Анализ метрологических характеристик измерительного преобразователя

— 13 ;

" Анализ метрологических характеристик измерительного преобразователя"

по дисциплине «Основы метрологии»

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ

1. Получение исходных статистических информаций

2. Обработка результатов групп измерений

2.1 Построение экспериментальной СХП

2.1.1 Определяем среднее арифметическое значения выходного напряжения

2.1.2 Определяем погрешность гистерезиса

3. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГРУПП РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

3.1 Построение общей СХП

3.2 Проверка на однородность

3.3 Проверка на равноточность

4. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

4.1 Построение экспериментальной гистограммы

4.2 Построение теоретической гистограммы

4.2.1 Проверка полученных результатов на соответствие нормальному распределению

4.2.2 Проверка по ч²

5. ПОЛУЧЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОЦЕНКА ЕЕ ДОСТОВЕРНОСТИ

4.1 Графическое представление отклонения теоретической и экспериментальной СХП в каждой точке

4.2 Определение аппроксимирующего полинома и расчет его коэффициентов

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССА ТОЧНОСТИ

6.1 Графическое представление отклонения теоретической и экспериментальной СХП в каждой точке

6.2 Определение аппроксимирующего полинома и расчет его коэффициентов

6.3 Расчет относительной погрешности

6.4 Погрешность нелинейности

6.5 Определение суммарной погрешности ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ напряжение гистерезис распределение преобразователь

ВВЕДЕНИЕ

Средство измерений — это техническое средство, используемое при измерениях и имеющее нормированные метрологические свойства. Измерительный преобразователь — СИ, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и хранения, но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем. Измерительные преобразователи могут как входить в состав измерительных приборов, так и применяться самостоятельно. Поэтому категория СИ, охватывающая измерительные приборы и преобразователи, называется также измерительными устройствами.

Для оценки свойств СИ и определения возможности их применения в тех или иных условиях служат характеристики СИ, весь комплекс которых можно разбить на технические, позволяющие, как и для других технических средств, установить назначение СИ и область применения, а также оценить его эксплуатационные возможности, и метрологические, оказывающие влияние на результаты и погрешности измерений. Характеристики погрешности СИ позволяют количественно оценить инструментальную погрешность измерения .

Погрешность СИ может быть представлена в форме абсолютной, относительной или приведенной погрешности.

В данной работе проведен анализ метрологических характеристик электрического преобразователя. Это позволило определить суммарную погрешность исследуемого устройства и получить данные о возможностях его дальнейшего использования с целью определения тех или иных электрических параметров.

1. ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИНФОРМАЦИЙ Таблица № 1

Таблица № 2

2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ГРУПП ИЗМЕРЕНИЙ

2.1 Построение экспериментальной СХП (статистическая характеристика преобразователя)

2.1.1 Определяем оценку действительного значения измерения выходного напряжения в каждой из 11 точек для 2^х групп измерений как среднее арифметическое значение:

(2.1)

где, ;, .

— число измерений в ряду; - количество диапазонов; - значение выходного напряжения; - среднее значение в каждой точке диапазона.

Таблица 2.1 — Среднее арифметическое значение выходного напряжения 1^й группы измерений.

Таблица 2.2 — Среднее арифметическое значение выходного напряжения 2^й группы измерений.

Находим значения случайных отклонений 1^й и 2^й группы измерений по формуле (2.2).

(2.2)

где — случайное отклонение.

Таблица 2.3 — Случайные отклонения 1^й группы измерений.

Таблица 2.4 — Случайные отклонения 2^й таблицы.

Определяем оценку дисперсии и среднего квадратического отклонения (СКО) групп измерений по формулам (2.3) и (2.4) соответственно:

(2.3)

.(2.4)

Рассчитанные данные заносим в таблицу 2.5 для 1^й группы измерений и в таблицу 1.6 для 2^й.

Таблица 2.5 — Значения дисперсии и СКО 1^й группы.

Таблица 2.6 — Значения дисперсии и СКО 2^й группы.

Проверяем наличие грубых ошибок (промахов) при измерении. Проверку будем проводить по критерию «3^х у» :

(2.5)

где — максимальное значение случайного отклонения;

S_k — среднее квадратическое отклонение (СКО).

Если, то k-е результаты следует считать грубой ошибкой и исключить их из дальнейшего рассмотрения.

Результаты сравнения заносим в таблицу 2.7 для 1^й группы и 2.8 для 2^й группы.

Таблица 2.7 — Проверка 1^й группы на наличие грубых ошибок (промахов).

