Решеточные модели играют важную роль во многих областях теоретической физики, например в статистической механике, квантовой теории поля, гидродинамике и т. д. Особый интерес представляют точно решаемые решеточные модели, которые позволяют обнаружить критические явления в системах. Такое критическое поведение трудно исследовать численно или какими-то приближенными методами. Одним из важнейших примеров точно решаемых моделей в равновесной статистической механике является двумерная модель Изинга, решение которой было впервые дано Он-сагером в 1944 году [1]. Она описывается относительно простым гамильтонианом с короткодействующими взаимодействиями между частицами, и в ней может возникнуть фазовый переход второго рода.
В последние десятилетия большой интерес представляет исследование неравновесных фазовых переходов, которые часто встречаются в неравновесной статистической физике. Они могут возникать даже в простейших одномерных многочастичных системах с нетривиальной динамикой. Примерами таких систем являются: кинетический процесс биополимеризации (kinetics of biopolymerization) [2], движение транспорта по одномерной дороге (traffic flow) [3], решеточный газ во внешнем поле (driven lattice gas) [4], самоорганизованная критичность (self-organized criticality) [5], растущие поверхности (growing interfaces) [6] и т. д. Большинство явлений, встречающихся в таких системах, невозможно описать в пределах теории среднего поля. Эти системы можно смоделировать с помощью одномерных многочастичных процессов, например, полностью асимметричного процесса с простым исключением (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, TASEP). TASEP является стохастической системой взаимодействующих частиц, и служит парадигматической моделью для неравновесной статистической механики [8,9,46], как двумерная модель Изинга в равновесной статистической механике. Динамика данной модели решеточного газа характеризуется законом обновления состояния на каждом шаге дискретного времени. Для одномерной решетки с дискретным временем наиболее важными случаями являются обратное последовательное, параллельное и параллельное подрешеточное обновления [10]. Для конечного числа частиц динамика системы может быть определена с помощью основного кинетического уравнения (Master equation) вида.
P (x, i + l) = ]TpXiX, P (x, i), (1) х' где х = {х{} описывает положения частиц, a pXiX/ является вероятностью перехода от конфигурации х' к конфигурации х в течение одного временного шага. Эта вероятность перехода различна для различных видов обновления. Для обратного последовательного обновления каждая частица может сделать один шаг направо с вероятностью р, если передний узел свободен в начале временного шага или становится свободным в конце временного шага (из-за движения передней частицы). Для параллельного обновления движение частицы направо разрешено, только если передний узел является свободным в начале временного шага. Производя итерации рекуррентных уравнений (1), можно получить решение основного кинетического уравнения для любой заданной начальной конфигурации х°, т. е. найти условную вероятность конфигурации х в момент времени t, при условии, что в начальный момент времени частицы находились в конфигурации х°. Динамика данного стохастического многочастичного процесса имеет естественную интерпретацию в теоретико-полевых терминах [9,11], где конкретные реализации процесса соответствуют величинам теории поля в представлении путей интегралов по траекториям. Поэтому, по аналогии с соответствующей терминологией теории поля, мы называем такую условную вероятность перехода функцией Грина. Для первых двух случаев, т. е. для обратного последовательного и параллельного обновлений, функции Грина переходов были найдены путем решения основного кинетического уравнения для системы, заданной на бесконечной решетке [16,24,28]. Функция Грина имеет детерминантное представление, аналогичное тому, которое впервые было получено для случая непрерывного времени [23], где частицы прыгали независимо друг от друга после экспоненциально распределенного случайного времени с фиксированным средним, равным 1 [8,9,46]. Такое представление дает возможность вывести распределение потока частиц [14−16], и провести детальный анализ динамических свойств TASEP и других моделей, см., например, [17−20], в том числе частично асимметричного процесса с простым исключением (Partially Asymmetric Simple Exclusion Process, PASEP), где частицы могут прыгать в обоих направлениях [21,22].
Третий тип обновления с дискретным временем — это подрешеточное параллельное, которое впервые было рассмотрено в работах [25,26] и впоследствии изучалось для различных приложений как аналитически, так и численно [10,27]. В первой главе диссертации рассмотрен такой вид обновления, когда в нечетные моменты времени обновляются положения частиц, находящихся в четных узлах, а в четные моменты времени могут прыгать частицы, стоящие в нечетных узлах. С помощью двух последовательных отображений показано, что модель эквивалентна модели TASEP с обратной последовательной динамикой, в которой частицы начинают движение в различные моменты времени. Получена точная детерминантная формула для функции Грина для различных начальных и конечных условий [34].
