Настоящая работа посвящена исследованию эволюции поступательно-вращательного движения механических систем, моделируемых деформируемыми вязкоупругими телами, а также твердыми телами с жестко прикрепленными к ним вязкоупругими элементами.
Вопрос о влиянии внутреннего вязкого трения на поступательно-вращательное движение деформируемого тела возник много лет назад, прежде всего в связи с изучением приливной эволюции движения планет Солнечной системы. Механизм приливной эволюции можно описать следующим образом. Центральное тело, вокруг которого движется планета, создает горбы в вязкоупругом теле планеты. Эти горбы стремятся расположиться по линии планета — центральное тело. Из-за вращения планеты относительно ее собственного центра масс они перемещаются в теле планеты в направлении, противоположном ее вращению. Кроме того, изменение расстояния до притягивающего центра приводит к изменению величины приливных горбов. В силу наличия внутреннего вязкого трения эти процессы сопровождаются рассеянием энергии, что приводит к эволюции поступательно-вращательного движения планеты.
В небесной механике для описания движений естественных и искусственных тел, как правило, используются простейшие модели классической механики — материальная точка и абсолютно твердое тело, а приливная теория базируется на ряде гипотез относительно величины приливных горбов и их расположения относительно вращающейся планеты.
Первые фундаментальные работы по изучению приливной эволюции в системе «планета-спутник» были выполнены в конце XIX века небесным механиком и космогонистом Джорджем Говардом Дарвиным [57,62,133,134]. В качестве возмущающего потенциала, определяющего приливное трение, Дарвин использовал потенциал, обусловленный статической деформацией однородного упругого шара. Разложив этот потенциал в ряд Фурье, Дарвин получил уравнения, описывающие эволюцию элементов орбиты спутника.
Исследуя эволюцию двойной планеты «Земля-Луна», Дарвин пришел к следующему заключению. Приливы порождают силы трения, замедляющие вращение Земли. Одновременно с замедлением вращения Земли замедляется орбитальное движение Луны относительно Земли. В дальнейшем будет происходить постепенное увеличение земных суток и месяца до тех пор, пока оба периода вращения не сравняются (согласно расчетам Дарвина этот общий период должен составить примерно 55 современных суток). При этом Луна будет медленно удаляться от Земли, переходя на другую орбиту с большей полуосью.
По Дарвину на начальном этапе эволюции Земля и Луна практически составляли одно тело и их периоды вращения и обращения также были равными. Однако в системе «планета-спутник» такое движение является неустойчивым. При небольшом смещении спутника от первоначального положения гигантские приливные волны разрушают положение относительного равновесия и приводят либо к падению спутника на планету, либо к быстрому удалению его от планеты. Состояние же относительного равновесия при максимальном удалении Луны от Земли в изолированной системе «Земля-Луна» Дарвин считает устойчивым. Дарвин также указывал и на то, что действие приливообразующих сил солнечного тяготения разрушит эту устойчивость и приведет к тому, что Луна начнет приближаться к Земле и, в конечном счете, обрушится на нее.
В 60-е годы XX века вновь возродился интерес к приливной теории, прежде всего в связи с изучением приливной эволюции Земли и Луны. Этому способствовала новая научная информация о планетах и спутниках, полученная с помощью космических аппаратов и радиолокационной астрономии. Макдональд Г., Голдрайх П., Пил С., Каула У. и ряд других авторов провели более детальное исследование эффектов приливного трения [53,81,101,135−137]. Результаты их исследования в целом оказались близкими к классическим результатам Дж. Дарвина. Что же касается методов исследования, то для приливного потенциала была использована феноменологическая формула, и производные по времени орбитальных элементов спутника выражались непосредственно через силы, определяемые приливным потенциалом. В основу модели приливных сил положена гипотеза о наличии угла запаздывания приливных горбов при вращении планеты. Предполагалось, что главные центральные моменты инерции планеты находятся в квадратичной зависимости от угловой скорости вращения. В отличие от статической теории Дарвина в работах Макдональда, Голдрайха, Пила был развит динамический подход к проблеме приливного трения.
Точные астрономические наблюдения подтверждают так называемое вековое замедление вращения Земли. Особенно точные измерения удалось выполнить в связи с появлением в 60-е годы XX века атомных стандартов времени. В 80-е годы XX века появились новые методы измерений: лазерная локация спутников и Луны, системы глобального позиционирования и т. д. [105]. Удлинение суток за счет приливного трения по последним данным составляет 3,3 с за 100 тысяч лет, при этом Луна удаляется от Земли на 3,8 см в год [132].
Приливные силы оказывают влияние не только на орбиты спутников, но также и на их вращательные движения. Известно, что ряд спутников планет Солнечной системы вращается в резонансном режиме 1:1, когда период обращения по орбите и период обращения вокруг оси совпадают. Такое движение реализуется Луной при ее движении относительно Земли, многими спутниками Юпитера и Сатурна, спутниками Марса. Приливные силы являются важнейшим диссипативным фактором, приводящим произвольное первоначальное вращение тела к захвату в резонансный режим движения.
Проблеме приливной эволюции вращательного движения небесных тел посвящен цикл работ Белецкого В. В. [10−16]. В этих работах небесное тело моделируется абсолютно твердым телом, а приливной момент задается формулой: М = [ш отн х er]х ег, где г — расстояние от центра притяжения г до центра масс планеты, ег — единичный вектор по направлению радиус-вектора от центра притяжения до центра масс планеты, &-отн — угловая скорость вращения планеты относительно орбитальной системы координат, к — некоторая константа.
