Асимптотика высоких порядков квантово-полевых разложений в модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости

0.1. Турбулентность.

Типичный пример турбулентности — течение жидкости по трубе с заданным перепадом давления Ар на ее концах: при малом Ар течение плавное («ламинарное»), с ростом же Ар при переходе через некоторое пороговое значение АрПор плавное течение теряет устойчивость и в жидкости появляются хаотические завихрения, интенсивность которых возрастает с ростом Ар. Одновременно усложняется структура потока жидкости: характерным размером впервые появляющихся вблизи порога вихрей является некоторый «внешний масштаб» системы Ьтах (в приводимом примередиметр трубы), с ростом Ар эти первичные крупномасштабные вихри дробятся на все более мелкие. Режиму развитой турбулентности соответствует Ар > > А^пор • Тогда в системе одновременно присутствуют турбулентные и вихри всевозможных размеров от внешнего масштаба Ьтах до «диссипа-ционной длины» ЬтгП, для которой становится существенным затухание вихрей из-за вязкого трения. В стационарном режиме вся энергия, поступающая в систему от создающего градиент давления внешнего источника, в конечном счете, превращается в тепло из-за диссипации энергии для мелкомасштабных вихрей.

В общем случае роль Ар/АрПор играет безразмерный параметр — число Рейнольдса Ие = уЬтах/]у, где V — характерная средняя скорость течения, £/тах внешний масштаб, и — кинематическая вязкость среды.

При наличии турбулентности полное поле скорости х) представляется в виде суммы = г>(£, х) + х), где? — время, х 6 — координата в ¿—мерном пространстве, х) — плавная ламинарная составляющая скорости, ф{Ь, х) — сравнительно малая стохастическая (пуль-сационная) составляющая. Предметом исследования теории турбулентности являются статистические характеристики случайного поля</?(?, х), т. е. его корреляционные функции и различные функции отклика. Вблизи порога, когда число Рейнольдса Re немного превышает пороговое значение Re пор? структура впервые появляющихся турбулентных вихрей с характерным размером Lmax определяется всей геометрией задачи (см. [1]), т. е. в этой ситуации турбулентность помнит детали глобального устройства системы. Задачи такого типа решаются индивидуально для каждой конкретной системы.

Существенно упростить задачу можно в случае развитой турбулентности, когда Re «Re пор и Lmax «Lmin. Тогда существует чётко выраженный инерционный интервал расстояний Lmax «L «Lmin, и можно говорить о корреляционных функциях поля cp (t, х) на таких масштабах. Поскольку характерным масштабом ламинарной составляющей скорости потока является Lmax, то на расстояниях L «Ьтах мы полагаем v (t: х) = const. Таким образом, при изучении структуры турбулентного потока на таких масштабах можно игнорировать нетривиальное глобальное устройство изучаемой системы, постоянную же скорость v (t, х) можно устранить переходом в соответствующую систему координат. Это приведет к задаче об однородной изотропной турбулентности, в которой все поле скорости V (t, x) отождествляется с его стохастической составляющей (p{t, х), а источником поступления энергии считаются первичные крупномасштабные вихри.

Развитая турбулентность экспериментально наблюдается как для жидкостей, так и для газов и подчиняется единым закономерностям. Поскольку характерная скорость турбулентных пульсаций в реальных условиях гораздо меньше скорости звука, при описании турбулентности можно пренебречь сжимаемостью среды и считать векторное поле скорости поперечным.

Обычно [2] в качестве микромодели однородной изотропной развитой т. е. большие числа Рейнольдса) турбулентности несжимаемой жидкости (газа) используют стохастическое уравнение Навье-Стокса.

Vtf>i (x, t) = vA (pi (pc, t) — diP (y, t) + &(x, t), Vt s= dt + (</??), (1) где cp — поперечное (следствие несжимаемости) векторное поле скорости (dtp = dk^fk — 0), г/ - кинематический коэффициент вязкости, р (х, t) и £(х, i) — давление и поперечная внешняя случайная сила в расчете на единицу массы, Vi — галилеево-ковариантная производная. Для? предполагается гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором < fi (x, ?)?s (x'> >= Да (х, iх', ?') следующего вида.

