Идея единой физической теории выглядит очень естественно, и, вместе с тем, построение такой теории означало бы более глубокое понимание на основе единых принципов уже известных-и, быть может, новых физических явлений. В настоящее время интерес к этой проблеме возрос в связи со значительными успехами в построении единой теории слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий. Основой этого объединения является принцип локальной симметрии.
В последние годы выявилась возможность более полного объединения фундаментальных взаимодействий на основе суперсимметрии /1−5/ Было обнаружено, что частицы с различной статистикой (бозоны и фер-мионы) могут вместе образовывать мультиплеты некоторой группы, называемой группой суперсимметрии. Из-за связи спина со статистикой алгебра такой группы должна включать спинорные генераторы, которые отвечают преобразованиям, перемешивающим бозоны и фермионы, а определяющие соотношения для этих генераторов должны содержать антикоммутаторы. Простейшие группы суперсимметрии являются расширением группы Пуанкаре. В этом случае алгебра суперсимметрии содержит генераторы группы Пуанкаре, подчиняющиеся обычным коммутационным соотношениям, а также спинорные генераторы W cLl, -1,2'^ i^j-'f удовлетворяющие соотношениям.
QoK, Qpj ь = о ,.
I) f где — матрицы Паули, — генераторы трансляций, a 9 озночает антикоммутатор. Число спинор-ных генераторов /V может быть, по-видимому, не больше восьми, так как при /V >
Интересно, что если, доверяя хорошо себя зарекомендовавшему принципу, потребовать, чтобы суперсимметрия была локальной, симметрией, то в теорию с необходимостью приходится включить и гравитационное поле. (В некотором смысле это соответствует локализации пространственной симметрии, а необходимость такой локализации видна из соотношений (I) для генераторов суперпреобразований.) Теория с локальной суперсимметрией называется супергравитацией / 6 — 8 /. При А/ - 1, например, супергравитация описывает супермультиплет, состоящий из частицы спина 2 (гравитон) и частицы спина 3/2 (гравитино). Эти частицы могут взаимодействовать с частицами других супермультиплетов. Наиболее полное объединение достигается при А/ - .
Суперсимметричные теории, и, особенно, супергравитация устроены довольно сложно: тем сложнее, чем выше А/. Это связано как с большим числом полей, так и с тем, что преобразования суперсимметрии для этих полей имеют сложный вид. Значительного упрощения можно достичь, в случае если теорию удается сформулировать в суперпространстве /9/. Суперпространство получается из обычного пространства-времени, если к четырем координатам ое являющимся коммутирующими числами, добавить «фермионные» координаты здесь =(в"><)*}, которые являются антикоммутирующими числами (нечетные элементы некоторой произвольной алгебры Грассмана). Суперполя — это функции сс и 6, 9 • Переход к обычной теории поля осуществляется при помощи разложения суперполя в (конечный) ряд по степеням антикомму-тирующих переменных. Коэффициенты этого разложения, являющиеся функциями ос, и есть обычные поля. Под. действием преобразований из группы Пуанкаре эсЛ преобразуются, как обычно, а ы<- - как Д/ двухкомпонентных спиноров. Суперпреобразования с С 'А/ антикоммутирующими параметрами L ^ € i действуют следующим образом. Qoij. aк В? эса wi^ + L В J €rj — i-e о j ;
0 е*1 це*1-,. (2).
Эти преобразования порождаются векторными полями в суперпространстве, удовлетворяющими (I),.
Qt j — V"? BP j — i 0-J. (3).
Удобно пользоваться также векторными полями D^^ «которые инвариантны относительно преобразований (2) и, поэтому, называются ковариантными производными. Они имеют вид:
Т>6Н = о/ъв*1 + teA ,.
4) J = 1/dtfj + i B’J ё^ и удовлетворяют следующим соотношениям lu^W^Vb0> (5).
