О многомерных системах с гомоклиническими касаниями

В теории бифуркаций многомерных динамических систем одной из принципиальных задач является задача изучения динамических явлений в системах с негрубыми гомоклиническими кривыми Пуанкаре и системах, близким к ним. Напомним, что траектория лежащая в пересечении устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий седлового периодического движения называется гомокдинической кривой Пуанкаре. Такая траектория грубая, если в ее точках инвариантные многообразия пересекаются трансверсально, и негрубая — в противном случае (говорят также, что имеет место гомоклиническое касание).

Гомоклинические структуры, открытые Пуанкаре [1] еще в конце прошлого века, в последние десятилетия приобрели особенно актуальное значение в связи с многочисленными задачами точного естествознания, посвященными изучению стохастических колебаний. Как известно, математическим образом таких колебаний является притягивающее множество весьма сложной природы, называемое странным аттрактором. При этом гомоклинические касания могут быть обнаружены в самых разнообразных конкретных семействах систем со сложной динамикой. Так, они существуют в отображении Эно (и вообще — в семействах сильно диссипативных отображений после бифуркационной цепочки удвоения периода), появляются при разрушении инвариантных торов [2, 3] - т. е. при переходе от квазипериодического режима к хаосу, могут быть найдены в моделях ло.

Рис. 1. Негрубая гомоклиническая траектория в случае трехмерного потока ренцевского типа в области за границей существования аттрактора Лоренца [4, 5], в системах с диким псевдогиперболическим аттрактором [6], в системах со спиральным хаосом и т. п.

Систематическое изучение систем с гомоклиническими касаниями было начато в [7] для случая трехмерных потоков. Там были выделены три класса таких систем1. Именно, пусть Ьо — седловое периодическое движение, Г — гомоклиническая траектория, по которой устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия периодического движения Ь касаются квадратично (рис. 1). Пусть Л и 7 — мультипликаторы Ьо, и |А| < 1, |7| > 1. Предположим, что |А-/1 ф 1- при этом, не уменьшая общности, можно считать |Л7| < 1. Пусть II — малая окрестность замыкания Г и Ьо гомоклинической траектории, и Л’о — множество всех траекторий, целиком лежащих в и. В зависимости от знаков мультипликаторов и знаков некоторых коэффициентов, характеризующих то, как устойчивое и неустойчивое многообразия примыкают к Г, системы с гомоклиническими касаниями.

На многомерный случай аналогичная классификация была распространена в [8, 9], в том числе для систем с гомоклиническими касаниями произвольного конечного порядка. относятся к одному из трех классов. При этом,.

1) для систем первого класса множество ]У0 тривиально: ]У0 — {¿-о, Г} ;

2) для систем второго класса Д^о является нетривиальным неравномерно-гиперболическим множеством, которое допускает полное описание на языке символической динамики (с помощью некоторой фактор-системы топологической схемы Бернулли из трех символов) ;

3) для систем третьего класса N0 содержит нетривиальные гиперболические подмножества, но ими все множество УУд, вообще говоря, уже не исчерпываетсяпри этом на бифуркационных пленках систем третьего класса имеет место всюду плотная негрубость.

Кроме того в [7] были исследованы основные бифуркации периодических движений, как в однопараметрических трансверсальных семействах Хм, так и на бифуркационных поверхностях систем третьего класса. Заметим, что такие бифуркации могут приводить к существованию и сосуществованию устойчивых и негрубых периодических траекторий, даже в счетном числе.

В [7] было показано также, что системы первого класса могут лежать на бифуркационной границе, отделяющей грубые системы Морса-Смейла от систем со счетным множеством периодических движений, а системы второго класса — на границе систем с гиперболическим поведением траекторий. При этом, было установлено, что в первом случае при переходе через границу счетное множество периодических движений возникает сразу — так называемое явление гомоклинического О, — взрыва.