Дя (х, = |dq^s (q)iV (q)e^(x-x'), (2) где Pis (q) = dis — QiQs/Q2 ~ поперечный проектор, dразмерность пространства х (и q), N (q) — некоторая «функция накачки», зависящая от |q| и от параметров модели.

Случайная сила? в уравнении (1) феноменологически моделирует сто-хастичность (которая в реальных условиях должна возникать спонтанно как следствие неустойчивости ламинарного течения) и одновременно накачку энергии в систему от взаимодействия с крупномасштабными вихрями. Средняя мощность накачки энергии (количество энергии, поступающее за единицу времени на единицу массы) связана с функцией N (q) в (2) соотношением.

W = [(d — 1)/2(2тг)Ч J dqW (q). (3).

В критической динамике вид коррелятора случайной силы в уравнениях Ланжевена выбирается требованием взаимной согласованности динамики и статики. Стохастическое уравнение Навье-Стокса не относится к этому классу, поэтому здесь нет однозначного правила выбора этого коррелятора.

В РГ-теории турбулентности его выбирают, руководствуясь, с одной стороны, физическими соображениями, с другой, — чисто техническими. Физические соображения состоят в том, что реалистическая для данной задачи накачка должна быть инфракрасной, т. е. основной вклад в интеграл (3) должен порождаться областью малых импульсов д ~ т = 1/Ьтах (накачка энергии крупномасштабными вихрями). С другой стороны, для использования стандартной квантовополевой техники РГ важно, чтобы функция Л^д) в (2) имела степенную асимптотику при больших к. Последнему условию удовлетворяет в частности функция где е > 0 — независимый параметр модели.

В РГ теории критического поведения критические индексы представляются в виде рядов по параметру? = 4 — й — отклонению размерности пространства (I от верхней критической размерности (1 = 4, выше которой критическое поведение тривиализуется. Важным отличием турбулентности (а точнее говоря, стохастического уравнения Навье-Стокса) является отсутствие верхней критической размерности, и параметр разложения? в теоретико-полевом РГ-подходе имеет совершенно иной физический смысл — этот параметр никак не связан с размерностью пространства, а характеризует «степень отклонения от логарифмичности». Модель становится логарифмической при? = 0, а реалистической при е > 2.

В большинстве работ по РГ-теории турбулентности используется более простая чисто степенная функция накачки соответствующая т = 0 в (4). Такой выбор допустим, если интересоваться лишь проблемой обоснования ИК-скейлинга и соответствующими критиче Ах?4-V + ш2)-£,.

4).

N (q) = Д)?

4—2е.

5) скими размерностями (которые при любой накачке не должны зависеть от т), а прочие объекты типа скейлинговых функций вычислять по диаграммам только в форме е — разложений. Тогда переход к задаче т — 0 непротиворечив, так как коэффициенты^{-разложений} диаграмм имеют пределы при т —> 0.

Физическое значение е = 2 отвечает накачке вихрями бесконечно большого размера. При этом размерность пространства (I остается свободным параметром и может изменяться независимо от е. Общей чертой с моделями критического поведения является то, что предел е —> 0 соответствует логарифмической (точно ренормируемой) теоретико-полевой модели, а ультрафиолетовые (УФ) расходимости проявляются как полюса пое в диаграммах теории возмущений. По этой причине, мы используем тот же символ е и для стохастического уравнения Навье-Стоксав литературе он иногда обозначается как? — у/2 [3].

Результаты РГ-подхода к модели (5) внутренне непротиворечивы и надежны при асимптотически малых е, тогда как возможность их экстраполяции к физическому (не малому) значению? = 2 далеко не очевидна. Разумеется, физическое значение? = 4 — (1 = 1 В теории критических явлений также отнюдь не мало. Но там нет конкретных оснований ожидать появления каких-либо качественных изменений в поведении системы при увеличении? из области малых значений е «1 к реальным конечным? ~ 1, так что возможность такой экстраполяции обычно не подвергается сомнению.

