Теоретическая часть
Постановка задачи решения трансцендентных уравнений
Пусть имеется нелинейное (в частном случае трансцендентное) уравнение f (x)=0. Корнем данного уравнения называется значение, при котором. Решение уравнения заключается в нахождение его корней.
Корень называется простым, если. Корень называется кратным, если. Целое число m называется кратностью корня, если для k=1,2,3…(m-1), а. Случай k=1 соответствует простому корню.
Рассмотрим график некоторой функции y=f (x) (x[a, b]), который представлен на рис. 1. Из определения следует, что корень является простым, если график функции y=f (x) пересекает ось 0x в точке под yглом 0, и кратным, если он касается оси 0x в точке, т.к. имеем =0.
Все методы решения нелинейных уравнений можно разделить на аналитические, графические и численные. Аналитическими методами удается воспользоваться только для уравнений определенного вида, в общем случае они не применимы. Графические методы обладают большой погрешностью. Поэтому основными являются численные методы.
Численное решение задачи нахождения корней нелинейного уравнения проводится в два этапа: этапа локализации корней и этапа итерационного уточнения корней.
На этапе локализации выделяется отрезок, содержащий только один корень, при этом длину этого отреза стараются сделать как можно меньше. Поэтому предварительно проводится исследование уравнения, т. е. определяется существование корней уравнения, сколько их и как они расположены на числовой оси.
При локализации используются различные методы: аналитические, графические, таблицы. Аналитические и графические методы применяются для простых уравнений, например, для уравнения:. Для более сложных уравнений строятся таблицы и определяются значения xi и xl+i, при которых функция y=f (x) меняет знак (поиск простых корней), или производные меняют знак (поиск кратных корней). Отсюда сразу можно сделать вывод, что задача нахождения простых корней существенно проще, чем задача отыскания кратных корней
На этапе итерационного уточнения корней по одному и тому же алгоритму вычисляется последовательность значений x0, x1,…, xn, при этом для определения последующих значений этой последовательности используются предыдущие значения. Поэтому в самом начале, для вычисления значения x1, необходимо задать значение x0, которое называется начальным приближением. Соответственно вычисленное значение x1 называется первым приближением и т. д.
В основе вычислительного алгоритма лежит итерационная формула (название происходит от латинского слова iteracio — повторение). Для нахождения корня с точностью используется та или иная итерационная формула, которая определяется применяемым методом решения Итерационный метод называется одношаговым, если для вычисления очередного приближения xn используется только xn-1 приближение, и k — шаговым если используются k предыдущих приближений: xn-1,xn-2,…, xn-k.
Критерий сходимости. Для сходимости итерационного процесса необходимо и достаточно выполнение следующего условия
(1.1)
где c и p — некоторые константы, число p называется порядком сходимости метода.
При p=1 и с 1, то имеем сверх линейную сходимость, если p=2, то сходимость метода — квадратичная. Если для всех n выполняется условие:, где q
