр., [6], с. 277) Произвольная функция точек контура, удовлетворяющая на нем условию Гёльдера и не обращающаяся в нуль, имеет действительный регуляризующий множитель, который при дополнительном условии (3.17) определяется формулами (3.16), (3.18), (3.20), (3.21) единственным образом.

Однородная задача Гильберта.

Приступим, наконец, к основному предмету — решению краевой задачи Гильберта. Выпишем краевое условие однородной задачи

(3.22)

Будем считать, что коэффициенты и не обращаются одновременно в нуль. Поделив краевое условие на, приведем его к такому случаю, когда коэффициенты удовлетворяют условию

(3.23)

Всюду в дальнейшем будем считать, что условие (3.23) выполняется.

Имеем

(3.24)

Поэтому краевое условие (3.22) можно записать в двух равносильных формах:

(3.24а)

(3.24б)

где

(3.25)

— искомая функция.

Индекс функции будем называть индексом задачи Гильберта.

Разделив обе части равенства (3.24а) на регуляризующий множитель функции, приведем его к виду

(3.26)

Рассмотрим отдельные случаи.

1.. В этом случае краевое условие (3.29) есть условие задачи Шварца. В силу единственности решения этой задачи будем иметь в области

(3.27)

где - произвольная постоянная.

2.. Краевое условие (3.26) есть условие задачи А₀. На основании этого получим

(3.28)

где определяется формулами (3.7), (3.8). Следовательно, задача имеет линейно независимых решений.

3.. Решения задачи в аналитических функциях не существует. Задача имела бы решение, если в качестве допустимых брать функции, имеющие в области не менее полюсов.

Неоднородная задача Гильберта.

Запишем краевое условие (3.1) в виде

(3.29)

Аналогично тому, как это делалось для однородной задачи, разделим обе части краевого условия на регуляризующий множитель функции :

(3.30)

Рассмотрим отдельные случаи.

1. Взяв от обеих частей оператор Шварца и выражая F (z), получим

(3.31)

2. Краевое условие (3.9) есть условие задачи А

(3.32)

Так как формулы (3.31) и (3.32) содержат в качестве слагаемых общие решения соответствующих однородных задач, то ясно, что они дают общее решение неоднородной задачи.

3.. Поступая аналогично предыдущему, получим

(3.33)

Ввиду наличия множителя функция, определяемая последней формулой, может иметь полюс порядка. Чтобы аналитическое решение, нужно потребовать, чтобы функция

имела нуль порядка в начале координат. Это даст, как можно показать прямыми выкладками, условий, которым должен удовлетворять свободный член для того, чтобы решение задачи было возможно. Не имея явного выражения оператора Шварца для произвольного контура, нет возможности выписать эти условия разрешимости в общем случае. В тех случаях, когда такое выражение известно, можно выписать эти условия явно.

Сформулируем полученные результаты.

Теорема. 3.3. (см., напр., [6], с. 282) Если индекс комплексной функции, то однородная краевая задача Гильберта (3.22) и неоднородная (3.29) безусловно разрешимы. Однородная задача имеет линейно независимых решений, линейная комбинация которых входит слагаемым в общее решение.

Если, то однородная задача неразрешима. Неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда свободный член удовлетворяет условиям разрешимости. Отметим явную связь между методом решения задачи Гильберта, изложенным в § 2 и данным общим методом § 3. Заметим, что для единичного круга оператор Шварца совпадает с интегралом Шварца. Обозначим

(3.34)

(3.35)

Учитывая, что на контуре, получим, что решение задачи Гильберта представляется следующими формулами:

1) При

(3.36)

2) При

(3.37)

Учитывая, что ядро Шварца сводится к ядру Коши по следующей формуле

из (3.36) и (3.37) получим формулы (2.36) и (2.38). Таким образом, результаты § 2 являются частным случаем результатов настоящего параграфа.

1.4 Решение задачи Гильберта методом сведения к задаче Римана

Рассмотрим способ (указанный Н. И, Мусхелишвили) сведения краевого условия задачи Гильберта к краевому условию задачи Римана путем доопределения по симметрии в дополнительную область решения задачи Гильберта. Этот метод интересен тем, что он сам независимо от изложенного выше метода регуляривующего множителя может служить источником решения задачи Гильберта.

Различие в постановках краевых задач Римана и Гильберта заключается прежде всего в том, что в первой задаче отыскивается кусочно аналитическая функция, определенная во всей плоскости, тогда как в последней ищется функция, определенная только в области, а дополнительная область совершенно не затрагивается. Поэтому, чтобы установить связь между указанными краевыми задачами, исходя из самой их постановки, прежде всего нужно найти целесообразный способ доопределения аналитической функции (являющейся решением задачи Гильберта) в область так, чтобы получить кусочно аналитическую функцию, определенную во всей плоскости.