Для стохастического уравнения Навье-Стокса с накачкой (5) ситуация заведомо более сложная. Новые качественные эффекты возникают с ростом 5, и они легко могут быть потеряны, если е-разложение используется некритично или неосторожно. Один из них, возникающий прие > 3/2, связан с известным явлением переноса турбулентных вихрей как целого вихрями существенно больших размеров. Это приводит к сильной зависимости корреляционных функций скорости от внешнего (интегрального) масштаба турбулентности Ьтах, исчезающей лишь в галилеево-инвариантных величинах (например, в одновременных структурных функциях). Другой ожидаемый эффект — переход (кроссовер) при некотором (пока неизвестном) значении е от колмогоровского скейлинга (теории «К41») к так называемому аномальному скейлингу (мультискейлингу) — сингулярной зависимости галилеево-инвариантных корреляционных функций от масштаба ЬтаХ1 характеризующейся бесконечным набором независимых показателей [4].

Подобные эффекты в РГ-подходе могут быть связаны с возникновением в соответствующих операторных разложениях так называемых опасных составных полей («составных операторов» в квантово-полевой терминологии), имеющих отрицательные критические размерности [5]. В модели (5) таковыми оказываются все операторы вида, степени поля скорости (р, при е > 3/2. Суммирование их вкладов в операторных разложениях, выполненное в [5], позволяет выйти за рамки простого е-разложения и дать адекватное описание вышеупомянутых эффектов переноса и связанных с ними сингулярностей при Ьтах —сю. Что касается аномального скейлинга в структурных функциях, то он, по-видимому, должен быть связан с существованием в модели (5) галилеево-инвариантных опасных операторов. Эта идея была успешно реализована в популярной модели Крейчнана, описывающей турбулентное перемешивание пассивного скалярного поля (температуры, концентрации примеси и т. п.) «синтетическим» гауссовым полем скорости с заданным коррелятором вида 5(Ь — ?')/д^+е. Первоначально аномальные индексы в ней были вычислены в порядках 0(1/с1) [6] и О (е) [7] в рамках так называемого метода нулевых мод (который можно рассматривать как некоторую разновидность метода уравнений самосогласования). В РГ-подходе к модели Крейчнана, развитом в работе.

8], аномальные показатели были отождествлены с размерностями опасных галилеево-инвариантных операторов, а именно, степеней локальной скорости диссипации скалярных флуктуаций. Это позволило построить для них систематическое разложение по показателю е и выполнить практические вычисления в порядках е2 [8] и ?3 [9].

Однако, реализовать подобную программу для стохастической модели с накачкой (5) пока оказалось невозможным. Дело в том, что в отличие от модели Крейчнана, критические размерности всех галилеево-инвариантных составных операторов при малых е в ней строго положительны. Если некоторые из них и становятся отрицательными при некоторых конечных значениях е ~ 1, этот факт нельзя надежно установить в рамках е-разложения, так как известны лишь один-два члена ряда по е и лишь для немногих операторов (несколько размерностей известно точно, но все они при? <2 остаются положительными [10]).

Гораздо более многообещающей представляется идея построения теории возмущений по обратной размерности пространства 1 высказанная в различном контексте и в разной форме в ряде работ [11, 12, 13, 14, 15, 16]. Ожидается [12], что в пределе (I —оо задача упростится и, возможно, окажется точно решаемой (например, аномальный скейлинг исчезнет и теория «К41» станет справедливой), так что ее можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром 1/с/ (добавим, что для реальной трехмерной турбулентности он действительно мал: 1/^ = 1/3).

Аргументы в пользу исчезновения аномального скейлинга при <1 = оо, основанные на некотором замыкании уравнений для корреляционных функций, были приведены в работе [13]. Ранее это было обнаружено для упоминавшейся выше модели Крейчнана [11], причем в ней удается найти и аномальные показатели в порядке 0{1/(?) [6] (хотя построить систематическое разложение по 1 /d или хотя бы выполнить вычисление аномальных показателей в порядке 0(l/d?) пока не удалось).

Физическая картина однородной изотропной развитой турбулентности состоит в следующем: энергия внешнего источника поступает в систему от крупномасштабных вихрей с характерным размером Lmax. Затем она переносится по спектру (дробление вихрей) из-за нелинейности в уравнении (1) и в итоге начинает диссипировать на масштабах Lmin, на которых становится существенной роль вязкости. Из соображений размерности получим.

Область диссипации (размеры вихрей порядка была описана Колмогоровым [2].