Общим свойством правил обновления, перечисленных выше, является короткодействующее отталкивание между частицами за счет условия исключения. На больших масштабах плотность частиц распространяется в соответствии с уравнением непрерывности [29]. Флуктуации плотности потока частиц на соответствующем масштабе являются предметом интенсивных исследований в течение последних двух десятилетий [30−32]. Второе важное свойство указанных обновлений — это их «решаемость», т. е. основное уравнение (1) может быть решено с помощью анзаца Бете и функция Грина может быть вычислена явным образом [23,33]. Вторая глава диссертации также посвящена модели TASEP на бесконечной одномерной решетке, для которой введено обобщенное правило обновления. За счет такого обобщения изменяется первое свойство и сохраняется второе, то есть, помимо условия исключения допускается притяжение между соседними частицами, которое меняет эволюцию системы коренным образом. В частности, вводится параметр взаимодействия между частицами и в зависимости от его значения можно получить либо притяжение, либо дополнительное отталкивание между частицами. В диссертации дано решение основного кинетического уравнения при произвольных начальных условиях и найдена функция Грина в детерминантной форме, как это сделано в работах [24,28,34] для других правил обновления. Полученное решение обобщает известные результаты для обратной последовательной и параллельной динамики и совпадает с ними для частных значений параметров взаимодействия. Вторая глава диссертация организована следующим образом. В первом разделе сформулирована модель и определены основные понятия, необходимые для решения. Во втором разделе объяснены особенности основного кинетического уравнения для обобщенного вида обновления и дано преобразование оператора эволюции в форме, пригодной для анзаца Бете. Решая основное кинетическое уравнение при произвольных начальных условиях, можно получить детерминантное выражение для функции Грина. В третьем разделе приведено доказательство анзаца Бете в общем случае для N частиц.
Динамические правила системы определяют вероятности переходов для Марковских цепей, построенных на множестве конфигураций частиц. Учитывая начальные условия, можно узнать вероятности различных событий, происходящих в ходе эволюции Маркова. В третьей главе диссертации рассмотрены многочастичные корреляционные функции, т. е. вероятности нахождения нескольких фиксированных частиц в данных пространственно-временных точках.
Первый точный результат для корреляционных функций в TASEP был получен в работе Йоханссона [14], где рассматривается эволюция TASEP с параллельным обновлением и ступенчатым начальным условием (step initial condition), Z М — N) расстояния, пройденного N-й частицей за время t, где координаты частиц (жь> Х2, > .) определяют состояние системы. В дальнейшем этот результат был обобщен для обратно-последовательного обновления [16] и плоского начального условия (flat initial condition) [15]. Связь TASEP с теорией детерминантных точечных процессов (determinantal point processes) обнаруженная в [17,19] позволила также рассчитать многочастичные корреляционные функции, то есть распределение Pt (xni > ai,. хПт > ат) положений т фиксированных частиц в данный момент времени t, где 1 < ni <,••• <, пт целые числа, нумерующие выбранные частицы. Многочастичные корреляционные функции были изучены при различных начальных условиях в ряде работ [19,43,44]. В общем случае результат может быть представлен в виде определителя Фредгольма оператоpa с некоторым интегральным ядром. Асимптотический анализ ядра представляет особый интерес, так как позволяет изучать скейлинговый предел корреляционных функций, которые дают универсальные скейлинговые функции класса универсальности Кардара-Паризи-Жанга (Kardar-Parisi-Zhang universality class) [6].