Так как контур, по условию, окружность, то такое доопределение может быть произведено, как показывает дальнейшее исследование, путем продолжения по симметрии совершенно так же, как это делается в принципе симметрии. Различие будет заключаться лишь в том, что поскольку могут не выполняться условия этого принципа (отрезок прямой или дугу окружности функция должна отображать в отрезок прямой или дугу окружности), то и полученное продолжение, вообще говоря, не будет аналитическим. Это и не требуется, так как речь идет только о построении в области некоторой новой функции, которая была бы так связана с функцией, определенной из краевой задачи Гильберта, что краевое условие последней задачи стало бы равносильным краевому условию задачи Римана, связывающему функции и .

Продолжим по симметрии заданную в области (единичном круге) функцию в область (внешность единичного круга или нижняя полуплоскость), считая, что в точках, симметричных относительно контура, функции принимают сопряженные значения, т. е.

(4.1)

в случае действительной оси,

(4.2)

в случае единичного круга.

Определенная таким образом функция будет аналитической в области (см. 6).

Совокупность функций и можно рассматривать как одну кусочно аналитическую функцию.

Когда точка из области стремится к точке контура, симметричная ей точка в стремится к той же точке. Поэтому

(4.3)

(4.4)

Таким образом, предельные значения функций и на контуре комплексно сопряжены друг другу. Следовательно, заданную на контуре функцию можно рассматривать как предельное значение функции .

Теперь уже можно доказать сводимость задачи Гильберта к задаче Римана.

Запишем краевое условие задачи Гильберта

в такой форме:

(4.5)

Заменяя на основании изложенного выше на из (4.5) получим краевое условие задачи Римана

(4.6)

Следовательно, решение краевой задачи Гильберта равносильно отысканию функции из решения краевой задачи Римана (4.6) при условии, что для всякого, не лежащего на контуре.

(4.7)

Способ сведения задачи Гильберта к задаче Римана, изложенный в настоящем пункте, имеет то преимущество перед первым способом, что он не опирается на явное решение этих задач. Поэтому способ этот может быть использован и в том случае, когда таких явных решений не существует, например, в соответствующих задачах со многими неизвестными функциями (см., например, [3], стр. 172).

2. Задача типа Гильберта для бианалитических функций в односвязной области

2.1 Постановка краевой задачи типа Гильберта в классе бианалитических функций

Пусть - произвольная конечная односвязная область, ограниченная простым замкнутым гладким контуром L.

Определение 5.1. (см, напр., [19], с. 11) Функция комплексного переменного называется бианалитической в области, если она имеет в этой области непрерывные частные производные по и до второго порядка включительно и удовлетворяет там дифференциальному уравнению где — дифференциальный оператор Коши — Римана, Рассмотрим следующую задачу: требуется найти все бианалитические в функции, удовлетворяющие на следующим условиям:

(5.1)

(5.2)

где, (k = 0, 1) - заданные на функции, причем и на .

Сформулированную выше задачу назовем задачей H₂, а соответствующую однородную задачу () — задачей H₂°.

2.2 Метод решение задачи H₂

Решение задачи будем искать в виде

(6.1)

где

С учетом формулы (6.1) и того, что (k = 0, 1), краевые условия (4.1) и (4.2) можно переписать в виде

(6.2)

(6.3)

Равенство (6.3) представляет собой краевое условие скалярной задачи Гильберта для аналитической функции в области. Перепишем условие (6.3) в комплексной форме

(6.4)

где

Пусть Решим задачу Гильберта (6.4) относительно. Решение задачи (6.4) при задается следующей формулой (см. § 3):

(6.5)

где — определенная аналитическая в функция, S — оператор Шварца, а

- произвольная действительная постоянная,, k = 1,…, n, - произвольные комплексные постоянные, a - функция, конформно отображающая область плоскости на единичный круг так, что некоторая точка переходит в начало координат и .

При, для того, чтобы задача имела аналитическое решение, нужно потребовать выполнения условий, которым должен удовлетворять свободный член для того, чтобы решение задачи было возможно.

Подставляя в (6.2) найденное по формуле (6.5) граничное значения аналитической функции, после некоторых преобразований, получаем краевое условие скалярной задачи Гильберта для определения аналитической функции :

(6.6)

где

(6.7)

Запишем условие (6.6) в виде

(6.8)

где

Пусть Решим скалярную задачу Гильберта (6.8) относительно. Решение задачи (6.8) при задается следующими формулой (см. § 3):

(6.9)

где — определенная аналитическая в функция, S — оператор Шварца, а

- произвольная действительная постоянная,, k = 1,…, n, - произвольные комплексные постоянные, a - функция, конформно отображающая область плоскости на единичный круг так, что некоторая точка переходит в начало координат.

