Актуальность темы
Математическая задача, изучаемая в работе, естественным образом, возникает в различных областях физических исследований, например, в стохастической теории разрушения материалов [6], [93] при моделировании процесса разрушения под действием внешних случайных факторовв статистической радиофизике [62] и квантовой оптике [18] в связи с задачами регистрации сигналов на фоне случайных помех, а также при применении теории случайных процессов в иных областях, например, в теории управления стохастическими системами [61]. Постановка изучаемой задачи основана на том, что, при математическом моделировании физических процессов, часто приходится учитывать существенное влияние на их протекание различного рода случайных воздействий. В тех случаях, когда суммарное влияние такого рода воздействий правомерно характеризовать одной величиной — энергией, поглощаемой системой в течение времени ?, и при этом, по физическим причинам, некоторая определённая величина Е этой энергии приводит к качественным изменениям системы, возникает вопрос о том, в течение какого времени т (Е) такое качественное изменение произойдёт в результате её эволюции. Ввиду того, что воздействия на систему случайны и, следовательно, процесс ?" (?) её поглощения в течение времени? так же случаен, время т (Е) качественного изменения состояния системы является случайной величиной. Поэтому, ответ на поставленный выше вопрос о времени перестройки системы может быть дан только в терминах теории вероятностей. А именно, решение задачи состоит в указании распределения вероятностей для случайной величины т (Е). 1 Задача вычисления распределения вероятностей этой случайной величины при фиксированном значении величины Е — энергетического уровня называется задачей достижения заданного уровня. Ясно, что искомое распределение вероятностей должно зависеть от статистических характеристик процесса ?(?). При этом, с точки зрения практических приложений, задачу достижения уровня приходится решать1Далее, случайные величины в тексте отмечаются знаком «тильда» над символами, обозначающими эти величины. в условиях, когда о случайных воздействиях на систему имеется только самая общая, довольно скудная информация. Следовательно, сам процесс ё (Ь) поглощения системой энергии носит довольно неопределённый характер. В общем случае, можно только лишь утверждать, что случайные реализации ё{€) являются неубывающими функциями. В этих условиях, описанная выше задача достижения заданного уровня не является точно поставленной. Однако, в типичных физических ситуациях, имеются дополнительные обстоятельства, которые вносят в постановку задачи достижения заданного уровня большую определённость. Обычно, внешние воздействия на систему носят стационарный во времени характер, т. е., в среднем во времени, поглощаемая энергия ё{?) изменяется линейно. Такие случайные процессы ё (?) называются процессами со стационарными приращениями. Кроме того, эти случайные воздействия обычно слабо скоррелированы во времени в статистическом смысле. Поэтому, память о прошлом в эволюции процесса ?(?), выражаемая его корреляционной функцией, быстро исчезаетэта функция от времени? почти равна нулю при? > то, где Гц — время корреляции. В статистической физике и в технических приложениях теории случайных процессов такого рода процессы называются процессами с быстрым ослаблением корреляций. В описанных условиях, из физических соображений, можно ожидать, что если уровень Е намного превосходит величину поглощённой энергии в течение времени го, то распределение вероятностей величины т (Е) должно становиться универсальным. Тогда задача достижения заданного уровня может пониматься как задача вычисления этого универсального распределения вероятностей в пределе Е —оо. Иными словами, при исследовании математической задачи достижения заданного уровня, нужно исследовать возможно более широкий класс случайных процессов, совместимых с указанными выше требованиями стационарности приращений и быстрого ослабления корреляций, и установить общий для них асимптотический закон распределения вероятностей случайной величины т (Е) при Е —> со. Опыт изучения даже простейшей вероятностной схемы — последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин, показывает, что вряд ли можно ожидать реализации совершенно универсального закона распределения (с точностью до малого набора свободных параметров, определяемых экспериментально). Скорее всего, в пределе большой величины Е реализуется, в зависимости от характера протекания процесса поглощения энергии, семейство функционально отличающихся законов распределения. Тогда, изучение задачи достижения заданного уровня Е в том случае, когда совокупность законов, реализующихся при тех или иных условиях протекания процесса ?(?), является обозримой с математической точки зрения, должно пониматься следующим образом. Необходимо описать математически эту совокупность предельных законов распределения случайной величины т (Е), подобно тому как описывается семейство предельных законов распределения в схемах теории вероятностей, а также описать те существенные свойства процесса ?(?), которые приводят к каждому закону распределения из описанного семейства распределений. В этом случае, мы получаем возможность, собирая статистическую информацию о событиях достижения заданного энергетического уровня для рассматриваемой системы, извлекать информацию о процессеВвиду наличия свойства независимости приращений у процесса ?(?), удобно его описывать посредством задания процесса ?(?), который, с физической точки зрения, является мгновенной интенсивностью поглощения энергии, т. е. является производной по времени ?(?) = Временнаязависимость ?(?) содержит всю ту информацию о характере воздействия внешнего шума на систему, которая существенна именно при накоплении ею энергии.
Процесс ё (?), очевидно, зависит функционально от шума, действующего на систему. Таким образом, этот функционал, управляющий процессом поглощения энергии, зависит от параметра с одной стороны, и зависит функционально от случайных реализаций некоторого случайного процесса (шума), с другой. Его зависимость от времени такова, что он является аддитивной функцией временного интервала на М+, то есть определяет стохастическую меру на М+.
Однако, не все физические степени свободы изменения шума влияют на характер поглощения энергии хотя бы потому, что интенсивность которая также является функционалом от изменения во времени шума, должна быть положительной величиной. Поэтому, при синтезе моделей процесса закачивания энергии в систему, удобно задавать математически только существенную для поставленной выше задачи информацию о характере внешних воздействий, которая полностью содержится в интенсивности ?(?) и не конкретизировать зависимость от случайных реализаций шума. При этом, с математической точки зрения, удобно считать е{£) линейным функционалом от интенсивности и обозначать = £(£)•Настоящая работа посвящена решению задачи достижения уровня в описанном выше смысле в случае, когда воздействия на систему, физически, состоит из отдельных коротких импульсов случайной амплитуды так, что случайные моменты времени, в которых эти импульсы действуют на систему в среднем однородно распределены во времени. С математической точки зрения, такие процессы моделируются обобщёнными случайными процессами типа дробового шума. Процессы такого типа являются широко используемой моделью, например, в статистической радиофизике [55]. При этом интенсивность ?(?) также является дробовым процессом, выделенным среди всех дробовых процессов тем, что она имеет положительные случайные траектории, которые описываются, в общем случае, формулой№ = Е ¿-Л* - *")'пгде случайные компоненты (амплитуды) последовательности (?п]П? №) положительны, а случайная последовательность {Ьп]п 6 1М) представляет временные точки, в которых локализован каждый из действующих на систему импульсов. При указанном типе интенсивности ?(?), функционал ?(?- ?) представляется в следующем видеп<=шп<�гВ диссертации изучается задача достижения заданного уровня в том случае, когда процесс ?(?-?), наряду со стационарностью приращений, обладает свойством их статистической независимости. Свойства стационарности и независимости приращений существенно упрощают исследование с математической точки зрения. Они приводят к тому, что амплитуды процесса ?(?) образуют последовательность независимых, одинаково распределённых случайных величин, а случайная последовательность (??- к? 14) представляет собой так называемый пуассоновский поток. Тогда процесс ?(?) является т.н. марковским, стационарным дробовым процессом. Оказывается, что даже в этих условиях тип асимптотического распределения вероятностей случайной величины т (Е) определяется неоднозначно. Это связано с тем, что эти условия ещё не гарантируют существования такой области в пространстве параметров процесса ?(?), где реализуется малость величины поглощаемой средней энергии в течение времени тоПоэтому, в работе дополнительно предполагается, что общее распределение вероятностей случайных величин п? N обладает конечным вторым моментом, < со. Более подробно математическая постановка задачи изложена нами в Главе I.
