Адаптационная оптимизация производственных процессов с технологической обратной связью

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

" САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ"

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН И КОМПЛЕКСОВ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ Адаптационная оптимизация производственных процессов с технологической обратной связью по дисциплине: Компьютерная обработка экспериментальных данных РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ СТУДЕНТ ГР.

Костерев Г. М.

Санкт-Петербург 2012

• Цель работы
• Моделирование «черного ящика»
• Листинг программы, моделирующей случайную помеху
• Определение вида распределения сгенерированной помехи
• Построение уравнения регрессии
• Получение значений откликов
• Листинг программы для получения значений откликов
• Аппроксимация уравнения регрессии линейным уравнением
• Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии
• Окончательное уравнение регрессии
• Приложение
• Список, используемой литературы

Цель работы

1. Разработать модель «чёрного ящика» по заданным параметрам;

Y = x₁*sin (x₂₎ +x₃-3x₄, где f (о) =c*cos (x) (0; р/2)

2. По выходам «чёрного ящика» определить вид закона распределения случайной величины;

3. Оценить параметры распределения;

4. Построить уравнение регрессии, выбрав степень полинома так, чтобы среднеквадратичная ошибка не превышала заданного порога: .

5. Оценить значимость коэффициентов, удалить незначимые.

Моделирование «черного ящика»

f (о) =c*cos (x); (0; р/2)

C=1

= arcsin (x)

Листинг программы, моделирующей случайную помеху

Программа написана и отлажена в среде Visual C++

Определение вида распределения сгенерированной помехи

Для этого по полученной выборке построим гистограмму

Рис 1. Гистограмма по выборке.

По Рис.1 можно выдвинуть гипотезу о синусоидальном характере распределения промоделированной случайной величины.

Проверка гипотезы методом «хи-квадрат» :

Диапазон возможных значений элементов выборки разбивается на k интервалов и подсчитываются количества n_i элементов выборки, попавших в каждый i-ый интервал (рис. 4.1).

Рис. 2.

На основании этого разбиения вычисляется значение статистики

_,

где объем выборки, p_i = F (x_{i B}) — F (x_{i H}) вероятность попадания в i-тый интервал с нижней x_{i H} и верхней x_{i B} границами.

Чтобы обеспечить заданный уровень значимости критерия, в качестве порога, с которым следует сравнивать X², следует брать квантиль хи-квадрат распределения уровня 1- ²_1- (k-1). Решающее правило принимает вид: если X² > ²_{1- (}k-1), то гипотеза отклоняется, в противном случае экспериментальные данные не противоречат гипотезе.

Задавшись уровнем значимости = 0.05, по таблице квантилей хи-квадрат распределения находим, что для числа степеней свободы k — m — 1 =8 — 1 =7, величина ² = 14,08. Так как экспериментально полученное значение статистики хи-квадрат 10,27 меньше порогового значения то, можно говорить, что экспериментальные данные не противоречат выдвинутой гипотезе о синусоидальном характере распределения случайной величины.

Построение уравнения регрессии

Матрица планирования:

Матрица планирования (A) имеет вид:

(At*A) ^ (-1) *At

Получение значений откликов

Необходима выборка, полученная с помощью черного ящика. Для этого нам надо поставить несколько опытов с разными значениями x_i. Количество опытов равно 2 в степени количества факторов x, для сокращения количества опытов в 2 раза воспользуемся генератором. Т. е. восемь (2⁴) /2. В каждом опыте выполняем по 6 циклов. Теперь мы получили выборку, представленную в таблице.

Листинг программы для получения значений откликов

Программа написана и отлажена в среде Visual C++

программа моделирование обратная связь

Аппроксимация уравнения регрессии линейным уравнением

Неизвестное уравнение регрессии технологического процесса может быть аппроксимировано линейным уравнением:

y =₀ +₁x₁ +₂x₂ +₃x₃ +₄x₄

Оценки b_i коэффициентов _i, i=0,1,., 4, рассчитываются по формулам:

где S_ij — знак i-го фактора в j-ом опыте ПФЭ.

Результат вычислений оценок коэффициентов:

Уравнение регрессии:

Y = - 0,338 314 392+0,40 406 215x_{1-0,341 740 029x2+0,115 301x3+0,95 083x4}

Отклики, предсказанные уравнением регрессии:

Для проверки гипотезы адекватности сравним точность, достигнутую моделью, с точностью измерений.

Число степеней свободы:

=n- (m+1) =8- (4+1) =3

Dад =

Число степеней свободы:

Dвос=

F = Dад/Dвос = 2,392 204 535

Пороговое значение критерия Фишера F₀ для f₁=3, f₂ =40 и уровня значимости =0,05 находим по таблице Прил.1 F₀ =2,9.

Так как F0 — линейное уравнение регрессии адекватно.

Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии

Проверяем значимость отдельных коэффициентов уравнения регрессии с помощью t — статистики Стьюдента.

Для чего по таблице Прил.2 для f= n (N-1) =8 (6−1) =40 и =0.05 находим пороговое значение t₀= 1.684.

