Анализ временных методов оценки спектральных характеристик широкополосных доплеровских сигналов

Среди задач, связанных с радиотехническими измерениями, одной из наиболее важных является задача оценки таких параметров спектра радиосигналов, как средняя частота и ширина его спектра.

Понятие частоты строго определено только для гармонических колебаний, бесконечно протяженных во времени. При исследовании широкополосных сигналов (здесь и в дальнейшем под «широкополосными» будем подразумевать радиосигналы, ширина спектра которых соизмерима с их центральной частотой) задача определения частоты колебаний представляет собой серьезную проблему. Эта задача осложняется необходимостью оперативного оценивания данных величин на достаточно коротком (по сравнению со всей длительностью процесса) интервале наблюдения [1, 12, 22]. Кроме того, сигналы, встречающиеся на практике, всегда финитны, и в подавляющем большинстве случаев не являются гармоническими. В таких случаях целесообразно оперировать оценкой центральной («несущей») или «средней» частоты сигнала.

Существует несколько способов определения центральной частоты радиосигналов [2, 3].

Одним из первых методов оценивания частоты колебаний является частотный детектор. Напряжение на выходе частотного детектора отражает закон изменения частоты модулированного входного колебания. Частотный детектор представляет собой сочетание двух основных частей:

1) Избирательной линейной цепи, преобразующей частотную модуляцию в амплитудную;

2) Амплитудного детектора.

В качестве избирательной линейной цепи может быть использована любая цепь, обладающая неравномерной частотной характеристикой, например, резонансный колебательный контур.

Исходя из схемотехнических особенностей частотного детектора, можно сделать вывод, что недостатком рассмотренной схемы является необходимость настройки контура на частоту, отличную от частоты входного сигнала. Кроме того, колебательный контур имеет ограниченный линейный участок на скате резонансной кривой, вследствие чего такой частотный детектор работает лишь в узком частотном диапазоне.

Представленный метод частотного детектирования сигналов получил широкое распространение. Множество схемных реализаций, например, двухконтурный частотный детектор, дискриминатор с расстроенными контурами и т. д. описаны в литературе [1, 3,4, 21].

В теоретической радиотехнике для определения спектральных параметров, в частности центральной частоты, широко используется подход, где за центральную частоту принимается центр тяжести энергетического спектра сигнала, рассчитанный по методу моментов [2, 3, 28]. Такое определение удобно в теоретических расчетах и практических приложениях. Так, например, в радиолокации значение центра тяжести энергетического спектра доплеровского сигнала определяет скорость движения центра масс объекта. Среднее значение частоты при этом соответствует средней скорости движения [5], что позволяет производить прогноз траектории цели.

В задачах радиолокационных измерений, наиболее интересны задачи, связанные с оценкой скорости движения и распознаванием целей. Эти задачи могут быть решены путем спектрального анализа сигналов и напрямую связаны с оценкой параметров их спектра: средняя скорость движения определяется средней частотой доплеровского сигналапо ширине спектра можно судить о характере движения объекта [5]. Такая информация может быть получена при помощи спектрального анализа, что приводит к необходимости использования преобразования Фурье.

Преобразование Фурье применяют при аналитических исследованиях физических процессов [88, 6, 7]. Оно позволяет представить сложный процесс множеством гармонических колебаний с соответствующими амплитудами и фазами при выполнении условия абсолютной интегрируемости сигнала:

Цл-(/)|2^<�оо.

Совокупность амплитуд и начальных фаз, привязанных к некоторому началу отсчета, называют спектром сигнала ¿-" (со).

Периодический сигнал *(/)=+ тТ), где Т — период сигнала, (т = 1,2,3,.) может быть разложен в ряд Фурье по гармоническим колебаниям с кратными частотами ^ САеуШ/- О = — - основная частота сигнала. к т.

Совокупность коэффициентов разложения ск} представляет собой так называемый «дискретный» спектр сигнала д-(/). Эти коэффициенты вычисляются как проекции сигнала на базисные функции определяемые скалярным произведением:

В случае одиночных сигналов, сигнал хи его непрерывный спектр 5(со) связаны друг с другом прямым и обратным преобразованиями Фурье [1,8]. Je^'dtD dt' =.