Развитая турбулентность характеризуется большими числами Рей-нольдса 104 — Ю6), а, следовательно (6), и наличием широкого инерционного интервала, определяемого неравенствами Ьт{п «Ь «Ьтах.

Существование инерционного интервала было предсказано Колмогоровым в работе [17] в 1941 году (уточнения по поводу выдвинутых Колмогоровым гипотез см. [18]). Развитая турбулентность в инерционном интервале изучалась множеством авторов (см., например, ссылки в [18, 19]).

Теоретическое описание развитой турбулентности пока остается в значительной степени нерешенной задачей. Проводятся исследования упрощенных моделей. Одними из наиболее характерных проблем являются обоснование в рамках микроскопической модели классической феноменологической теории Колмогорова-Обухова и исследование отклонений от нее, если таковые имеются (см. [2, 4]).

Известны как экспериментальные, так и теоретические свидетельства в пользу некоторых отклонений от предсказаний теории Колмогорова-Обухова. Они проявляются в сингулярной зависимости корреляционных тгп.

6) функций от внешнего масштаба Ьтах с некоторыми нетривиальными степенными показателями (аномальный скейлинг, аномальные показатели). В рамках многочисленных моделей эти показатели связываются со статистическими свойствами локальной диссипации или с фрактальной размерностью структур, образуемых мелкомасштабными турбулентными вихрями. Как правило, такие модели носят полуфеноменологический характер, слабо связаны с исходными уравнениями гидродинамики и включают произвольные подгоночные параметры, так что остаются серьезные сомнения в универсальности показателей, да и в самом существовании отклонений от колмогоровского скейлинга.

Как численные, так и натурные эксперименты подсказывают, что отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова-Обухова для переносимой турбулентным потоком скалярной величины (температуры турбулентной среды, концентрации примеси в турбулеР1тной атмосфере) проявляются еще сильнее, чем для самого поля скорости. В то же время эта задача оказывается более доступной теоретическому анализу: даже сравнительно простые модели, описывающие перемешивание «пассивной» (не оказывающей воздействия на поведение турбулентной жидкости) скалярной величины полем скорости с заданной статистикой, обнаруживают некоторые аномальные черты, свойственные реальному турбулентному переносу.

Тем самым проблема перемешивания пассивной скалярной величины, важная сама по себе (например, распространение загрязнений в турбулентной атмосфере или океане), может рассматриваться и как отправная точка при описании аномального скейлинга для развитой турбулентности в целом.

0.2. Метод ренормализационной группы.

В настоящее время теория критических явлений достигла значительных успехов благодаря использованию идей ренормализационной группы (РГ). РГ-подход не только подтвердил феноменологические гипотезы подобия и универсальности [20], но и предоставил возможность вычисления различных величин, характеризующих поведение систем в критической области. Основополагающими для применения РГ в задачах статистической физики явились работы Вильсона [21, 22], хотя в квантовой теории поля аналогичная техника была известна существенно раньше: впервые существование группы ренормировок в квантовой теории поля было отмечено в работе [23], затем в [24] были использованы функциональные уравнения типа РГ для анализа ультрафиолетовых (УФ) асимптотик в квантовой электродинамике. В работах [25, 26, 27, 28] была установлена связь между результатами [23] и [24], впервые получены полные дифференциальные уравнения РГ и указан рецепт их практического использования в комбинации с расчетом РГ-функций (коэффициентов уравнения РГ) по теории возмущений. Впоследствии, в [29] и независимо в [30, 31] был предложен еще один вариант уравнений РГ, сформулированных в виде одного уравнения в частных производных для функции многих переменных. Дифференциальные уравнения [25] играют роль характеристической системы для уравнения [29, 30, 31]. Эти уравнения являются основой стандартной квантово-полевой техники РГ, в настоящее время, вслед за [32, 33], они используется и в статистической физике в большинстве работ, относящихся к критической теории.

Позднее был развит РГ подход к описанию критических динамических явлений: сперва в духе идеологии вильсоновских рекурсионных соотношений [34], а затем и в полевом MSR (MSR = Martin-Siggia-Rose) формализме удвоенного числа полей [35, 36, 37] было описано скейлинговое поведение в стохастических уравнениях Ланжевена. Эти методы позволили исследовать также другие многочисленные стохастические процессы, такие как разнообразные модели случайных блужданий (смотри, например, [38, 39]), стохастическую теорию развитой турбулентности [40, 41, 18](модели которой мы исследуем) и т. д.