Цель работы: Разработка математических основ для вычисления статистических характеристик времени достижения заданного энергетического уровня Е > О неотрицательным функционалом ?(?-?), значения которого представляют энергию внешнего шума ?(?), поглощённую стохастической системой в течение времени? в условиях, когда внешние воздействия моделируются процессом дробового шума, у которого случайные амплитуды (£п > 0-п 6 М) являются последовательностью независимых, одинаково распределённых случайных величин, неотрицательных с вероятностью единица, а (£п > 0- п? М) — возрастающая последовательность из которая представляет собой пуассоновский поток. При этом ставилась цель изучить общие качественные свойства и разработать методы точного и/или приближённого вычисления распределений вероятностей Е) = Рт{т (Е) < ?} случайного времени т (Е) достижения уровня Е значениями функционала ?(?- ?) при различных распределениях вероятностей типичной случайной величины представляющей последовательность амплитуд (£п > 0 -п (Е М).
Задачи исследования. Исходя из вышеуказанной общей цели исследования стохастических моделей достижения заданного уровня Е > 0, в диссертации решались следующие задачи:1. Выделить класс математических моделей, который бы адекватно описывал процесс накопления энергии стохастической системой в условиях редких случайных внешних воздействий малой длительности.
2. Поставить математически задачу достижения заданного энергетического уровня и обосновать разрешимость поставленной задачи для выделенного класса математических моделей.
3. Разработать общий аналитический подход к вычислению распределений вероятностей) достижения заданного энергетического уровня Е для выделенного класса математических моделей.
4. Для выделенного класса моделей изучить предельное поведение распределения вероятностей при Е —" оо,? —у оо как с точки зрения вычисления вероятностей попадания времени т (Е) в заданный компактный интервал на так и с точки зрения вычисления статистических моментов случайной величины т (Е).
5. На основе развитого общего подхода решения задачи достижения заданного энергетического уровня, создать алгоритм численного определения распределений вероятностей для Е) для выделенного класса математических моделей.
Научная новизна. В результате проведенного исследования математических моделей создана общая теория для решения задачи достижения заданного уровня в случае, когда энергетический функционал ?(?-?) определяется стохастической положительной мерой со стационарными, независимыми приращениями, которая является с вероятностью единица дискретной. Соответствующая ему случайная интенсивность, которая является производной по времени от ?(?-?), представляется обобщённым случайным процессом с «траекториями» в виде суммы ¿—функционных слагаемых со случайными алтлитудалш и точками локализации — т.н. дробовой процесс.
При этом последовательность амплитуд является последовательностью независимых, одинаково распределённых, неотрицательных случайных величин, а последовательность точек локализации является простейшим пу-ассоновским потоком с фиксированной плотностью.
В рамках развитой теории научную новизну составляют:1. Достаточные критерии разрешимости с вероятностью единица, для любого энергетического уровня Е, задачи достижения заданного уровня стохастическими мерами ?(?-?),? Е со стационарными приращениями, которые являются либо абсолютно непрерывными с соответствующими производными в виде стационарных случайных процессов с неотрицательными траекториями, либо скачкообразными с обобщёнными производными в виде стационарных дробовых процессов. Эти стохастические меры представляют собой математические модели управления стохастическими системами, которые подвергаются случайным редким равномерно распределённым во времени воздействиям малой длительности.
2. Интегральное представление для плотности д (£, Е) распределения вероятностей случайного времени т (Е) достижения уровня Е энергетическим функционалом, определяемым дискретными стохастическими мерами со стационарными, независимыми приращениями, у которых последовательности амплитуд соответствующих дробовых процессов являются одинаково абсолютно непрерывно распределёнными случайными величинами с плотностью р (х) ограниченного роста. Доказательство экспоненциального убывания плотности распределения3. Асимптотические с экспоненциальной точностью 0(е^Е) формулы для статистических моментов произвольного порядка случайного времени т (Е) для дискретной стохастической меры со стационарными независимыми приращениями в случае, когда общая плотность р (х) с характеристической функцией /(—{з) распределения вероятностей порождающей последовательности амплитуд дробового процесса является экспоненциально убывающей с показателем а, где (5 — минимум модуля реальной части ненулевых решений уравнения /(я) = 1, а > ?3.
4. Аппроксимационная теорема, которая устанавливает, что модифицированное распределение Вальда приближает в слабом смысле при Ы (Е) —" оо, плотность Е) распределения вероятностей случайного времени т (Е) достижения уровня Е энергетическим функционалом, соответствующим дискретной стохастической мере со стационарными независимыми приращениями, плотность которой представляется дробовым процессом, связанным с последовательностью случайных независимых, одинаково распределённых, неотрицательных амплитуд, имеющих абсолютно непрерывное экспоненциально убывающее распределение вероятностей.
5. Точное решение задачи достижения заданного уровня Е в терминах модифицированных функций Бесселя для энергетического функционала, определяемого абсолютно непрерывной стохастической мерой с плотностью в виде неотрицательного дихотомического случайного процесса.
Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую ценность, так как, на их основе, могут вычисляться распределения вероятностей случайного времени достижения заданного энергетического уровня в математических моделях, возникающих в различного рода прикладных задачах. В частности, на основе разработанных в диссертации методов могут решаться некоторые задачи теории регистрации излучения в статистической радиофизике и в квантовой оптике низкоинтенсивных оптических полей. Кроме того, полученные в работе результаты могут быть использованы в теории управления стохастическими системами, которые подвержены внешним стационарно распределённым во времени случайным воздействиям.
Полученные в работе результаты могут иметь практическое приложение — использоваться при обработке статистической информации, передаваемых сигналами, которые регистрируются приёмными устройствами на фоне случайных помех.
Положения, выносимые на защиту:1. Интегральное представление для плотности q (t, Е) распределения вероятностей времени т (Е) достижения заданного уровня Е энергетическими функционалами, определяемыми дискретными стохастическими мерами со стационарными независимыми приращениями, плотность которых представляется дробовым процессом с последовательностью одинаково распределённых, независимых, неотрицательных амплитуд, имеющих абсолютно непрерывное распределение вероятностей с плотностью ограниченного роста.
2. Экспоненциально точные формулы для статистических моментов случайного времени т (Е) достижения заданного уровня Е энергетическими функционалами ?(?-?), определяемыми дискретными стохастическими мерами со стационарными независимыми приращениями, плотность которых представляется дробовым процессом с порождающей последовательностью амплитуд, имеющих абсолютно непрерывное экспоненциально убывающее распределение вероятностей.
3. Теорема о том, что модифицированное распределение Вальда с плотностью (1 + х1^у{х)/2, х = М/Е, где qw{x) — плотность распределения Вальда с параметром г = ЕМ?/М?2, приближает в слабом смысле, асимптотически точно при Е/М?п оо с точностью 0(Е2), плотность д (£, Е) распределения вероятностей случайного времени т (Е) достижения уровня Е энергетическим функционалом, соответствующим дискретной стохастической мере со стационарными независимыми приращениями, плотность которых представляется дробовым процессом с порождающей последовательностью амплитуд, имеющих абсолютно непрерывное экспоненциально убывающее распределение вероятностей.
4. Точное решение задачи достижения заданного уровня Е для энергетического функционала ?(?,?), определяемого абсолютно непрерывной стохастической мерой, плотность которой является неотрицательным дихотомическим случайным процессом.
Апробация работы. Материалы, включенные в диссертацию, опубликованы в девяти работах автора совместно с научным руководителем и в материалах трёх международных и всероссийских научно-технических конференций и одном авторском свидетельстве на разработку. Они вышли из печати на протяжении 2003;2008гг. и представлены в общем списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации. Материалы работы докладывались и обсуждались на:1. VI международной конференции по математическому моделированию, г. Херсон, 9−14 сентября 2003 г.