271 v -00 -00 = F-'{FW0J}.

Внутренний интеграл — комплекснозначную функцию £(о>) -называют «спектральной плотностью амплитуды» [1] или просто «спектром» .

Спектральный анализ включает в себя различные средства обработки сигналов. В процессе развития методов цифровой обработки разработано множество алгоритмов анализа цифровых сигналов в скользящем режиме наблюдения ограниченных выборок на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ) (Кули-Тьюки, Рейдера, Макклелана, Дэвиса, Тома-Кука и др.), хорошо описанных в монографиях и многих публикациях [2, 9, 10].

Впервые предложение об использовании дискретного преобразования Фурье (ДПФ) было сделано Г. Стоксом в 1879 г. [10]. Развитие теории ДПФ связано с именами Н. Винера, А. Н. Колмогорова, Грамера, Ф. К. Бартлетта, Д. У. Тьюки и др. Важное место в теории цифровой фильтрации занимают труды П. Л. Чебышева, Кайзера, Шаффера [И].

Основы БПФ, как отмечается в литературе[9, 12], впервые были сформулированы Рунге и Кенигом еще в 1924 г. В 1965 г. Дж. Кули и Д. У. Тьюки развили БПФ до практических методик цифровой обработки сигналов на ЭВМ. Методы вычисления БПФ интенсивно разрабатываются и являются предметом поисков для многих исследователей и в настоящее время [9, 13, 14, 89, 90]. К семидесятым годам XX века выделился ряд других направлений в создании процедур быстрых вычислений коэффициентов Фурье, например связанных с алгоритмами Винограда [14], однако их использование по сравнению с алгоритмом БПФ менее распространено.

Следует отметить, что алгоритмы ДПФ эффективно применяются главным образом в тех случаях, когда анализ проводится при наличии полной выборки обрабатываемого сигнала, по которой надо предельно быстро вычислить составляющие комплексных коэффициентов или другие спектральные параметры. Поэтому в большинстве случаев ДПФ описывается как «скачущий» алгоритм с шагом наблюдения сигнала равным размеру выборки [12]. Алгоритмы ДПФ теряют в быстродействии по сравнению с рекуррентными способами вычисления комплексных коэффициентов Фурье [12, 14]. Р. Д. Лейтес и В. Н. Соболев [15] впервые описали рекуррентные соотношения для ДПФ, которые составляют основу цифрового динамического спектрального анализа. Известны и другие работы [16, 17], в которых рассмотрены частные рекуррентные формулы для вычисления ДПФ. Методы, основанные на рекуррентных соотношениях, в систематизированном виде и достаточно полно, представлены в работе [12].

При практической реализации алгоритма измерения средней частоты практически всегда присутствует ограничение длины окна наблюдения (при ограничении длительности выборки говорят о применении прямоугольного окна данных).

Прямое усечение окна наблюдения сигнала функцией гес^/Т) приводит к искажению спектра сигнала. Как известно, в этом случае рассчитанный спектр будет представлять собой свертку истинного спектра сигнала со спектром функции прямоугольного временного окна — 8тс (оз7'/2) [1]. Из-за просачивания боковых лепестков функции 8тс[Г (с1) + О.)/2] возникает дополнительная погрешность в спектральных оценках. Скорость убывания спектра прямоугольного окна порядка 1/со, и поэтому результирующий спектр получается «размытым» по частоте. Точность оценки спектра можно улучшить, если использовать вместо прямоугольного другое окно с большей скоростью убывания спектра. Ниже приведено несколько примеров подобных окон (предполагается, что исходный сигнал задан на интервале наблюдения t е-Т/2,Т/2). Более подробно весовые окна рассмотрены в работе [8].

1) Треугольное окно — окно Бартлетта: f (t) = 1 — 2| / /Т.

2) Окно cos2 — окно Ханна: f (t) = cos2(л • 0,5 + 0,5cos (2-u •.

3) Окно Хемминга — приподнятый косинус: f{t)=0,54 + 0,46cos (2tc • j/^.