Главный результат исследования вращательного движения небесных тел под действием приливного момента: существование предельного движения, к которому стремятся все решения усредненных эволюционных уравнений. Например, для тела, центральный эллипсоид инерции которого близок к сфере, а центр масс движется по фиксированной круговой орбите, таким предельным движением является прямое вращение вокруг нормали к плоскости орбиты с угловой скоростью, равной орбитальной. Для фиксированной эллиптической орбиты значение предельной угловой скорости определяется эксцентриситетом орбиты. Динамически симметричное тело под действием приливного момента стремится к вращению вокруг наименьшей оси его центрального эллипсоида инерции, а сама эта ось стремится совпасть с нормалью к орбите тела.
Так как приливы вызваны нежесткостью небесных тел, то самый естественный способ исследования приливных явлений состоит в отказе от модели абсолютно твердого тела в описании движения планет. Такой отказ связан с переходом от систем с конечным числом степеней свободы, рассматриваемых в классической механике, к системам с бесконечным числом степеней свободы механики сплошных сред. Исследования по влиянию деформируемости и внутренней вязкости материала на движение тел стали также актуальны в связи с попыткой объяснения расхождений между теоретическими результатами и данными наблюдений в динамике Земли [1,2,3,93,105], с появлением искусственных спутников и обнаружением новых эффектов в их угловых движениях, обусловленных упругими свойствами [65,129,138,139].
Некоторые общие вопросы динамики вращений упругих тел исследованы в работах [67,93,116,117]. Для изучения динамики систем с упругими и диссипативными элементами Черноусько Ф. Л. предложил асимптотический метод разделения движений [116,117], основанный на предположении, что рассматриваемая механическая система достаточно жесткая, а время затухания ее свободных упругих колебаний много меньше характерного времени движения как целого. Этот метод позволяет получить уравнения движения рассматриваемой системы в виде уравнений динамики твердого тела с дополнительными слагаемыми, обусловленными внутренней упругостью и диссипацией. Движение тела, устанавливающееся после затухания собственных упругих колебаний и вызванное внешними силами и силами инерции, называется квазистатическим.
В 80−90-е годы XX века появилось много работ, посвященных изучению квазистатических движений вязкоупругого тела относительно центра масс [58,64,75,83−86,103,104,114].
Одно из важных направлений, посвященное изучению динамики распределенных систем, было разработано В ильке В.Г. в монографиях [30,32], где хорошо развитые методы классической аналитической механики были обобщены на случай систем с бесконечным числом степеней свободы. Для ряда моделей рассматриваемых систем доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений уравнений движения. Рассмотрены задачи о движении вязкоупругого тела в центральном ньютоновском поле сил, системы вязкоупругих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения, задача о движении системы тяжелое упругое-твердое тело с неподвижной точкой и многие другие задачи.
Задача о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил (см. также [26]) является модельной задачей в приливной теории движения планет Солнечной системы. В работе [26] получены точные уравнения движения деформируемого тела в центральном ньютоновском поле сил в рамках линейной теории вязкоупругости. При отсутствии деформаций получаемая система уравнений описывает поступательно-вращательное движение соответствующего твердого тела. Если твердое тело — шар, то эти уравнения интегрируются, а само движение таково: центр масс шара описывает кеплеровскую орбиту, при этом шар равномерно вращается вокруг оси, неизменно ориентированной в инерциальной системе координат. Указанное движение принимается за невозмущенное в задаче о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Применение метода разделения движений в предположении о квазистатическом характере деформаций вязкоупругой среды приводит к возмущенной системе векторных уравнений относительно вектора кинетического момента вращательного движения и радиус-вектора центра масс шара, описывающих эволюцию движения вязкоупругого шара под действием приливных сил.
Показано, что в стационарном движении центр масс шара движется по круговой орбите, вектор момента количеств движения шара относительно притягивающего центра ортогонален плоскости орбиты, а деформированный шар неподвижен в орбитальной системе координат, т. е. обращен одной стороной к притягивающему центру. В зависимости от величины модуля вектора момента количеств движения в рассматриваемой задаче может быть п стационарных орбит (и = 0,1,2). В случае двух стационарных орбит движение с меньшим радиусом орбиты неустойчиво, а с большим — устойчиво.
Система уравнений, описывающая движение механической системы, содержащей сплошную среду, является сложной системой интегродифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Для исследования эволюции движения таких систем Вильке В. Г. был предложен асимптотический метод разделения движений и усреднения [27]. Этот метод позволяет перейти от уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, неизвестными в которой являются переменные «действие» невозмущенной задачи. Методом разделения движений и усреднения были получены эволюционные уравнения вращательного движения вязкоупругого шара на круговой орбите [35,36], поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил в случае, когда вращение шара происходит вокруг оси, ортогональной плоскости движения его центра масс [38,106]. Указанный метод был применен к целому ряду других задач [19,20,28,41,45,63,85,8789,121].
При изучении динамики вязкоупругих тел распространенным является модальный подход, когда вектор упругого смещения представляется в виде бесконечного ряда по ортонормированным собственным формам свободных колебаний, а движение деформируемого тела по внутренним степеням свободы описывается обобщенными нормальными координатами (модальными переменными) [29,69].
Модальный подход в сочетании с асимптотическим методом разделения движений и усреднения использовался в работах [25,59,60,72,78,79,89−91] для исследования ряда небесно-механических задач поступательно-вращательного движения деформируемых тел. Так в работах [60,89] проведен детальный анализ эволюции осевого вращения динамически симметричной вязкоупругой планеты при условии, что ее центр масс движется по фиксированной кеплеровской орбите в поле притягивающего центра. В работах [25,59,79] изучается пространственный вариант задачи о движении спутника (материальной точки) в поле притяжения динамически симметричной, сжатой вязкоупругой планеты, ось вращения которой совпадает с осью симметрии. Получены приближенные уравнения, позволяющие выявить общие закономерности эволюции наклонений и вращений системы.
