Дву-двузначные квадратичные преобразования и их использование для конструирования поверхностей и сжатия графической информации

Научно-техническая революция, начавшаяся в 50-х годах, сделала науку еще более мощой производительной силой. Было бы немыслимо без ее участия решение важнейших народао-хозяйствен-ных задач.

Современное развитие науки и техники сопровождается усложнением объектов производства, в том числе изделий машиностроения. Значительно повышаются требования к процессу проектирования нового изделия, особенно на ранних этапах.

Немалое актуальное значение приобретают также вопросы конструирования сложных технических форм поверхностей, решение ряда прикладных задач и вопросы их использования в быстродействующей вычислительной технике. Эффективное решение этих задач в современных условиях осуществимо только комплексным применением математических методов и средств вычислительной техники.

В «Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981;85 годы и на период до 1990 года», принятых на ХХУ1 съезде КПСС, указывается на необходимость расширения автоматизации проектно-конструкторских работ с применением электронно-вычислительной техники, развития и совершенствования математического обеспечения [i.l].

Формирование геометрической подсистемы САПР базируется на современных достижениях в области начертательной геометрщ и инженерной графики. Развитие прикладной геометрии, как одной из составных частей прикладной математики, проходит под знаком усиления связей классических разделов геометрии с практикой.

На данном этапе решение ряда инженерных задач строительства и архитектуры, авиа-, судо-, авто-, турбостроения и других отраслей техники осуществляется методами прикладной геометрии, в развитие которых значительный вклад внесли советские ученые.

4.85,, В .А.

Н.Ф.Четверухин [з.49], И. И. Котов [з.27,4.49], Н. Ы. Рыжов 4.89], С. А. Фролов [3.45,3.47], В. Е. Михайленко [3.31,4.63 Осипов [3.33,4.77], А. В. Павлов [4.80,4.81], Ш. П. Филиппов [3.43], А.1.Подгорный [2.1,3.35], К. И. Вальков [з.11,3.12], И. С. Джапаридзе [4.27] и др.

Особенно большое прикдадаое значение получил один из разделов геометрии, посвященный прикладной геометрии поверхностей [3.19,4.49,4.52,4.53,4.54,4.78,4.87,4.88,4.90,4.98,4.105,4.109]. Для конструирования поверхностей, исследования их свойств, построения линии их пересечения и т. д., кроме многих известных методов [3.5,3.9,3.13,4.1,4.2,4.3,4.5,4.9,4,10,4.11,4.15,4.17,4.19, 4.20,4.23,4.35,4.39,4.41,4.66,4.73,4.99,4.112] применяются также метода геометрических преобразований, в том числе квадратичные и другие алгебраические преобразования высших порядков [2.2,3.29, 4.4,4.22,4.29,4.37,4.43,4.45,4.57,4.58,4.59,4.92,4.93,4.102, 4. ЮЗ]. Широкое применение нашли линейные преобразования плоскости и пространства. Интересные результаты в этом направлении были получены И. И. Котовым, И. С. Джапаридзе, К. И. Вальковым, Л. Н. Лихачевым, Е. А. Мчедпишвили, В. С. Обуховой, И. М. Холдеевым, Д. Н. Борисовым, И. М. Малунцевым и многими другими.

Кремоновы преобразования и, в частности, однозначные квадратичные преобразования нашли применение в прикладной и начертательной геометриях в’работах [3.14,3.54,4.26,4.37,4.40,4.42, 4.48,4.64,4.67,4.95,4.116,4.120].

Многозначные, в частности, дву-двузначные квадратичные соответствия используются в основном: а) для получения алгебраических кривых высших порядков и исследования их свойств [3.3,3.4,3.59,3.60,4.60,4.68,4.72,4.74, 4.82] - б) для моделирования плоскостей и поверхностей в методе двух изображений [4.31,4.32,4.33]-, в) для решения технических задач [4.71,4.97,4.100,4.Из] и задач начертательной геометрии [4.28,4.56,4.96,4.99,4,100] и т. д.

Рассмотрим состояние вопроса, связанного с разработкой теории и созданием способов практического использования квадратичных, в частности, дву-двузначных квадратичных преобразований.

Однозначное или другого типа квадратичное соответствие между элементами двух плоских полей (двух пространств) может быть установлено при помощи свойств проективной геометрии.

При этом:

1. а) Ряду первого порядка соответствует ряд второго порядкаб) лучку прдаых первого порядка соответствует пучок — ряд второго порядка (дня точечного соответствия).

2. Пучку прямых первого порядка соответствует пучок прямых второго порядка (в случаях, когда прямой одного поля соответствует определенная прямая другого поля).

3. Прямолинейному ряду точек соответствует пучок прямых второго порядка (в случаях, когда точке одного поля соответствует прямая другого поля).

Условия, сформулированные в пп.1 и 2, представляют колли-неарные, а в п. З — коррелятивные квадратичные соответствия.

Понселе [з.55] в 1820 г. изучал квадратичные преобразования на плоскости синтетическим образом.

Пусть заданы коническое сечение $ и точка 5^ в плоскости этого сечения. Если пучку прямых с центром в некоторой точке 5 г соответствует коррелятивный ряд точек р2, являющихся полярой точки S& относительно данного конического сечения, то точка 5!/ и коррелятивный ряд точек % порождают пучок прямых с центром.

SA, проективный пучку S2 .

Как известно, проективные пучки и определяют некоторое коническое сечение, точки которого будут находиться во взаимнооднозначном соответствии с точками поляры Рг .

Следовательно, квадратичное преобразование полностью определяется заданием конического сечения и точки, принадлежащей плоскости этого сечения. Понселе [3.56] предложил и другой способ задания квадратичных соответствий, который заключается в следующем: поляры одной и той же точки по отношению к пучку конических сечений проходят через одну определенную точку, вследствие чего точки данной плоскости будут находиться в квадратичном соответствии.

Квадратичные соответствия между элементами двух плоских полей можно установить на основании проективных образов первой ступени: а) двух пар проективных пучков прямыхб) двух пар проективных прямолинейных рядов, при условии, что общему элементу двух образов первой ступени одного поля не соответствует общий элемент двух образов первой ступени другого поля [з.17,4.42,4.96] .

В зависимости от выбора определенных пар проективных образов, расположения квадратичных полей и частных положений F ^ -точек можно получить различные квадратичные соответствия.

При попарном совпадении F — точек плоскостей преобразования становятся инволюционными. При этом пары точек, сопряженные с фиксированной коникой и коллинейные с фиксированной точкой (центр преобразования), определяют аппарат квадратичного соот р — точка — фиксированная или фундаментальная точка преобразования ветствия, где одна из f — точек является центром преобразования, а две другие — точками пересечения поляры центра преобразования с инвариантной коникой.

Алгоритм преобразования, составленный такими элементами, называется общей инверсией или преобразованием Гирста [з.Ю, 4.37,4.40,4.108] .

Образование квадратичного соответствия плоских полей при помощи линейных преобразований осуществляется на основе дважды выполненной корреляции одного и того же поля [3.61,4.42,4.95, 4.117,4.118]. Действительно, точке, А плоскости Л2на плоскости.

П>гс помощью двух заданных корреляций ставятся в соответствие две прямые, fta, точка пересечения, а которых является образом точки к (рис. 0.1).

Аналогичным образом устанавливается точечное соответствие я (2 между всеми точками плоскостей Л и П. При этом точечному ряду К F, HjNj—) первого порядка на Л2 соответствуют два пучка прямых первого порядка к, nи к'2, п’г) на Л'2. В пересечении соответственных прямых этих пучков получаются точки I I II определенной коники г if, к n-.j, где f Л f2, К'= hi rtk'2).. р, 2.

Полученное проективное соответствие плоскостей Л и Л является квадратичным, так как точечному ряду 5 (F, К, первого порядка в плоскости Л* соответствует точечный ряд { (F,' N', KJ—J второго порядка в плоскости Л' .

В оаА коллинеациях произвольной прямой Р плоскости Пг соответствует оол прямых $, огибающих коническое сечение, касающееся сторон треугольника, А ВС, где, а, В «С являются двойными точками коллинеации. Следовательно, между точками и соответствующими им в пучке коллинеации прямыми существует квадратичное соответствие, в котором главными точками будут двойные.

Рис. 0.1. Образование квадратичного соответствия плоских полей при помощи линейных преобразований. точки, А, В, с [4.П4]. п2.

Теперь в плоскости И дана сеть 2 всех прямых, а в плоскости П — сеть Е конических сечений с базисной (фиксированной) точкой Р, как известно [з.4], каждой прямой сети И соответствует единственное коническое сечение сети Л, пучку прямых — пучок коничвских сечений, и наоборот, т. е. между плоскостями Пг и Л' устанавливается квадратичное соответствие.

Рассмотрим работы, посвященные исследованию дву-двузначных квадратичных соответствий. Наиболее содержательными были исследования [4.32,4.33,4.37,4.40,4.56,4.57,4.58,4.68,4.100,4.113].

Ознакомление начнем в хронологическом порядке.

I. О. В. Локтев (1958 г.) [4.56,4.57,4.58].

Сущность предложенного О. В. Локтевым способа квадратичных преобразований заключается в следующем:

Пусть задана прямоугольная система координат хОу (рис.

0.2).

Через произвольную точку Д, принадлежащую плоскому полю.

П, определяемому прямыми X и у, проводим две прямые, а IIX и 6II у. Отмечаем точку I, в которой прямая, а пересекает ось у. Из точки 0, как из центра, проводим дугу окружности радиусом,.

1 д I равным отрезку 01 и отмечаем точки Д и, А, в которых эта дуга пересекает прямую 6 • Точки, А и, А являются образами данной точки, А .

Из рис. 0.2 видно, что в поле П существует ещз одаа точка, А, которая преобразуется в ту же пару точек, что и точка, А. Точки, А и, А расположены симметрично относительно прямой ос, которую называют осью преобразования. Следовательно, любая фигура плоскости Пг имеет симметричную фигуру относительно той же оси преобразования.

При таком аппарате построения соответствующих точек точки.

Рис. 0.2. графический аппарат квадратичного преобразования, предложенного О. В. Локтевым. преобразованного поля Л2 биссектрисами I, -6 (эти биссектрисы называют также граничными прямыми) угла ос 0 у разбиваются на две области. Очевидно, что: а) точкам, принадлежащим не заштрихованной части плоскости II, соответствуют действительные несовпавшие точки плоскости.

П'% б) точкам, расположенным в заштрихованной, части плоскости П, соответствуют мнимые части плоскости П' - в) точкам, принадлежащим граничным прямым { и $, соответствуют совпадающие действительные точки плоскости П' .

Рассмотренный аппарат задает квадратичное преобразование п2 П|2 двух плоских полей II и II, так как:

1) двум прямым, симметрично расположенным относительно оси преобразования, соответствует кривая 2-го порядка (невырожденная или вырожденная) с фокусом в начале координат и осью симметрии О ОС ;

2) двум кривым Пго порядка, симметрично расположенным относительно оси преобразования, в общем случае соответствует кривая 2пго порядка.

Естественно, что когда одна из осей кривой 2-го порядка совпадает с осью симметрии преобразования, то данная кривая преобразуется вновь в кривую 2-го порядка, ось которой также совпадает с осью симметрии преобразования.

Аппарат преобразования трехмерного пространства может быть получен как совокупность плоских аппаратов, составляющих пучок плоскостей с общим несобственным носителем.

2. Нгуен Ван Дьем (1965 г.) [4.68] предложил аппарат преобразования, показанный на рис. 0.3.

В плоскости, определяемой осями СС и у, проводятся две граничные прямыей и С, параллельные оси ОС и отстоящие от них.

Рис. 0.3. Графический аппарат квадратичного преобразования предложенного Нгуен Ван Дьемом. на равные расстояния В .

Для определения точек, А и, А поля П'2, соответствующих данной точке А&П2, необходимо выполнить следующие геометрические построения:

1) через произвольную точку Ае Пг проводим прямую с^Н у ;

2) отмечаем точку Ах=С{, Пзс ;

3) из точки Ajc ! как из центра, проводим дугу окружности радиуса отмечаем точку I, в которой эта дуга пересекает граничную прямую 0 ;

4) из точки I проводим прямую, параллельную оси у и отмечаем точку ее пересечения с осью ос ;

5) принимаем /4 ос за центр окружности радиуса I f I;

6) отмечаем точки /4 и А', в которых эта окружность пересекает прямую CL .

1 TI, 2.

Полученные точки, А и, А поля П являются образами точек .1 а и Л поля П .

3. Опираясь на модель алгебраических поверхностей в методе двух изображений, М. А. Зайденварг (1968 г*) [4.32,4.33] предлагает способ дву-двузначных квадратичных преобразований, в котором в качестве вспомогательной алгебраической поверхности принимается поверхность 2-го порядка.