В [10, 11, 12] для случая двумерных диффеоморфизмов (что то же самое — отображений Пуанкаре для трехмерных потоков) это явление было отчасти исследовано. А именно, было показано, что для однопараметрических семейств, трансверсальных бифуркационной поверхности систем первого класса для значений параметра из счетного множества интервалов соответствующая система имеет гиперболическую структуру на множестве траекторий, целиком лежащий в окрестности гомоклинической кривой. Явление гомоклинического О-взрыва было исследовано также нами[13, 25, 26] для многомерного случая, в том числе и случая, когда ведущие (наиболее близкие к единичной окружности) устойчивые мультипликаторы являются комплексно-сопряженнымипри этом было дано полное описание на языке символической динамики соответствующих гиперболических множеств. Отметим, что в случае двумерных диффеоморфизмов были указаны точные границы интервалов гиперболичности и характер соответствующих бифуркаций[14].

Одним из замечательных свойств систем с негрубыми гомоклинически-ми кривыми Пуанкаре является то, что такие системы могут плотно заполнять целые области в пространстве динамических систем. Такие области называются областями Ньюхауса. Весьма важно, что они обнаруживаются далее в общих однопараметрических семействах, содержащих систему с квадратичным гомоклиническим касанием. Для случая двумерных диффеоморфизмов этот результат был установлен в [15], а на общий многомерный случай распространен в [16].

Вообще, существование областей всюду плотной негрубости — это одно из характерных свойств многомерных динамических систем, отличающих их от двумерных потоков. В теории нелинейных колебаний наиболее хорошо известны два типа областей всюду плотной негрубости. Это, прежде всего, вышеупомянутые области Ньюхауса, связанные с гомоклиническими касаниями, а также области систем с аттракторами Лоренца [17, 18]. Однако. если для полного описания аттракторов Лоренца в несимметричном случае требуется только два инварианта — нидинг-инварианта (в симметричном случае — один) [19], то в областях Ньюхауса ситуация значительно сложнее: здесь требуется бесконечное множество инвариантов (в частности, так называемых^{-модулей} [9, 20]). Материализацией последнего факта является то, что в областях Ньюхауса плотны системы со счетным множеством периодических движений любых порядков вырождения, а также системы со счетным множеством гомоклинических касаний любых порядков [21, 22, 23] .

И здесь сразу возникает целый ряд проблем. С одной стороны, системы с гомоклиническими касаниями образуют бифуркационные поверхности коразмерности один в пространстве динамических систем, и поэтому они встречаются невырожденным образом в общих однопараметрических семействах. С другой стороны, наличие систем с произвольно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями вблизи систем с простейшим гомоклиническим касанием показывает, что для полного изучения бифуркаций таких систем никакого конечно-параметрического семейства недостаточно. В принципиальном плане, здесь приходится отказываться от идеологии «полного описания» и ограничиваться изучением каких-либо наиболее характерных свойств таких систем. В частности, важное значение здесь приобретает задача изучения основных бифуркаций в рамках параметрических семейств.

Под основными бифуркациями в дальнейшем будем понимать бифуркации мало обходных периодических траекторий (одно-, двух-, трехобходных,.) Периодическую траекторию будем называть^{-обходной,} если за период она проходит к раз вблизи глобального куска исходной гомоклинической траектории. Малообходные траектории, естественно, более интересны с прикладной точки зрения. Более того вырождения высоких порядков могут возникать только у траекторий достаточно больших обходностей.

Что касается управляющих параметров, то для систем со сложной динамикой этот вопрос имеет принципиальное значение. Для двумерных систем, как правило, с выбором параметров нет особых проблем — здесь каждый параметр должен отвечать за снятие определенного вырождения у исходной системы (грубо говоря, у двумерных систем пераметры независимо контролируют расщепление сепаратрис, изменение ляпуновских величин, изменение значений характеристических корней у состояний равновесий, либо мультипликаторов у предельных циклов и т. п.).

