Дифференцирования параболических подколец в матричных кольцах и регулярность присоединенной группы в радикальном случае

Дифференцирование алгебр Ли L® и Йордана J®, ассоциированных с ассоциативной алгеброй i?, называют соответственно лиевым или йордановым дифференцированием алгебры R. Аналогично их определяют для ассоциативного кольца Я, а также лиевы и йордановы изоморфизмы и автоморфизмы R.

Лиевы и йордановы дифференцирования и изоморфизмы алгебр и колец имеют давний интерес. Хорошо известно, что для нильпотентного дифференцирования S алгебры Ли над полем нулевой характеристики exp (O) есть автоморфизм алгебры. Такие автоморфизмы простых комплексных алгебр Ли являются ключевыми при построении групп Шевалле над произвольным полем и даже ассоциативно-коммутативным кольцом. Согласно классической теореме И. Н. Херстейна [26], йорданово дифференцирование первичного кольца характеристики ф 2 всегда является дифференцированием самого кольца. Теорему для йордановых изоморфизмов см. [27], [28]. Развитие исследований отражают W.E. Baxter, W.S. Martindale, A.B. Михалёв, K.I. Beidar ([12], [18]) и др.

Для простых и полупервичных колец аналоги теорем Херстейна изучали J. M. Cusack, M. Bresar, M.A. Chebotar, P. Semrl, J. Vukman ([16], [21], [19]). Для колец и алгебр (с ненулевым нильпотентным идеалом) NT (n, R) нильтреугольных и T (n, R) треугольных п X п-матриц с различными ограничениями на кольцо коэффициентов лиевы и йордановы дифференцирования изучали А.H.A. Driss, Y. Cao, L. Ben Yakoub, S. Ou, D. Wang, R. Yao, J.H. Chun, J.W. Park ([24], [39], [22]) и, соответственно (случай Т (п, Я)), S.P. Coelho, С.P. Milies D. Benkovic, S. Jondrup ([20], [31],[15] и др.).

N.M. Ghosseiri [25] изучал более общее, чем T (n, R), параболическое (то есть содержащее T (n, R)) подкольцо полного матричного кольца M (n, R).

Главный пример получается здесь следующим образом. Обозначим через eij матричные единицы. Набор I = {/??} идеалов кольца R с условием Iijljk Q hk-, для любых i, j, k из множества Гп = {1,., п} называют ковром идеалов степени п [4]. Очевидно, он определяет подкольцо ]Сг jern Iijeiji называемое — при условии параболичности = A, i > j, -ковровым параболическим.

Когда R есть кольцо без 2-кручения, N.M. Ghosseiri доказал разложимость йорданового дифференцирования коврового параболического под-кольца в сумму дифференцирования и антидифференцирования. В.М. Лев-чук и О. В. Радченко установили аналог теоремы Херстейна для дифференцирований кольца NT (T, R) нильтреугольных финитарных Г-матриц llaulkjer над любым ассоциативным кольцом R с единицей, где Г — произвольное линейно упорядоченное множество [33], [8]. Естественно возникает.

Задача (А). Описать лиевы и йордановы дифференцирования коврового параболического подколъца кольца финитарных Г-матриц над произвольным ассоциативным кольцом с единицей.

Далее. Автоморфизмы радикального кольца.

Kn (R, J) = NT (n, R) + M (n, J) изучались в [32]. Известно, что когда R есть кольцо Z/pmZ классов вычетов целых чисел по модулю рт (р — простое число, т ^ 1,) присоединенная группа кольца Kn (R, J) изоморфна силовской р-подгруппе группы GLn®. Подобное представление использовалось для силовских р-подгрупп классических групп и групп Шевалле над кольцом Z/pmZ при исследовании их центральных рядов и автоморфизмов (см. [1, Вопросы 6.34 и 12.42]). Вопрос 8.3 Верфрица из Коуровской тетради [1] и его аналог о регулярности указанных силовских подгрупп изучали A.B. Ягжев [11] и С. Г. Колесников [2], [3]. В диссертации исследуется.

Задача (Б). Перечислить регулярные силовские рподгруппы классических линейных групп или, более общо, групп Шевалле нормальных типов над кольцом Ъ/ртЪ.