Другим важным достижением Вильсона является предложенное им 4 — е-разложение [42, 43, 44], позволившее теоретико-возмущенческое вычисление РГ-функций. В основу данного разложения легла развитая также в квантовой теории поля идея размерной регуляризации [45, 46]. Кратко напомним схему построения 4 — е разложения. Для теории с параметром порядка, описываемым полем ф в стандартном гамильтониане Гинзбурга-Ландау, — разложенном в ряд по степеням ф и градиентам поля эффективном гамильтониане Н, ограничимся инфракрасно (ИК) существенными для критического поведения членами [47] и получим теорию:

5 = д, фд, ф + ±-тф2 + дфА (7) интегрирование по координате полей х и суммирования по повторяющимся индексам подразумеваются) в трехмерном пространстве. Использование квантово-полевой РГ естественно сопровождается применением языка квантовой теории поля: S — действие теории, оно же, как принято в статистической физике — гамильтониан типа Гинзбурга-Ландау (с точностью до 1/(кТ): S = Н/(кТ)), или действие MSR — типа (для стохастических уравнений, см. п. 0.4.), в функциональных интегралах усреднение производится с весом ехр (—S). Удобным оказывается использование терминов «функция Грина» вместо «корреляционная функция», т — масса или массивный параметр, д — константа взаимодействия или «заряд», «импульс"-вместо «волновое число».

Неучтенные в (7) члены гамильтониана Гинзбурга-Ландау могут быть рассмотрены в качестве составных операторов, которые в соответствие со своей канонической размерностью являются ИК несущественными в 4 — е-разложении при малых е, определяя лишь поправки к ИК поведению теории (7) [32, 33, 48]. Реальным параметром разложения в теории возмущений при вычислении РГ-функций выступает значение заряда д в окрестности фиксированной точки уравнения РГ, малость параметра разложения однозначно связана с логарифмичностью теории, т. е. с безразмерно-стыо константы взаимодействия. Для того чтобы обезразмерить константу д, имеющую в реальном трехмерном пространстве размерность импульса, вводится «расширенная» теория, описываемая тем же действием (7), но уже при произвольной размерности пространства в, = 2/л. Каноническая размерность поля ф определяется кинетическим членом действия и равна: (1ф = ?1 — 1 (размерность импульса считаем равной единице, координатыминус единице). Поэтому размерность заряда с1д — 4 —2/х, теория логариф-мична при 2/х = 4. В четырехмерном пространстве теория (7) ренормиру-ема, для построения 4 — бразложения рассматриваем (7) в пространстве размерности ц — 2 — е с малым положительным е. Ренормировав эту теорию так, чтобы зависящие от е функции Грина допускали предел е —" О, получим интересующие нас РГ-функции в виде рядов по е.

Помимо 4 — е разложения теории (7) известны другие варианты е — разложений: 6 — б — разложение для теории ф3, 2 + 6 — для нелинейной сг-модели [33] и ее обобщений. Еще одним регулярным методом расчета РГ-функций является 1/п разложение по обратному числу компонент параметра порядка (смотри, например, [49, 50, 51, 52, 53]), для которого применяется другой способ построения логарифмической теории (в нелинейной сг-модели) при любой размерности пространства 2 < й < 4.

Первоначально исследуемые РГ методом теории, как статические так и динамические, отличались локальностью соответствующих действий, что является обычным для квантовой теории поля. Для таких теорий и была сперва сформулирована теорема Боголюбова-Парасюка об УФ ренормиру-емости [54], служащая основой для применения РГ — метода. Однако кроме размерной регуляризации в квантовой теории поля была разработана очень похожая аналитическая регуляризация (смотри, например, [55]). Ее использование позволило существенно упростить применение РГ метода для расчетов РГ-функций в 1/празложении [56, 57, 58]. При этом пришлось исследовать ренормировку действия с нелокальными (неаналитическими по импульсам) членами. Однако введение в действие таких членов позволяет существенно расширить возможности применения РГ-подхода. Вслед за успехом 4 — е-разложения это привело к другим вариантам построения «расширенных» теорий: [59, 60], а также к рассмотрению теорий, присутствие нелокальных членов в которых обусловлено физическими причинами.