2. Воронежской зимней математической школе, г. Воронеж, 23−28 января 2004 г.
3. Десятой международной научной конференции им. акад. М. Кравчука, г. Киев (Украина), 13−15 мая 2004 г.
4. Международной конференции «Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике», посвященной 90-летию акад. Ю. В. Линника, г. Санкт-Петербург, 25−29 апреля 2005 г.
Международной научной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения», г. Воронеж, 26 июня-2 июля 2005 г. VII Международной конференции по математическому моделированию, г. Феодосия, 5−10 сентября 2005 г.
Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна, г. Воронеж, 26−30 января 2006 г.í-VIII Международной конференции по математическому моделированию, г. Феодосия, 12−16 сентября 2006 г.
Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, который содержит 98 наименования. Каждая глава делится на разделы.
В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом нумерация их является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер раздела, третья — на номер формулы в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами. Однако при ссылках на формулы в пределах текущей главы первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры.
Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников из приложенного в конце диссертации списка. В этом списке указаны только те источники, 5.
8.на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в алфавитном порядке.
Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозначений. Принципы ее построения приводятся в отдельном списке (см. ранее).
Для удобства чтения работы, формулировки всех основных результатов, а также даваемые по ходу изложения точные определения понятий выделены наклонным шрифтом. Согласно своему значению в тексте, их формулировки, соответственно, предваряются словами Теорема, Лемма, Определение, Следствие, Замечание. Нумерация этих структурных единиц текста сплошная на протяжении каждой главы диссертации. Таким образом, она является двойной. Первая цифра указывает на номер главы, вторая нумерует утверждение в пределах главы. При этом ссылки на утверждения, в процессе изложения, даются полностью, вне зависимости от того, в какой главе они находится.
Начало каждого доказательства отмечается знаком ?, а конец — ¦.
Первая глава посвящена описанию научного направления, к которому относится диссертация и постановке возникающих в рамках этого направления задач. Описана общая абстрактная постановка задачи достижения заданного уровня значениями аддитивных неотрицательных функционалов ?) (стохастических мер) от траекторий случайных процессов шумов, воздействующих на физическую систему. Указывается связь этой задачи с конкретными физическими проблемами. Даётся доказательство разрешимости задачи достижения уровня в случае, когда функционал представляет собой стохастическую меру со стационарными приращениями при условии, когда она является, с вероятностью единица, мерой на определённого типа — дискретного, либо абсолютно непрерывного.
Во второй главе даётся общее решение поставленной задачи в том случае, когда стохастическая мера, дополнительно к стационарности приращений, является мерой с независимыми абсолютно непрерывно распределёнными с плотностью р (х) ограниченного роста приращениями. Решение даётся в виде интегрального представления для распределения вероятностей Е) достижения уровня Е, как функции от этого параметра. Отдельно разобраны частные случаи этого решения, когда общее распределение вероятностей последовательности имеет конечный первый момент и, в более специальном случае, который является наиболее востребованным в приложениях, когда это распределение является экспоненциально убывающим.
В третьей главе изучаются общие свойства распределения Е), получены асимптотические с экспоненциальной точностью по параметру Е формулы для статистических моментов случайной величины г{Е)1 доказаны локальные предельные теоремы для плотности этого распределения в пределе Е —У оо,? —>¦ оо при различных соотношениях между величинами Е и? и значениями первого и второго статистического моментов для приращений энергетического функционалаВ четвертой главе решена задача об определении распределения вероятностей С^(1-, Е) случайной величины т (Е) в том случае, когда интенсивность ?(?) = (1ё/<И, соответствующая энергетическому функционалу, представляет собой дихотомический шум.
В заключении перечислены результаты проведенного в диссертации исследования. I Задача вычисления распределения вероятностей случайного времени достижения заданного уровня энергетическим функционаломВ этом разделе даётся математическая постановка задачи достижения заданного уровня энергетическим функционалом. В рамках общей постановки задачи, выделяется класс математических моделей, исследованию которых посвящена настоящая работа. Вводится понятие корректности задачи достижения уровня и даются доказательства математических утверждений о корректности выделенных для исследования моделей. Мы даём также в этой главе описание совокупности задач, возникающих при математическом моделировании, которые, с математической точки зрения, сводятся к задаче достижения заданного уровня. Используемый нами термин «энергетический функционал», мы связываем с тем, что при математическом моделировании физических систем, в тех случаях, когда возникает задача достижения заданного уровня, значения соответствующего функционала, по своему физическому смыслу, представляют поглощённую системой энергию, полученную ею от воздействующего на неё внешнего шум.
1.1 Задача достижения заданного уровняПри математическом моделировании различных технических процессов возникает задача, которая, с содержательной точки зрения, состоит в следующем. Физическая система, в процессе её эволюции во времени, поглощает в течение времени t > 0 поступающие извне малые порции энергии. По достижении поглощённой энергией некоторого заданного значения Е, которое мы будем называть уровнем, в системе, либо происходят качественные изменения, либо по отношению к ней предпринимаются какие-то управляющие действия. В связи с этим, представляет интерес предсказание, при заданных условиях «накачки» энергии в систему, момента времени т[Е) достижения уровня Е как функции от этого параметра, которое мы назовём временем достижения заданного уровня.
Задание режима накопления в системе поступающей извне энергии, очевидно, состоит в задании неубывающей функции s (t) от t? К.+ с е (0) = О, которая описывает количество энергии, поглощённой за время t. Она задаёт некоторую меру на К+ посредством определения меры каждого отрезка (О,*]. В дальнейшем, мы будем считать эту функцию непрерывной справа. В остальном, при общей постановке задачи достижения уровня, можно считать функцию ?•(?) произвольной в пространстве Qe неубывающих функций на М+, удовлетворяющих условию г (0) = 0. В этом случае, она может быть: во-первых, разрывной (иметь скачки), во-вторых, иметь интервалы постоянства. Тогда, момент времени т (Е) достижения уровня Е? (0, со) следует определить формулой к т (Е) = inf{?: e (t) > Е}. При таком определении, число т (Е) всегда существует для любого Е > 0, если функция e{t) возрастает неограниченно и может быть, в принципе, определено на её основе. Если e (t) непрерывная, монотонно возрастающая функция, то определение времени т (Е) сводится к нахождению единственного решения уравнения e (t) = Е.
Намного более сложная и более содержательная задача возникает, если учесть, что на процесс накопления энергии оказывают влияние многочисленные случайные факторы и, более того, сам процесс поглощения энергии имеет стохастическую природу, если источником этой энергии является: внешний шум, например, электромагнитный. В такой ситуации, поступающая в систему за время t энергия является случайной величиной при каждом значении t. Поэтому, она должна описываться функциями ?(?), t? М.+, которые должны мыслиться как реализации (далее случайные математические объекты помечаются знаком «тильда») некоторого случайного процесса е (здесь и далее, буква обозначающая случайный процесс, употребляемая без знака «тильда», является символом вероятностного пространства процесса) с выборочным пространством Qe монотонно неубывающих функций. Подразумевается, что на 0,? введена <�т-алгебра *3?, порождённая полукольцом цилиндрических событий, на которой задано распределение вероятностей Ре. По этой причине, время достижения уровня Е являетсяслучайной величинойт{Е) = Ы{Ь: ё{Ь) > Е} (1.1.1)зависящей от Е как от параметра и функционально от случайных траекторий ?(?). Ввиду этой функциональной зависимости, распределение вероятностей Е) = Рг{г (.Е) < случайной величины т (Е) индуцируется, при фиксированном Е, распределением вероятностей Ре случайного процесса е. Таким образом, в описанном стохастическом случае, возникает задача достижения заданного энергетического уровня1. Она понимается как задача об определении функции распределения (?(Ь, Е) по заданному распределению вероятностей Ре. В данном общем определении, эта задача, вообще говоря, не обязательно имеет решение, в связи с тем, что случайный процесс е не всегда обладает, с вероятностью единица, неограниченно возрастающими случайными траекториями. И если это положение, действительно, имеет место, то существует такой уровень Ео, для которого, с ненулевой вероятностью, найдутся недостигающие его траектории и, следовательно, для всех Е > Ео вероятность (?(оо, Е) меньше единицы. В связи с этим, будем говорить, что задача достижения уровня является корректно поставленной, если, для любого Е Е имеет местод (оо, я) = 1.