Существует закон больших чисел, который предполагает, что стохастическая эволюция TASEP стремится к детерминистическому пределу [29]. В частности, если измерять координату хп n-й частицы в момент времени t, детерминистическая связь между нормированными переменными и = n/L, u) = t/L, j = (хп + n)/L (3) выполняется с вероятностью единица, когда L оо. Явный вид этой связи можно найти из гидродинамического закона сохранения для плотности частиц р dtp + dxj = 0, (4) где j = j (p) — это стационарный ток частиц, который является функцией плотности и в общем случае зависит от модели. Для обратного последовательного обновления ток имеет вид л"-^. О" который вместе с (4) и (2) дает соотношение рй — y/qu — у/у = 0 (6) в диапазоне —p/q < (7 — и) /и < р. Точное вычисление корреляционных функций позволяет исследовать флуктуации случайных величин вблизи их средних значений, заданных на детерминистической шкале. Допустим, даны и и и, и обозначим через 7(и, и) нормированную координату частицы. Тогда отклонение 5хп = хп — L (j (uj, i/) — и) координаты хп имеет масштаб, характерный для флук-туаций KPZ,.
6xn~La, а = 1/3. (7).
Распределение нормированной переменной s = к'1 lim SxnL~a, (8) х L-*oo v ' является универсальной функцией класса КР2, зависящей только от формы начального профиля макроскопической плотности. Отметим, что зависимость от модели включена только в одну неуниверсальную постоянную кх. Примерами распределений, полученными из асимптотического анализа одноточечной корреляционной функции, являются знаменитые функции Трейси-Видома Р и F2 для плоского и ступенчатого начальных условий соответственно. Эти функции хорошо известны из теории случайных матриц, где они возникают в качестве распределений наибольших собственных значений в ортогональном и унитарном гауссовых ансамблях [47]. Их присутствие есть универсальное свойство класса КРЪ. Кроме того, изучение многоточечных распределений показывает, что флуктуации координат различных частиц, например, хП1 и хП2, остаются нетривиально скоррелированными случайными величинами на масштабах.
Это второй степенной закон, характеризующий класс KPZ. Критические индексы, а = 1/3 и /3 = 2/3 называются флуктуационным и корреляционным индексами соответственно. После соответствующего масштабирования по числу частиц можно получить однопараметрическое семейство коррелированных случайных величин: где кп — другая неуниверсальная константа. Для случаев плоского и ступенчатого начальных условий совместное распределение этих переменных определяет универсальные ансамбли Эйри-1 [17] и Эйри-2 [48], для которых одноточечными распределениями являются Fl и F2.
До сих пор мы рассматривали только пространственные корреляции между положениями различных частиц в фиксированный момент времени. Однако, как правило, можно рассмотреть совместные вероятностные распределения событий, связанных с различными частицами, позициями и моментами времени в ходе эволюции ТАБЕР. Мы будем называть такие распределения пространственно-временными корреляционными функциями. Примером такой функции является распределение положений фиксированной частицы в различные моменты времени, которое было рассмотрено в [49]. В работах [20,50] изучалась более общая корреляционная функция — распределение Р (хП1(Ь 1) > щ,., хПт (1т) > ат) положений фиксированных.
1″! — п2| ~ = 2/3.
9).
— V + и!/ 1кп) -VиЬР 1кп).
10) частиц хП1,., хПт с номерами т < ••• < пт (11) в моменты времени где на множество пространственно-временных точек накладывалось ограничение к > и+х, ¡-Г Щ < щ+1, (12) и > а щ = 1, (13) т. е. временные координаты не должны были возрастать с ростом номера частицы и наоборот. Такое расположение моментов времени было названо авторами пространственно-подобным [20, 50]. Другим примером пространственно-временной функции является корреляционная функция токов частиц, которая недавно была получена в работе [51]. Это вероятностное распределение Р (?П1 < а < ат) моментов времени £П1,., ЬПт, в которые т выбранных частиц с номерами щ <,.,< пт (14) прыгают из соответствующих узлов хП1,., хПт, выбранных из множества х{ = х — г + N: г = 1,., пт}, (15) для данного х € N > пт и начальной конфигурации х®- = 1 — г, г € N. В связи с тем, что пространственно-временные траектории частиц не пересекаются, доступный для динамики диапазон моментов времени удовлетворяет неравенствам.
1П1<—-<1Пт. (16).