Целью диссертации является решение задачи (Б) для симплектических и ортогональных групп четной размерности при малых т и полное решение задачи (А).

Основными результатами диссертации являются следующие:

— доказано, что всякое дифференцирование коврового параболического подкольца 5 кольца финитарных матриц над ассоциативным кольцом с единицей есть сумма локально внутреннего и индуцированного дифференцирований;

— показано, что всякое йорданово и лиево дифференцирование 5 являются суммой обычного дифференцирования и явно указанных экстремальных дифференцирований (получено полное решение задачи А));

— выявлены для т = 1,2 все значения р и п, при которых силов-ские р-подгруппы симплектической и ортогональной групп нерегулярны (частичное решение задачи Б)).

Первая глава посвящена описанию дифференцирований ковровых параболических подколец колец финитарных матриц над ассоциативным кольцом с единицей и ассоциированных с ним колец Ли и Йордана. В разделе 1.1 даются определения финитарных и слабо финитарных матриц, параболического и коврового кольца, индуцированного и локально внутреннего дифференцирований.

Основной в разделе 1.2 является.

Теорема 1. Пусть Я — ассоциативное кольцо с единицей и Г — произвольная цепь, |Г| ^ 2. Тогда любое дифференцирование коврового параболического подкольца Б ¡-(Я) есть сумма локально внутреннего и индуцированного дифференцирований.

Теорема 1 опубликована в [46]. Для конечной цепи Г она была доказана в [25].

Для описания йордановых и лиевых дифференцирований в разделе 1.3 выделяются следующие экстремальные дифференцирования. Пусть Г = {1,., n}, п ^ 2, и совокупность {ipi | г G Г} аддитивных отображений кольца R в центр Z{R) удовлетворяет условию.

Определим также отображение П кольца Si® в себя, положив П (Л) — 7r (ain)enb, А = ||ау || G Sj®, где 7г: /in —J? — аддитивное отображение, удовлетворяющее условиям:

1) 7 Г (ху) = ±утт{х), тт (ух) = ±7т{х)у, х G Д", y Е R', п (ху ± ух) = О, X, У G /1п;

2) 7r (/in/in) = 7r (/ii/i") = TT{hiIin) = 0, 1 < г < п.

Отображение П будет йордановым дифференцированием подкольца Si®, если в 1) выбран знак «+ «, и лиевым, когда выбран знак «—» .

Поставленную выше задачу А) решают следующие две теоремы, доказанные в разделе 1.4.

Теорема 2. Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, Г — произвольная конечная цепь, |Г| > 2. Тогда произвольное йорданово (лиево) дифференцирование коврового параболического подкольца Si® является суммой обычного дифференцирования и дифференцирований Д и (соответственно Д и Фа).

Теорема 3. Всякое йорданово и лиево дифференцирование коврового параболического подкольца Sj® является обычным дифференцированием, если цепь Г бесконечна и R ассоциативное кольцо с единицей.

Теоремы 2 и 3 доказаны совместно с С. Г. Колесниковым и опубликованы в работах [44]—[46].

Глава 2 посвящена перенесению результатов, полученных A.B. Ягжевым [11] и С. Г. Колесниковым [2], [3] при решении вопроса 8.3 Верфрица из Коуровской тетради, на симплектические группы и ортогональные группы чётной размерности.

В разделе 2.1 приводится определение регулярной р-группы, строятся силовские р-подгруппы симплектической Sp2n /и ортогональной 02П{Ъ/ртЖ) групп, и доказывается ряд вспомогательных теоретико-числовых результатов.

Основные результаты второй главы заключены в следующих двух теоремах, которые доказываются в разделах 2.2 и 2.3 соответсвенно.

Теорема 4. Силовская рподгруппа симплектической группы Sp2n{1j/pm'^) нерегулярна при любом т ^ 1, если р < 2п, и при любом га ^ 2, когда р < 4п.

Теорема 5. Силовская рподгруппа ортогональной группы O^nfa/p™'^) нерегулярна при любом т ^ 1, если р < 2п — 2, и при любом га ^ 2, когда р < An — 4.

Теоремы 4 и 5 дают полное решение задачи Б) для силовских р-подгрупп указанных групп в случае, когда т — 1,2.