В этом случае, величина т (Е) существует с вероятностью 1 для траектории ё{?) из Пе.
Заметим, что процесс ег, в задаче достижения уровня, определяет стохастическую меру Стилтьеса на [0, сю), для которой случайная величина /4(5ъ яг]- е] меры полуинтервала (51,52], соответствующая траектория ?(?) процесса, даётся формулой /?[(«1, яг]- ё] — ?($ 2) — 1). С этой точки зрения, задача достижения уровня Е состоит в определении распределения вероятностей длины отрезка [0,г (#)), обладающего стохастической мерой, равной Е. В терминах стохастической меры, задача достижения уровня является корректно поставленной, если с вероятностью единица = оо.:В дальнейшем, слово энергетического мы будем часто опускать, когда будем говорить о задаче достижения уровня.
Методы исследования, разработанные в рамках теории граничных FPT-задач, нашли применение в теории массового обслуживания [3], [8]. Эти методы широко используются также для исследования граничных задач для случайных блужданий (см., например, [47]). Это связано с тем, что эти задачи тесно связаны с моделями случайных блужданий со всевозможными ограничениями. В частности, задачи типа FPT могут быть сформулированы в терминах модели случайного блуждания с поглощающими граничными условиями. Например, в работах [7], [8] рассмотрены целочисленные однородные случайные блуждания на Z со скачками, принимающими три значения, с задерживающим (поглощающим) экраном в нуле. Изучено влияние управления на характер асимптотического поведения момента остановки случайных блужданий в полосе с двумя поглощающими границами. Такого рода модели применяются в теории управления запасами, в теории страхования, в теории массового обслуживания, в теории надёжности и математической статистике. Применение методов теории граничных задач позволило получить асимптотики распределений граничных функционалов от траекторий одномерного случайного блуждания, связанных с моментом и местом первого прохождения заданной границы [5], [67].
Таким образом, теория граничных задач оказала сильное влияние на проблему случайных блужданий. С другой стороны, было обнаружено, что принятый в теории случайных блужданий классический подход к исследованию блужданий с фиксированным числом шагов оказывается очень удобным при доказательстве предельных теорем для распределений вероятностей времени первого прохождения, в частности, для предельных теорем для процессов восстановления (см. далее), а также при изучении двумерных случайных блужданий в том случае, когда имеет место случайная остановка блуждания [76].
РРТ-задача допускает всевозможные многомерные обобщения, которые также интересны с точки зрения приложений. Исследование такого рода стохастических моделей, описываемых многомерными случайными процессами, зачастую связано с отысканием распределения вероятностей случайного времени первого прохождения границы фиксированной области в пространстве М^, й? N траекторией векторно-значного случайного процесса со значениями в (см., напр., [79]).
Так же как и в одномерном случае, многомерные обобщения РРТ-задачи тесно связаны со теорией случайных блужданий с ограничениями. При этом наиболее сложные задачи многомерных случайных блужданий с ограничениями связаны с моделями теории перколяции, так как, в этом случае, сами ограничения на блуждания имеют случайный характер и пространственно распределены. Для таких статистических моделей также возникают РРТ-задачи, которые изучались в работах в [77], [82], [65], [86].
Мы перечислили РРТ-задачи с дискретным временем. Большой класс моделей и связанных с ними и различными приложениями РРТ-задач с непрерывным временем, изучался различными авторами, начиная с упомянутых выше классических работ [91],[69]. Упомянем здесь интересную работу [88], где получены результаты относительно РРТ-задачи для обобщенных процессов Орнштейна-Уленбека, управляемых процессами Леви. В частности, в этой работе доказана экспоненциальная ограниченность времени первого достижения Т/з, которое имеет вид МеатР < оо, где /3 > 0, а > 0. Этот результат остаётся верным также для моделей с дискретным временем, которые аналогичны случайным процессам указанного типа с непрерывным временем. Такие же асимптотические формулы получены для первого статистического момента случайной величины тр при определенных ограничениях на процессы Леви. Построенные аппроксимации представляются известными распределениями гауссовского, показательного и вальдовского вида. К этому направлению примыкает работа [72], где представлен анализ задачи об определении распределения вероятностей случайного времени первого прохождения на конечном интервале для случайного процесса с независимыми приращениями, определяемого устойчивыми законом Леви.
Подход к изучению РРТ-задач, связанных с моделями случайных процессов с однородными во времени независимыми приращениями оказывается всё же довольно прозрачным, в смысле выбора методов исследования, так как эти случайные процессы описываются, с аналитической точки зрения, единым образом. Намного более сложными для исследования оказываются РРТ-задачи для немарковских процессов, так как в этом случае для каждой задачи, как правило, необходимо придумывать оригинальную технику исследования. Поэтому, при исследовании немарковских моделей кажется естественным то, что стараются свести РРТ-задачу к исследованию какого-либо вспомогательного марковского процесса. Например, в работе [78] изучается специальный класс немарковских процессов с дискретным временем, для которого вычисляется среднее случайного времени т (Е) достижения уровня Е. Эти процессы являются проекциями марковских процессов, которые определяются на основе обобщенного «управляющего» уравнения. Аналогичная задача решается для процесса с непрерывным временем в работе [74].
При конструировании вероятностной меры в РРТ-задачах, наряду с механизмом независимости приращений случайного процесса, используется другой альтернативный метод построения вероятностных мер в функциональных пространствах, а именно, используются гауссовские случайные процессы. Пример модели такого рода, применённой в теории РРТ-задач, представляется в работе [70], в которой установлен экспоненциальный вид асимптотического поведения плотности распределения случайного времени первого прохождения с постоянной и периодической границей для класса стационарных гауссовских процессов. Другой пример такого рода представляет работа [90], в которой получена явная формула для плотности распределения случайного времени первого удара для процесса Орнштейна-Уленбека о плоскую границу в случае, когда граничный уровень совпадает со средним по инвариантной мере.
Рассматриваемый в диссертационной работе частный случай РРТ-задачи, названный нами задачей достижения заданного уровня, выделен тем, что он связан со случайными процессами, являющимися стохастическими мерами наПростейшая задача такого рода с дискретным временем связана с последовательностью независимых испытаний. Это так называемая задача о «первом успехе», которая рассматривается в учебниках по теории вероятностей. Серьёзное обобщение этой задачи, которое стимулировало исследования по проблеме достижения заданного уровня, было дано Вальдом при создании им так называемого последовательного статистического анализа [10] (см. также [2]). В настоящее время, модели достижения заданного уровня, связанные со случайными процессами с дискретным временем достаточно хорошо исследованы. Среди большого числа работ, посвящённых задаче достижения заданного уровня с дискретным временем мы отметим одну из первых работ [1] этого направления, где была доказана локальная предельная теорема в задаче достижения заданного уровня для последовательности независимых, одинаково распределённых величин. Упомянем также последние работы, посвящённые этой теме [7], [8], [81], [71], [39].
Обратимся к задачам достижения заданного уровня, связанных со случайными процессами с непрерывным временем. Среди работ последнего времени, посвящённых этой проблеме, отметим следующие [66], [70], [90], [68], [52].
Укажем на важное обстоятельство, которое является общим для работ, посвящённых проблеме достижения заданного уровня, которое связывает все эти работы с исследованием, выполненным в настоящей диссертации.