Временные упорядочения (12,13) и (14,16) противоположны друг другу, и имеют разное происхождение. В работах [20,49,50] числа частиц щ, П2,¦¦¦ и моменты времени ¿-П1, £Пг,. фиксированы, а координаты частиц хП1, хП2,. являются случайными величинами. В случае корреляции токов [51] моменты времени являются случайными, в то время как координаты частиц хщ и числа щ связаны фиксированным соотношением. Таким образом, в отличие от ограничений (12,13), неравенства (16) являются не внешним ограничением, а следствием динамики: они показывают ту пространственно-временную область, которая может быть достигнута с ненулевой вероятностью во время случайного процесса. Однако в скейлинговом пределе не важно, какая переменная выбирается случайной. Тогда пространственные и временные координаты, а также номера частиц становятся эквивалентными за счет разделения флуктуационных и корреляционных шкал. Действительно, когда мы фиксируем значения двух любых параметров п, х,? на больших масштабах, значение третьего однозначно определяется в том же порядке из детерминистического соотношения (6). Другими словами, сначала мы фиксируем точку на двумерной поверхности в трехмерном пространстве, которая определяется соотношением (6), затем мы представляем флуктуации в окрестности данной точки с помощью бесконечно малого вектора, направленного по нормали к поверхности, который может быть спроецирован на одно из трех направлений п, х, Ь или на любое другое направление в трехмерном пространстве. Выбор направления влияет только на постоянные величины, зависящие от угла, которые определяют шкалу флуктуаций, в то время как функциональная форма распределений является универсальной. Кроме того, корреляционные функции флуктуаций, связанные с различными точками поверхности, также универсальны, когда точки находятся на расстоянии порядка корреляционного масштаба Универсальность выполняется, когда взаимное расположение точек меняется в широких пределах. Действительно, предельные пространственные и временные корреляционные функции [20,49−51] для областей (12,13) и (14,16), соответственно, дают корреляции типа Эйри-2 для ступенчатого начального условия. Область применимости универсальности по отношению к выбору точек в корреляционной функции была выяснена Феррари в [52], чьи аргументы были основаны на обнаруженном им явлении медленной декорреляции. Он показал, что в скейлинговом пределе корреляции могут быть двух видов в зависимости от того, является ли рассматриваемая конфигурация точек пространственно-подобной или временно-подобной. Корреляции для пространственно-подобных конфигураций, с точностью до неуниверсального скей-лингового коэффициента, имеют такой же вид, что и чисто пространственные корреляции. В частности, когда расстояние между точками становится порядка Л/73, флуктуации в этих точках описываются ансамблями Эйри-1, Эйри-2 и т. д., в зависимости от начальных условий, так же как в чисто пространственном случае. Однако если конфигурация точек временно-подобная, флуктуации, измеренные на масштабе Nа, остаются полностью скоррелированными, т. е. тождественными до тех пор, пока расстояние между точками не станет порядка N, которое много больше, чем Определения пространственно-подобных и временно-подобных конфигураций точек, использовавшиеся в работе [52] для модели полинуклеарного роста (polynuclear growth, PNG) и обобщенные Корвином, Феррари и ITe4e (Corwin, Ferrari and Peche, CFP) [53] для целого ряда других моделей, включая TASEP, были, однако, отличны от определений, принятых в работах [20,50]. Для того чтобы правильно классифицировать полученные результаты, напомним основные идеи CFP. Их формулировка изложена на языке перколяции последнего посещения [14], которая может быть непосредственно отображена на TASEP, а также на другие математические модели [53]. Обозначим через 1R+ первый квадрант IR2. Каждой точке R2 с целыми положительными координатами (i, j) G № f") R+ припишем геометрически распределенные случайные величины Tij,.
Каждая реализация эволюции ТАЭЕР полностью определяется набором величин Т^, задающих время ожидания г-й частицы, прежде чем совершить й шаг после того, как ей было разрешено двигаться. Обозначим также направленный решеточный путь решетки, который начинается в точке (х1,ух), делает единичные шаги либо вверх (г,]) —> (г,] + 1), либо вправо [г,]) —> (г + 1,]) и заканчивается в точке (а^э"2/г) через П (Х1,у1)-+(х2,у2) — Сумма элементов Т^ по данному пути называется временем последнего посещения. Как было показано Йоханссоном для ТАБЕР с параллельным обновлением [14], максимальное значение времени последнего посещения на множестве путей, выходящих из (1,1) и заканчивающихся в (п, тп), связано с временем 1п (т), которое требуется, чтобы п-я частица сделала т шагов, = Тп, т+п. В случае ТАБЕР с обратным последовательным обновлением эти два времени просто равны друг другу, ¿-&bdquo-(т) = Тп, тОтметим, что другие модели также можно свести к предельным случаям перколяции последнего посещения. В пределе д —У 1 после перемасштабирования времени? —" ?(1 — д) получаем экспоненциальное.