В настоящее время широко используются различные РГ — схемы для все более точного вычисления критических индексов. При этом, вычисляя как можно больше порядков е или любого другого разложения и используя вычисленную Липатовым асимптотику для /3 и 7 функций [61] для боррелевского пересуммирования, получают значения критических индексов при больших (порядка единицы) параметрах разложений, с большой степенью точности совпадающие с экспериментальными.

Теория ренормализационной группы в турбулентности развивалась более длительное время и, возможно, по этой причине менее успешно. Кол-могоровский скейлинг в теории турбулентности был открыт в начале 40х годов 20 века, а первые серьезные исследования с использованием метода РГ появились только в конце 70х, когда «золотой век» РГ теории критического поведения, в сущности, закончился.

0.3. Теория возмущений.

Развитие мощного аппарата квантовой теории поля первоначально было обусловлено потребностями физики элементарных частиц. Вскоре было замечено, что сходные подходы могут с успехом применяться и при описании других физических систем, обычно с большим или бесконечным числом степеней свободы. Таковые, в частности, относятся к области исследования статистической физики. Например, квантово-полевые методы оказались наиболее адекватными для описания критического поведения (фазовых переходов второго рода), развитой турбулентности, разнообразных моделей случайных блужданий и скейлинговых явлений в полимерах.

Квантово-полевые методы в большинстве своем основаны на теории возмущений по различным параметрам, например, по постоянной тонкой структуры, а «1/137 в квантовой электродинамике. Вычисленные к настоящему времени первые 3−4 порядка теории возмущений по, а определяют физические наблюдаемые со все улучшающейся точностью. Однако вопрос о сходимости получаемых рядов представляется, по крайней мере, интересным с теоретической точки зрения. Установлено, что в большинстве случаев ряды квантово-полевой теории возмущений носят асимптотический характер. Асимптотические ряды — вообще нередкое явление в теоретической физике, отсутствие сходимости ряда не мешает его практическому использованию при малом параметре разложения, с чем мы и сталкиваемся в квантовой электродинамике. Однако в статистической физике реальный параметр разложения часто оказывается порядка единицы (в качестве примера здесь можно вспомнить метод ренормализационной группы и е-разложение [62, 63]). В этой ситуации последующие члены разложений оказываются порядка или даже больше предыдущих, и необходима общая информация о поведении рассматриваемых рядов: сходятся они или расходятся, каков радиус сходимости.

Такая информация может быть получена путем исследования асимптотики высоких порядков (АВП). Пусть некоторая величина/(д) задана степенным рядом /(д) = асимптотика коэффициентов при N —У оо и называется асимптотикой высоких порядков для функции /. Например, рассмотрим АВП сходящегося ряда с конечным радиусом сходимости для функции /а (д) — 1/0? — 9о) аРазложением в ряд Тейлора нетрудно найти.

— 1) а Г (ск + Л0 а. У 5 ^ п I N.

АВП функции /а определяется пределом Г НЮ = (~1Г Ца + Ар, дга-1.

Йо^Ж' (9).

Данный пример иллюстрирует, что АВП может дать информацию о положении и характере особенности исследуемых функций: и радиус сходимости (определяется до) и тип особенности (определяется числом а) однозначно задаются ее параметрами.

Для сходящихся степенных рядов знание АВП существенно дополняет информацию, которую мы можем получить из обычной теории возмущений. Пусть, например, для некоторой функции /(д) нам известен некоторый отрезок ряда теории возмущений /^¿-Л, а также положение и характер особенности на границе круга сходимости (например, 1/(д—9о)а)-Тогда можно утверждать, что представление функции в виде где коэффициенты легко определяются по известным приводят к большему радиусу сходимости нового ряда ^ дг и позволяют точнее восстановить величину f (g). Оказывается, и в случае рядов асимптотических АВП может дать рецепт получения хорошего численного ответа.