Коэффициенты окна Хемминга выбраны из условия равенства нулю 2-ой (максимальной из боковых) гармоники спектра окна.

4) Окно Натолла /(/) = cos^icr • j/^ является результатом развития г=0 идеи Хемминга: коэффициенты выбираются из условия равенства нулю R ближайших боковых лепестков. Например, при R = 3: а0 =0,3 635 819 а2= 0,1 365 995 а, =0,4 891 775 а4 =0,106 411.

5) Окно Гаусса: f (t)= ехр

— 12а1 21 Т.

Это окно обладает наибольшей скоростью убывания боковых лепестков при со->оо. Коэффициент, а обычно выбирается из диапазона [2.3] и позволяет регулировать ширину окна во временной области, и, следовательно, скорость убывания и ширину центрального лепестка спектра.

6) Окно Дольфа — Чебышева (равноволновое), особенностью которого является равенство амплитуд всех боковых лепестков спектра окна, за счет чего достигается наибольшее подавление боковых лепестков при заданной ширине центрального лепестка, либо минимальная ширина основного лепестка при заданном уровне боковых лепестков. Это окно было сразу разработано для анализа дискретных сигналов, спектр которых обладает свойством периодичности. Непрерывный аналог данного окна не найден.

Частотная характеристика фильтра, реализующего весовую функцию ДольфаЧебышева, описывается соотношением:

Ф)=, (го со8[СО/2СО5]), где со5— частота дискретизации, Тых{г) — полином Чебышева первого рода (А^-^-го порядка, определяемый формулой:

ТМА (г) = собрат — ОагссоБ^)], |2|<1.При заданной длине выборки N параметр г0 определяется, исходя из заданного уровня боковых лепестков к :

0 и).

Амплитуда основного лепестка равна единице, амплитуды боковых лепестков равны к. Весовые коэффициенты весовой функции Дольфа-Чебышева обычно определяют методом обратного дискретного преобразования Фурье от спектральной характеристики, однако их можно найти и непосредственно [8]:

4 — ?0(И-п-к-).к (п-к): По этой формуле находят коэффициенты а{п) для п от 0 до Ь, где Ь = И/2−1 при четном N и Ь = {И-1)/2 при нечетном N. Остальные коэффициенты определяются из условия четной симметрии весовой функции. Полученные коэффициенты необходимо нормировать таким образом, чтобы их сумма равнялась единице.

Применение временных окон Бартлетта, Ханна, Наттола, Хемминга и т. д. [8, 18, 19, 20] значительно уменьшает эффект просачивания боковых лепестков в область положительных частот, что, в свою очередь, приводит к увеличению точности оценки. Платой за большую скорость убывания боковых лепестков является расширение центрального лепестка спектра окна, поэтому на практике необходимо выбирать компромисс между скоростью спада боковых лепестков и шириной центрального лепестка. Такая оценка спектральной плотности является асимптотически несмещенной, однако не является состоятельной [8].

Применение методов цифровой обработки сигнала предоставляет широкие возможности при построении средств измерений. При этом достижение новых, высокоэффективных показателей, в том числе по точности, помехоустойчивости, чувствительности и быстродействию измерительных процедур, приводит к усложнению автоматизированных средств измерений [21]. Сложность создания высокоточных средств измерений, удовлетворяющих жестким требованиям к быстродействию оценки параметров спектра широкополосных сигналов и определяет актуальность настоящей работы.

Целью диссертационной работы является анализ методов и разработка алгоритмов для повышения точности и быстродействия оценки средней частоты сигналов во временной области для радиотехнических измерительных систем, а также исследование точности и помехоустойчивости работы таких систем при обработке широкополосных сигналов.

Основные задачи исследования:

1. Исследование методов оценок средней частоты широкополосных сигналов во временной области.

2. Разработка новых эффективных алгоритмов оценок средней частоты широкополосных сигналов во временной области, допускающих проведение синтеза как аналоговых, так и цифровых измерительных систем.

3. Исследование помехоустойчивости и точности разработанных методов и алгоритмов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмическая реализация метода оценки средней частоты спектра широкополосных сигналов путем использования дробного дифференцирования сигнала.