P (T, J = 0 = 9 г (1 — ч).
17).
18) распределение времен ожидания, которое определяет TASEP с непрерывным временем. В противоположном пределе q 0 первый квадрант заполнен в основном нулями, а единицы изредка появляются с вероятностью q. После перехода к непрерывному пределу и перемасштабирования координат {х, у) —> (qx, qy), распределение единиц на фоне нулей становится пуассоновским процессом в первом квадранте, который, в свою очередь, может быть использован для определения PNG [48, 54]. При данных (n, m), вероятностное распределение времени ожидания (17) индуцирует распределение Р{Тп, т < <*) ДЛЯ времени последнего посещения 7п, тСовместные распределения P (Tni, mi < О-Ъ • • • i%k, mk < fljfc) времен последних посещений для к различных точек (ni, mi),., (щ, тк), называются fc-точечными корреляционными функциями.
Согласно CFP, двухточечная конфигурация ((пь mi), (^г,^)) является временно-подобной, если точки могут быть соединены ориентированным путем П (ni, mi)->(n2,m2)) и пространственно-подобной в противном случае. Предположим, что щ < П2. Очевидно, условие того, чтобы конфигурация была временно-подобной, имеет вид mi < 7712 Щ < П2, (19).
Ш! < т2 щ = п2.
Напомним, что в TASEP со ступенчатым начальным условием, частица под номером п начинает движение из начального положения х° = — п + 1, а ее пространственная координата после m шагов будет равна хп = тп — п + 1. Тогда требование, чтобы конфигурация точек была пространственно-подобной, противоположное к (19), может быть записано в виде.
Xi < Xj, если i > j. (20).
Это условие того, что медленной декорреляции не происходит, и соответственно, универсальность сохраняется. Можно увидеть, что точки (15) конечной конфигурации в корреляционной функции токов удовлетворяют соотношениям (20). Из-за того, что в связи с тем, что траектории частиц не пересекаются, эти условия выполняются автоматически, когда моменты времени выбираются из области (12,13).
Поэтому конфигурация точек, рассмотренная в [20,49−51] является пространственно-подобной по классификации CFP. Однако, в комплементарной области присутствуют оба типа предельного поведения. Таким образом, разделение на временно-подобные и пространственно-подобные конфигурации, предложенные CFP, более уместно, при изучении различных видов универсального поведения корреляционных функций. По этой причине мы будем пользоваться их терминологией, в которой пространственно-подобные конфигурации в TASEP определяются условием (20), а временно-подобные — противоположным условием (19). Корреляционные функции токов, вычисленные в [51], являются примером пространственно-подобных корреляций вне области, изученной в [20,50]. Фактически, первый результат по пространственно-подобным корреляциям был получен в работе [54], в которой универсальность скейлингового предела была доказана в рамках модели PNG во всей пространственно-подобной области. Однако микроскопическое рассмотрение в контексте TASEP было ограничено условиями (12, 13) в [20,49−51] и (14,16) в [51], где пространственные координаты были зафиксированы неравенствами (15). Целью третьей главы диссертации является расширение микроскопического вывода корреляционных функций TASEP для остальной части пространственно-подобной области, которая еще не была охвачена в предыдущих работах. Временно-подобная область пока остается за пределами применимости имеющихся методов.