В случае многомерных систем с негрубыми гомоклиническими траекториями ясно, что одними из основных параметров должны быть параметры расщепления. В качестве дополнительных управляющих параметров естественно рассматривать О,-моду ли — непрерывные инварианты О — эквивалентности, т. е. топологической эквивалентности на множестве неблуждающих траекторий. По самому определению О, — модуля, любое его изменение означает изменение структуры множества неблуждающих траекторий, а значит ведет к бифуркациям периодических, гомоклинических и т. п. траекторий.

Существование — модулей у систем третьего класса с негрубой гохмо-клинической траекторией было установлено в [9, 20]. В [9, 22, 23] было доказано, что в множестве таких систем плотны системы со счетным числом О — модулей. Одним из основных таких инвариантов является величина е= Ь[А| 1п Н' введенная еще в [7]. Именно там и были впервые изучены бифуркации периодических траекторий в рамках однопараметрических семейств Хд на бифуркационной поверхности Щ систем с гомоклиническими касаниями третьего класса. При этом было показано, что на любом интервале изменения в плотны значения, при которых есть негрубые двухобходные периодические траектории с единичным мультипликатором и ненулевой первой ляпуновской величиной. Естественно ожидать, что при рассмотрении параметрических семейств с большим числом параметров можно найти периодические траектории более высоких порядков вырождения. Так, в [24, 28, 27] в рамках двухпараметрических семейств на Щ были изучены бифуркации, приводящие к появлению периодических траекторий порядка вырождения два (так называемых каспов). В качестве параметров при этом рассматривались О — модули вит. Последний был введен в [8, 29]. Отметим, что аналогичные бифуркации для случая систем с гомоклинической петлей седло-фокуса рассматривались в [30].

Содержание и основные результаты работы.

Первая глава носит вспомогательный характер.

В параграфе 1.1 рассматривается система Хо, обладающая следующими свойствами (условия А) — Д) ниже):

А) Хо имеет седловое периодическое движение Lq с мультипликаторами А¿-, тj, причем.

АГО| <. < |Ai| < 1 < Ы < Ы < ¦¦ < W,.

Обозначим, А = |Ai|, 7 = |7i|. Предположим, что выполняется либо условие.

Al) Ai — действительно и, А > jА21, либо условие.

А2) Ai = А2 — А • ехр (/'/-•). {ф ф 0, тг) и, А > |А3|;

Те мультипликаторы, абсолютная величина которых равна Л и 7 назовем ведущими мультипликаторами, устойчивыми и неустойчивыми соответственно. Условие А) соответствует тому, что мы рассматриваем случаи, когда ведущие мультипликаторы простые, и, кроме того, неустойчивый ведущий мультипликатор действителен.

Б) седловая величина, а — А ¦ 7 < 1;

В) устойчивое УУв и неустойчивое УУ" многообразия движения Ь () имеют касание по гомоклинической кривой Го, и это касание является простейшим в том смысле, что оно квадратичное и сПт (УУ|/ П УУ^) = 2, где УУ^ и УУ^ - касательные подпространства к УУв и УУи соответственно в точке М Е Го.

Построим гладкую секущую 5 к На 5 определены отображение Пуанкаре То (/и) по траекториям потока Х^, близким кЬ^и Тх (^) отображение по траекториям системы Х^ в окрестности ГоТочка О = Ьо П 5 является седловой неподвижной точкой отображения То (р) при всех достаточно малых ц, ее инвариантные многообразия обозначим через 1Ув и Ши. Пусть М+? и М~ Е И^^ - две точки пересечения Го с 5. Будем считать, что отображение Т определено в окрестности точки М~, и Т{М~) = М+. Неведущие устойчивое и неустойчивое многообразия точки О будем обозначать соответственно как И7″ 55 и }¥-ии, а касательные в точке О подпространства к многообразиям И7^, УГ", Ш&tradeи }¥-ии — как ТУ" 8, УУЫ, Ш&tradeи Уии соответственно. Аналогично для ведущих направлений примем обозначения УР+ и }¥-и+. Стандартно показывается, что И75''5' и Уии однозначно вкладываются в инвариантные Сг~1 — слоения Е&tradeи Рии на УУ^ и УУ^ и что существуют инвариантные С1 — многообразия Ни и Н31 касательные к IVй ф и Й/ 5 Ф УУМ+, при этом, Ни Э Н3 З Щ50С. Предположим,.