2. Способы вычисления дробных производных электрических сигналов порядка ½.

3. Алгоритмы оценки средней частоты широкополосных сигналов во временной области и структуры фильтров, выполняющих операцию дробного дифференцирования.

4. Результаты численного исследования точностных характеристик разработанных алгоритмов.

Структура работы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (92 наименования) и шести приложений.

В первой главе работы описываются основные методы оценивания спектральных параметров сигналов во временной области. Методом статистического моделирования исследована точность оценки средней частоты сигнала с использованием метода моментов при различных весовых функциях. Проведен анализ метода квазичастоты и метода, основанного на использовании преобразования Гильберта при оценке средней частоты сигналов.

Вторая глава посвящена описанию метода оценки средней частоты сигнала во временной области, использующего аппарат дробного дифференцирования. Представлены частотная и импульсная характеристика фильтра, выполняющего операцию дробного дифференцирования порядка ½.

В третьей главе рассматриваются возможности метода оценки средней частоты сигнала с использованием операции дробного дифференцирования порядка ½. Приводятся варианты синтеза фильтра, выполняющего операцию дробного дифференцирования. Проводится численное моделирование, анализируются точность и помехоустойчивость алгоритмов оценки средней частоты сигнала.

В четвертой главе рассмотрены оценки средней частоты спектра сигнала в применении к практическим задачам. Описан аналоговый измеритель средней частоты широкополосного сигнала.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы.

Некоторые математические выкладки, отдельные пояснения и принципиальные схемы приведены в приложениях.

Выводы и рекомендации.

1. Из представленных результатов видно, что характеристики макета измерителя центральной частоты широкополосного сигнала позволяют использовать его в качестве устройства для демонстрации метода дробного дифференцирования. Тем не менее очевидно, что большая погрешность определения частоты (порядка 10%) не дает возможности использования макета в измерительных целях.

2. Другим фактором, влияющим на качество работы прибора, является то, что точность его работы находится в сильной зависимости от частоты сигнала, что обусловлено ограниченностью частотного диапазона, в котором работает макет.

3. Для улучшения параметров устройства необходимо повысить точность преобразований сигнала, либо использовать альтернативные способы реализации данного алгоритма.

Заключение

.

В настоящей диссертационной работе исследован ряд важных вопросов, связанных с компьютерной обработкой сигнала при исследовании временных методов оценки спектральных характеристик широкополосных сигналов. Подводя краткий итог исследования, отметим следующие основные результаты.

1. В работе рассмотрены методы оценки средней частоты широкополосных сигналов без спектральной обработки.

2. Описан метод моментов в применении к задаче определения средней частоты широкополосного сигнала.

3. Исследован метод оценки центра тяжести спектра широкополосного колебания, использующий математический аппарат дробного дифференцирования. Проведен анализ эффективности работы метода. Отмечается, что представленный метод достаточно экономичен с точки зрения использования машинной памяти.

4. Предложен способ вычисления дробной производной сигнала с аппроксимацией оператора дробного дифференцирования порядка ½ дифференцирующими звеньями целочисленных порядков.

5. Разработан ряд алгоритмов построения фильтров, реализующих выполнение операции дробного дифференцирования сигнала.

6. Произведена экспериментальная проверка (численное моделирование) метода дробного дифференцирования при оценке средней частоты сигнала. Исследована помехоустойчивость ряда алгоритмов оценки спектральных характеристик широкополосных сигналов. Показано, что представленные алгоритмы могут быть применены при обработке широкополосных зашумленных сигналов.

7. Разработан и изготовлен макет измерителя средней частоты, использующий дробное дифференцирование сигнала. Проведены практические измерения по оценке средней частоты сигнала, подтверждающие работоспособность метода.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору кафедры Радиофизики ВолГУ Владимиру Дмитриевичу Захарченко за постоянное и внимательное руководство.

Автор считает приятным долгом поблагодарить к. ф-м.н. А. Ф. Васильева за ценные советы и указания, полученные в процессе работы над диссертацией.

Автор благодарен сотрудникам кафедры Радиофизики ВолГУ за многочисленные ценные замечания и обсуждение работы.