Для определения АВП квантово-полевых разложений используется ин-стантонный анализ (см. [61, 63]), который сводится к исследованию асимптотики функционального интеграла методом перевала. Для асимптотических рядов развиты разнообразные схемы пересуммирования, в большинстве своем основанные на преобразовании Бореля.

0.4. MSR формализм.

Одним из возможных способов представления стохастической задачи в квантовополевой формулировке является введение MSR-переменных (далее, MSR-формализм, MSR = Martin-Siggia-Rose). Кратко опишем этот переход. В общем виде стандартная задача стохастической динамики формулируется следующим образом [62] dt.

<�р) + ф), fflxffia/)) = D (xt x'), (10) где ф (х) — искомое поле, U (x ф) — заданный i-локальный функционал, не содержащий производных ip по времени, rj{x) — случайная внешняя сила, г](х) в уравнении на с/? — любая ее реализация, для г}(х) предполагается гауссово распределение с нулевым средним {т](х)) = 0 и коррелятором D, х = t, х.

В общем случае функционал U в правой части (10) содержит вклад неслучайной силы /, линейную по ip «свободную часть» Lip с некоторой операцией L и вклад нелинейностей п ((р):

U (ip) = lAp + n (.

Решение задачи (10) может быть записано в интегральной форме р = А12[/ + 77 + n (y>)], Ai2 = (dt — L) — (12) где Д12 = А12(х, х') — запаздывающая функция Грина линейной операции ф-Ь).

Пусть ф = ф (х, г)) — решение уравнения (10). Производящий функционал корреляционных функций поля (р обозначим С? (а), где, а — источник. При фиксированном г) С (а-г/) = ехр (а</?). После усреднения по 77 получим /^ехрЬ^А + ау].

ОчехрЬ^Г"-^] ^ ;

Необходимые интегрирования по аргументам полей подразумеваются. Рассмотрим следующее равенство ехр (а</?) = J Б (р5{(р — ф) ехр (сир) (14) с функциональной «^-функцией 5((р — ф) = — ф (х))]. Из эквивалентности равенств.

1р = ф<=$ г}) = -дЬ (р + и (<�р) + 77 = 0 следует.

5(<�рф)=&е1М ¦ 6[<2(<�р, г})], М = М (х, х') = (15) с! е1М понимается как определитель линейной интегральной операции с ядром М (х, х'). Представим <5-функцию в правой части (15) функциональным интегралом по вспомогательному полю (рг адовое I я^ехр^/д^)], (16) нормировочные множители считаются включенными в Оср'. Воспользовавшись в (13) соотношениями (14, 15, 16), получим с точностью до номировки.

2(а) = I ОцВ^рБ^ с^ М ехр^туХГ1? + сир + <�р'(-дь1р + и (ф) + г])} и, взяв гауссов интеграл по ту,.

ЭД = J J ?><�рЯ<�р' det М ехр[^'?У + <//(-%> + *7(<�р) + ауз)]. (17).

Рассмотрим detM = det[dQ/dyp]. Из (11) и Д12 в (12) имеем.

М = М0 + Мь М0 = + Ь = —, Мх = (18).

Отсюда det М = det Мо det[l — Д12М1]. Первый множитель — не зависящая от полей константа и поэтому несущественен. Для второго получим.

1п det[l — Д12М1] = -^[АиМг + Д12М1 А12Мг/2 + .]= (19) поскольку все многократные замкнутые циклы с запаздывающей линией Д12 (пропорциональной в (£ — ?')) дают нулевые вклады. Однократному циклу в (19) соответствует выражение / J йхйх’А^х, х')М (х', х) с ядром М{х', х) = —1)М (х', х)] 5(1?— Ь) появляется ввиду ¿—локальности функционала II. Отсюда следует, что в однократный цикл входит функционал А12(х, х') с совпадающими временами Ь = Это неопределенная величина, поскольку Д12 содержит разрывную функцию — ?'). Принимается следующее соглашение [62, 40].

Щ — = 0.

Тогда определитель det М в интеграле (17) становится несущественной константой, которую можно отбросить.

Таким образом, любая стохастическая задача (10) полностью эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом полей </?, </?' и функционалом действия у') = Ър’Вч! + ч*[-дьч> + ?%)], (20) необходимые интегрирования по аи суммирования по индексам подразумеваются.