Идею геометрического аппарата квадратичных преобразований, предложенного М. А. Зайденваргом, иллюстрирует рис. 0.4.

Из рассмотренных способов преобразования видно, что построение соответственных точек производится, исходя из единого принципа.

При этом дву-двузначное квадратичное преобразование О. В. Локтева и Нгуен Ван Дьема получается из схемы М. А. Зайденварга, если в качестве вспомогательной поверхности взять соответственно конус вращения, образующие которого составляют с осью конуса.

Рис. 0.4. Графический аппарат квадратичного преобразования предложенного М. А. Зайданваргом. угол, равный 45° (способ 0.В.Локтева) или профильно-проецирующий гиперболический цилиндр (способ Нгуен Ван Дьема) (рис. 0.5).

4. Один из вариантов аппарата преобразования, предложенного Гирстом и обеспечивающего дву-двузначное соответствие между точками двух совмещенных полей рассматривал Г. С. Иванов (1968 г.) [4.37,4.40].

В плоском аппарате преобразования Гирста пучок (F) первого порядка заменяется пучком 2-го порядка, огибающим некоторую конику к3. Следовательно, каждая точка h-L вне кривой к2 будет инцидентна двум прямым ti и t-L из пучка 2-го порядка с носителем кг. д' дН.

При этом не совпавшие действительные точки А^ и А^, соответствующие данной точке к-ь, получаются пересечением касатель.

1 .11 п д ных t-L и Z-L с полярой точки h-L относительно кривой отнесения к? (рис. 0.6).,.

Аналогичные рассуждения справедливы и при обратном преобразовании, где точкам Ас и А^ также соответствуют по две точки hLt At и А^, hi (А" на рис. 0.6 не показана).

Заметим, что получение соответственных точек связано с громоздкими графическими построениями, что снижает практическую ценность этого аппарата. Плоскостное обобщение преобразования Гирста дается также в работе [4.108] .

5. В произвольной плоскости дву-двузначные квадратичные соответствия устанавливаются по алгоритму В. П. Ященко (1975 г.) [4.ИЗ], показанному на рис. 0.7. Прямая (S Аг) пересекает прямую ос в точке 0, через которую проводится прямая m, перпендикулярная прямой ОС. На прямой т от точки 0 откладываются отрезки |0Д'4|, OA", равные отрезку |0А2|. Таким образом, точке А2 (а также точке А2) одного поля соответствуют в другом поле две точки, А". V.

Рис.О, 5. Аппарат преобразования, предложенного Нгуен Ван Дьемом, как частного случая аппарата преобразования, предложенного М. А. Зайденваргом.

Рис. 0.7.

Схема построения соответственных точек, предложенная ВЛ.Ященко.

6. В отличив от схемы дву-двузначного квадратичного соответствия, предложенного В. П. Ященко, С. В. Торосяном (1975 г.) [4.100] предложена схема (рис. 0.8), где произвольная прямая преобразованного поля может служить в качестве оси преобразования, а любая точка со своими образами инцидентна определенной прямой из пучка прямых с центром 5 .

Построение соответственных точек по принципу этой схэмы выполняется в следующей последовательности:

1) прямая из пучка S, инцидентная данной точке, А > пересекает ось преобразования, а в точке А0 ;

2) на прямой и от точки 40 откладывается отрезок [А0 h ], равный отрезку А0А ;

3) точка A. J ортогонально проецируется на ось ос в точку Ах •.

4) окружность с центром в точке О радиуса | 0 Азс| пересекает прямую (бА) в двух точках А' и А', являющихся образом точки 4 .

Легко убедиться, что на прямой (>5−4) существует другая точка, А «для которой точки, А и, А также являются образами.

Как указывает автор, при помощи этой конструкции между точками совмещенных полей устанавливается (4*4)-значное соответствие. С целью уменьшения значности преобразования введено дополнительное понятие направления преобразования (на рис. 0.8 отмечены стрелками), в результате чего получается дву-двузначное квадратичное преобразование.

Для решения большого круга задач автор рассматривает центр пучка прямых как несобственный.

Дву-двузначное преобразование пространства выполняется при помощи аппарата преобразования, состоящего из дву-двузначных преобразований в пучке плоскостей.

Из теории групп геометрических преобразований известно, что изоморфные группы преобразования позволяют интерпретировать.

Рис. 0.8. Схвма построения соответственных точек женная С. В. Торосяном. предаюодну геометрию в другую, или по определению Клейна [з.24] «переносить» одну геометрию в другую. Сущность «принципа перенесения» заключается в установлении соответствия между элементами двух геометрий, которые, как убедимся в дальнейшем, играют важнейшую роль при решении теоретических и конструктивных вопросов при создании дву-двузначного квадратичного соответствия на плоскости и в пространстве.

Говоря о переходе от геометрии плоскости к геометрии прямой, в своей работе [4.119] Гессе пишет: «Между точками плоскости и прямой линии нельзя установить соответствие так, чтобы каждой точке плоскости соответствовала определяемая ей точка прямой и обратно, каждой точке прямой соответствовала единственная точка плоскости. Отсюда кажется невозможным переход от геометрии плоскости к геометрии прямой. Но такая возможность появляется, если предположить, что плоскость содержит такое же число различных точек, как и прямая содержит различные пары точек.

Если однозначным образом поставить в соответствие каждую пару точек прямой точке плоскости, то получим принцип перенесения, с помощью которого геометрия плоскости переносится на геометрию прямой и обратно.

Аналогичным образом геометрия пространства переносится на геометрию прямой, то же имеет место для пространства более трех измерений" .

В случав, когда точки прямой считаются двойными, как показал Гессе, им будут соответствовать точки плоскости, инцидентные некоторому коническому сечению i-L (рис. 0.9).

Отметим, что каждой двойной точке Aj, s At прямой на плоскости соответствует точка М[, такая, что касательные, проведенные из нее к коническому сечению t-L, касаются его в точках At, At, соответствующих точкам А^ .

Рис. 0.9. Графический алгоритм «принципа перенесения' предложенный 0.Гессе.

Если в качестве геометрического места точек Мi принять прямую линию m[, то произвольной точке этой прямой будет соответствовать двойная точка на прямой, образующая инволюцию второго порядка, где точкам пересечения конического сечения с прямой соответствуют двойные точки этой инволюции.