Цель данной диссертационной работы состоит в развитии и углублении методов исследования эволюции движения систем с бесконечным числом степеней свободы и применение этих методов и известных ранее методов [27,30,32] к задачам небесной механики и механики космического полета. Для исследования эволюции движения вязкоупругого тела, а также твердого тела с жестко прикрепленными к нему вязкоупругими элементами в центральном ньютоновском поле сил при наличии малых внешних возмущений предложен асимптотический метод, сочетающий в себе метод разделения движений для систем с бесконечным числом степеней свободы и обобщенный метод Крылова-Боголюбова для систем с медленными и быстрыми переменными [126]. Указанный метод применен к исследованию эволюции движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел [42,43,47] и к исследованию эволюции движения динамически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите [122]. Методом разделения движений и усреднения получены эволюционные уравнения и проведен их анализ в задачах о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил [121,124,125], в задаче о двойной планете [45] и в задаче о поступательно-вращательном движении сферически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями [41]. Методами аналитической динамики получены уравнения движения вязкоупругой планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника. Проведен анализ квазистатических деформаций планеты в случаях, когда планета моделируется однородным вязкоупругим шаром [48] и когда планета имеет внешний упругий слой и внутреннее подвижное ядро [127].
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
В первой главе диссертации формулируется постановка задачи о поступательно-вращательном движении механической системы с бесконечным числом степеней свободы, выводятся уравнения движения и излагаются асимптотические методы исследования. Под механической системой с бесконечным числом степеней свободы понимается либо вязкоупругое тело, либо твердое тело с жестко прикрепленными к нему вязкоупругими элементами.
Постановка задачи и вывод уравнений движения в форме уравнений Рауса из вариационного принципа Д’Аламбера-Лагранжа составляют содержание § 1.1.
Предполагается, что рассматриваемая механическая система занимает область Q = QjUQ2 в евклидовом пространстве Е3, причем Q, — это область, занимаемая твердым телом, a Q2 — вязкоупругим в естественном недеформированном состоянии (в случае вязкоупругого тела Qj=0). Помимо инерциальной системы координат OXYZ вводятся система осей.
Кенига и подвижная система координат с началом в центре масс механической системы в деформированном состоянии. Положение точки MeQ относительно инерциальной системы координат OXYZ определяется радиус-вектором где reQ, u (r,/) — вектор упругого смещения, обращающийся в нуль для точек твердого тела, Rc — радиус-вектор точки С, Г — оператор перехода от системы координат Сх{х2×3 к системе осей Кёнига •.
Радиус-вектор Rc и «связанная» с деформируемой системой система координат Сххх2×3 определяются однозначно по заданному векторному полю R (r, f) следующими условиями [30,32]: где т — масса всей системы, р — распределенная плотность, dx = dxdx2dx3.
Предполагается, что деформируемая часть рассматриваемой механической системы однородна, изотропна и имеет постоянную плотность р, а относительные перемещения точек при деформациях u (r, t) малы.
Потенциальная энергия упругих деформаций задается в соответствии с линейной теорией упругости квадратичным функционалом $[и], который по предположению содержит множителем «большой» параметр N, характеризующий жесткость упругой среды. Вводится малый параметр e = N~]. При? = 0 вектор-функция u (r, t) полагается равной нулю, и механическая система представляет собой абсолютно твердое тело. Функционал внутренних диссипативных сил Я)[й] определяется соотношением = где j > 0 — коэффициент внутреннего вязкого трения, т. е. рассматривается модель Кельвина-Фойгта.
Кинетическая энергия системы определяется равенством: а функционал потенциальной энергии внешних сил полагается заданным в.
R (r, 0 = Rc (0 + r (0(r + u (r, 0),.
0.1).
0.2).
0.3) виде: n = n[R.
0.4).
Вариационный принцип Д’Аламбера-Лагранжа имеет вид: (VRn, SR) + (Vu$[u] + Уй2>[й],<5и)а2 + Q Xj Sadx + X2 rotSudx = 0, VSueffl,.
0.5) q2 Q2 где = =Ц (0 ~ неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (0.2).
Конфигурационным пространством системы является прямое произведение Ж х Я, где JI — шестимерное дифференцируемое многообразие с локальными координатами q{,., q6, а & - банахово пространство векторных функций u (r, f). Обобщенные координаты q],., q6 определяют положение точки С в системе координат OXYZ и ориентацию подвижной системы координат Сх]х2×3 относительно осей Кенига.
Уравнения движения выводятся из вариационного принципа Д’Аламбера-Лагранжа (0.5) и выписываются в форме уравнений Рауса, причем канонические переменные (p, q), где p = - обобщенные импульсы, используются для описания поступательно-вращательного движения деформированной системы, а лагранжевы переменные и, — (г, t) (z = 1,2,3) для описания деформаций.
Функционал Рауса определяется равенством откуда следует, что Т = т[q, q, й, и П = II[q, u, a, fi. 6 i=1 а уравнения движения имеют вид: дЖ. д01.
Рк > Як «dqk дрк.
0.6) d dt.
V^ + Vu^ + V^[u] + Ji,<3u) + Ji2 Jrot<3ii^ = 0 VSueffl (0.7).
Ja2 n2.
Система уравнений (0.6)-{0.7) представляет собой сложную систему интегродифференциальных уравнений в банаховом пространстве, содержащую малые параметры е и ju. Малый параметр е отвечает за возмущения, связанные с нежесткостью рассматриваемой механической системы, а малый параметр ju — с малыми возмущениями, индуцируемыми полем внешних сил. Предполагается, что при е = 0, // = 0 задача является интегрируемой, а потому в целях использования асимптотических методов от переменных (р, q) осуществляется переход к переменным (I, <�р), которые в невозмущенной задаче (т.е. при е = 0, ju = 0) являются переменными «действие-угол». В классе рассматриваемых в данной диссертации задач в роли таких переменных выступают переменные Андуайе-Делоне.