Особенностью суперполевого описания являются связи, которые приходится накладывать на суперполя, чтобы избавиться от лишних компонентных полей. Эти связи имеют, как правило, вид дифференциальных уравнений в суперпространстве. В некоторых случаях можно решить уравнения связей, то есть сформулировать теорию в терминах суперполей, на которые не наложено никаких дополнительных ограничений. Использование таких суперполевых формулировок позволяет дать наиболее адекватную формулировку суперсимметричной квантовой теории поля. В частности, в рамках суперполевой формулировки удалось доказать важные" теоремы о неперенормировке" (отсутствие определенного типа расходимостей) в А/=1 и Л/-2. суперсим-метричншс теориях поля / 10 — 12 /, а также проанализировать структуру расходимостей в расширенных теориях супергравитаций /13−16 /. Можно высказать надежду, что более глубокое понимание суперпространственной структуры расширенных суперсимметричных моделей позволит указать класс теорий, являющихся наиболее благоприятными кандидатами на роль единой теории фундаментальи Ч.- 1 ных взаимодействий.
Со времени создания общей теории относительности различные геометрические идеи и конструкции прочно вошли в современную теорию поля. Неудивительно, что и в суперсимметричных теориях, особенно, в супергравитации, геометрия играет важную роль в построении и исследовании различных теоретико-полевых моделей. Наиболее геометрическими являются суперпространственные формулировки. В настоящее время ясно, что разумная с физической точки зрения геометрия в суперпространстве имеет новые специфические черты и не являются просто копией той геометрии, которая привычна в теории поля в обычном пространстве. Изучению этих вопросов посвящена, в частности, и настоящая работа.
Следующие два подхода к описанию М- 1 супергравитации в суперпространстве являются, пожалуй, наиболее распространенными. В одном из этих подходов, который будем называть подходом типа Весса-Зумино /17−18 /, основным объектом является репер-ное поле в суперпространстве (супертетрада), определенное с точностью до локальных преобразований группы Лоренца, А или, иногда, L XU (D. В этом подходе на поле супертетрады приходится накладывать связи, которые записываются как определенные условия на кручение и кривизну. Функционал действия при этом имеет простой вид интеграла по полному суперпространству от элемента объема, определяемого реперным полем. (При это справедливо во всех случаях, кроме альтернативной минимальной супергравитации, см. § 1,4.). Однако, наиболее элегантным геометрическим подходом является, на наш взгляд, подход Огиевецко-го — Сокачева / 19 — 22 /. (По существу, эквивалентный формализм развивался также Зигелем и Гейтсом / 23 — 25 /. Однако, роль геометрии в их подходе не столь явная.) В подходе Огиевец-кого — Сокачева роль поля супергравитадии играет вещественная поверхность в комплексном суперпространстве. Так было показано /19−22 /, что вещественная (4/4) — мерная поверхность в суперпространстве СА/7~ может описывать поле супергравитации при условии, что в качестве группы калибровочной симметрии о? выбра.
С4 /" 2, А ^ сохраняющих суперобъем. (Здесь и далее символ (р/^) обозначает размерность суперпространства, причем j=> - число бозонных, a Cj число фермионных координат.) Возникновение группы суперсимметрии в этом подходе можно проследить следующим образом. Пусть VC^ = - комплексные координаты в С Рассмотрим поверхность Q0, задаваемую в (С^^.
L.. * уравнениями ЭС^ - rxf1 = 2i &. ^ 3Десь ^-R) ®? связаны с ^^комплексным сопряжением.) Эта вещественная (4/4)-мерная поверхность обладает тем свойством, что подгруппа группы оС, оставляющая Q0 инвариантной, совпадает с группой глобальной суперсимметрии. Поэтому поверхность Q0 должна играть роль плоского N- 1 суперпространства. Тогда искривленное суперпространство соответствует произвольной (4/4) — мерной поверхности в Действие может быть найдено как функционал на пространстве таких поверхностей, инвариантный относительно действия группы 'сС. Взаимосвязь двух упомянутых подходов может быть выяснена с.