11 что.

Г) М+ ф. ЦТ8*, М~? ¥-ии.

Д) 1. ТЦЯц) трансверсально Fss в точке М+ и 2. 1{Н8) трансверсально в точке М~.

Близкие к Хо потоки с негрубой гомоклинической кривой, близкой к Го, удовлетворяющие условиям А) — Д), образуют бифуркационную поверхность Н коразмерности один в пространстве динамических систем. В дальнейшем мы будем изучать два типа параметрических семейств систем, близких к А’о: 1) семейства систем, принадлежащих Н и 2) трансверсаль-ные к Я семейства.

В параграфе 1.2 предъявлены удобные формы записи локального отображения То, построено отображение То из малой окрестности По гомоклинической точки М+ в малую окрестность Щ точки М~. Показано, что это область определения этого отображения представляет собой объединение счетного множества непересекающихся (п + т)-мерных «полосок» <7^ С По таких, что ст* = Т0псг° С Щ.

В параграфе 1.3 дается аналитическое представление глобального отображения Т: действующего из Щ в По.

Параграф 1.4 посвящен вопросу классификации систем с гомоклини-ческими касаниями. В частности, здесь выделено три класса таких систем в зависимости от структуры множества N траекторий, целиком лежащих в некоторой малой окрестности и = ЩТоиГо). К первому классу относятся те системы, у которых Д' = То и ГоКо второму классу те, у которых все траектории из /V, за исключением Го, седловые. Для таких систем множество N может быть описано полностью: N топологически эквивалентно надстройке над некоторой факторсистемой, получаемой из топологической схемы Бернулли из трех символов отождествлением двух гомо-клинических траекторий. И, наконец, третий класс составляют системы, для которых множество N имеет нетривиальную структуру: в этом случае N содержит нетривиальные гиперболические подмножества, но ими все множество А^", вообще говоря, не исчерпываетсяпри этом на бифуркационных поверхностях систем третьего класса имеет место всюду плотная негрубость.

В соответствии с данной классификацией в дальнейшем мы будем выделять три типа бифуркационных поверхностей систем #15 Н-2, Щ с негрубой гомоклинической кривой первого, второго и третьего класса соответственно.

Во второй главе рассматривается вопрос о существовании интервалов гиперболичности в однопараметрическом семействе трансверсальном при ?1 = 0 к #1, в ситуации «гомоклинического ^-взрыва». В этом случае Л’о — система первого класса, и мы предполагаем, что параметр д входит в семейство таким образом, что при ц < О система Xц не имеет гомокли-нических траекторий, близких к Го, а при ¡-л > 0 — имеет ровно две грубые гомоклинические траектории, близкие к Го. Как установлено в [7], множество Нц траекторий системы Х^, целиком лежащих в фиксированной достаточно малой окрестности II (Ьо и Го) имеет при ц > 0 нетривиальную структуру. При этом, АГр = Ьм при ?1 < 0, А^ = и Го при ¡-л — 0, а при переходе значений параметра /1 от отрицательных значений к положительным появляется сразу счетное множество периодических траекторий — имеет место явление гомоклинического Г^-взрыва. При этом, возникает вопрос о структуре бифуркационного множества на полуинтервале [0, ¿-¿-о) для положительных цо. В этой главе показано, что на [0, ¿-¿-о) существует счетное число интервалов гиперболичности, при значениях ?1 из которых множество iVM имеет грубую гиперболическую структуру. Обнаружен также тот факт, что эти интервалы занимают большую часть на [0,/io) в том смысле, что отношение суммы их длин к /¿-о) стремится к 1 при /.¿-о —" О (свойство относительной превалентности).