В § 1.2 дано описание переменных Андуайе-Делоне, выписаны соотношения, позволяющие выразить функционал Рауса в этих переменных, т. е. представить его в виде 91 = ?%[I,.
• д91. дЖ.
-—, (Рк=тг> к = 1,., 6. (0.8) дсрк д1к и совместно с уравнениями (0.7) и условиями (0.2) образуют полную систему уравнений, определяющую движение данной механической системы.
На следующем шаге к полученной системе уравнений применяется метод разделения движений, описание которого содержится в § 1.3.
При е = 0, когда жесткость упругой среды бесконечно велика, перемещения u (r, 7) обращаются в нуль, и рассматриваемая механическая система движется как твердое тело. Функционал Рауса в этом случае имеет вид:
1,ср, 0,0аг,//] = ^)(1) + /Ж[1,ср, а,//], а уравнения (0.8) выглядят следующим образом:
0.9) д (рк д1к д1к.
Уравнение (0.7) после умножения обеих его частей на N~l становится сингулярно возмущенным, т. е. содержащим малый параметр при старшей производной по времени. Из уравнения (0.7) определяется вектор-функция и, описывающая вынужденные колебания точек вязкоупругой среды, обусловленные действием внешних сил и сил инерции, которые называются квазистатическими. Указанное решение представляется в виде: и = ?11} (г, I, ф, а, х, ц) + 0{е (х&-)2), (0.10) где со = шах й) к (1(0)). к.
После линеаризации правых частей уравнений (0.8) по и и и и подстановки в них вместо и и й найденного частного решения (0.10) получается замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных, описывающих поступательно-вращательное движение механической системы, и учитывающая возмущения, связанные с внутренней упругостью и диссипацией.
Математическое обоснование и оценка погрешности метода разделения движений в динамике систем с упругими и диссипативными элементами в случае, когда эта система имеет конечное число степеней свободы, изложено в работах [118, 107] на основе метода пограничных функций для систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений [23], а в работе [103] на основе метода теории интегральных многообразий [94,108]. В работе [119] было получено асимптотическое представление решения линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве с малым параметром при старшей производной и неоднородном члене.
В § 1.4 излагаются асимптотические методы исследования полученной в § 1.3 системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая имеет вид: дК д (рк дК ф1 =a)l (i) + {i — + sGfy^a, х, м / = U-, т. (0.11) dIi.
При? = 0 система уравнений (0.11) становится стандартной в смысле применения к ней метода усреднения [5,6]. Переменные «действие» в этом случае не эволюционируют, т.к. при отсутствии диссипации энергии, вызываемой внутренним вязким трением упругой среды, данная система является консервативной. Далее система уравнений (0.11) рассматривается как система с малым параметром /и при фиксированном значении параметра е. Эволюция движения при этом разбивается на ряд этапов, характеризующихся различными временами. В результате применения асимптотического метода, аналогичного методу Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными [7] удается получить приближенные уравнения, описывающие медленную диссипативную эволюцию переменных «действие» в виде:
Если К = 0, то система уравнений (0.11) исследуется методом усреднения.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюции движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил.
В § 2.1 формулируется постановка задачи, выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса с использованием переменных Андуайе-Делоне, составляющих гамильтонову часть переменных и описывающих поступательно-вращательное движение шара. Обобщенные координаты, описывающие деформацию шара, составляют лагранжеву часть переменных. В данной задаче поле внешних сил центральное, и, следовательно, сохраняется вектор момента количеств движения G0 относительно притягивающего центра, который равен сумме векторов моментов количеств движения в орбитальном движении и в движении относительно центра масс: G0 =G + K. Инерциальная система координат OXYZ выбирается так, что ее начало совпадает с притягивающим центром, а ось 02 направлена по вектору G0.
В § 2.2 методом разделения движений и усреднения осуществляется построение приближенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных «действие», описывающих диссипативную эволюцию поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в центральном поле сил.
В соответствии с рассматриваемой в первой главе моделью жесткость деформируемого шара предполагается большой, и вводится малый параметр е, обратно пропорциональный модулю упругости Юнга. При б = 0 соответствующая система уравнений описывает движение абсолютно твердого шара в центральном ньютоновском поле сил. Эта система является интегрируемой, а движение, ею описываемое, таково: центр масс шара движется по кеплеровской орбите как материальная точка с массой, равной массе шарапри этом шар равномерно вращается вокруг оси, неизменно ориентированной в инерциальной системе координат. Рассматриваются финитные движения, когда кеплеровская орбита в невозмущенном движении представляет собой эллипс. Это невозмущенное движение используется в качестве порождающего для определения вынужденных колебаний вязкоупругого шара.
Решение задачи о деформации шара при отсутствии массовых сил было получено Томсоном с использованием сферических функций [80]. Специальный вид массовых сил в исследуемой задаче позволяет получить ее решение в виде суммы однородных сферических функций третьего и первого порядков [77,80]. Функции, описывающие вынужденные колебания вязкоупругого шара, используются для формирования правых частей «возмущенной» системы уравнений, описывающей его поступательно-вращательное движение, к которой далее применяется метод усреднения (рассматривается нерезонансный случай).
Полученные в результате указанной процедуры эволюционные уравнения представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка относительно переменных действие, имеющую три первых интеграла. Два из них являются следствием закона сохранения момента количеств движения G0- третий является следствием сферической симметрии и соответствует тому факту, что в усредненных уравнениях угол между осью Сг3 связанной с шаром подвижной системы координат, и вектором кинетического момента К относительно точки С остается неизменным. Эти уравнения описывают приливную эволюцию поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты в поле притягивающего центра.