I • ¦ т' чисто геометрических позиций. Для этого, как показал Шварц /26/, надо перейти к внутренней геометрии поверхностей, воспользовавшись предложенным им общим понятием геометрии, ивдуцированной на поверхности геометрией объемлющего пространства. В результате получается формулировка супергравитации в терминах внутренней геометрии. Роль поля супергравитации теперь играет реперное поле, отвечающее индуцированной геометрии и определенное с точностью до локальных преобразований некоторой группы SCR. Эта группа несколько шире группы Лоренца, и формулировка Весса-Зумино получается наложением определенных калибровочных условий, которые редуцируют группу SCR до группы Лоренца. Формализм Огиевецкого-Со-качева в случае А/~1 супергравитации дает то преимущество, что на суперполя не надо накладывать связи. Однако, записать функционал действия в этом подходе являлось нелегкой задачей, которая была решена непрямым способом, а именно, при помощи сложного вывода из выражения для действия Весса-Зумино. (Отметим, что имеется прямой геометрический способ найти функционал действия в терминах внешней геометрии, поверхностей. Это можно сделать, как показано Шварцем /27/, если воспользоваться выражением для формы Леви вещественной поверхности в комплексном (супер)пространстве.) Тем не менее, гораздо легче угадать действие в формулировках супергравитации, использующих реперные поля, как это видно на примере действия Весса-Зумино в Мj супергравитации. Формулировка супергравитации, которая получается в подходе Шварца на основе понятия индуцированной геометрии, является промежуточной по отношению к формулировкам Огиевецкого-Сокачева и Весса-Зумино и позволяет воспользоваться преимуществами обоих подходов. Такое продвижение в понимании геометрии супергравитации представляется важным для дальнейших обобщений на случай расширенной супергравитации (А/>1) и, быть может, расширенной конформной супергравитации.
Предложенный Шварцем подход был реализован им в случае так называемой минимальной N-1 супергравитации. На самом деле, в супергравитации при N- 1 известно целое семейство суперполевых моделей, которое удобно запараметризовать параметром? (включая значение? — оо), как это обычно делается в литературе /24/. Отличие этих супергравитационных теорий при разных ^ заключается в разных наборах вспомогательных, нефизических полей в обычном пространстве. Случай ^ — <х> соответствует минимальному/28, 29/,? ф л/ъ, 1, с*> - неминимальному /30/, а 1 -альтернативному минимальному / 31, 32 / наборам. Формулировки типа Весса-Зумино известны как для минимальной /17, 18 /, так и для неминимальной / 24, 25 /, и альтернативной минимальной /33/ супергравитаций. Формулировки, использующие вещественные поверхности в комплексном суперпространстве, или им эквивалентные, также были найдены при всех / 24, 25, 34 — 37 /.
В работе /38/ было показано, что подход Шварца, основанный на понятии индуцированной структуры, может быть распространен на случай неминимальной и альтернативной минимальной супергравитаций (то есть на все значения ^), что потребовало определенного развития общей теории индуцированных структур. Это позволило выяснить взаимосвязь существующих подходов к супергравитации в суперпространстве при всех Х> «дать новые формулировки, в которых основным объектом является индуцированная геометрия, а также показать, что при всех «С ограничения на кручение и кривизну в супергравитации имеют четкий геометрический смысл. Эти ограничения являются необходимыми и достаточными условиями, для того чтобы некоторая геометрическая структура являлась индуцированной.
В работе /39/ было показано, что описание в терминах индуцированной геометрии применимо и в случае суперсимметричной теории Янга—Миллса при дм. На этой основе было построено единое описание для взаимодействующих суперкалибровочного и супергравитационного полей в терминах вещественных поверхностей в некотором комплексном суперпространстве /39/. (Аналогичный результат был независимо получен Ивановым / 40, 41 /.) Упомянутая конструкция позволяет также дать глобальное описание решения связей в суперсимметричной теории Янга-Миллса при 1 /39/. Это решение связей на напряженность калибровочного потенциала в суперпространстве использует интерпретацию суперкалибровочных полей в терминах определенных голоморфных расслоений (точнее, CRрасслоений). Дальнейшее обобщение на случай расширенной суперсимметрии привело к новому описанию суперкалибровочных полей при Д/=-2,Зкак голоморфных расслоений /42/,.
Отметим, что упомянутое выше совместное описание суперкалибровочного и супергравитационного полей (при А/- 1) представляет собой голоморфный аналог теории Калуцы-Клейна / 43 — 45 /. Результаты работы /42/, касающиеся случая N-2., также связаны с размерностной редукцией. В настоящее время идея использовать мно-гомерие для построения объединенных теорий привлекает все большее внимание. С новой силой интерес к подобным теоретико-полевым моделям возобновился в связи с той важной ролью, которую они играют в суперсимметричных теориях (см., например, /46, 47/). Наиболее интересным с физической точки зрения является, пожалуй, взгляд на дополнительные измерения как на отвечающие реальным физическим степеням свободы, которые, однако, являются «скрытыми» вследствие того, что размер по этим измерениям мал (порядка планковского). Независимо от этой точки зрения можно также относиться к многомерным формулировкам как к удобной записи более сложных четырехмерных теорий, включающих большое количество полей разных спинов. Оказывается, существует еще один способ применения многомерия. Так на примере пятимерной теории, дающей единое описание гравитационного и электромагнитного полей / 43, 44, 48−50 /, было показано, что многомерные формулировки могут быть использованы для нахождения решений четырехмерных уравнений поля /51, 52 /.