Таблица 2.8 — Проверка 2^й группы на наличие грубых ошибок (промахов).

Результаты проверки свидетельствуют о том, что в ДВУХ столбцах таблицы есть грубые ошибки.

Строим график зависимости выходного напряжения от входного по средним значениям для каждой группы измерений.

Рисунок 2.1 — Экспериментальная СХП

2.1.2 Определение погрешности гистерезиса Для повышения достоверности полученных результатов, обработка группы измерений производится отдельно для возрастающих и убывающих значений входного сигнала. Таким образом, получим оценку гистерезиса СХП средства измерения в i-й точке диапазона измерения.

Находим средние значения результатов наблюдений в каждой точке диапазона при возрастании — формула (2.6) и убывании — (2.7) измеряемого напряжения.

; (2.6)

(2.7)

где k - количество измерений при возрастании или убывании.

Таблица 2.9 — Средние значения по возрастанию и убыванию 1^й группы.

Таблица 2.10 — Средние значения по возрастанию и убыванию 2^й группы.

Для двух таблиц со средними значениями по возрастанию и убыванию строим два графика.

Таблице 2.9 соответствует рисунок 2.2, a таблице 2.10 — рисунок 2.3.

Гистерезис табл.1

Гистерезис табл.2

Найдем погрешность гистерезиса по формуле (2.8), и результаты занесём в таблицу 2.11:

(2.8)

Таблица 2.11 — Значения погрешности гистерезиса

Как видно на графиках, в первом и во втором случаях знаки значений отклонений средних арифметических значений чередуются. Следовательно, можно сделать вывод, гистерезис в двух группах не существенный.

3. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГРУПП РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

3.1 Построение общей СХП Строим на одном графике по средним значениям из двух групп измерений общую СХП (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 — СХП для двух групп измерений.

3.2 Проверка на однородность Выполняем проверку на однородность по Т-критерию, чтобы определить содержат ли средние значения систематические составляющие погрешности измерения напряжения.

Для этого сравнивают экспериментальное значение Тэксп, которое определяется по формуле (3.1), и теоретическое Тдоп, соответствующее равенству (3.2).

Если разность наибольшего и наименьшего средних значений оказывается больше допустимого, то результаты рядов измерений являются неоднородными и объединяться не могут без устранения систематической погрешности:

;(3.1)

(3.2)

где , — коэффициент Стьюдента, который выбирают из таблицы статистики Стьюдента в зависимости от значения доверительной вероятности Р_дов и числа степеней свободы k₁, k₂

В данном случае значения Р_дов = 0,99, k₁= k₂ =9, == 3,25.

В таблице 3.1 приведены значения для обеих групп. Тэксп и Тдоп для каждой контрольной точки результатов измерений:

Таблица 3.1 — Проверка результатов измерений по Т-критерию При Т_эксп < Т_доп максимальное расхождение средних значений признают случайным, систематическую составляющую погрешности — несущественной и результаты измерений, полученные для одной отметки шкалы можно объединить.

В нашем случае в одной из точек условие не выполняется, однако ею можно пренебречь.

В общем случае условие однородности выполняется и результаты двух групп измерений можно объединить.

3.3 Проверка на равноточность С помощью критерия Фишера производим проверку на равноточность в каждой точке диапазона из двух таблиц измерений путем сравнения экспериментального значения F_эксп, определяемого по формуле (3.3), с допустимым значением F_доп, которое выбираем по статистике F-распределения Фишера с учетом выбранного Р_дов и числа степеней свободы k. Сравнение проводим по формуле (3.4).

; (3.3)

(3.4)

где; - максимальная и минимальная дисперсии одного диапазона двух таблиц.

Если неравенство (3.4) выполняется, то результаты измерений признаются равноточными. В обратном случае для объединения результатов необходимо ввести весовые коэффициенты для точек, в которых условия критерия Фишера не выполняются, а также средневзвешенные значения выходных величин в этих точках. В таблице 3.2 приведены значения F_доп и F_эксп для каждой контрольной точки и их соответствие условиям критерия для Р_дов= 0,99, F_доп=3,02.

Таблица 3.2 — Проверка на равноточность по критерию Фишера.

Как видно из таблицы, для данных групп измерений значение F_эксп>F_доп в двух точках. Следовательно, вводим весовые коэффициенты для данных значений согласно формуле (3.5) и находим средневзвешенное значение выходного напряжения по формуле (3.5):

(3.5)

где С — произвольное число, выбираемое, для удобства вычисления весовых коэффициентов, например, равным — максимальная дисперсия j-го ряда.