В случаях, когда геометрическим местом точек М{, является произвольное коническое сечение, тогда, в силу принципа перенесения, на прямой li им будет соответствовать система двойных точек, вследствие чего на плоскости порождается инволюция второго порядка, второго ранга.

К подобному заключению прихода также Клейн [з.24], утверждая, что группа коллинеаций прямой изоморфно изображается группой коллинеаций плоскостей тогда, когда прямая линия проецируется на коническом сечении из точки этого сечения, переводя при этом коническое сечение на себя.

Исходя из определения групп, на прямой определяется геометрия бинарных форм. Поэтому Клейн приходит к выводу, что «теория бинарных форм и проективная геометрия систем точек на коническом сечении — о да о и то же» .

Рассматривая на коническом сечении вместо точек пары вещественных или мнимо сопряженных точек, вместо этих пар точекпрямые, высекающие их из конического сечения, или полюса этих прямых относительно конического сечения, Клейн приходит к выводу, что «теория бинарных форм и проективная геометрия плоскости, которую изучаем, полагая в основу некоторое коническое сечение, эквивалентны между собой» .

Далее Клейн указывает, что «связь между геометрией плоскости, пространства или многообразия произвольного числа измерений совпадает в существенных чертах с предложенным Гессе принципом перенесения» .

Принципом перенесения занимался Плюккер [з.57], переходя из трехмерной проективной геометрии на пятимерную гиперболическую геометрию.

Таким образом, из вышеизложенного краткого обзора работ, посвященных квадратичным соответствиям, можно сделать следующие выводы:

1. Квадратичные соответствия плоскости могут быть получены: а) на основе проективной геометрии [3.4,3.10,4.37,4.40, 4.42,4.43,4.95,4.96,4.102,4.108] - б) отображением пространственных фигур на плоскости [4.32, 4.33] - в) конструктивными построениями, задаваемыми в самой плоскости [4.37,4.40,4.56,4.57,4.58,4.68,4.100,4.107,4.113]- г) при помощи «принципа перенесения» [3.24,3.57,4.19] .

2. Квадратичные соответствия пространства выполняются аппаратом преобразования, состоящим из преобразований в плоскостях некоторого пучка.

3. Из перечисленных выше работ, только в работе [4.100] совместно со свойствами полученных соответствий, изучена и фундаментальная система преобразований, но конструкция схемы аппарата дву-двузначного квадратичного преобразования, как и у остальных авторов, выбрана эмпирически, без учета общих теоретических предпосшюк, что в значительной степени влияет на возможность их приложений к решению инженерных задач.

4. Приложения таких преобразований направлены в основном на получение некоторых алгебраических кривых высших порядков и определение точек пересечения простых кривых частного расположения относительно элементов аппарата преобразования, а также определение линии пересечения поверхностей зависимых сечений специального вида, в частности, поверхностей второго порядка, воли они имеют общую плоскость симметрии без построения их очерков. Другое направление приложений связано с конструированием некоторых видов технических форм поверхностей при использовании отсеков изученных поверхностей.

5. Связь между граничными (фундаментальными) прямыми существующих аппаратов дву-двузначных квадратичных преобразований ограничивает возможности их использования дня решения большого круга прикладных задач и автоматизации процесса их решения.

Эффективный же поиск оптимальных решений при конструировании различных линий и поверхностей, а также решении ряда других прикладаых задач, как уже отмечено, может успешно осуществляться только с использованием ЭВМ, позволяющих автоматизировать процесс проектирования.

Использование ЭВМ для обработки графической информации связано с определенными трудностями, обусловленными тем, что чертеж — наиболее распространенная форма представления графической информации — содержит большое количество избыточной информации.

Поэтому решение вопросов, направленных на сокращение избыточной информации, являвтся одной из основных задач, входящих в систему САПР.

Решение этой задачи позволит не только сократить время, затрачиваемое на ввод информации в ЭВМ, но, что не менее важно, освободить большое число ячеек оперативной памяти машины.

Сокращение избыточной графической инфоршции может быть осуществлено как различными аппаратными средствами (дифференциацией нидрсигнала, увеличением шага квантования как по уровню, так и по времени в процессе считывания чертежа), так и с помощью различных методов геометрических преобразований, применяемых в хода решения задач, так как «геометрическое преобразование слукит решению трудных геометрических задач, преобразуя заданные фигуры в простейшие. После того, как для преобразованной фи1>уры задача будет решена, стоит только преобразовать ее в первоначальную, чтобы получить требуемое решение для этой последней» [3.32] .

В связи с развитием САПР и на основании анализа литературы в работе поставлена следующая цель — разработка и изучение свойств более универсального по сравнению с сущзствующими метода дву-двузначного квадратичного преобразования и реализация его на ЭВМ.

Для осуществления поставленной цели разработанный способ должен обладать свойствами, позволяющими:

1) получать замкнутые кривые;

2) получать единые кривые (не кусочные), так как в этом случае отпадает необходимость решения задач сопряжений;

3) управлять формой кривой, приближая ее к требуемой;

4) строить образы кривых, удовлетворяющих некоторым наперед заданным условиям (проходящих через заданные точки или ограничивающих площади, равные или близкие наперед заданным и т. д.);

5) варьировать координаты точек — образов любых точек плоскости или пространства;

6) преобразовывать алгебраические поверхности или конструировать непрерывный каркас из плоских кривых — образов известных кривых, инцидентных семейству плоскостей, параллельных одной из координатных;

7) строить касательные прямые и плоскости к конструируемым линиям и поверхностям;

8) создать программное обеспечение, удобное для составления программ, реализующих способ на ЭВМ.

На основании изложенного в работе поставлены следующие задачи:

1) разработка теоретической базы для создания метода квадратичного преобразования, обладающего свойствами, изложенными в пунктах 1−8;

2) разработка плоских и пространственных геометрических аппаратов преобразований и установление аналитических связей мевдог прообразами и образами;

3) исследования геометрических аппаратов (плоских и пространственных) нового метода дву-двузначного квадратичного преобразования с целью управления формой образа;

4) исследование образов прямых, кривых второго и высшего порядка, плоскостей и поверхностей в соответствующем аппарате преобразования для решения задач геометрического и прикладного характера;

5) разработка комплекса подорограмм, реализующих разработанный метод в автоматизированном режиме.