При, для того, чтобы задача имела аналитическое решение, нужно потребовать выполнения условий, которым должен удовлетворять свободный член для того, чтобы решение задачи было возможно.

Наконец, по найденным функциям и, решение искомой задачи H₂ определим по формуле

(6.10)

Обратно, если (6.10) есть решение задачи (5.1), (5.2), то аналитическая функция удовлетворяет краевому условию (6.3), а функция — краевому условию (6.6).

Таким образом, получили следующий результат.

Теорема 6.1. Задача H₂ сводится к последовательному решению двух скалярных задач Гильберта (6.3) и (6.6) относительно неизвестных аналитических функций и соответственно. При этом в задаче Гильберта (6.6) свободный член краевого условия содержит граничные значения аналитической функции .

3. Решение конкретных примеров

Пример 1. Пусть. Требуется найти все бианалитические в функции, удовлетворяющие на условиям:

(1а)

(2а) Решение.

Способ 1

Будем искать решение задачи (1а) — (2а) в виде:

(3а) где и — аналитические в функции.

Так как, то равенство (2а) принимает вид:

(4а) В комплексной форме равенство (4а) можно записать так:

(5а) Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в функцию краевое условие (5а) перепишем в виде:

(6а) Но равенство (6а) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно функций и Общее решение задачи Римана (6а) задается так (см., напр., [6], с. 111):

(7а) где с₀ — произвольная комплексная постоянная.

Потребуем теперь от функций (7а) выполнения условий «симметрии»

Отсюда следует, что c₀ — чисто мнимая постоянная, т. е.

Итак, общее решение задачи Гильберта (4а) имеет вид

(8а) гдепроизвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (3а) краевое условие (1а) можно записать так:

Подставив в последнее равенство вместо граничное значение функции (8а), получим

(9а) Равенство (9а) можно переписать так:

(10а) Для решения задачи Гильберта (10а) введем в рассмотрение аналитическую в функцию

(11а) Так как

(12а) то равенство (10а) можно переписать так

(13а) Но равенство (13а) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и Индекс задачи Римана (13а) равен 2, так как. Следовательно, задача Римана (13а) безусловно разрешима и ее общее решение можно задать в виде (см., напр., [6], с. 111):

(14а) где с₁, с₂, с₃ — произвольные комплексные постоянные.

Далее потребуем от функций (14а) выполнения условий «симметрии» (12а), т. е.

(15а) Равенство (15а) равносильно тому, что справедлива система

(16а)

Пусть c_k =б_k + iв_k, k=1, 2, 3, где б_k, в_kR. Тогда система (16a) примет вид:

(17а)

Преобразуем систему (17а) к виду

(18а)

Из системы (18а) находим, что в₃= в₁, б₂ = 0, б₃ = -1 — б₁; в₀, в₁, в₂, б₁ — любые действительные числа. Подставляя найденные значения б₃ и в_k, k = 0, 1, 2 в (14а) получаем

(19а) где — произвольные действительные постоянные.

Из (3а) получаем общее решение задачи (1а) — (2а)

(20а) где — произвольные действительные постоянные.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1а) — (2а) в виде:

(IIIа) где и — аналитические в функции.

Так как, то равенство (2а) принимает вид:

(IVа) Но равенство (IVа) есть краевое условие скалярной задачи Гильберта относительно функции. Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в § 2.

В комплексной форме равенство (IVа) можно записать так:

(Vа) В данном случае,. Индекс, .

Найдем сначала общее решение однородной задачи

(VIа) Так как индекс данной задачи равен 0, то согласно лемме 2.2 ее решение будет задаваться формулой

(VIIа) Общее решение задачи (IVа) определим по формуле (2.36)

(VIIIа)

где ₀ — действительная постоянная.

Итак, общее решение задачи Гильберта (IVа) имеет вид

(IXа) гдепроизвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (IIIа) краевое условие (1а) можно записать так:

Подставив в последнее равенство вместо граничное значение функции (IXа), получим

(Xа) Равенство (Xа) можно переписать так:

(XIа) Для задачи Гильберта (Xа) имеем,. Используя лемму 2.3 получим общее решение однородной задачи Гильберта

(XIIа)

где — произвольная действительная постоянная, а — произвольная комплексная постоянная.

Общее решение задачи (Xа) определим по формуле (2.36)

(XIIIа) где — произвольная действительная постоянная, а — произвольная комплексная постоянная.