С 1960;х годов переход спираль-клубок в биополимерах был предметом интенсивных теоретических исследований [61−74] и активно исследуется до сих пор. Есть две основные причины, из-за которых интерес к этой проблеме не убывает. С биологической точки зрения переход спираль-клубок связан с такими важными генетическими процессами, как транскрипция и трансляция. С другой стороны, с точки зрения физики, ДНК, состоящая из двух цепей, является примером квазиодномерной системы с дальнодействующими корреляциями. Для описания перехода спираль-клубок обычно применяются теоретические модели, основанные на одномерных Изинго-подобных моделях [64−67,75] или используется аналогия между поведением полимера и квантово-механической частицы в потенциальной яме [72,73]. Многие теоретические конструкции включают возможность формирования петель (loop factor). В частности, работы [68−70] посвящены детальному изучению топологических проблем, связанных с петлями, а в работе [74] учтены взаимодействия исключенного объема внутри денатурированной петли, где было показано возникновение фазовых переходов разного рода в зависимости от значения показателя петли. В большинстве теорий рассматриваются топологические проблемы образования петель в термодинамическом пределе или в приближении среднего поля. В настоящее время существуют много работ по теории перехода спираль-клубок в гомополиме-рах, в частности в ДНК, где учитывается влияние молекул воды, ионов, межмолекулярных взаимодействий лигандов и неоднородности цепочки. Тем не менее, до сих пор открытым остается вопрос о «минимальной» модели перехода спираль-клубок в гомополинуклеотидах, основанной только на фундаментальных свойствах двухце-почечной структуры. Четвертая глава диссертации посвящена основным свойствам структуры цепи биополимера и ее конформационным возможностям. Существуют несколько работ, посвященных этой проблеме [70−73], а также была разработана модель перехода спираль-клубок для двухцепочечной гомополимерной ДНК [77]. Эта модель описывает общие свойства системы, такие как большое количество внутренних состояний вращения, энергия дополнительных связей и ограничения на кон-формационные возможности цепи, возникающие в связи с образованием водородной связи в двухцепочечной системе. Обычно такое ограничение описывается через отношение статистических сумм полимера в состоянии петли к открытой цепи. Эта величина рассматривается во многих полуэмпирических теориях среднего поля [69−71] при модификации теории Штокмайера для достаточно длинных цепей. Статистическая сумма и свободная энергия были рассчитаны в работе [77], где решалось характеристическое уравнение, которое связывало длину петли с энергией образования водородной связи. В [77] авторы учитывали только образования коротких петель (петлевая длина менее одной молекулярной цепочки) и пренебрегли влиянием длинных петель. Такой подход позволил выявить влияние взаимодействий ближнего порядка на переход спираль-клубок в биополимере. Было показано, что характеристическое уравнение такой модели сводится к обобщенной модели полипептидной цепи (generalized model of polypeptide chain, GMPC), введенной в работах [77−79]. Таким образом, можно прийти к выводу, что GMPC может быть применена к двухцепочечной структуре, если пренебречь влиянием крупных петель. Целью четвертой главы диссертации является обобщение результатов работы [77] на случай петель произвольной длины. Относительное расстояние между соответствующими мономерами двух полимерных цепей смоделировано с помощью двумерного случайного блуждания на квадратной решетке. Возврат случайного блуждания в исходное положение описывает образование водородных связей между комплементарными единицами. Учитывая два конкурирующих взаимодействия мономеров в цепях, можно получить полностью денатурированные состояния при конечных температурах.
Данная диссертация написана на основании содержания работ [34−38].
Заключение
.
На защиту выдвигаются следующие результаты:
• Показано, что модель TASEP с параллельным подрешеточным обновлением эквивалентна модели TASEP с обратной последовательной динамикой, в которой частицы начинают и заканчивают движение в различные моменты времени. С помощью этого соответствия получены функции Грина для TASEP с параллельным подрешеточным обновлением для различных начальных и конечных условий.
• Обобщены правила обновления положений частиц полностью асимметричного процесса с исключенным объемом в дискретном времени. Введен новый параметр взаимодействия между частицами и с помощью анзаца Бете решено кинетическое уравнение модели для конечного числа частиц на бесконечной решетке. Нестационарное решение для произвольных начальных условий представлено в виде детерминанта.
• Исследованы совместные вероятности выходов частиц модели TASEP из множеств с заданной пространственно-временной структурой. Вероятности выходов частиц из последовательности обобщенных границ получены в виде определителя Фредгольма. Показано, что искомая вероятность в скейлинговом пределе асимптотически сходится к универсальному процессу Эйри-2.
• С помощью двумерного случайного блуждания на квадратной решетке исследована математическая модель двухцепочечного биополимера. Учтены два конкурирующих взаимодействия мономеров в цепях и доказано существование полностью денатурированных состояний полимера при конечных температурах.