Находим оценку действительного значения результата измерения как средневзвешенное значение, которое является наиболее достоверным и вероятным для всего массива полученных данных:

(3.6)

где — весовые коэффициенты.

Для удобства возьмём С=

Рассчитанные весовые коэффициенты и средневзвешенные значения двух групп сводятся в таблицу3.3

Таблица 3.3 — Весовые коэффициенты.

Объединяем результаты и сводим их в таблицу 3.4

Таблица 3.4 — Объединенные результаты измерений.

4. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

4.1 Построение экспериментальной гистограммы Построим гистограмму экспериментального распределения по отклонениям, сведенным в таблице 4.1, каждого значения объединенных результатов от среднего в каждой контрольной точке.

Таблица 4.1 — Случайные отклонения объединенных результатов.

Для определения сходимости значений найдем оценку СКО по формуле (4.1).

. (4.1)

S=0,336 904 821.

Для построения экспериментальной гистограммы расположим полученные значения отклонений в порядке их возрастания. Весь диапазон значений разбиваем на равных интервалов с шагом. Шаг интервала вычисляем по формуле (4.2):

(4.2)

где — наибольшее и наименьшее значение отклонений;

— количество интервалов ().

Результаты расчетов границ интервалов согласно формуле (4.3) приведены в таблице 4.2.

(4.3)

где h=0,3

Таблица 4.2 — Значения границ интервалов

Подсчитав число значений в каждом интервале, построим гистограмму распределения (рисунок 4.1) в виде прямоугольников, откладывая по оси абсцисс интервалы, а по оси ординат — значения n_jэ. Значения n_jэ в таблице 4.3.

Таблица 4.3 — Интервалы и значения n_jэ для гистограммы

Рисунок 4.1 — Экспериментальная гистограмма распределения.

4.2 Построение теоретической гистограммы

4.2.1 Проверка полученных результатов на соответствие нормальному распределению Проверку на нормальность экспериментального распределения при большом числе результатов измерений проводим путем построения теоретической гистограммы и оценивания ее соответствия экспериментальной гистограмме.

Находим средние значения отклонений в каждом интервале по формуле (4.4).

(4.4)

Вычисляем нормированные отклонения средины каждого интервала (4.5)

(4.5)

Определяем по таблице нормированной функции нормального распределения плотность вероятности для каждого интервала гистограммы.

Рассчитываем теоретические n_jТ частоты по формуле (4.6) соответствующие каждому интервалу:

(4.6)

Выбранные и рассчитанные значения, ,, n_jТ представлены в таблице 4.4.

Таблица 4.4 — Данные для построения теоретической гистограммы.

Строим теоретическую гистограмму (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2 — Теоретическая гистограмма распределения.

4.2.2 Проверка по ч²

Проверка соответствия экспериментальной и теоретической гистограммы выполняется с использованием критерия согласия ч² — Пирсона, обеспечивающего минимальную ошибку принятия гипотезы.

Показатель разности частот экспериментального и теоретического распределения можно вычислить по формуле (4.7):

(4.7)

Критерий ч²_доп зависит от числа степеней свободы k и уровня значимости q.

ч²_доп=9,488

при значениях k=4; q=0,95

ч²_Э=525,1 308 687

Так как не выполняется неравенство <, то распределение измерений не соответствует нормальному закону.

5. ПОЛУЧЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОЦЕНКА ЕЕ ДОСТОВЕРНОСТИ

5.1 Графическое представление отклонения теоретической и экспериментальной СХП в каждой точке Строим теоретическую СХП по известным нам значениям входного и выходного напряжений.

Рисунок 5.1 — Теоретическая СХП.

5.2 Определение аппроксимирующего полинома и расчет его коэффициентов При обработке результатов метод наименьших квадратов (МНК) является наиболее подходящим, так как в предположении, что результаты распределены по нормальному закону, обеспечивает получение наиболее вероятных значений, то есть выполняется принцип наибольшего правдоподобия. Для линейной аппроксимирующей зависимости, в соответствии с количеством исходных точек условные уравнения имеют вид (5.1):

a*1+b*U_iвх=U_iвых, (5.1)

где, а — аддитивная погрешность, bVi — мультипликативная погрешность.

Переходим к системе нормальных уравнений (5.2):

[1*1]*a+[1*U_вх]*b=[1*U_вых]

[1*U_вх]*a+[U_вх*U_вх]*b=[U_вх*U_вых], (5.2)

где — [

Подставляем найденные значения в выражение (5.2) и получим:

Решаем методом определителя

;

;

.

D=; Da=; Db=.