Основным техническим методом исследования в них является преобразование Лапласа плотностей распределения, посредством которых определяется распределение вероятностей в изучаемой модели достижения заданного уровня. Например, в работе [52] находится явный вид преобразования Лапласа первого статистического момента времени т достижения уровня нуль для ступенчатого процесса полумарковского блуждания.
В работе [89], с использованием преобразования Лапласа, получена явная формула для первых двух статистических моментов времени т достижения заданного уровня для более специального класса процессов, называемых процессами «накопления» (reward processes). Каждый из этих процессов связан с каким-либо процессом восстановления и имеет смысл суммы затрат на произведенные восстановления к текущему моменту времени tНаконец, особо отметим работу [18], посвящённую проблеме достижения заданного уровня в модели с непрерывным временем. В этой работе изучалась задача достижения заданного уровня для аддитивного квадратичного функционалаот траекторий (г{1:) = х{€)—гу{€) Ь Е М+) комплекснозначного процесса, порождаемого парой (сс (£), статистически независимых и стохастически эквивалентных процессов Орнштейна-Уленбека. Такого типа задача возникает в статистике фотоотсчётов в квантовой оптике. Была найдена общая формула в виде интегрального представления для характеристической функции случайного времени т (Е) достижения заданного уровня Е и формальным применением метода перевала (без обоснования его применимости) получена локальная предельная теорема для плотности распределения этой случайной величины.
Наконец, укажем на то, что корректно поставленная задача достижения уровня для случайных последовательностей тесно связана с так называемыми случайными процессами восстановления или, в другой терми[85]. Онологии, процессами обновления (renewal processes), (см., например, [63], [51]), в которых роль уровня Е играет временная переменная, а случайные величины еп, которые представляют собой суммы независимых, одинаково распределённых, неотрицательных случайных величин ёп = Jn[£], п— определяют случайный процесс v на IR+ с целочисленнымик=1траекториями (v{E)E > 0). Процессы восстановления применяются в теории массового обслуживания и теории надёжности (см., например, [42]). Модели систем, описываемых этими процессами, изучены в [40].
1.2 Физические основаниязадачи достижения заданного уровняВ этом разделе мы приведём примеры физических задач, которые сводятся к решению задачи достижения заданного энергетического уровня. Вопрос о распределении вероятностей случайной величины т (Е) возникает, например, в теории управления стохастическими системами и теории надёжности [61], статистической теории разрушения материалов [93], [95], в статистической радиофизике [50]. Что касается задачи достижения заданного уровня для случайных последовательностей, то такого рода проблемавозникает в математической статистике — в так называемом последовательном статистическом анализе [10], [2], [1].
Перколяционный сценарий разрушения материала.2 Старение материала представляет собой очень сложный процесс накопления в его структуре микродефектов, которые возникают вследствие как регулярных, так и случайных внешних воздействий. При этом в понятие микродефекта включаются любые возникшие вследствие таких воздействий на систему локальные изменения как физической так и химической структуры материала. Результатом накопления микродефектов, то есть увеличения их концентрации является изменение материалом своих физических свойств как в количественном, так и в качественном отношении. Изменение состояния материала во времени в предположении о пространственной однородности распределения микродефектов по образцу, можно описать, введя функцию с (£), значениями которой является концентрация микродефектов в каждый момент времени Так как микродефекты, по своей природе, могут быть весьма различны и разные типы микродефектов могут играть различную роль при изменении тех или иных физических характеристик материала, то для описания состояния материала в более общей ситуации необходимо вводить набор описывающих систему параметров — концентраций сь, к = 1,., п, которые принимают значения в некоторой допустимой области в пространстве параметров системы дефектов различного типа. Изменение системы во времени, в этом случае, характеризуется набором функций к — 1,., п со значениями в этом пространстве параметров.
Если принять, что старение материала представляет собой качественное изменение его состояния с довольно чётко выраженным пороговым (критическим) значением концентрации микродефектов с*, а в более общей п — мерной ситуации это изменение происходит при пересечении, в процессе эволюции, некоторой критической гиперповерхности в пространстве параметров системы, то процесс старения должен носить перколяционный характер. Это означает, что в процессе старения сначала появляются в ма23десь мы следуем работе [93]. териале микроостровки — кластеры, имеющие иные физические свойства нежели исходный материал. Затем эти кластеры постепенно разрастаются и при точно определённой концентрации с* - пороге перколяции, — формируются (критические) кластеры, достигающие такого размера, который изменяет качественным образом свойства материалаю. Соответственно, в п-мерной ситуации можно считать, что критические кластеры возникают при пересечении траекторий Cf. it), к = 1., п системы критической гиперповерхности. Появление кластеров с критическими размерами, с теоретической точки зрения, связывается с переходом материала в качественно новое состояние. Описанный сценарий старения материала называется перколяционным. Он является альтернативным сценарию разрушения, основанному на представлении о существовании «наиболее слабого звена» в физической системе. Разрушение, понимаемое как «выход из строя» этого наиболее слабого звена также применяется при постановке задач в статистической теории разрушения материала [6]. При таком подходе, разрушение не рассматривается как процесс накопления какой-то количественной характеристики материала, который в результате приводит его к иному качественному его состоянию. Наоборот, считается, что оно возникает как однократное спонтанно возникшее событие, происшедшее вследствие того, что в материале произошло локальное нарушение достаточно большой величины, которое привело к выходу его из строя системы как целого.
Существенным элементом приведенных выше рассуждений, при описании перколяционного сценария разрушения, является предположение о пространственной однородности возникновения микродефектов по образцу. Это приводит к ограничению возможности реализации перколяционного сценария разрушения в реальной физической ситуации. Для этого необходимо, чтобы поглощаемая материалом энергия внешнего случайного воздействия равномерно распределялась по образцу. Последнее, очевидно, возможно в том случае, когда размеры образца материала достаточно малы (например, он может представлять собой тонкую плёнку) и/или внешнее воздействие, вызывающее разрушение, представляет собой проникающее в материал на большую глубину излучение. Например, такая ситуация реализуется при воздействии на материал рентгеновским, либо гамма-излучением [73]. В диапазоне более длинных ультрафиолетовых электромагнитных волн описанный выше перколяционный сценарий разрушения может реализоваться в тонких плёнках полупрозрачных полимерных материалов [6].
Если рассматривать физическую ситуацию, при которой индивидуальные черты каждого из механизмов, приводящих к старению материала, становятся несущественными, а важным является только их суммарное влияние на материал, то для характеризации состояния можно ввести единую физическую величину, контролирующую процесс старения «в среднем» которая одновременно была бы и характеристикой действия каждого из физических процессов старения материала. Такой величиной является поглощённая материалом энергия e (t) за время i, так как разумно считать, что изменения концентраций микродефектов Ck{t) со временем пропорциональны величине e{t). При таком описании, разрушение материала наступает по достижению величиной e (t) определённой, однако неизвестной, а priori, величины Е. При этом значения коэффициентов пропорциональности между e{t) и Cf-(t) становятся несущественными, так как, при сделанном предположении, возможна характеризация старения материала только посредством указания значений только одной функции ?(i), определяя её распределение вероятностей этих случайных значений и абстрагируясь от конкретных механизмов, приводящих к старению. Такой подход обладает большой универсальностью. Однако, на его основе возможна только постановка задачи о распределении вероятностей для случайной величины т (Е) — времени достижения уровня Е величиной e (t) поглощённой энергии.
Сделаем также некоторые замечания относительно постановки задачи достижения уровня при описании старения материала.
Даже в том случае, когда понятие старения является расплывчатым и определяется, по соглашению, посредством задания некоторой технологической границы, можно считать, что эта граница также пропорциональна энергетическому уровню Е, момент достижения которого и означает наступление события разрушения. В этом случае в материале может и непроисходить никаких качественных изменений, имеющих пороговый характер, а событие разрушения означает только то, что тот функциональный элемент, который изготовлен из данного материала, можно считать вышедшим из строя.