В параграфе 2.1 сформулирована следующая теорема о существовании интервалов гиперболичности для семейства Хи.

Теорема 2.1: Для любого ¡-ло > 0 существует счетная последовательность открытых интервалов Ak, Д&С (0,/¿-о) такал, что при ¡-л Е Af, множество N^ имеет гиперболическую структуру и топологически эквивалентно надстройке над схемой Бернулли Вт, из трех символов.

Эта теорема доказывается в параграфе 2.2 и 2.3.

В параграфе 2.2 для данной достаточно малой окрестности U строится так называемая специальная окрестность U (/i) гомоклинической кривой, размеры которой уже зависят от /i, она содержит все траектории из множества iV^, целиком лежащие в U, и «диаметр» U (fi) стягивается к нулю при /х —0 (лемма 2.1). Показано также, что специальная окрестность гомоклинической точки М+ (М~) содержит те и только те «полоски» (сг*), для которых п > k (fi), и к (ц) -" оо при /л —>• 0.

В параграфе 2.3 завершается доказательство теоремы 2.1. Мы показываем, что Np имеет гиперболическую стуктуру в том случае, когда «полоски» of и «подковы» Ti (/z)(crj) для всевозможных > k (fi) имеют только либо правильные, либо пустые пересечения. Именно, пересечение «подковы» Taj с «полоской» of является правильным, если множество T.

Достаточные условия для двусвязного или пустого пересечений «подков» и «полосок» установлены в лемме 2.2, а достаточные условия для правильного пересечения — в лемме 2.3. Используя эти условия, мы и находим интервалы Д*г (/л) гиперболичности, отвечающие тому все полоски и подковы из специальной окрестности и (¡-л) имеют только правильные пересечения. Это также позволяет установить взаимооднозначное соответствие между траекториями из и траекториями некоторой подсистемы топологической схемы Бернулли из 3 символов (лемма 2.4).

В параграфе 2.4 рассматривается случай двумерных диффеоморфизмов (что тоже самое — трехмерных потоков) с А1 > 0 и 71 > 0. Здесь мы показываем, что для интервалов из теоремы 2.1 могут быть найдены точные бифуркационные границы {?лк-> Ц2кПри этом, как показано в теореме 2.2, эти границы соответствуют моменту появления либо негрубых гомоклинических или гетероклинических касаний (первого или второго класса соответственно), либо (в одном из случаев при А73/'2 > 1) седло-узловой периодической траектории.

В главе 3 рассматривается однопараметрическое семейство Х^. транс-вер сальное при /.? = 0 к бифуркационной поверхности Н2 систем с негрубой гомоклинической кривой второго класса. Заметим, что для систем второго класса всегда выполнятся условие А1) и более того, здесь Ах > 0 и 71 > 0. Предполагается, что параметр ¡-л входит в семейство таким образом, что при ?1 < 0 система X^ имеет ровно две грубые однообходные гомоклини-ческие траектории, близкие к Го, а при, а при ¡-и, > 0 — не имеет таких гомоклинических траекторий. Как установлено в [7], множество Д^ при (1 < 0 имеет грубую гиперболическую структуру, а при ?1 > 0 в Д^ могут происходить бифуркации, связанные, в частности, с образованием новых гомоклинических касаний. Тем не менее, здесь показывается, что на полуинтервале [0,//0), как и в случае семейств первого класса (когда ДГо система первого класса), существует счетное множество интервалов гиперболичности, накапливающихся к ^ = 0 (теорема 3.1). Существенным отличием от случая семейств первого класса является то, что множества Л^ при значениях /л из разных интервалов гиперболичности могут быть не эквивалентными: они описываются, вообще говоря, топологическими марковскими цепями с разным числом состояний.