Научная новизна исследований состоит в том, что на основе теории квадратичного преобразования, проективной, начертательной геометрии, элементов вычислительной геометрии и применения современной вычислительной техники: а) доказаны теоремы, являющиеся теоретической основой для нового метода дву-двузначного квадратичного преобразования;

6) разработаны новые геометрические аппараты квадратичных преобразований плоскости и пространства, которые моделируют построение соответствующих точек средствами вычислительной техники.

Практическая ценность — разработанное квадратичное преобразование и комплекс программ, реализующих его на ЭВМ, позволяют в автоматизированном режиме конструировать поверхности, несуще каркас алгебраических линий, и управлять их формой в зависимости от конкретных технических задач.

Методы исследований, принятые в настоящей работе: синтетический и аналитический с применением ЭВМ.

Результаты исследований внедрены: а) на предприятии п/я B-248I и использованы при решении задач конструирования поверхностей с помощью ЭВМб) во всесоюзном заочном инженерно-строительном институте (ВШСИ) и включены в рабочую программу курса лекций по начертательной геометрии в разделе «Решение геометрических задач на ЭВМ» .

Апробация работы — основные результаты работы доложены:

1. На XI, ХП, ХШ, Х1У, ХУ, ХУ1, ХУЛ научно-технических конференциях Ленинаканского филиала ЕрПИ им. К.Маркса, Ленина-кан, октябрь, 1976, 1977, 1978, 1979, 1980, 1981, 1982.

2. На ХХУ1 и ХХУШ научно-технических конференциях Ереванского политехнического института им. К.Маркса, апрель 1979, 1981.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять научных статей, в которых изложены основные теоретические и прикладаые вопросы работы.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Всего J28страниц машинописного текста, $£/рисунков, 2 — приложения, наименований использованной литературы, из них на иностранных языках.

На защиту выносятся:

1. Теоретические основы установления дву-двузначных квадратичных соответствий совмещенных полей и совмещенных пространств.

2. Графические и аналитические алгоритмы построения образов.

3. Способы управления формой образа.

4. Методика конструирования технических форм поверхностей, несущих каркас алгебраических линий.

5. Способ построения вычислительных алгоритмов решения инженерно-графических задач.

6. Подпрограммы, реализующие геометрические операции в автоматизированном режиме.

Первая и вторая главы посвящены разработке теории и на ее основе созданию нового способа дву-двузначных квадратичных преобразований на плоскости и в пространстве.

Третья глава содержит вопросы осуществления разработанного способа на ЭЕМ и примеры реализации предложенных алгоритмов на конкретных объектах.

В приложении помещены материалы, отражающие прикладную сторону теоретических исследований, проведенных в диссертации:

1) акты о внедрении в п/я В-24−8 i и ВЗИСИ дву-двузначных квадратичных преобразований и их использовании для конструирования поверхностей и сжатия графической инфоршции;

2) программы на языке PLI, реализующие разработанные методы дву-двузначного квадратичного преобразования и проектиро вания поверхностей, ретранслированная ЭВМ VAX 11/70 (модель американская) и чертежное устройство «Benson «;

3) исходные данные и параметры для проектирования поверхностей реальных рабочих органов — фюзелажа самолета и воздухозаборника (изд.А-12);

4) чертежи фюзелажа и воздухозаборника (изд.А-12).

1.I. Постановление ХХУ1 съезда КПСС, по проекту ЦК КПСС «Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года». — В кн.: Материалы ХХУ1 съезда КПСС. М., 1981.

2. Материалы съездов, конференций, симпозиумов.

3. Подгорный А. Л. О кинематическом способе образования множеств линий и выделении из них поверхностей. Тезисы докладов 3-й Прибалтийской геометрической конференции* Паланга * 1968.

4. Шеин В. Т. Замкнутое соответствие метод геометрических преобразований. Тезисы докладов ХУЛ научно-технической конференции КЙСИ, Киев, 1966.3. К н и г и.

5. Автоматизация умственного труда в машиностроении. Труды научной сессии отдаления механики и процессов управления и научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика». Наука, М., 1969.

6. Ампилов В. И. Управление формой каркасных поверхностей для задач увязки оснастки и деталей в самолетостроении. В кн.: Машинное проектирование увязки и воспроизведение сложных деталей в авиастроении. Иркутск, 1977.

7. Андреев К. А. О геометрическом образовании плоских кривых. Харьков, 1875.

8. Андреев К. А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий. М., 1879.

9. Ахатов Р. Х. Графо-аналитические метода математического моделирования поверхностей технических форм, отвечающих комплексным инженерно-техническим условиям. Канд.дисс. М., 1983.

10. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Наука, М., 1965.

11. Банковский Ю. М., Штаркман B.C. Машинная графика. М., 1970.

12. Бубенников А. В., Громов М. Я. Начертательная геометрия. Высшая школа. М., 1973.

13. Булгаков В. Я. Торсы 4-го порядка и их приложение к конструированию поверхностей технических форм и оболочек. Канд. дисс. Киев, 1983.

14. Бушко-Жук. Инверсия и инволюция. Ученые записки Кишиневского ун-та, т.54, I960.

15. Вальков К. Н. Лекции по основам геометрического моделирования. Ленинградский инженерно-строительный ин-т. Л., 1970.

16. Вальков К. Н. Вопросы использования коллинеарных преобразований в задачах начертательной геометрии. Л., 1955.

17. Вильяме Д. А. Построение криволинейных поверхностей. М., Машгиз., 1951.

18. Виноградов В. Л. Расслоенные кремоновы преобразования пространства Р3, Рц. Канд.дисс. Ярославль, 1972.

19. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-во Наука, М., 1964.

20. Гирш А. Г. Построение обводов линий и поверхностей методами интерполяции и аппроксимации. Канд.дисс. М., 1972.

21. Глаголев Н. А. Проективная геометрия. Изд. Высшая школа, М., 1963.

22. Горелик А. Г. Автоматизация инженерно-графических работ с помощью ЭВМ. Минск, Вышэйш. школа, 1980.

23. Горелик А. Г., Крет Р. И., Черкасов В. Н. Алгоритмы решениязадач дискретной прикладной геометрии. НТК АН БССР, Минск, 1968.

24. Давыдов Ю. В. Параметр формы обобщенного уравнения специального контура. В кн.: Машинное проектирование, увязка и воспроизведение сложных деталей в авиастроении. Иркутск, 1976.

25. Жигалев Е. А., Трифонов Н. П. Курс программирования. Наука, Изд. З-е, М., 1971.

26. Зазулевич Д. М. Машинная графика в автоматизированном проектировании. М., Машиностроение, 1976.

27. Залев А. П., Покатаев В. В., Осипов В. А. Математическое моделирование обводов посредством специальных функций. В кн.: Машиностроение, проектирование, увязка и воспроизведение сложных деталей в авиастроении. Иркутск, 1978.

28. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований (Эрлангенская программа). Пер. Д. М. Синцова. В кн.: Об основаниях геометрии.

29. Кокстер Х.С. М. Действительная проективная плоскость. Гос. изд.физ.-мат.литературы, М., 1959.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., Наука, 1977.

31. Котов И. И. Графические способы задания и построения технических форм поверхностей. Докт.дисс. М., 1959.

32. Котов И. И., Полозов B.C., Широкова Л. В. Алгоритмы машинной графики. М., Машиностроение, 1977.

33. Маденов Н. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М., изд-во МГУ, 1961.

34. Маденов П. С. Аналитическая геометрия. Изд. Московского ун-та. М., I960.

35. Михайленко В. Е., Обухова B.C., Подгорный А. Л. Формообразование оболочек в архитектуре. Киев, 1972.

36. Ньютон И. Математические начала натуральной.философии. Пер. А. Н. Крылова, собр.соч. акад.А. Н. Крылова. Т.7, М.-Л., изд. АН СССР, 1936.

37. Осипов В. А. Машинные методы проектирования непрерывно каркасных поверхностей. М., Машиностроение, 1979.

38. Осипов В. А., Лукманов Ф. Ф., Леман В. Л., Сыртланов Р. В. Управление формой кривой, параметризованной полиномами третьей степени. В кн.: Геометрия САПР и автоматизированные системы производства деталей и узлов машин. М., 1978.

39. Подгорный А. Л. Обобщение способа конструирования поверхностей из кривых 2-го порядка и применение его дяя формообразования оболочек. Вопросы прикладной геометрии. Киев, 1968.

40. Постников М. М. Аналитическая геометрия. Изд. Наука, М., 1973.

41. Принс М. Д. Машинная графика и автоматизация проектирования. Москва, Сов. радио, 1975.

42. Стародетко Е. А. Оптимизация формы и метрики лекальных кривых и поверхностей. В кн.: Теория и метода автоматизации проектирования. Минск: ИТК АН БССР, 1980, вып.4.

43. Савелов А. А. Плоские кривые. Физматгиз., М., I960.

44. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. Физматгиз., М., 1961.

45. Тюрин Ю. А., Смирнов О. Л., Осин М. И. Автоматизация проектирования. Проблемы и перспективы. М., изд.отдзл.Управления делами Секретариата СЭВ, 1980.

46. Утишев Е. Г. Графо-аналитические способы задания и конструирования каркасных поверхностей специальными линиями. Канд.дисс. М., 1965.

47. Филиппов В. П. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения. Л.: изд-во ЛГУ, 1979.

48. Фролов С .А. Начертательная геометрия. Машиностроение. М., 1983.

49. Фролов G.A. Метода преобразования ортогональных проекции. Машиностроение, изд.2-е, переработ. и дополн. М., 1970.

50. Фролов С. А. Кибернетика и инженерная графика. Изд.2-е, исправлен. Машиностроение, М., 1974.

51. Фролов СЛ. Автоматизация процесса графического решения задач. Докт.днсс. М., 1963.

52. Хотимская О. В. Исследование применения кривых 2-го порядка в некоторых технических задачах. Канд. дисс. М., 1951.

53. Четверухин Н. Ф. Полные и неполные изображения. Вопросы современной начертательной геометрии. М., Гостехиздат., 1947.

54. Шанин Е. М., Осипов В. А. К вопросу аналитического расчета кривых типа «аэродинамический профиль». Изд. ВУЗов, Авиационная техника. Казань, 1976, В 4.

55. Якушин В. И. Геометрические основы системы автоматизированного проектирования технических поверхностей. Формирование математической модели поверхностей. М., изд-во МА. И, 1980.

56. Якушин В. И. Универсальный метод описания сложных технических кривых и поверхностей в САПР. М., 1979.

57. Королев О. Н. Ввод графической информации в ЦВМ. Нефть и газ и их продукты. М., 1971.

58. Hudson Н. Cremona transformations in plane and space, Cambeidge. 1927.

59. Poncelet I.U. Traite des proprietes promotives des figues. vol.1. Paris 1865.

60. Авдоньев Е. Я., Протодьяконов С. М. Уравнения и характеристики поверхностей высших порядков. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.21. Киев, Будивельник, 1976.

61. Авдоньев Е. Я. Исследование геометрии некоторых поверхностей высших порядаов. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.20, Киев, Будивельник, 1975.

62. Авдоньев Е. Я. Аппроксимация поверхностей плавающих тел алгебраическими. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.17. Киев, Будивельник, 1973.

63. Авдоньев Е. Я. 0 некоторых пространственных преобразованиях как совокупности плоскостных. Сб.: Прикладаая геометрия и инженерная графика. Вып.10. Киев, 1970.

64. Авдоньев Е. Я. Конструирование поверхностей, удовлетворяющих некоторые метрические требования. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.14. Киев, Будивельник, 1972.

65. Авдоньев Е. Я. 0 формах одного класса кривых 4-го порядка. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.35. Киев, Будивельник, 1983.

66. Авдоньев Е. Я. Автоматизированное проектирование обводов судов из алгебраических плоских кривых. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.36. Киев, 1983.

67. Адилов П. А. Координатный способ построения алгебраических кривых при помощи многозначного соответствия. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.18. Киев, Будивельник, 1974.

68. Адилов П. А. Построение некоторых алгебраических поверхностей высших порядков номограммно-координатным способом. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.21. Киев, Будивельник, 1976.

69. Амиров М. К вопросу конструирования циклических тороидальных поверхностей. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.14. Киев, 1972.

70. Антонов Е. К. Кинематическая поверхность в образовании формы автомобильных кузовов. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.З. Киев, Будивельник, 1965.

71. Байкалова С. М. Конструирование кривых типа «шпангоут» капота. Труды МАИ: «Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей». № 296, вып.9. М., 1974.

72. Бескин Н. М. Вычислительный метод построения изображений. Сб.: Методы начертательной геометрии и ее приложения. М., ГИТТЛ, 1955.

73. Бодрихин Ю. К. К вопросу о построении линий пересечения поверхностей 2-го порядка. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.14. Киев, Будивельник, 1972.