Охарактеризуем структуру настоящей диссертационной работы и кратко перечислим основные результаты. В главе I изучается геометрия различных оуперпространственных формулировок супергравитации. В § I.I рассматривается «неминимальное» суперпространство С^ которое использовалось в работах / 34 — 37 / для описания супергравитации при всех?. При каждом ^ пространство С^наде-ляется определенной дополнительной геометрической структурой. Роль поля супергравитации играет вещественная (4 4) — мерная поверхность в С*". Показано, что естественное геометрическое условие нормализуемости поверхности приводит в случае альтернативной минимальной супергравитации (? — 1) к определенному ограничению на вид рассматриваемых поверхностей. В § 1.2 для всех? построены формулировки супергравитации, основанные на внутренней геометрии. С этой целью определяется внутренняя геометрия поверх-" ностей, рассмотренных в предыдущем параграфе, индуцированная геометрией объемлющего пространства. При этом используется общее определение индуцированной геометрии, данное Шварцем /26/ на языке Gструктур. В данном случае индуцированная геометрия описывается реперным полем на поверхности, заданным с точностью до локальных преобразований группы, которая в работе обозначена как. scwg, то есть tSCR (^)-структурой. Выписаны условия на кручение и кривизну в индуцированной <^ОД0-структуре, которые надо наложить в качестве связей на реперные поля, играющие в предлагаемых формулировках роль полей супергравитации. Геометрический смысл этих связей в том, что они являются необходимыми и достаточными условиями, чтобы данная SCR (£)-структура была индуцированной. (Вывод этих условий содержится в следующей главе и основан на доказанной там общей теореме.) В § 1.3 показано, что для всех? формулировки супергравитации в подходе типа Весса-Зумино получаются из предложенных в предыдущем параграфе наложением некоторых калибровочных условий. Тем самым выявляется геометрический смысл связей, обычно рассматриваемых в супергравитации, а также переходы между различными формализмами. В § 1.4 рассмотрен вопрос о функционале действия в супергравитации. Показано, в частности, что действие для альтернативной минимальной супергравитации может быть получено в пределе 1 из функционалов действия неминимальных супергравитаций.
В главе П исследуется общая теория индуцированных структур, которая применяется затем для случая б’С/Р^У-структур, используемых, в супергравитации. В § 2.1 сформулирована теорема о необходимых и достаточных свойствах индуцированной структуры. Теорема описывает в удобном виде условия формальной интегрируемости системы нелинейных уравнений в частных производных, совместность которой отвечает возможности реализовать данную геометрию как индуцированную на некоторой поверхности. В общем случае получается цепочка условий интегрируемости возрастающих порядков, из которых нетривиальны конечное число условий. Для описания этих условий удобен язык когомологий Спенсера. § 2.2 содержит доказательство теоремы. Эта теорема является обобщением многих утверждений, известных в математике для различных конкретных случаев индуцированных структур. Как следствие можно получить, например, известное в римановой геометрии утверждение, что уравнения Гаусса и Кодацци описывают необходимые и достаточные условия для того, чтобы данная метрика отвечала внутренней геометрии некоторой поверхности в евклидовом пространстве. В § 2.3 на основе полученных общих результатов выводятся необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять кручение и кривизна в индуцированной SCR (£)~структуре.
Отметим, что для простоты обозначений в случае, когда наши рассуждения относятся к общей ситуации, суперпространства не упоминают явно. Изложение, однако, построено так, чтобы соответствующее обобщение на случай суперпространств было очевидным. При этом, как обычно, необходимо лишь позаботиться о правильных знаках при (анти)симметризации тензоров. Так, например, если «бд^ - это тензор второго ранга в каком-либо суперпространстве, то результат, его симметризации, «t (AB>) «или антисимметризации, «fc^g^j, следует понимать следующим образом (и аналогично для тензоров других рангов): 1. Ag ?
Здесь суммирование по повторяющимся индексам не предполагается, а символ означает минус один, если оба индекса фермионные, и плюс один — в остальных случаях.