Глава 4 посвящена изучению бифуркаций периодических траекторий в системах с гомоклинической кривой третьего класса. В данной главе рассматриваются параметрические семейства как на бифуркационной поверхности Яз систем с гомоклиническими касаниями третьего класса, так и трансверсальные к Щ семейства. Здесь мы предполагаем, что выполнено условие А1) (ведущие мультипликаторы действительные и простые).

В параграфе 4.1 обсуждаются бифуркации однообходных периодических траекторий. Отметим, что у систем на Яз такие траектории всегда грубые седловые, а в трансверсальном семействе Хц при изменении д они могут претерпевать два типа бифуркаций: простейшая бифуркация, связанная с рождением периодического движения с мультипликатором +1, и простейшая бифуркация удвоения периода. Эти результаты хорошо известны [7, 31, 23].

В параграфе 4.2 рассматриваются бифуркации двухобходных периодических траекторий в рамках двухи трехпараметрических семейств. Прежде всего изучаются бифуркации в семействе Хд) Т систем на Я3. Здесь вит параметры, для в имеет место формула в = — 1п А/ 1п 7, а г выражается через коэффициенты отображения Пуанкаре вблизи глобального куска гомоклинической кривой.

Изучение двухобходных периодических траекторий сводится к исследованию неподвижных точек отображения Пуанкаре за два обхода Тц =.

TiTqTTq: По —> ПоОтображение T? j является композицией действующих последовательно отображений Tj = TT? с областью определения на «полоске» сг®и Ti = T{Tq с областью определения на «полоске» of. Отображение Ti переводит «полоску» of в «подкову» Та}, а отображение Т) переводит «полоску» сг®в «подкову» Та1-.

Отличительной особенностью задачи является то, что для обоснования бифуркационных явлений в принципиальном плане достаточно изучить геометрию пересечения «полосок» of, а®и «подков» Tia}, T’iaj. При этом, условия характера пересечений (лемма 4.1) позволяют даже найти уравнения соответствующих бифуркационных кривых на плоскости (9,т) (или поверхностей в пространстве (//,#, г)) в главном порядке.

Кроме того, здесь, как и для однообходных периодических траекторий, имеют место только два типа бифуркаций: рождение седло-узловых периодических движений и бифуркации удвоения периода. В п. 4.2.1 для семейства Хд%т построены соответствующие бифуркационные кривые (в п. 4.2.2. для семейства — бифуркационные поверхности) Lfj, отвечающие периодическим траекториям с мультипликатором +1, и Ьц — с мультипликатором -1.

В п. 4.2.3. изучен характер бифуркационных диаграмм для семейства Хв<�т. Отмечено, что, в отличии от бифуркаций однообходных периодических траекторий, бифуркации двухобходных исследовать полностью нельзя, так как сколь-угодно малым возмущением семейства, не выводящим с #з, можно получить такую ситуацию, когда любое конечное число (или даже счетное) кривых Lfj будут пересекаться в одной точке. Тем не менее, некоторые из основных свойств, характерных для индивидуального семейства Х^т можно сформулировать:

1) бифуркационные кривые Lf? (аналогично Ljj) плотно заполняют окрестность любой точки ($*, т*) на плоскости параметров (9,т) ;

2) те значения (0, г), при которых Х$>т имеет не менее двух негрубых двухобходных периодических траекторий, плотны на плоскости параметров (0, г).

Параграф 4.3 посвящен изучению бифуркаций трехобходных периодических траекторий в рамках двухпараметрических семейств.

В п. 4.3.1 рассматриваются бифуркации в семействе Х$ 1Г систем на Щ. Здесь показано, что в отличие от двухобходных периодических траекторий здесь имеют место бифуркации коразмерности два (так называемые сиБр-бифуркации), связанные с появлением периодической траектории с мультипликатором +1 и равной нулю первой и ненулевой второй ляпунов-скими величинами.