Далее, характеризация состояния материала посредством одной величины е{&euro-) обладает определённой гибкостью, так как необязательно считать эту величину равной в точности поглощённой материалом энергии за время Можно приписать ей смысл той части поглощённой энергии, которая была затрачена на разрушение структуры материала. Тогда, мы учтём, во-первых, тот факт, что часть поглощённой энергии диссипируется в веществе и не затрачивается на разрушение, и, во-вторых, тот факт, что каждый из физических процессов, приводящих к какому-то необратимому изменению состояния материала, которое мы называем старением, имеет пороговый характер, т. е. проявляется только в том случае, если величина + А) — ?(?)) приращения за малый характерный отрезок, А в данный момент времени? превысила определённый характерный для этого физического механизма старения уровень.
Итак, в рамках описанного в этом пункте подхода, возникает задача о нахождении распределения вероятностей для случайного времени старения т (Е). При этом считается, что старение материала полностью описывается случайной функцией б" (£), и момент времени т{Е), который характеризует событие разрушение, определяется тем, что величина е{Ь) достигла уровня Е. В этом случае мы получаем определённую случайную величину, распределение вероятностей которой индуцируется распределением вероятностей случайных функций ё{Ь). Эта математическая задача состоит в вычислении распределения вероятностей случайной величины т (Е) по «заданному», смоделированному на основе каких-то теоретических соображений, распределению вероятностей случайных функций ?(?). При этом величина Е является свободным феноменологическим параметром.
Регистрация сигнала инерционным детектором. При регистрации радиосигнала и{£) на фоне шума, величина энергии, поглощаемойинерционным детектором, является случайной. В частности, если детектор является детектором квадратичным накопительного типа [45], [60], [62], поглощённая за время? энергия ?(?) представляется интеграломtад = у вм+ч*)]2^, огде на вход детектора поступает смесь 77 (?) — электрической составляющей электромагнитного шума и сигнала и (£). В частности, если сигнал отсутствует, то на вход детектора поступает только шум и, в этом случае, ад — / 1м<**, т = й (5)]2.оДетекторы указанного типа применяются в устройствах, критерием срабатывания которых служит достижение энергией некоторого заданного уровня Е. Время т (Е) срабатывания детектора определяется как решение уравнения е (т (Е)) = Е и, поэтому, оно является случайной величиной, распределение вероятностей которой индуцируется распределением вероятностей случайного процесса (т}{1)-£? К.).
Время задержки при регистрации фотоотсчётов квантовым счётчиком. При решении задачи о статистике фотоотсчётов детектора оптического низкоинтенсивного излучения представляет интерес задача о распределении временных интервалов между фотоотсчётами. Так как процесс регистрации низкоинтенсивного излучения имеет квантовый характер, то, во-первых, фотоотсчёты необходимо описывать натуральным числом и, во-вторых, за любой промежуток времени, это число нужно полагать случайной величиной, по самой сути квантовых физических законов, даже в отсутствие шумовой (в обычном классическом понимании) составляющей оптического излучения.
В приближении, которое в теоретической физике называется «приближением среднего поля», распределение вероятностей для числа фотоотсчётов 771 на временном интервале [?1, ?2] определяется формулой Манделя (см., например, [18], [32], [49]), 1Ргп =м [Лт (?12)ехр (-А (4Ь*2))] тгдеА{гиг2)= I Ш2(1з, 97(5) — комплексная амплитуда в приближении среднего поля, характеризующая квантовое электромагнитное поле в текущий момент времени 5 и математическое ожидание вычисляется по распределению вероятностей шумовой составляющей 77(5). В общем случае, число фотоотсчётов п (£) является траекторией случайного процесса (п (£)-£ Е ®-ч-), которая принимает значения в Распределение вероятностей этого случайного процесса определяется набором частных распределений следующего видаЗадав число N 6 ГЧ, которое с физической точки зрения описывает «уровень дискриминации», можно поставить задачу о распределении вероятностей для случайного времени т (-Л/"), за которое этот уровень будет достигнут фотоумножителем.
1.3 Типы стохастических мер и задача достижения заданного уровняДанная в разделе 1.1 формулировка задачи о достижении заданного уровня является очень общей. При её конкретизации, прежде всего, возникает вопрос как задавать распределение вероятностей Р£ так, чтобы случайный процесс е являлся стохастической мерой.
Заметим, что каждая случайная реализация ?(?) стохастической меры г представима, однозначным образом, согласно теореме Лебега [44], в виде суммы трёх составляющих?1.
В физических приложениях, как правило, используются стохастические меры, у которых с вероятностью единица присутствует только одна составляющая разложения Лебега.
Если стохастическая мера е абсолютно непрерывна, то есть если, с вероятностью единица, каждая случайная реализация содержит только первое слагаемое в указанном разложении, то реализации ё{Ь) допускают представлениеге (0 = / (1−3-1)огде ^(в), й? М.+ - траектории случайного процесса Этот процесс, как всякий случайный процесс, применяемый в математическом моделировании, должен быть сепарабельным (см., например, [30]) и, для того, чтобы интеграл (1) имел смысл этот процесс должен обладать измеримыми по Лебегу с вероятностью единица траекториями. Для того чтобы траектории ё{€) были неубывающими, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие им реализации ?(?) = сШ (р)/(1Ь были с вероятностью 1 неотрицательны. С точки зрения изучаемой в настоящей работе задачи, когда стохастическая мера представляет энергетический функционал, случайные реализации ?(?) имеют смысл случайной интенсивности поглощения энергии. Естественно считать, что мера ё{р) является функционалом от случайных реализаций ?(?) интенсивности. В связи с этим, мы будем далее писать ё{?) = ?(?-?). Этот функционал зависит от верхнего предела t? [0, оо) как от параметра и, при изменении этого параметра, представляет траектории случайного процесса, который является аддитивной функцией интервала интегрирования. Такие функционалы называются аддитивными функционалами от траекторий случайных процессов [37].
Итак, задание абсолютно непрерывной с вероятностью единица стохастической меры сводится к определению сепарабельного случайного процесса? с неотрицательными, измеримыми с вероятностью единица траекториями. Такие процессы полностью определяются, согласно теореме Колмогорова (см., например, [30]), заданием нормированной меры Р^(-) на множестве так называемых цилиндрических случайных событийдля всевозможных наборов (?1, ?2? ¿-п)? жг,., хп) Е М. п при любых п = 1,2, — При этом свойство положительности траекторий процесса? учитывается условиемесли хотя бы для одного из номеров г = 1., п аргумент жгпринимает отрицательное значение. Таким образом, в рассматриваемом случае, если мера Р^ абсолютно непрерывного случайного процесса? — интенсивности поглощения энергии — конструктивно задана, то на её основе может быть поставлена задача достижения заданного уровня, так как эта мера Р^ определяет распределение вероятностей <5(?, Е) = Рт{т (Е) < ?} для случайного временидостижения уровня Е.
В приложениях теории случайных процессов, конструктивное определение меры Р^ обычно реализуется либо в виде марковских процессов, либо в виде гауссовских процессов [28], [38]. Однако, интенсивность? невозможно смоделировать на основе гауссовского процесса, так как такие процессы принимают с вероятностью единица все действительные значения. По этой причине, используя в качестве модели гауссовский процесс, невозможно удовлетворить условию неотрицательности реализаций ?(?). Заметим, тем не менее, что условие неотрицательности траекторий процесса легко может быть учтено введением другого сепарабельного случайного процесса 77 с измеримыми траекториями, на которые уже не наложено такого ограничения и при этом траектории ?(?) процесса? строятся на основепп (1.3.2) 'траекторий t Е М.+ процесса г) посредством отображения ?(?) = [?у (£)]2. В частности, процесс г] может быть гауссовским.