Результаты главы 2 были анонсированы в [48] и опубликованы в [47]. Теорема 4 доказана в нераздельном соавторстве с С. Г. Колесниковым. Доказательство теоремы 5 принадлежит автору.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Они были представлены на Международной алгебраической конференции (Красноярск, 2007), Всероссийской конференции по математике и механике (Томск,.

2008), Международной алгебраической конференции «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010), Международной конференции «Маль-цевские чтения» (Новосибирск, 2011). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42]—[48], включая публикации в журналах из перечня ВАК.

Автор благодарен своим научным руководителям В. М. Левчуку и С. Г. Колесникову за постановку задач и внимание к работе. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики института математики Сибирского федерального университета за хорошие условия для работы над диссертацией. Работа над диссертацией была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, код гранта 09−01−717.

Наиболее употребительные обозначения.

В работе зафиксированы следующие обозначения:

Я — ассоциативное кольцо с единицейГ — цепь (линейно упорядоченное множество);

5/(Д) — кольцо финитарных матриц ассоциированное с ковром идеалов / над кольцом Л;

Ъ/ртЪ — кольцо вычетов целых чисел по модулю рт;

Зр2п (%/рт%) — симплектическая группа;

0п{^!ртЩ — унимодулярная ортогональная группа.

1. Коуровская тетрадь. Нерешённые вопросы теории групп, 16-е издание, 2006// ред. Мазуров В. Д., Хухро Е. И., http://www.math.nsc.ru/.

2. Колесников С. Г., О регулярности силовских р-подгрупп групп GL n (Zpm)// Иссл. по матем. анализу и алгебре, Т. З (2001), 117—124.

3. Колесников С. Г., О регулярных силовских р-подгруппах групп Шевал-ле над кольцом Zpm// Сиб. матем. журнал, Т.46, № 6 (2006), 1289−1295.

4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М.: Наука., 1982.

5. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре, СПб.: Лань, 2007.

6. Левчук В. М. Некоторые локально нильпотентные матричные кольца, Мат. Заметки, 42(5), (1987), 531 541.

7. Левчук В. М., Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Ше-валле// Укр. мат. журнал, Т.44, № 6 (1992), 786−795.

8. Радченко О. В. О двух теоремах для групп лиева типа и ассоциированных колец //Дисс. на соискание ученой степени к.ф.-м.н., Красно-ярск:СФУ, 2009.

9. Сосновский Ю. В., Коммутаторное строение симплектических групп// Матем. заметки, Т.24, № 5 (1978), 641−648.

10. Сосновский Ю. В., Коммутаторное строение иизоморфизмы классических групп// Диссертация на соискание уч. степ, к.ф.-м.н., Новосибирск, 1980.

11. Ягж. ев А.В., О регулярности силовских р-подгрупп полных линейных групп над кольцами вычетов// Матем. заметки, Т.56, № 6 (1994), 106— 116.

12. Baxter W.E. and Martindale III W.S., Jordan homomorphisms of semiprime rings, J. Algebra, 56 (1979), 457 471.

13. Benkart G. M. and Osborn J. M., Derivations and automorphisms of non associative matrix algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 263 (1981), 411 -430.

14. Bjerregaard P.A., Loos O., Gonzalez С. M. Derivations and automorphisms of Jordan algebras in characteristic two //J. Algebra, Vol. 285 (2005), 146 181.

15. Bencovic D. Jordan derivations and antiderivations on triangular matrices, Linear Algebra Appl., 397 (2005), 235−244 .

16. Bresar M., Vukman J., Jordan derivations on prime rings, // Bull. Austral. Math. Soc., Vol. 37 (1988), 321−322.

17. Beidar K.I., Chebotar M.A. On Lie derivations of Lie ideals of prime algebras // Israel J. Math., Vol. 123 (2001), 131−148.

18. Beidar K.I., Martindale III W. S., Mikhalev A. V. Rings with generalized identites.- Marcel Dekver. inc, 1996.

19. Bresar M., Chebotar M.A., Semrl P. On derivations of prime rings // Comm. Algebra, Vol. 27, № 7 (1999), 3129−3135.

20. Coelho S. P. and Milies C. P., Derivations of upper triangular matrix rings // Linear Alg. Appl., 187 (1993), 263−267.