Основные результаты данного параграфа сформулированы в двух теоремах:

Теорема 4.1: В Нз плотны потоки с трехобходными негрубыми периодическими движениями, у которых один мультипликатор равен +1. обращается в нуль первая ляпуновская величина и не равна нулю вторая. Больших вырождений на Щ трехобходные периодические движения с мультипликатором +1 не имеют.

Теорема 4.2: 1). В области Ь = {(#, г): 9 > 1} всюду плотны значения параметров Вит, при которых системы Хв, Т имеют трехобходные негрубые периодические движения с единичным мультипликатором, нулевой первой и неравной нулю второй ляпуновскими величинами.

2). К любой точке области Ь на плоскости параметров накапливаются сивр-точки, из кот. орых выходит пара линий, отвечающих седло-узловым бифуркациям.

Данная теорема утверждает, что 9 и г являются управляющими параметрами при cusp-бифуркациях периодических движений.

Доказательство теоремы 4.1 сводится к построению уравнений для нахождения координат трехобходной периодической траектории на секущей Пуанкаре и нахождению у этих уравнений трехкратного решения. Показывается, что решений кратности четыре не бывает (утверждение 4.1). Также показывается, что такие трехкратные решения встречаются неустранимым образом в общих двухпараметрических семействах ХвьТ (теорема 4.2) и, более того, значения параметров, отвечающие cusp-точкам всюду плотны (лемма 4.2).

В пункте 4.3.2 рассматриваются также бифуркации трехобходных периодических траекторий, но уже для трансверсального к Щ двухпараме-трического семейства Х^вЗдесь доказана.

Теорема 4.3: Для любого е > 0 существует (#*,//), |в* — в + |/i*| < в, что система AV,^ имеет периодическое движение типа cusp.

Стоит отметить, что здесь cusp-точки накапливаются к оси ?1 = 0 с разных сторон. Параметры в, р тоже являются управляющими параметрами в cusp-бифуркациях. Приводятся также соответствующие бифуркационные диаграммы.

Дополнение содержит вспомогательный материал, а именно приведение локального отображения То к специальному виду, а также построение отображения Tq.

1. Пуанкаре А. «Новые методы небесной механики» .- в кн. «Избранные труды», М.: Наука, Т.1, 1971; Т.2, 1972; Т. З, 1974.

2. Newhouse S.E., Palis J., Takens F. «Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms» .- Publ.Math.Inst. Haute Etudes Scientifiques, 1983, 57, p.5−72.

3. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P. and Turaev D.V. «Normal forms and Lorenz attractors» .- Int. J. Bifurcations and Chaos, 1994, 1, No.4, pp.1123−1139.

4. Тураев Д. В., Шильников Л. П. «Пример дикого странного аттрактора» .- Матем. сб., 1998, 189, No.2, с.137−160.

5. Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. «О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой» .- I) Ма-тем. сб. 1972, 88, No.4, с.475−492- II) Матем. сб., 1973, 90, No. l, с.139−157.

6. Гонченко С. В., Шильников Л. П. «О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми» .- ДАН СССР, 1986, 286, No.5, с. 1049 -1053.

7. Гонченко С. В., Шильников Л. П. «О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре» .- Изв.Росс.Акад.Наук, серия матем., 1992, 56, No.6, с. 1165−1196.

8. S. Newhouse and J. Palis Cycles and bifurcation theory, Asterisque. 1976. P.44−140.11. .J. Palis and F. Takens Cycles and measure of bifurcation sets for two dimensional diffeomorphisms, Inventiones Math. 1985. V.82. P.397−422.

9. J. Palis and F. Takens Hyperbolicity and the creation of homoclinic orbit, Annals of Math. 1987. V.125. P.337−374.

10. Стенькин О. В., Шильников Л. П. «Гомоклинический Q, взрыв и области гиперболичности» .- Матем. сб., 1998, 189, No.4, с.125−144.