Сингулярные стохастические меры е используются в приложениях при описании так называемых стохастических фрактальных структур (см., например, [58]), в данном случае, для описания фрактально изменяющейся временной эволюции. Но, в этом случае, как правило, не возникает задача достижения заданного энергетического уровня. Более того, нужно заметить, что построение таких стохастических мер по какой-либо единой математической схеме, без введения дополнительных ограничений, невозможно. Поэтому, мы здесь не останавливаемся на вопросе конструктивного задания стохастических сингулярных мер.
Если стохастическая мера? дискретна, то её случайные реализации ?(?-?) представимы в видеёЫ) = Е (^з-3)56(0, <]ПТгде Т — реализации счётного с вероятностью единица случайного множества, содержащегося в которое представляет множество точек роста случайной реализации ?(?-?) стохастической меры, ?($) — реализации случайной положительной с вероятностью единица функции на Т. При этом пара состоящая из случайного множества Т и случайной функции £должна быть такой, чтобы сумма в формуле (3) сходилась с вероятностью единица. Время достижения уровня Е для дискретной меры определяется какЗаметим, что в случае дискретной стохастической меры тоже возможно, формальным образом, ввести интенсивность? как математический объект. Он представляет собой обобщённый случайный процесс с «траекториями» ветгде ?(•) — функция Дирака. Таким образом, для этого обобщённого случайного процесса сохраняется понятие отдельных случайных реализаций, которые, в отличие от обычных процессов, представляются в виде обобщённых функций. В данном случае такими случайными реализациями являются суммы ¿—функций Дирака со случайными аргументами — точками локализации и со случайными коэффициентами — амплитудами. При этом стохастическую меру ё{?) мы, как и в случае абсолютно непрерывной меры, будем понимать как функционал от этих траекторий и обозначать ё (?- ?).
В частном случае, последовательность Д может быть неслучайной с одинаковыми компонентами, т. е. 1п = пв с вероятностью 1. Тогда т (Е) = 6£>(Е) и задача достижения заданного уровня с непрерывным временем переходит в аналогичную задачу с дискретным временем — для случайных последовательностей е с реализациями {ёп]п Е 14), которые определяются суммами зависящими от параметра п Е М, ёп = Эти суммы, в случае дискретного времени, являются аналогом функционала ?(?-?). Последовательность (?, п]п? играет, в этом случае, роль интенсивности и имеет, с вероятностью единица, неотрицательные компоненты, £п = ёп- ¿-п-1 > 0- п Е ГЧ, ёо = 0.
Простейшим частным случаем случайных последовательностей являются последовательности независимых в совокупности, одинаково распределённых случайных величин. Поэтому простейшая постановка задачи о достижении заданного уровня реализуется для сумм независимых, одинаково распределённых, неотрицательных случайных величин к Е 14) Таким образом, в физических задачах, которые естественным образом приводят к задаче достижения уровня, стохастические меры бывают двух типов. У одной из них, реализации ?(?- ?) стохастической меры представляются формулой (1), где ?(?) — реализации сепарабельного, случайного процесса с измеримыми траекториями. Реализации меры другого типа представляются формулой (5), где А,? — пара случайных последовательностей с неотрицательными компонентами, причём у первой из них компоненты строго положительны и при этом точки ординарного потока определяются формулой 1п = 7&bdquo-[Д].
1.4 Стохастические меры со стационарными приращениямиВыше мы, в результате проведенного анализа, пришли к заключению, что для постановки задач достижения заданного уровня, возникающих в приложениях, достаточно ограничиться абсолютно непрерывными мерами на и дискретными мерами специального вида, случайные множества точек роста которых не имеют с вероятностью единица предельных точек. Однако, при таком ограничении, постановка задачи достижения заданного уровня оказывается ещё довольно общей, что не позволяет в таких условиях получить содержательные результаты. Поэтому, далее, мы, в этом разделе, конкретизируем постановку задачи с целью выделения класса таких стохастических мер, которые имеют непосредственное отношение для приложений. Это, в первую очередь, касается математического описания такой физической ситуации, при которой внешние воздействия на систему, поглощение энергии которых приводит к качественным изменениям в ней, производятся в каких-то в среднем неизменных условиях. В этом случае, средняя интенсивность поглощения энергии системой постоянна, а поглощаемая энергия возрастает в среднем линейно со временем. С математической точки зрения, стохастическая мера ё (?-?) должна обладать стационарными приращениями. В том случае, когда моделью, описывающей поглощение энергии, является абсолютно непрерывная с вероятностью единица стохастическая мера е, свойство стационарности её приращений приводит к тому, что соответствующая ей интенсивность — случайный процесс (?(?)-? Е М+) является стационарным (см., например, [54]). В случае же, когда моделью поглощения энергии служит дискретная стохастическая мера с траекториями вида (3.5), то, для стационарности еёприращений, достаточно считать, что стационарными являются обе последовательности, А и определяющие эту меру.
Определенней. Процесс? называется стационарным на М., если для любого случайного события Т С Т = {(?(?) —? ? М)} и для любого 5? К, имеет местоРг{Т5} = Рг{Т} (1.4.1)где Т. = {|(* +в) — &euro-Т}.
Иными словами, вероятность события Т совпадает с вероятностью любого события, полученного трансляцией этого события во времени на произвольную величину 5.
Аналогично определяется понятие стационарной последовательностиг).
Определение 1.2. Случайная последовательность? на % называется стационарной, если для любого случайного события Т С Т = {£п? Тп? и для любого т? Ъ, имеет местоРг{Тт} = Рг{Т} (1.4.2)где Тто = {?п+т-?п? Т}.
Далее, для нас будут важны эквивалентные формулировки стационарности процессов как с непрерывным временем, так и с дискретным временем. Они даются в терминах характеристического функционала случайного процесса с (?(?)-?? Ш), ЯМ*)] = Мехр ^ J (1.4.3)и случайной последовательности (?п-п? 2), Р["А] = М ехр I г щ? к) (1−4.4)V кея /где и (Ь) — произвольная непрерывная финитная функция и щ = и (к) (здесь и далее символ М обозначает функционал математического ожидания).
В терминах этих функционалов, процесс? является стационарным, если, для любого s? К, его характеристический функционал обладает свойством F[u (t — s)] = F[u (?)], т. е.
М ехр J u (t)i (t)dtj = М ехр J u (t — .
Точно также даётся эквивалентное определение стационарности случайной последовательности. Для любого /? Z должно выполняться соотношение F[ик] = F[uk-i], т. е.
Мехр ukik ] = М ехр I г ^ uki? k) •V к&-) kez /Установление эквивалентности этих формулировок с данными выше, осуществляется посредством проверки инвариантности вероятностей цилиндрических множеств Q (iCi, ?i-.- ?n), х£ IR, г — 1 -iп относительно трансляций.
Для стационарных процессов с конечным первым статистическим моментом справедлива индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина (см., например, [54]), которая утверждает, что, с вероятностью единица для каждой реализации существует, вообще говоря, случайное, предельное значениеtlim — [ i (s)ds = a[?]. (1.4.5)i—ИЗО t J 0Теорема Биркгофа-Хинчина справедлива для стационарных последовательностей с конечными первым моментом. Она утверждает существование, для каждой случайной реализации с вероятностью единица, пределаlimY, ik = a[i]. (1.4.6)п—>оо 77, 'к—11.5 Корректность задачи достижения уровняНеубывание траекторий процесса е и связанная с этим неотрицательность траекторий процесса? не гарантируют разрешимости задачи достижения уровня для заданного значения уровня Е, т. е. существования случайного конечного значения величины т (Е). При этом подразумевается, что такие значения должны быть определены с вероятностью единица. В этом разделе мы докажем утверждения о корректности постановки задачи достижения энергетического уровня в том случае, когда стохастическая мера е задана либо формулой (3.1) со стационарным случайным процессомлибо формулой (3.5) со стационарными случайными последовательностями, А и Разумеется, корректность постановки задачи достижения уровня имеет место не только для этих типов стохастических мер. Можно думать, что она имеет место всякий раз, когда существует такая неслучайная неограниченно возрастающая функция 1и (£), что реализации ?(?-?) в среднем! растут быстрее ги (£). При наличии стационарности, эта функция может быть выбрана линейной. Нашей целью, в этом разделе, является как раз доказательство справедливости этого утверждения, за исключением очевидного случая, когда вероятность тривиальной траектории ?(?) = 0 равна нулю.
Доказательство разрешимости задачи достижения заданного уровня для класса стохастических мер со стационарными приращениями, который был выделен в предыдущем разделе, мы начнём с доказательства простых утверждений, справедливых для стационарных, неотрицательных с вероятностью единица последовательностей Е и сепарабельныхслучайных процессов (?(?) — тг Е К).
Рассмотрим произвольную случайную стационарную последовательность (?п-п 6 2) с неотрицательными компонентами. Для любого числа, А > 0, определим на Ц-, случайную последовательность согласно следующему правилу. Для каждой случайной реализации £п, п Е Ъ последовательности? построим случайную реализацию? котораяявляется образом измеримого отображения (Un = inO (A — £п) + Ав (?пA), ne Z (1.5.1)реализации (?n-n G Z), где u (-) — функция Хевисайда.
Точно такое же построение мы выполним для случайного стационарного процесса (?(?)-? G M) с неотрицательными компонентами. Для любого числа, А > 0, определим на случайный процесс который получается измеримым отображением случайных траекторий ?(?) процесса определяемым формулойШ = ИЩА — «*)) + АвтЛ), t G M. (1.5.2)Следующее утверждение мы формулируем и доказываем одновременно для случайных процессов с дискретным и непрерывным временем.
Заключение
.
Сформулируем основные результаты проведенного исследования. Нами была изучена задача достижения уровня Е неотрицательным энергетическим функционалом г I (1) о с целью разработки математических методов вычисления распределения времени достижения произвольного порогового уровня при накоплении энергии стохастической системой получаемой ею от внешнего шума.
В результате:
1. Нами был выделен класс математических моделей, который описывает процесс поглощения энергии стохастической системой в условиях редких случайных, однородно распределённых и скоррелированных во времени интенсивных силовых внешних воздействий. Эти модели определяются функционалом (1), в котором ?(?) > О, М+ являются траекториями случайного стационарного процесса? с неотрицательными значениями. При этом функционал (1) является неубывающей функцией от временного параметра Его значения определяют случайные реализации процесса е со стационарными приращениями.
Случайный процесс? представляет собой обобщённый процесс с реализациями т = Е — ^' (2) пшЛп<�р где последовательность (?п-п € М) состоит из независимых, одинаково распределённых, неотрицательных величин, а (?п-п? М) — простейший пуассоновский поток.
2. В рамках выделенного класса моделей, была поставлена задача исследования распределения вероятностей Е) = Рг{г (?) < ?} случайной величины т{Е) = тф: ё (^)>Е} (3) в предположении, что общее распределение вероятностей случайных амплитуд £п, N абсолютно непрерывно и имеет экспоненциально убывающую плотность распределения р{х).
3. Разработан общий аналитический подход к вычислению распределений вероятностей (¿-(1-, Е) для выделенного класса математических моделей на основе так называемой формулы редукции, выражающей функцию распределения С}(Е, ?) через плотности распределения вероятностей сумм независимых случайных величин £то, т = 1-Ьп, п Е N и решения, получающегося при этом функционального уравнения, в терминах преобразований Лапласа для плотности распределения q{t, Е) случайной величины т (Е).
4. Для указанного класса моделей изучено предельное поведение распределения вероятностей Е) при Е —>• со,? —оо как с точки зрения вычисления вероятностей попадания времени т (Е) в заданный компактный интервал на так и с точки зрения вычисления статистических моментов случайной величины г (Е).
Результаты математического исследования формулируются следующим образом.
5. Доказан критерий корректности задачи достижения уровня для стохастических мер, определяемых формулами (1), (2) в том случае, когда последовательность (?п-п Е 14} стационарна, а последовательность (?га-п Е М) представляет собой случайный стационарный, ординарный поток. Это критерий состоит в требовании, чтобы тривиальная траектория 0-п? М) случайной последовательности (£пп? 14) имела нулевую вероятность.
6. Общее решение задачи достижения заданного уровня, в указанных в п. 2 условиях на случайный процесс но, для плотностей р{х) ограниченного роста, даётся формулой.
7+гоо.
К*, Я) = 2~ I ^а-Л^ехр^/М-Ще^,.
7—гоо где, А — плотность пуссоновского потока, 7 > 0 и /(г) — производящая функция плотности распределения р (х).
7. Исследованы свойства распределения вероятностей (¿-(Ь, Е) на основе полученного интегрального представления для плотности распределения.
Е). В частности, доказано, что при любом распределении вероятностей Р{х) типичного представителя случайной последовательности (?п-п? 14) амплитуд случайного процесса плотность ?) распределения вероятностей случайной величины т (Е) является экспоненциально убывающей.
Получены приближённые асимптотические экспоненциально точные по Е формулы для статистических моментов произвольного порядка случайного времени т{Е) достижения уровня Е энергетическими функционалами (1). Эти моменты Мтп (Е), п Е N с асимптотической точностью 0(е~аЕ), где, а — показатель экспоненциального убывания плотности р (х), вычисляются на основе производных по 5 соответствующего порядка в точке от производящей функции, которая определяется выражением р. /(«) ~ 1 4'Е)~Т (уГ~' где V является решением алгебраического уравнения.
1 +? = Я®-).
8. Доказана локальная предельная теорема для плотности Е) в наиболее важном, с точки зрения приложений, случае, когда уровень Е является очень большим по сравнению со средней интенсивностью АМ? П, в пределе Е —> оо,? —> оо, где, а = М? п. Остаточный член в асимптотической формуле, даваемой этой предельной теоремой, имеет порядок 0(Е~1^(Ь)), где — положительная, экспоненциально убывающая функция. Последнее позволяет вычислять, на основе полученного распределения, асимптотически точные в пределе Е —> оо формулы для математических ожиданий, в частности, для статистических моментов произвольного порядка случайной величины т (Е).
9. Доказана аппроксимационная теорема, когда Е/Ха —> оо для распределения вероятностей случайного времени т (Е) достижения уровня Е энергетическим функционалом вида (1) с плотностью (2), у которой последовательность случайных независимых, одинаково распределённых, неотрицательных амплитуд, имеет абсолютно непрерывное экспоненциально убывающее распределение вероятностей, а точки (?n-n G N) образуют пу-ассоновский поток. В этом случае, имеет место асимптотическая формула g (f, Е) = i (l + х-1) ½ ехр (-1 (*'/" s-i/2) (1 + о{Е->)), где х = Xta/E, г = аЕ/с.
Наряду с перечисленными результатами, относящимися к энергетическими функционалами, которые моделируются случайным процессом? вида (2) со стационарными, независимыми приращениями в диссертации получен новый результат, связанный с абсолютно непрерывными мерами.
10. Найдено точное решение задачи достижения заданного уровня для модели энергетического функционала, определяемого плотностью ?(t) в виде неотрицательного дихотомического случайного процесса с амплитудой а. Плотность q (t, Е) распределения случайного времени т (Е) в этом случае имеет вид е" и6"й (l0 (2vy/ШЩ + y/E/at (2zV^i/a))], где v — частота перескоков дихотомического процесса, a — его амплитуда, 10, Ii — модифицированные функции Бесселя соответствующего порядка.
11. На основе развитого общего подхода решения задачи достижения заданного энергетического уровня, для выделенного класса математических моделей создан алгоритм численного определения плотностей q (t, Е) распределений вероятностей.