В главе Ш исследуется геометрия суперпространственных формулировок суперсимметричной теории Янга-Миллса. В § 3.1 построено единое описание в терминах вещественных поверхностей в комплексном суперпространстве для суперполей супергравитации и калибровочного супермультиплета при А/~ 1. При этом выясняется геометрический смысл связей в суперкалибровочной теории и указывается глобальное описание их решения. В § 3.2 для расширенной суперсимметрии показано, что известные условия на напряженность суперполя Янга-Миллса эквивалентны условию интегрируемости соответствующей связности вдоль определенных (0/4)-мерных подмногообразий в ком-плексифицированном суперпространстве. В § 3.3 для А/=2,3 указано новое соответствие между суперкалибровочными полями, удовлетворяющими связям, и определенными голоморфными расслоениями. При этом используются общие методы, неоднократно применявшиеся другими авторами в различных твисторных конструкциях. При N — 2, например, получающиеся голоморфные расслоения определены над многообразием (2А)-мерных плоскостей в (4/2)-мерном пространстве супертвисторов.
В главе 17 пятимерная теория Калуцы-Клейна применяется для получения решений четырехмерных уравнений Эйнштейна-Максвелла из решений четырехмерных вакуумных уравнений Эйнштейна при помощи пятимерных координатных преобразований, не сводящихся к четырехмерным калибровочным преобразованиям. Исходная вакуумная метрика не может быть произвольной. В § 4.1 найдены условия, которым она должна удовлетворять. В § 4.2 явно перечислены четырехмерные метрики, удовлетворяющие этим условиям, а затем — все получающиеся электровакуумные решения. В § 4.3 аналогичная процедура применяется для получения решений уравнений, включающих некоторое скалярное поле.
Приложение содержит доказательства некоторых математических утверждений, используемых в основном тексте.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах /38, 39, 42, 51, 52/.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Перечислим кратко основные результаты, полученные в диссертации.
1. Б терминах индуцированной геометрии построены новые формулировки неминимальной и альтернативной минимальной (N- 1) супергравитации при всех f.
2. Выяснена взаимосвязь различных суперпространственных подходов и, в частности, геометрический смысл ограничений на кручение и кривизну в супергравитации при всех .
3. Показано, что действие для альтернативной минимальной супергравитации (? = 1) может быть получено в пределе 1 из функционалов действия неминимальных супергравитаций.
4. Сформулирована и доказана общая теорема о необходимых и достаточных свойствах индуцированной структуры.
5. Построено совместное описание супергравитации и суперсимметричной теории Янга-Миллса при А/ - 1 в терминах вещественных поверхностей в некотором комплексном суперпространстве. Показано, что такое описание дает глобальное решение связей на напряженность суперкалибровочного поля.
6. Для случая расширенной суперсимметрии найдена новая интерпретация связей на напряженность как условий интегрируемости суперкалибровочного поля вдоль определенных (0/4)-мерных поверхностей в комплексифицированном суперпространстве. На основе этой интерпретации построено твисторное описание суперкалибровочных полей в терминах голоморфных расслоений, отличное от рассматривавшихся ранее.
7. Описан способ нахождения решений уравнений Эйнштейна.
— 116.
Максвелла при помощи пятимерных координатных преобразований из решений четырехмерных вакуумных уравнений Эйнштейна. В явном виде приведены решения, полученные этим способом.
В заключение хочу поблагодарить моего научного руководителя доктора физ.-мат. наук Ю. С. Владимирова за помощь в работе и постоянную поддержку на протяжении моей учебы в университете, а также всех сотрудников кафедры теоретической физики физического факультета МГУ и, особенно, Ю. В. Обухова. Я рад поблагодарить А. И. Легкого, Я. И. Когана, Ю. С. Тюпкина, И. В. Фролова, Г. М. Хенкина, О. М. Худавердяна и А. А. Цейтлина за плодотворные обсуждения и интерес к работе. Пользуюсь случаем выразить признательность А. А. Цейтлину, чье дружеское расположение, помощь и личный пример значили для меня много. В особенности мне хотелось бы поблагодарить профессора А. С. Шварца за постоянное доброжелательное отношение, ценные советы и помощь. Я признателен А. С. Шварцу за возможность сотрудничать с ним, что позволило мне многому научиться и сыграло важную роль в моей работе над диссертацией.