В § 2.3 проводится анализ эволюционной системы уравнений. Находятся стационарные решения системы и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Показано, что в стационарном движении центр масс движется по круговой орбите, ортогональной вектору G0, ось вращения шара направлена по нормали к плоскости орбиты, при этом деформированный шар обращен одной стороной к притягивающему центру. Если модуль вектора G0 удовлетворяет условию.
0.12) где, А — момент инерции недеформированного шара относительно его диаметра, у — гравитационная постоянная, т — масса шара, то имеются две стационарные орбиты. Если G0 = jфАуЬп^, то такая орбита одна. В случае, когда G0 <^фЛу2т3, стационарных решений эволюционная система не имеет. В случае двух стационарных орбит устойчивым является стационарное движение, соответствующее орбите большего радиуса, а стационарное движение с меньшим радиусом орбиты неустойчиво. Этот результат соответствует полученному ранее в работе [26] при анализе векторных эволюционных уравнений относительно вектора кинетического момента вращательного движения К и радиус-вектора центра масс шара.
Следует отметить, что в случае существования одной стационарной орбиты ее радиус равен .ДДг0, где г0 — радиус шара, а в случае выполнения условия (0.12) радиус меньшей орбиты меньше этого значения. Однако эволюционные уравнения выводятся в предположении, что радиус шара много меньше расстояния от его центра масс до притягивающего центра. Это предположение исключает из рассмотрения орбиты с радиусами порядка г0.
В изолированной системе планета — притягивающий центр (Солнце) условие (0.12) выполнено для всех планет Солнечной системы. Таким образом, можно утверждать, что диссипативная эволюция поступательно-вращательного движения планеты в центральном ньютоновском поле сил протекает так, что ее движение стремится к стационарному.
В силу полученной эволюционной системы уравнений найдены производные по времени от наклонения орбиты i (угла между векторами G0 и G), угла 8{ между векторами G0 и К, и эксцентриситета орбиты е. Показано, что существует класс движений, когда вращение вязкоупругого шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к плоскости di орбиты, совпадающей с вектором G0. Если 0, то —<0, и, dt следовательно, наклонение орбиты в процессе эволюции уменьшается. Эволюция угла Sl имеет более сложный характер. В частности, в случае обратных вращений (когда ж/2 < Sl + / <-г/2) может происходить увеличение угла S], если угловая скорость вращения планеты вокруг своей оси превышает ее среднее движение по орбите. Эффект возможного увеличения угла с последующим его уменьшением до нуля описан в работах [11,15] при исследовании приливной эволюции вращательного движения планет..
Показано, что уравнения движения допускают класс орбит с нулевым эксцентриситетом. Если е * О, то в случае обратных вращений е уменьшается, а в случае прямых вращений может происходить увеличение эксцентриситета при достаточно большой угловой скорости собственного вращения по сравнению с орбитальной..
В § 2.4 рассмотрен частный случай задачи о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, когда центр масс шара движется в плоскости OXY, а вращение относительно центра масс происходит вокруг нормали к плоскости орбиты. Правые части «возмущенной» системы уравнений в этом случае зависят лишь от одной угловой переменной — истинной аномалии, по которой и производится усреднение. Проблема резонансов в данном случае отсутствует. Построены фазовые портреты в плоскости переменных (L, I), где / =| К | в случае прямого вращения и I = -1К | в случае обратного вращения, а.
Л Л с.
L =| G | (1 — е) ', а также в плоскости переменных (/, е)..
Третья глава диссертации посвящена исследованию эволюции движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел. Рассматривается следующая постановка задачи. Два массивных тела, моделируемых материальными точками с массами равными единице и /л, где /л"1, движутся по круговым орбитам под действием сил ньютоновского притяжения вокруг общего центра масс О в плоскости OXY. Третье тело — это вязкоупругий шар массы т, т"/л. Предполагается, что третье малое по массе тело не влияет на движение первых двух и движется в гравитационном поле, порожденном первыми двумя телами. Его центр масс движется в плоскости OXY, а вращение относительно центра масс происходит вокруг нормали к плоскости орбиты..
В § 3.1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса с использованием канонических переменных Андуайе-Делоне, описывающих поступательно-вращательное движение вязкоупругого шара, и лагранжевых переменных u-(r, t), / = 1,2,3, описывающих его деформации. Конфигурационное пространство данной механической системы есть прямое произведение трехмерного дифференцируемого многообразия Ж и банахова пространства векторных функций u (r, t). Полученная система уравнений движения содержит малый параметр е, обратно пропорциональный модулю упругости шара, и малый параметр ju. При е = 0 соответствующие уравнения описывают движение абсолютно твердого шара в ограниченной круговой задаче трех тел. К этим уравнениям можно применить метод усреднения. Переменные «действие», определяющие орбиту центра масс шара и момент количеств движения относительно центра масс, в усредненных уравнениях в этом случае не изменяются..
В § 3.2 методом разделения движений и асимптотическим методом, аналогичным методу Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными, строится приближенная система уравнений, описывающая диссипативную эволюцию переменных «действие». Равенству /л = О соответствует задача о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, рассмотренная в § 2.4. Эта задача имеет в качестве притягивающего множества стационарное решениегравитационно-стабилизированное вращение вязкоупругого шара на круговой орбите. Показано, что уравнения движения допускают класс квазикруговых орбит, т. е. орбит с нулевым эксцентриситетом. В этом классе движений строится приближенная система уравнений относительно переменных действие, описывающих изменение радиуса орбиты центра масс вязкоупругого шара и его вращательного движения..