0.5. Инстантонный анализ.

Базовой теорией, с которой связан несомненный успех квантово-поле-вых методов в теории критического поведения, является модель ср4-, корреляционные функции которой выражаются через функциональные интегралы вида.

Данная теория описывает разнообразные фазовые переходы второго рода: критическую точку в системе жидкость-пар, точку Кюри в магнетиках, точку расслаивания и т. д.

Функциональный интеграл по полю у>(х) (21) вычисляется в форме диаграммных разлооюений. При этом член, пропорциональный д в действии рассматривается как малое возмущение, по которому строится ряд. Все образовавшиеся интегралы фактически сводятся к гауссовым (т.к. 5 при д = 0 — квадратичный функционал поля ср) и могут быть вычислены, однако упомянутые вычисления весьма трудоемкиих сложность лавинообразно растет с ростом порядка теории возмущений, так что к настоящему моменту, несмотря на то, что развит мощный вычислительный формализм и используются современные компьютеры, найдено лишь 5−6 первых членов обсуждаемых разложений в теории (р4. Для получения достаточно точных числовых результатов в данном случае оказывается необходимой информация о АВП рядов теории возмущений, получаемая методом инстантонного анализа.

I г.

Для выделения ЛГ-того члена ряда квантово-полевой теории возмущений в работе [61] было предложено пользоваться формулой Коши в (и) = ±-С!^, ^ = (22).

N=0 7.

Интегрирование ведется по замкнутому контуру в комплексной плоскости, охватывающему ноль.

Вычисление интегралов в от осуществляется методом стационарной фазы. Основной вклад в при N —>• оо дает область интегрирования в окрестности инстантона — значений переменных интегрирования, реализующих экстремум функционала действия, т. е. решений уравнений стационарности.

0.6. Описание модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости.

Хотя теоретическое описание турбулентности, основанное на стохастическом уравнении Навье-Стокса (1) остается открытым вопросом, значительный прогресс был достигнут при изучении упрощенных моделей, которые дают важную информацию о реальных системах. Важную роль в этих исследованиях сыграли модели, описывающие перемешивание пассивного скалярного поля [64]. Одним из примеров таких моделей является модель переноса пассивной скалярной величины случайным гауссово-распределенным полем скорости, так называемая модель Крейчнана [65]. Аномальный скейлинг для этой модели впервые был показан на основе микроскопической модели [66], а соответствующие аномальные индексы были рассчитаны в [67, 68, 69].

Большой интерес также представляет изучение простых моделей пассивного переноса не только скалярных, но и векторных (например, слабых магнитных полей), поскольку такие модели описывают множество особенностей аномального поведения реального турбулентного переноса некоторых величин, наблюдаемых в эксперименте.

При рассмотрении турбулентного перемешивания пассивной скалярной примеси рассматривается пара полей (р ив, где <�р — обычное поперечное векторное поле скорости, удовлетворяющее уравнению (1), ав — добавочное скалярное поле пассивной примеси, удовлетворяющее уравнению у’д2 В, г/ = ш/, где Уг — ковариантная производная из (1). В простейшем случае собственный шум в уравнение для в не вводится. Примесь называют «пассивной», поскольку введение добавочного поля 0 никак не влияет на стохастическую задачу (1) для поля скорости (р.

Поле в может иметь различный физический смысл. Например, это может быть концентрация примесных частиц в турбулентной атмосфере, или поле температуры в задачах теплопереноса и т. п. В первом случае параметр г/ - молекулярный коэффициент диффузии, во втором — коэффициент температуропроводности.

В работах [64, 70, 65, 66] было показано, что физика уравнения переноса скалярной примеси также является интересной, если поле скорости из уравнения Навье-Стокса (1) заменить стохастическим полем со степенным коррелятором по пространственной (импульсной) переменной и^{-образной} по временной. В настоящее время таким образом поставленная задача широко изучается (например, [71, 72]).

Итак, распространение пассивной скалярной примеси в в, — мерной вязкой сжимаемой жидкости происходит посредством диффузии и турбулентного перемешивания случайным полем скорости. Описание задачи в рамках модели Обухова-Крейчнана (см. [64, 65]) основывается на стохастическом уравнении dt.