11. O.V.Sten'kin «On boundaries of intervals of hyperbolicity», International Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L.S.Pontryagin, 1998, p. 109.

12. S. Newhouse The abundance of wild hyperbolic sets and nonsmooth stable sets for diffeomorphisms. Publ. Math. I.H.E.S. 50 (1979), P.101−151.

13. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. «О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай)» .- Докл. Росс.Акад.Наук, 1993, 329, No.4, с.404−407.

14. Афраймович B.C., Быков В. В., Шильников Л. П. «О возникновении и структуре аттракторов Лоренца» .- ДАН СССР, 1977, 234, No.2, с.336−339.

15. Афраймович B.C., Быков В. В., Шильников Л. П. «О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца» .- Тр. ММО, 1982, 44, с.150−212.

16. Guckenheimer J., Williams R.F. «Structural stability of Lorenz attractors» .- Publ.Math.IHES, 1979, 50, pp. 59−72.

17. Гонченко С. В., Шильников Л. П. «Инварианты О-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией» .- Укр. мат. журн., 1990, 42, No.2, с. 153−159.

18. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. «О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре» .- ДАН СССР, 1991, 320, No.2, с.269−272.

19. Gonchenko, S.V., ShiPnikov, L.P., Turaev, D.V. «On models with non-rough Poincare homoclinic curves», Physica D 62, Nos.1−4, pp.1−14.

20. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. «Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре» .- Докл. Росс. Акад. Наук, 1993, 330, No.2, с. 144−147.

21. О. В. Стенькин, JI.П.Шильников «О бифуркациях периодических траекторий в окрестности негрубой гомоклинической кривой» .- Дифференциальные уравнения, 1997, 33, No.3, с.377−384.

22. O.V.Sten'kin On existence of regions of hyperbolicuty and Q explosion // Int. C’onf. on Contemporary problems in theory of dynamical systems.1996. Abstract, Nyzhny Novgorod. P.50.

23. Стенькин Q.B. Области грубости вблизи бифуркационной поверхности систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Тезисы докладов 4 конференции «Нелинейные колебания механических систем». 1996. С.142−143.

24. О. В. Стенькин «О вырожденных периодических движениях в системах с негрубыми гомоклиническими кривыми» .- Дифференциальные уравнения, 1995, 31, No.12, с. 2093.

25. Стенькин О. В. О вырожденных трехобходных периодических движениях в окрестности негрубой гомоклинической кривой // Тезисы докладов 3 конференции «Нелинейные колебания механических систем». С. 179.

26. Гонченко C.B., Шильников Л. П. «Об арифметических свойствах топологических инвариантов систем с негрубой гомоклинической траекторией» , — Укр. мат. журнал, 1987, 39, No. l, с.21−28.

27. Алексеева C.B., Шильников Л. П. «О бифуркациях периодических движений в системах с гомоклинической петлей седло-фокуса» .- Дифференциальные уравнения, 1997, 33, No.4, с. 440−447.

28. Гонченко C.B.// Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. научн. тр. 1984, С.89−102.

29. Шильников Л. П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа// Матем. сб. 1967. Т.74(116), С.378−397.

30. S.V.Gonchenko, O.V.Sten'kin and D.V.Turaev Complexity of homoclinic bifurcations and Q moduli // Int. J. Bifurcation & Chaos. 1996. V.6. No.6. P.969−989.

31. S.V.Gonchenko, L.P.Shirnikov, O.V.Sten'kin and D.V.Turaev Bifurcations of systems with structurally unstable homoclinic orbits and moduli of Qequivalence // Computer Math. Applic. 1997. V.34. No.2−4. P. lll-142.

32. Афраймович B.C., Шильников Л. П. Об особых множествах систем Морса-С'мейла // Тр. ММО, 1973, Т.28, С.181−214.