Показано, что эволюция движения вязкоупругого шара разбивается на три этапа, характеризующихся различными временами. На этапе «быстрой» диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка ех (нулевое приближение по малому параметру //), движение вязкоупругого шара стремится к стационарному, соответствующему режиму его гравитационной стабилизации на круговой орбите с центром в точке О и радиусом R0. В //окрестности указанного стационарного решения учитывается первое приближение по малому параметру ц. На следующем этапе «медленной» диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка ехц, орбита вязкоупругого шара незначительно смещается к орбите тела массы (л, т. е. для внутренних орбит вязкоупругого шара радиус квазикруговой орбиты увеличивается, а для внешних — уменьшается, стремясь к новому своему стационарному значению R0l. В fj, -окрестности этого асимптотически устойчивого стационарного решения учитывается следующее приближение по малому параметру /л. На втором этапе «медленной» диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка sx/J2, орбита вязкоупругого шара удаляется от орбиты тела массы /л. Эволюционная система уравнений с учетом членов второго порядка по малому параметру // стационарных решений не имеет..
В четвертой главе диссертации изучается эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты при взаимодействии приливов, порождаемых на ней центральным телом и спутником..
Двойная планета, моделируемая материальной точкой массы // и однородным деформируемым вязкоупругим шаром массы т, движется в гравитационном поле неподвижного центра с массой, равной 1 (//<<1). Предполагается, что движение центра масс деформируемой планеты и материальной точки происходит в одной плоскости, проходящей через притягивающий центр, а вращение вязкоупругой планеты относительно ее центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости. При этом радиус орбиты центра масс двойной планеты много больше взаимного расстояния между составляющими ее элементами..
В § 4.1 выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса. Канонические переменные Андуайе-Делоне используются для описания орбиты центра масс двойной планеты и орбит вязкоупругого шара и материальной точки массы // относительно их общего центра масс, а также для описания вращательного движения вязкоупругого шара. Функции, описывающие деформации шара, составляют лагранжеву часть переменных. Показано, что уравнения движения допускают класс квазикруговых орбит, т. е. орбит с нулевыми эксцентриситетами. Дальнейшее исследование проводится в этом классе движений. Указанная упрощенная модель позволяет выявить наиболее важные закономерности эволюционных процессов, происходящих в рассматриваемой механической системе..
В соответствии с общей постановкой задачи, сформулированной в первой главе, жесткость вязкоупругого шара предполагается большой и вводится малый параметр е, обратно пропорциональный модулю упругости. При е = 0 шар представляет собой абсолютно твердое тело, и исходная задача распадается на три, не связанные друг с другом задачи: задачу о движении центра масс двойной планеты относительно притягивающего центра, задачу о движении связки двух планет относительно их общего центра масс и задачу о вращении шара относительно собственного центра масс. Рассеяние энергии при деформациях вязкоупругого шара вызывает «перекрестные» связи между этими независимыми задачами и является причиной эволюции рассматриваемой системы..
В § 4.2 методом разделения движений и усреднения осуществляется построение приближенной системы эволюционных уравнений, которая представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка относительно переменных действие, описывающих изменение расстояния от притягивающего центра до центра масс двойной планеты, расстояния от центра масс вязкоупругого шара до материальной точки массы ц и вращения вязкоупругого шара. С учетом закона сохранения момента количеств движения относительно неподвижного центра порядок полученной системы уравнений понижается на единицу..
В § 4.3 на основе полученной в § 4.2 системы уравнений проводится качественное исследование эволюционных процессов. Находятся стационарные решения и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Показано, что в зависимости от величины модуля момента количеств движения существует либо два, либо одно, либо ни одного стационарного решения. В стационарном движении (в случае его существования) конфигурация двойной планеты неизменна в орбитальной системе координат, связанной с движением ее центра масс. Все стационарные решения являются неустойчивыми..
Построены фазовые портреты в плоскости переменных (Al5A2), где.
Л, (m+ju)2 А2 |=л/ (w+/i)5//3 (здесь /- универсальная гравитационная постоянная, Щ — радиус орбиты центра масс двойной планеты, R2 — взаимное расстояние планет с массами т и ц). Движение по фазовым траекториям происходит таким образом, что, в конце концов, либо двойная планета обрушивается на притягивающий центр, либо спутник (тело массы /л) падает на планету. Численным методом получена фазовая траектория для двойной планеты Земля-Луна, движущейся в поле притяжения Солнца, в рамках рассматриваемой в этой главе постановки задачи. Эволюция движения системы Земля-Луна происходит так, что в настоящее время радиусы орбит Rx и R2 увеличиваются, а вращение Земли вокруг собственной оси замедляется. После того как угловая скорость вращения Земли сравняется с орбитальной в ее движении относительно Луны (период обращения Луны вокруг Земли при этом согласно полученным результатам увеличится в 1,476 раз и составит 40,32 современных суток) расстояние между Луной и Землей начнет уменьшаться. Следует отметить, что часть интегральной кривой, соответствующая уменьшению R2, расположена вблизи кривой, на которой угловая скорость вращения Земли совпадает с орбитальной в ее движении относительно Луны. Подобную картину эволюции Земли и Луны описывал Дарвин [132,133] и позже Макдональд [101]..
В пятой главе диссертации изучается эволюция поступательно-вращательного движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил..
Спутник представляет собой динамически симметричное твердое тело, по оси симметрии которого расположена пара гибких вязкоупругих стержней. При отсутствии деформаций в стержнях главные центральные моменты инерции спутника равны между собой, т. е. его центральный эллипсоид инерции — сфера. Диссипация энергии происходит за счет внутреннего трения в материале стержней. Жесткость стержней предполагается большой, и вводится малый параметр s, обратно пропорциональный жесткости упругих элементов..