21. Cusack J. M. Jordan derivations on rings, Proc. Amer. Math. Soc., Vol.53, № (1975), 321−324 .

22. Chun J. H., Park J.W. Derivations on subrings of matrix rings, Bull. Korean Math. Soc., 43 (2006), 635−644 .

23. Cheung W., Lie derivations of triangular algebras // Linear Multilinear Algebra, Vol. 51, № 3 (2003), 299−310.

24. Driss A.H.A., Cao Y., Ben Yakoub L. A note on derivations of strictly upper triangular matrices over rings // JP J. Algebra Number Theory Appl., Vol. 4, № 1 (2004), 89−102.

25. Ghosseiri N. M. Jordan derivations of some classes of matrix rings, Taiwanese Journal of Mathematics, 11(1), (2007), 51−62.

26. Herstein I. N, Jordan derivations of prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 1104 1110.

27. Herstein I.N. Jordan homomorphisms // Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 81 (1956), 331−351.

28. Herstein I.N. Topics in Ring Theory, The University of Chicago Press, Chicago and London, 1969.

29. Hall P., A conribution to the theory of groups of prime-power order//Proc. London Math. Soc., s2−36 (1) (1934), 29−95.

30. Hall M., Теория групп. M.: ИЛ, 1962.

31. Jondrup S., Automorphism and derivations of triangular matrix //Linear Alg. Appl., 22 (1995), 205−215.

32. Levchuk V.M., Kuzucuoglu F. The automorphism group of certain radical matrix rings, Jour, of Algebra, 243 (2001), 473−485.

33. Levchuk V.M., Radchenko О. V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings, Jour, of Algebra and Its Appl., 9(5), (2010), 717−724.

34. Leedham-Green C.R., McKay S., The Structure of Groups of Prime Power Order. Oxford University press, 2002.

35. Levchuk V.M. Sylow subgroups of the Chevalley groups and associated (weakly) finitary groups and rings // Acta Appl. Math., Vol. 85 (2005), 225−232.

36. Levchuk V.M., Kuzucuoglu F. Jordanisomorphisms of radical finitary matrix rings, Jour, of Algebra and Its Appl., 9(4), (2010), 659−667.

37. Martindale III W.S., Miers C.R. Herstein’s Lie theory revisited // J. Algebra, Vol. 98 (1986), 14−37.

38. Martindale III W.S. Lie derivations of primitive rings // Michigan J. Math., Vol. 11 (1964), 183−187.

39. Ou S., Wang D., Yao R. Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring, Linear Algebra Appl., 424 (2007), 378−383 .

40. Zhang J., Yu W. Jordan derivations of triangular algebras, Linear Algebra Appl., 419 (2006), 251−255.

41. Zhang J. Jordan derivations of nest algebras // Acta Math. Sinica, Vol. 41 (1998), 205−212.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

42. Мальцев Н. В. Кольцо слабо финитарных матриц.// Межд. конф. «Алгебра и её приложения»: Красноярск, 2007, с. 91.

43. Мальцев Н. В. Финитарные кольца нильтреугольных матриц. // Все-росс. конф. по математике и механике, Томск: ТГУ, 2008, с. 54.

44. Мальцев Н. В. Дифференцирования кольца финитарных треугольных матриц и ассоциированных колец Ли и Йордана // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. Красно-ярск:СФУ, Т. 2, № 3 (2009), 319−326.

45. Колесников С. Г., Мальцев Н. В. Дифференцирования матричных колец, содержащих подкольцо треугольных матриц. // Межд. конф. «Алгебра, логика и приложения»: Красноярск, 2010, с. 52.

46. Колесников С. Г., Мальцев Н. В. Дифференцирования матричных колец, содержащих подкольцо треугольных матриц. // Известия вузов. Математика. Казань: КФУ, № 11 (2011), 23 33.

47. Колесников С. Г., Мальцев Н. В. О регулярности силовских р-подгрупп симплектических и ортогональных групп над кольцом Ъ/ртЪ // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. Красноярск: СФУ, Т.4, № 4 (2011), 489−497.

48. Колесников С. Г., Мальцев Н. В. О регулярности силовских р-подгрупп симплектических и ортогональных групп над кольцом Ъ/ртЪ II Межд. конф. «Мальцевские чтения 2011, Новосибирск: ИМ СО РАН, 2011, с. 47.