Пусть c₁ =б₁ + iв₁, где б₁, в₁R. Тогда (XIIIа) примет вид:

(XIVа)

Переобозначив, получим

(XVа) где — произвольные действительные постоянные.

Из (3а) получаем общее решение задачи (1а) — (2а)

(XVIа) где — произвольные действительные постоянные.

Ответ:

где — произвольные действительные постоянные.

Пример 2. Пусть. Требуется найти все бианалитические в функции, удовлетворяющие на условиям:

(1б)

(2б) Решение.

Способ 1

Будем искать решение задачи (1б) — (2б) в виде:

(3б) где

Так как, то краевые условия (1б) и (2б) можно переписать в следующем виде:

(4б)

(5б) Но равенство (5б) есть краевое условие задачи Гильберта относительно аналитической в функции .

Краевое условие (5б) можно переписать так

(6б)

Далее вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в области функцию краевое условие (6б) можно переписать в виде

(7б) При выводе (7б) мы учли условие «симметрии»

(8б) Но равенство (7б) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и .

Так как, то задача Римана (7б) безусловно разрешима и ее общее решение можно задать формулами:

(9б)

(10б) где с₀, — произвольная комплексная постоянная.

Потребовав от функций (9б) и (10б) выполнения условий «симметрии» (8б), получим

или

(11б) где — произвольная действительная постоянная.

Итак, с учетом (11б) из (9б) получаем

(12б) где — произвольная действительная постоянная.

Таким образом, решение задачи Гильберта (5б) задается формулой (12б).

Наконец, подставив в краевое условие (4б) вместо граничное значение функции (12б), получим

или

(13б) Но равенство (13б) есть краевое условие обычной задачи Гильберта относительно аналитической функции.

Перепишем (13б) в комплексной форме:

или

(14б)

Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую функцию

(15б) с учетом условия «симметрии»

(16б) из (14б) будем иметь

(17б) Равенство (17б) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и

Так как индекс задачи Римана (17б), то для разрешимости задачи (17б) необходимо и достаточно выполнение следующего условия (см., напр., [6], с. 112):

(18б) Очевидно условие (18б) выполняются. Поэтому единственное решение задачи Римана (17б) можно задать так:

(19б)

(20б) Далее не трудно заметить, что для функций (19б) и (20б) выполнится условие «симметрии» (18б).

Следовательно, единственное решение задачи Гильберта (13б) имеет вид:

(21б) Наконец, с учетом (12б), (21б) и (3б), решение исходной задачи (1б) — (2б) можно задавать так:

или

(22б) где — произвольная действительная постоянная.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1б) — (2б) в виде:

(IIIб) где и — аналитические в функции.

Так как, то равенство (2б) принимает вид:

(IVб) Но равенство (IVб) есть краевое условие однородной задачи Гильберта относительно функции. Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в § 2.

В комплексной форме равенство (IVб) можно записать так:

(Vб) Так как индекс данной задачи равен 0, то согласно лемме 2.2 ее решение будет задаваться формулой

(VIб) где — произвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (IIIб) краевое условие (1б) можно записать так:

Подставив в последнее равенство вместо граничное значение функции (VIб), получим

(VIIб) Равенство (VIIб) можно переписать так:

(VIIIб) Для задачи Гильберта (VIIIб) имеем, .

Сначала проверим выполняются ли условия разрешимости (2.42)

(IXб) Так как условия разрешимости выполняются, то общее решение задачи (VIIIб) определим по формуле (2.38).

(Xб) решение исходной задачи (1б) — (2б) можно задавать так:

(XIб) где — произвольная действительная постоянная.

Ответ: где — произвольная действительная постоянная.

Пример 3. Пусть. Требуется найти все бианалитические в функции, удовлетворяющие на условиям:

(1в)

(2в) Решение.

Способ 1

Будем искать решение задачи (1в) — (2в) в следующем виде:

(3в) где и — аналитические в функции.

Так как, то равенство (2в) принимает вид:

(4в) В комплексной форме равенство (4в) можно записать так:

(5в) Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в функцию краевое условие (5в) перепишем в виде:

(6в) Но равенство (6в) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно функций и Так как индекс однородной задачи Римана (6в), то задача (6в) неразрешима (см., напр., [6], с. 110). Следовательно, исходная задача (1в) — (2в) имеет только тривиальное решение.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1в) — (2в) в виде:

(III в) где и — аналитические в функции.

Так как, то равенство (2в) принимает вид:

(IV в) Равенство (IV в) есть краевое условие однородной задачи Гильберта относительно функции. Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в § 2.

Так как индекс данной задачи равен, то согласно лемме 2.4 она имеет лишь тривиальное решение.