В § 5.1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса. Используется линейная теория изгиба тонких нерастяжимых стержней. Канонические переменные Андуайе-Делоне описывают поступательно-вращательное движение спутника, а лагранжевы переменные Ui (s, t), u2(s, t) — деформации стержней (здесь sкоордината точки стержня по оси симметрии спутника, t — время). Так как поле внешних сил центральное, то имеет место закон сохранения момента количеств движения относительно притягивающего центра..
В § 5.2 методом разделения движений и усреднения строится приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных «действие» и медленной угловой переменной g долготы перигелия от восходящего узла, описывающая эволюцию движения рассматриваемой механической системы. Рассматривается нерезонансный случай..
В § 5.3 определяются многообразия стационарных решений усредненной системы уравнений и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Для одного класса стационарных движений спутника его центр масс описывает эллиптическую орбиту, стержни перпендикулярны плоскости орбиты, а скорость вращения вокруг оси симметрии, совпадающей со стержнями, произвольна. Описанное стационарное движение устойчиво практически только для прямых вращений спутника с угловой скоростью большей среднего движения по орбите..
Другой класс стационарных решений соответствует движению центра масс по круговой орбите, когда угловая скорость вращения спутника совпадает с орбитальной, а, вообще говоря, деформированные стержни имеют произвольную ориентацию в орбитальной системе координат. Так же, как и в задаче о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, рассмотренной в главе 2, в зависимости от величины модуля момента количеств движения G0 число стационарных орбит может быть равно нулю, одному или двум. В случае двух стационарных орбит устойчивым является стационарное решение, соответствующее орбите большего радиуса..
В окрестности этого стационарного решения условие отсутствия резонансов нарушается, поэтому его исследование проводится на основе возмущенной системы уравнений, полученной в результате применения метода разделения движений. Точные уравнения движения допускают такой класс движений, при котором эксцентриситет и наклонение орбиты равны нулю, а ось вращения ортогональна плоскости орбиты. В указанном классе движений проводится исследование устойчивости стационарных решений, соответствующих режиму гравитационной стабилизации спутника на круговой орбите. Стационарные движения, соответствующие такому положению спутника, при котором стержни лежат в плоскости орбиты и направлены по радиус-вектору центра масс, неустойчивы. А стационарные решения, соответствующие расположению стержней по касательной к орбите, устойчивы..
В шестой главе диссертации изучается эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите. Спутник моделируется осесимметричным твердым телом, по оси симметрии которого расположена пара гибких вязкоупругих стержней..
В § 6.1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения. Для определения радиус-вектора точки стержня в связанной со спутником системе координат используется линейная теория изгиба тонких нерастяжимых стержней. Вводится малый параметр б, пропорциональный обратной величине жесткости упругих элементов, и малый параметр ju, пропорциональный квадрату орбитальной угловой скорости. Для описания вращательного движения спутника относительно центра масс используются канонические переменные Андуайе..
В § 6.2 методом разделения движений осуществляется построение «возмущенной» системы уравнений относительно переменных Андуайе. При ju = О указанная система уравнений описывает быструю диссипативную эволюцию вращательного движения симметричного твердого тела с двумя вязкоупругими стержнями относительно центра масс, причем правые части этих уравнений не зависят от угловых переменных. Переменные /2, /3 модуль вектора кинетического момента К вращательного движения, /3 — проекция вектора К на нормаль к плоскости орбиты) в этих уравнениях не эволюционируют, а скорость эволюции переменной 1{1 — проекция вектора К на ось симметрии спутника) имеет порядок бх. В случае динамически вытянутого спутника (А>С) значение переменной /j уменьшается и стремится к нулю, а в случае динамически сжатого спутника (А<�С) значение переменной увеличивается и стремится совпасть с /2..
В § 6.3 изучается этап медленной диссипативной эволюции в случае А>С. Асимптотическим методом, аналогичным методу Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными, в окрестности аттрактора /, = 0, /2 = /2 (0), /3 = /3 (0) получены уравнения, описывающие эволюцию переменных /2, /3 с учетом периодических возмущений, вызываемых переменной. Скорость эволюции имеет.
Л порядок ехц • Построен фазовый портрет в плоскости переменных д: = /3/21 и У = который аналогичен фазовому портрету, полученному в работе [11] при анализе вращательного движения сферически симметричного твердого тела под действием приливного момента. Система дифференциальных уравнений относительно переменных х и у имеет единственное стационарное решение х = 1, y = Q (Qорбитальная угловая скорость), которое соответствует гравитационной стабилизации спутника в орбитальной системе координат. Соответствующая стационарная точка в плоскости (х, у) является устойчивым узлом. На основе неусредненной возмущенной системы уравнений получен следующий результат: положение равновесия, при котором ось симметрии спутника направлена по радиус-вектору его центра масс, устойчиво, а положение равновесия, при котором ось симметрии спутника направлена по касательной к орбите, неустойчиво..
В § 6.4 изучается этап медленной диссипативной эволюции в случае А<�С. Точные уравнения движения допускают такой класс решений, когда вектор кинетического момента К направлен по оси симметрии (/j =/2). В этом классе движений асимптотическим методом Крылова-Боголюбова строится приближенная система уравнений, описывающая эволюцию переменных /2, /3. Скорость эволюции переменных /2, /3 имеет порядок бхц2. Построен фазовый портрет системы в плоскости переменных (х, у). Анализ фазового портрета позволяет сделать вывод, что в случае А<�С движение спутника стремится к прямому вращению вокруг оси симметрии, направленной по нормали к плоскости орбиты. Значение предельной угловой скорости определяется начальными условиями..