74. Вениаминов З. Н. Об одном способе построения линий перехода поверхностей 2-го порядка. Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. Вып.1. М., 1958.

75. Вишневский А. С. Об одном графо-аналитическом метода задания и построения поверхностей. Сб. трудов ХХШ научной конференции ДЙСИ. Харьков, 1963.

76. Власов В. З. Общая теория оболочек. Избранные труды. T.I. Изд. АН СССР, М., 1962.

77. Гершман И. П. Конструирование поверхностей путем выделения их непрерывных линейных каркасов из многопараметрических множеств линий. Труда УДН. Т.24. Вып.З. М., 1967.

78. Глазунов Е. А. 0 проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии. Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. Вып.1. М., 1958.

79. Гончаренко А. А. Площади, ограниченные кривыми, полученными инверсионным преобразованием. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.20, Киев, Будивельник, 1975.

80. Гончаров К. В. Об одном конструктивном способе образования 1,2-значного преобразования на плоскости. Труды МАИ: Геометрические преобразования и прикладная многомерная геометрия. Вып.307. М., 1974.

81. Гутер Р. С. и др. Программирование и вычислительная математика. Наука, вып.1. П.М., 1976.

82. Давидов Ю. В., Осипов В. А. Применение метода специальногоконтура для аппроксимации аэродинамического профиля произвольной формы. Изв. вузов, Авиационная техника. Казань, й 4, 1974.

83. Даминов Ш. Х. К вопросу аппроксимации сложных поверхностей поверхностями вращения. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. IIКиев, Будивельник, 1970.

84. Джапаридзе И. С. Геометрические преобразования и их применение в начертательной геометрии. Сб.: Методы начертательной геометрии и ее приложения. М., 1955.

85. Джапаридзе И. С. Построение конструктивных моделей пространств их систематизации и связь с методами изображений, применяемыми в технике. Автореферат докт.дисс. Тбилиси, 1965.

86. Дмитренко Е. П. Применение геометрических преобразований к решению задач о пересечении поверхностей 2-го порядка. Труды ХАДЙ: Вопросы начертательной геометрии и ее приложения. Харьков, 1958.

87. Дьяконова И. П, Квадратичные соответствия, возникающие при двойном проектировании квадрики на плоскость. Доклады на научных конференциях ЯГПИ, т.1, вып.З. Ярославль', 1962.

88. Евстифеев М. Ф. Поляритет и квадратичное соответствие. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 10. Киев, Будивельник, 1970.

89. Ермаков А. В., Иванов Г. С. Алгебраические поверхности, моделируемые в одном методе двух изображений центральными кремоновыми преобразованиями. Научные труды ШЛИ, вып.54. М., 1973.

90. Залевский В. И. Конструирование поверхностей технических форм с применением теории прогнозирования на ЭВМ. Автореферат канд.дисс. Киев, 1972.

91. Залевский В. И., Павлов А. В, К вопросу конструирования выпуклых кинематических поверхностей. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.II. Киев, Будивельник, 1970.

92. Замелин С. М. Об одном способе аппроксимации контуров самолета. Сб.: Прикладаая геометрия и инженерная графика. Вып.20. Киев, Будивельник, 1975.

93. Иванов Г. С. К вопросу моделирования алгебраических поверхностей центральными кремоновыми преобразованиями. Научные труда МЛТИ. Вып.54. М., 1973.

94. Иванова Ж. Г., Осипов В. А., Фадина А. П. Метод продольно-поперечной деформации замкнутого контура типа «шпангоут». Труды МАИ: Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей, J6 231, вып.8. М., 197I.

95. Иванова А. М. Об одном способе образования поверхностей третьего порядка и конструирования из их отсеков двумерных обводов. Автореферат канд.дисс. М., 1973.

96. Иванов Г. С. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных инволюций. Автореферат канд.дисс. М., 1968.

97. Игнатенко В. Ф. К вопросу построения алгебраических поверхностей и пространственных кривых высдшх порядков. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.7. Киев, Будивельник, 1968.

98. Калан да дзе К. Н. Квадратичные поля на основе двойной корреляции. Труды ГрузЛШ, № 4, Тбилиси, 1964.

99. Каландадзе К. Ы. Исследование конструктивных свойств нелинейных геометрических преобразований с приложением к начертательной геометрии. Автореферат канд.дисс. Тбилиси, 1966.

100. Каченюк A.M. Построение касательных плоскостей с использованием криволинейного проектирования. Сб.: Прикладаая геометрия и инженерная графика. Вып.5. Киев, Будивельник, 1967.

101. Колесников О. М. Об одном рациональном преобразовании. Изв. Крымского пед. ин-та, т.35. Симферополь, 1961.

102. Конакбаев К. К. О мнимых точках пересечения прямой с кони-кой. Сб. трудов МАИ, № 205, вып.4. М., 1970.

103. Коновалов О. Н., Осипов В. А. К математическому моделированию процессов проектирования поверхностей типа «фюзелаж-мотогондола». Изв. вузов, Авиационная техника. Казань, № 4, 1974.

104. Котий О. А. Классификация кремоновых преобразований и алгебраические конгруэнции прямых. Изв. ВУЗ, В 6. М., 1958.

105. Котов И. И. О полноте изображений линейчатых поверхностей. Труда Московского семинара по начертательной геометриии инженерной графике, вып.1. М., 1958.

106. Котов И. И. Об уравнениях различных участков числовой оси и кривых типа «шпангоут». Труды МАИ: Кибернетика графики и прикладаая геометрия поверхностей, Jfc 231, вып.8. М., 1971*.

107. Котов И. И. Прикладная геометрия и автоматическое воспроизведение поверхностей. Труды МАИ: Кибернетика графики и прикладаая геометрия поверхностей, вып.8, В 231. М., 1971.

108. Котов И. И. О полноте изображения аппроксимирующих поверхностей. Труды межвузовского семинара по начертательной геометрии. М., 1959.

109. Котов И. И. Основные понятия, определения и задачи прикладной геометрии поверхностей. Труды МАИ: Прикладная геометрия поверхностей, вып.1. М., 1964.

110. Котов И. И., Николаевский Г. К., Рыжов Н. Н., Халдеев И. М. Прикладная геометрия поверхностей. Сб.: Вопросы начертательной геометрии и ее приложение. Харьков, из д. Харьковского университета, 1963.

111. Котов И. И. Новый метод построения поверхностей, удовлетворяющих наперед заданным требованиям. Труды Рижской научно-методической конференции. РИИГФ, I960.