Таким образом, получаем необходимые значения a и b:

а = 6,681 363 636;

b = 0,415 849 858.

Линейная аппроксимирующая зависимость:

6,68 136+0,41 585*Uвх=Uвых Проводим расчет теоретических значений согласно полученным ранее уравнениям (5.1):

Таблица 5.1 — Значения для теоретической СХП

Получим оценку дисперсии условных уравнений из соотношения 5.3:

(5.3)

где n — число точек диапазона;

в = 2 — число искомых неизвестных;

— невязка в i^-й точке.

S² = 0,102 895;

S = 0,320 772.

Оценку дисперсий значений коэффициентов a и b получаем из соотношений (5.4), (5.5):

(5.4)

(5.5)

где Д — определитель условных уравнений;

Д₁₁, Д₂₂ — алгебраические дополнения элементов [1*1],[U_вх* U_вх], получаемые путем удаления из матрицы определителя Д столбца и строки, на пересечении которых находится данный элемент:

Д₁₁=162 360,00;

Д₂₂=11;

S_a² = 0,26;S_b²= 0,383 518;

S_a = 0,5 097;S_b=0,619 288.

Средние квадратические отклонения характеризует вероятную погрешность полученных значений a и b. Следовательно, и могут быть использованы для вычисления доверительных интервалов оценок, а и b (5.6):

,(5.6)

где t_s — статистика Стьюдента.

е_а=±2,265 097;

е_b=±2,879 288.

После округления получим:

а=6,681 363 636±0,2 265 097мВ

b== 0,415 849 858±0,2 879 288мВ На рисунке 5.1 экспериментальной СХП построим аппроксимирующую прямую.

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССА ТОЧНОСТИ

6.1 Графическое представление отклонения теоретической и экспериментальной СХП в каждой точке.

Таблица 6.1 — Отклонение теоретической и экспериментальной СХП

Рисунок 6.1 — Отклонение экспериментальной СХП от теоретической

6.2 Определение аппроксимирующего полинома и расчет его коэффициентов Чтобы определить класс точности измерительного преобразователя, выполним соответствующие расчеты для оценок аддитивной и мультипликативной погрешностей.

По формуле (6.1) составим систему условных уравнений (6.2) и перейдем к системе нормальных 6.2:

a*1+b*Vi=Дi (6.1)

Переходим к системе нормальных уравнений (5.2):

[1*1]*a+[1*V]*b=[1*Д];

[1*V]*a+[V*V]*b=[V*Д], (6.2)

Подставляем найденные значения в выражение (6.2) и получим:

Решаем методом определителя

;

;

.

Таким образом, получаем необходимые значения a и b:

а = -0,1 772 727;

b = 0,21 075.

Проводим расчет теоретических значений согласно полученным ранее уравнениям 6.1:

6.3 Расчет относительной погрешности По известным коэффициентам a и b рассчитываем параметры с и d. Определяем относительную погрешность измерительного преобразователя.

(6.3)

где ;

X_k=3,66 B.

Класс точности выбирается из стандартного ряда:

c=0,32 893

d=0,118 182

Тогда д запишем:

6.4 Погрешность нелинейности Погрешность нелинейности оценим значением абсолютной и приведенной (6.4) погрешностей:

(6.4)

6.5 Определение суммарной погрешности Определяем суммарную погрешность (6.5), которая включает основную погрешность, погрешность нелинейности и погрешность гистерезиса.

(6.5)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метрологические характеристики являются важнейшим фактором при выборе того или иного средства измерения. Их определение — сложный процесс, требующий использования различных методик оценок, проверок результатов измерений и расчета тех или иных погрешностей.

В данной работе нами были получены две группы прямых измерений, которые в процессе обработки были проверены при помощи Т-критерия и объединены по критерию Фишера. Также для объединенных результатов мы определили закон распределения, который для данного преобразователя является не нормальным, и значения погрешностей: нелинейности, характеризующей отклонение реальной СХП от линейной, гистерезиса, являющейся инструментальной, и относительной при помощи аппроксимирующего полинома первого порядка.

1. Методы обработки результатов экспериментов / А. М. Науменко, Т. В. Чебыкина. — Учеб. пособие по лаб.практикуму. — Харьков: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2003. — 28 с.

2. Изучение цифровых омметров и оценка точности изготовления резисторов на основании обработки результатов равноточных измерений / Л. А. Абрамов, А. М. Науменко. — Учеб. пособие по лаб. практикуму. — Харьков: Нац.аэрокосм.ун-т «Харьк. авиа. ин-т», 1991. — 17 с.

3. Конспект лекций.