Эволюционные уравнения, полученные в данной главе, полностью согласуются с уравнениями, полученными в главе 5 при исследовании поступательно-вращательного движения сферически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил..
В 7-ой главе диссертации рассмотрен пространственный вариант задачи о двойной планете: исследуется поступательно-вращательное движение вязкоупругой планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника, которые моделируются материальными точками. Спутник и планета движутся относительно общего центра масс, которые в свою очередь совершают движение относительно притягивающего центра..
В § 7.1 из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа выводится точная система уравнений движения рассматриваемой механической системы в рамках линейной модели теории вязкоупругости..
В § 7.2 методом разделения движений строится возмущенная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение планеты и спутника с учетом возмущений, вызываемых упругостью и диссипацией..
В § 7.3 проводится анализ квазистатических деформаций вязкоупругой планеты, моделируемой однородным изотропным вязкоупругим шаром. Получено уравнение поверхности вращающейся планеты, найдены главные центральные моменты инерции. Получены значения модуля вектора упругого смещения, позволяющие оценить величину приливных горбов, создаваемых притягивающим центром и спутником..
В § 7.4 найдены стационарные движения и исследована их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Показано, что в стационарном движении, когда диссипация энергии равна нулю, центр масс планеты и спутник движутся по круговым орбитам относительно притягивающего центра, располагаясь с ним на одной прямой. Вязкоупругая планета в стационарном движении неподвижна в орбитальной системе координат. Показано, что указанное стационарное движение является неустойчивым..
В § 7.5 в качестве модели вязкоупругой планеты рассматривается система, состоящая из абсолютно твердой невесомой сферы, к которой с внешней стороны жестко прикреплена вязкоупругая сферическая оболочка, а внутри имеется подвижное внутреннее ядро. Получено квазистатическое решение задачи теории упругости, которое описывает деформации упругого слоя планеты под действием гравитационных сил и сил инерции. Показано, что действие внешних гравитационных полей в рассматриваемом приближении вызывает центрально симметричные деформации упругого сферического слоя планеты, а колебания внутреннего ядра нарушают эту симметрию..
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы..
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [41,42,43,45,47,48,119,121,122,124,125,126,127]..
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В настоящей работе проведено исследование диссипативной эволюции поступательно-вращательного движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы в ряде задач небесной механики и механики космического полета..
Методами аналитической механики получена полная система интегро-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных в форме уравнений Рауса, описывающая движение механической системы, моделируемой либо вязкоупругим телом, либо твердым телом с жестко прикрепленными к нему упругими элементами в рамках линейной модели теории вязкоупругости. При этом обобщенные канонические переменные Андуайе-Делоне составляют гамильтонову часть переменных и описывают поступательно-вращательное движение рассматриваемой механической системы, а функции, описывающие деформации, составляют лагранжеву часть переменных..
Наряду с известным методом разделения движений и усреднения для исследования полученной системы уравнений предложен асимптотический метод, сочетающий в себе метод разделения движений и метод Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными. Этот метод в предположении больших коэффициентов жесткости и демпфирования вязкоупругой среды, а также наличия малых внешних периодических возмущений, позволяет получить приближенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую медленную диссипативную эволюцию поступательно-вращательного движения изучаемой механической системы..
Получена эволюционная система уравнений и проведен ее анализ в задаче о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Указанная система уравнений описывает взаимное изменение параметров орбиты и вращательного движения вязкоупругого шара и может быть использована при изучении приливной эволюции движения планет Солнечной системы..
Исследована эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел, являющейся модельной задачей небесной механики. Рассмотрен случай, когда массивные тела, моделируемые материальными точками с массами 1 и ц (//"1), и центр масс вязкоупругого шара движутся в одной плоскости, а вращение вязкоупругого шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости. Показано, что эволюция движения вязкоупругого шара разбивается на три этапа, характеризующихся различными временами. Асимптотическим методом разделения движений и методом Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными получены уравнения, описывающие движение вязкоупругого шара на каждом из этих этапов в классе квазикруговых орбит..
Исследована эволюция движения двойной планеты, моделируемой материальной точкой массы и однородным деформируемым вязкоупругим шаром массы т, в гравитационном поле неподвижного центраматериальной точки единичной массы /л (/л «т «1) в классе квазикруговых орбит. Рассмотрен случай, когда движение центра масс вязкоупругого шара и материальной точки массы /л происходит в одной плоскости, проходящей через притягивающий центр, а вращение шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости. Построены фазовые портреты, позволяющие выявить взаимосвязь между изменением радиуса орбиты центра масс двойной планеты и расстоянием между составляющими ее элементами. В рамках данной постановки задачи построена фазовая траектория для двойной планеты Земля-Луна, движущейся в поле притяжения Солнца..
Получена эволюционная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение сферически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил. Найдены многообразия стационарных решений и исследована их устойчивость на основе уравнений в вариациях..
Исследована эволюция вращательного движения динамически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите. Получены приближенные уравнения, описывающие поведение рассматриваемой механической системы на этапах «быстрой» и «медленной» диссипативной эволюции. Для этапа «медленной» диссипативной эволюции построены фазовые портреты..
Рассмотрен пространственный вариант задачи о двойной планете. Методом разделения движения построена возмущенная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение планеты и спутника с учетом возмущений, вызываемых упругостью и диссипацией. Проведен анализ квазистатических деформаций вязкоупругой планеты, моделируемой однородным изотропным вязкоупругим шаром. Получено квазистатическое решение задачи теории упругости в случае, когда планета моделируется механической системой, состоящей из абсолютно твердой невесомой сферы, к которой с внешней стороны жестко прикреплена вязкоупругая сферическая оболочка, а внутри имеется подвижное внутреннее ядро..