112. Локтев О. В. Об одном квадратичном преобразовании и о некоторых случаях пересечения поверхности тора с поверхностями второго порядка. Автореферат канд.дисс. М., I960.

113. Локтев О. В. О проекциях линий пересечения поверхностей тороидов, имеющих общие плоскости симметрии и равные диаметры образующих окружностей. Труды Рижской научно-методи-, ческой конференции по начертательной геометрии. Рига, I960.

114. Локтев О. В. Применение одного квадратичного преобразования к некоторым вопросам пересечения поверхностей. Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике, вып.1. М., 1958.

115. Малунцев И. М. Некоторые приемы построения линий пересечения кривых поверхностей. Труды 1Ш Ш 1(49). Тбилиси, 1957.

116. Маневич ВД. К теории многозначных точечных соответствий. Труды МИИТ: Вопросы диф., синтет и прикладной геометрии, выл.190. М., 1965.

117. Мельник В. И. О конструировании каркаса поверхностей «из дуг конгруэнтных кривых. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.16. Киев, Будивельник, 1973.

118. Мельник В. И. Конструирование поверхностей выделением из множеств конгруэнтных кривых с помощью ЭВМ. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.20. Киев, Будивельник, 1975.

119. Михайленко В. Е. О задании поверхностей непрерывным каркасом из плоских алгебраических кривых. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.II. Киев, Будивельник, 1970.

120. Млодзеевский Б. К. К теории кремоновых преобразований. Мат. сборник, вып.1, t.XXXI. М., 1922.

121. Мчедлишвили Е. А. Проективная геометрия и плоскостное отображение пространства. Изд. Тбилисского гос.университета. Тбилиси, 1974.

122. Надолиний В. А., Павлов А. В. Способ конструирования поверхностей сложных технических форм. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.20. Киев, Будивельник, 1975.

123. Наумович Н. В. Центральные квадратичные преобразования и их применения. Труды Рижской научно-методической конференции. Рига, I960.

124. Нгуен Ван Дьем. К вопросу исследования квадратичного преобразования. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.З. Киев, Будивельник, 1965.

125. Некрасов Ф. П. Исследование способов задания и расчета аэродинамических поверхностей. Автореферат канд.дисс. М., 1969.

126. Нестиренко Л. А. 0 математическом обеспечении ЭВМ для решения задач, исходные данные которых представлены в графической форме. Автореферат канд.дисс. М., 1977.

127. Никулин Н. А., Колесников О. Н. О некоторых специальных преобразованиях и их приложениях в конструктивной геометрии. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 21. Киев, Будивельник, 1976.

128. Никулин ЕЛ. Рациональные преобразования и теория алгебраических кривых. Изв. Крымского пед. ин-та, т.35. Симферополь, 1961.

129. Обухова B.C. Синтетические методы конструирования алгебраических поверхностей высших порядков. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.12. Киев, Будивельник, 1971.

130. Обухова B.C. Синтетические способы построения алгебраических кривых. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.II. Киев, Будивельник, 1970.

131. Осипов В. А. Вопросы конструирования и программирования обработки плоских и пространственных обводов. Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. Вып.2. М., 1963.

132. Павлов А. В. Кинематическая поверхность, образованная вращением кривой второго порядка. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.7. Киев, Будивельник, 1967.

133. Павлов А. В. К вопросу о построении обводов технических форм с помощью кривых 2-го порядка. Сб.: Прикладная го ометрия и инженерная графика. Вып.1. Киев, Будивельник, 1965.

134. Павлов, А .В. Некоторые задачи аппроксишции незакономерных поверхностей. Сб.: Прикладаая геометрия и инженерная графика. Вып.4. Киев, Будивельник, 1966.

135. Павлов А. В. Графо-аналитические способы конструирования поверхностей сложной формы. Автореферат докт.дисс. М., 1967.

136. Попов И. А. Об одном способе построения алгебраических кривых. Сб. статей по алгебраической геометрии. Л., 1938.

137. Рудзнко И. Г. Графо-аналитическое определение площадей, ограниченных эллиптическими кривыми. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.20. Киев, Будивельник, 1975.

138. Рыжов Н. Н., Рузлвва Н. П., Кардашевская Ю. Г. Некоторые вопросы формализации конструирования поверхностей. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.13. Киев, Будивельник, 1975.

139. Рыжов Н. Н. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей. Труды УДН. М. Вып. З, т. ХХУ1, Прикладная геометрия. 1967.

140. Рыжов Н. Н., Геворгян В. В. Некоторые вопросы автоматизации конструирования поверхностей. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.20. Киев, Будивельник, 1975.

141. Рыжов Н. Н. Определитель поверхности и его применение. Труды УДН. Вып.4, т. Ш, Прикладная геометрия. М., 1971.

142. Рыжов Н. Н. Параметризация поверхностей. Труды УДН. Вып. З, т. ХХУ1, Прикладная геометрия. М., 1967.

143. Рыжов Н. Н. О теории каркаса. Труды УДН. Т.2, вып.1. М., 1963.

144. Рыжов Н. Н. О некоторых понятиях, связанных с чертежом поверхности. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.21. Киев, Будивельник, 1976.

145. Сальков Н. А. 0 некоторых закономерностях, имеющих место при касании сфер. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.35. Киев, Будивельник, 1983.

146. Седлицкая Н. И. Образование поверхностей при пересечении соответственных лучей двух конгруэнций. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.20. Киев, Будивельник, 1975.

147. Седлицкая Н. И. Принципы и некоторые конструктивные приемы построения трансверсальных поверхностей конгруэнций прямых. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.II. Киев, Будивельник, 1970.

148. Синицьш В. Л., Агеева О. Н. Вычисление площадей и объемов отсеков поверхностей некоторых оболочек-покрытий. Сб.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.14. Киев, Будивельник, 1972.

149. Скопец З. А. Некоторые методы получения специальных кремо-новых преобразований. Ученые записки МГУ, вып.155, Математика, т.5. 1952.

150. Солнцева Т. В. Построение некоторых многозначных соответствий между точками двух плоскостей. Автореферат канд. дисс. Московская область, 1954.

151. Солоненко М. П. Теоретические и конструктивные вопросы некоторых многозначных соответствий и их технические приложения. Автореферат канд.дисс. М., 1971.

152. Телвин A.M. Об одном кинематическом способе оборудования линейчатых поверхностей. Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. Вып.2. М., 1963.