Вычислив для каждого коэффициента регрессии величину

t_i = b_i /, где D = Dвос/Nn = 0,139 053 903/5*8 = 0,3 476

и, сравнив t_i c t₀, приходим к выводу, что коэффициент ₄ незначим.

Окончательное уравнение регрессии

Таким образом, окончательное уравнение регрессии технологического процесса имеет вид

Уравнение регрессии: Y = - 0,338 314 392+0,40 406 215x_{1-0,341 740 029x2+0,115 301x3}

Приложение

Статистический анализ уравнения регрессии:

Уравнение регрессии, найденное с помощью ПФЭ, нуждается в статистическом анализе. Проводятся два вида такого анализа: проверка адекватности модели (т.е. всего уравнения в целом) и проверка значимости отдельных коэффициентов уравнения. Обе эти проверки проводятся в предположении справедливости модели технологического процесса (1). т. е. считается, что значения отклика процесса Yil, (j= 1,., n; l= 1,., N) представляют собой независимые нормальные случайные величины с одинаковой дисперсией.

Проверка адекватности модели служит для определения соответствия выбранного вида уравнения регрессии {линейное, неполное квадратное и т. п.) неизвестному точному уравнению регрессии. Эта проверка основывается на сравнении разброса экспериментально полученных значений отклика, относительно найденного уравнения регрессии, с разбросом отклика в каждой точке факторного пространства.

Разброс значений отклика относительно уравнения регрессии характеризуется так называемой дисперсией адекватности, равной

(14)

где n — число опытов в плане; N — число повторений отдельных опытов; - среднее значение отклика в j-й точке плана; - значение отклика в той же точке плана, предсказываемое найденным уравнением регрессии; f1=n- (m+1) — число степеней свободы дисперсии адекватности; m+1 — число коэффициентов в уравнении регрессии.

Разброс отклика в каждой точке факторного пространства при справедливости модели (1) одинаков и характеризуется уже упоминавшейся дисперсией воспроизводимости, величина которой может быть вычислена по формуле.

(15)

где yjl — значение отклика в j-й точке плана при l-м повторении опыта;

f2 = n (N-1) — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.

Если гипотеза адекватности справедлива, и, следовательно, дисперсии адекватности и воспроизводимости равны, то отношение F=Dад/D{y}, как показано в математической статистике, имеет F — распределение Фишера с f1 и f2 степенями свободы. Если же гипотеза адекватности неверна, то Dад/D{y} будет иметь распределение, отличное от F-распределения Фишера, сдвинутое в сторону больших значений статистики F.

Рис. 3.

На основании этого для проверки гипотезы адекватности рассчитанное значение F сравнивается с пороговым значением Fo, которое при справедливости гипотезы адекватности может быть превышено с заданной малой вероятностью б (см. рис.3) Если F? Fo гипотеза адекватности отвергается. Если F < Fo — принимается.

Описанное правило проверки гипотезы адекватности называется тестом или критерием Фишера, а малая вероятность его уровнем значимости. На практике обычно пользуются значением, равным 0,05 или 0,01. Таблица пороговых значений F0 для критерия Фишера при этих уровнях значимости приведена в Прил.1.

Если результаты проверки адекватности уравнения регрессии показали, что оно адекватно, то необходимо проверить значимость его коэффициентов. Такая проверка позволяет отбросить незначимые коэффициенты, появление которых вызвано случайными причинами, и тем самым упростить уравнение регрессии. Проверка основывается на том, что при ПФЭ все коэффициенты статистически независимы и имеют одинаковую дисперсию D, для которой известна оценка (13). Для проверки значимости любого коэффициента bi вычисляется

t — статистика Стьюдента.

Эта статистика при условии, что истинное значение коэффициента регрессии i=0 имеет t — распределение Стьюдента с f степенями свободы, где f=n (N-1) — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости. Распределение Стьюдента симметрично и имеет математическое ожидание, равное нулю (рис.4). Если же i 0, то распределение статистики t смещается вправо или влево в зависимости от знака i. На основании этого для проверки значимости коэффициента i задаются уровнем значимости таким, что при условии i=0

P{ti t0}= 2, и считают коэффициент значимым, если ti t0 или ti — t0, или что-то же самое, если ti t0 (см. рис.4).

В случае, если имеет место противоположное неравенство ti < t0, коэффициент bi считается незначимым и может быть отброшен. Для практических расчетов в Прил.2 приведены значения порога t0 для различных значений уровня значимости .

F — распределение Фишера — Снедекора:

Значения квантилей F_0.95 (₁,₂); ₁ и ₂ — числа степеней свободы числителя и знаменателя.

t — распределение Стьюдента:

Значения квантилей t_p () (числа в первой строке таблицы нужно умножить на 10)

Список, используемой литературы

1. Булгаков А, А. Статистические методы обработки информации в АСУ: Учебное пособие /ЛЭТИ.Л., 1981, _ 75 с.

2. Булгаков А, А, Идентификация объектов управления в АСУ; Учебное пособие /ЛИАН.Л., 1982. — 97 с.

3. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов /Поп ред.Э. К. Лецкого. М.; Мир, 1977. _ 552 с.