Анализ линейной цепи синусоидального тока

Анализ линейной цепи синусоидального тока

Исходные данные:

Рис. 1. Расчетная схема

Расчеты.

1) Для построения временных графиков ЭДС преобразуем аналитические выражения для них:

Графики приведены на рис. 2.

е_с(t) e_b(t) e_а(t)

Рис. 2. Временные графики ЭДС.

2) Для расчета схемы запишем комплексы ЭДС:

, .

Находим комплексные сопротивления ветвей:

Выбираем направление обхода обоих независимых контуров по часовой стрелке и записываем систему уравнений в матричной форме:

где и — комплексы токов левого и правого независимых контуров.

Подставляя числовые значения, получаем:

Или Решаем систему, пользуясь методом Крамера, для чего находим комплексные определители системы:

Находим комплексы контурных токов:

;

.

Вычисляем комплексы токов ветвей:

Для расчета той же схемы методом межузловых напряжений находим комплекс напряжения смещения нейтрали:

Вычисляем комплексы токов ветвей, пользуясь обобщенным законом Ома:

Как видим, результаты расчета обоими методами совпадают.

3) Для построения топографической диаграммы вычисляем действующие значения напряжений элементов схемы:

;

;

;

откуда заключаем, что к конденсатору приложено огромное напряжение.

Предполагая, что точка N имеет нулевой потенциал, помещаем ее в начало координат на комплексной плоскости (рис. 3). Выбираем масштабы по току и напряжению:

.

Строим векторы, получая на плоскости точки a, b и c соответственно. Строим векторы .

Рис. 3. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений

4) Обмотка по напряжению ваттметра находится под напряжением, комплекс которого, а по токовой обмотке протекает ток, комплекс которого. Находим комплексную мощность :

Аналогично получаем значение мощности ваттметра :

Вывод: ваттметр показывает 1721,69 Вт, ваттметр показывает 789,12 Вт.

Алгебраическая сумма показаний ваттметров:

.

Мощность, рассеиваемая резисторами в цепи:

.

т.е. по показаниям двух ваттметров нельзя определить активную мощность цепи.

Показания ваттметров можно определить, пользуясь диаграммами (рис. 3). Для этого находим углы, составляемые векторами и, векторами и соответственно. Измерения транспортиром дают следующие результаты:;. Измерения линейкой длин векторов дают действующие значения соответствующих напряжений и токов:

Вычисляем активные мощности:

;

;

.

Относительная ошибка определения активной мощности цепи с помощью диаграмм:

.

5) Электрические величины, относящиеся к первому ваттметру, — это напряжение и ток. Так как

то амплитуда этого напряжения и начальная фаза .

Аналогично находим:

.

Временные графики величин и приведены на рис. 4. Их аналитические выражения:

.

U_ba i_b

Рис. 4. Временные графики электрических величин

6) При закорачивании узлов n и N комплексы токов в ветвях находим, пользуясь законом Ома:

Действующее значение тока, протекающего в проводе, соединяющем узлы n и N:

Для определения показаний ваттметров находим соответствующие комплексные мощности:

Сумма показаний ваттметров:

.

Мощность, рассеиваемая резисторами и :

т.е., из чего делаем вывод — с помощью двух ваттметров невозможно определить активную мощность цепи с закороченными узлами n и N.

7) Активную мощность цепи можно измерить с помощью двух ваттметров, схема включения которых приведена на рис. 1. Убедимся в этом:

т.е. сумма показаний двух ваттметров равна сумме мощностей резисторов и (см. п. 6).

8) Находим действующие значения напряжений элементов:

.

Так как точки n и N закорочены, то их потенциалы одинаковы. Принимаем эти потенциалы равными нулю и помещаем точки n и N в начало координат на комплексной плоскости (рис. 3). Последовательность построения диаграмм остается такой же, как и в п. 3.

9) Пусть требуются определить ток в схеме на рис. 1. Выделяем ветвь схемы с исковым током, а оставшуюся часть схемы представляем эквивалентным генератором с параметрами и (рис. 5). Для определения этих параметров находим комплекс напряжения холостого хода активного двухполюсника (рис. 6) и его комплексное сопротивление относительно точек n и N. Записываем уравнение по 2-ому закону Кирхгофа для входного контура:

Рис. 5. Эквивалентная схема Рис. 6. Схема активного двухполюсника Откуда

Находим комплекс тока:

Тогда

.

Вычисляем эквивалентное сопротивление:

Комплекс тока находим по схеме рис. 5 на основании закона Ома:

ток контур мощность цепь что совпадает с найденными в п. 2 значениями.

Окончательно имеем: