Итеративное решение двумерной задачи дифракции и расчет силы действия света на микроцилиндр

Актуальность исследования. «Оптический пинцет» и «оптические ловушки» открыли новое направление лазерных исследований, так как они позволяют производить механическую манипуляцию микрочастицами за счет сил со стороны лазерного излучения. Впервые Ашкин в 1970 г экспериментально показал, что сила оптического давления может быть использована для манипуляции маленькими диэлектрическими объектами и их удержания в равновесии против силы тяжести [1]. Он назвал это явление оптической левитацией. С тех пор оптическая манипуляция микрообъектами начала бурно развиваться, поскольку она позволяет решать широкий класс задач в биологии, генной инженерии, микромеханике, науке о коллоидах и т. д. В большинстве приложений «оптический пинцет» используется для контроля всего одной частицы. Для расчета силы, действующей на произвольный микрообъект в фокусе лазерного пучка, необходимо знать поле дифракции лазерного излучения на этом микрообъекте.

Расчет поля дифракции электромагнитной волны на диэлектрических объектах можно проводить с помощью многих известных методов: разностных методов решения системы уравнений Максвелла [2−4], волнового уравнения или уравнения Гельмгольца [5], методов конечных и граничных элементов [6−9], прямых методов решения соответствующих интегральных уравнений Фредгольма второго рода [10,11]. Ду.

Все перечисленные методы сводят двумерную задачу дифракции к решению алгебраической системы уравнений, размерность которой равна NxN, где N — число отсчетов рассчитываемого поля дифракции. Если выбрать поле дифракции размером 128×128 отсчетов, то размерность системы уравнений будет равна N*N = 2&2×1282. Даже если матрица такой системы уравнений имеет, как правило, 3-х диагональный вид, время решения такой задачи на компьютерах типа Pentium IV составит десятки и сотни минут.

Тем не менее, существуют задачи, требующие быстрого расчета поля дифракции монохроматической волны. Такой задачей является например пошаговый расчет дифракции на микрообъекте, находящегося в различных положениях около фокуса лазерного пучка с целью расчета сил, действующих на микрообъект со стороны лазерного излучения. Тогда расчет поля дифракции должен быть произведен много раз за короткое время. Все перечисленные современные методы не позволяют быстро (за несколько секунд) производить подобный расчет.

Задача моделирования манипуляции микрообъектами лазерным излучением рассматривалась многими способами. Впервые теоретическую задачу давления света на сферу с помощью теории Ми рассмотрел Дебай в 1909 г. [12]. В общем случае сила давления света на микрочастицу должна рассматриваться с помощью максвелловского тензора напряжений электромагнитного поля [13]. Впервые сила действия слабосходящегося гауссова пучка на сферическую частицу с помощью теории Ми была оценена в [14], а для «острой» (непараксиальной) фокусировки гауссова пучка в [15,16]. Пользуются популярностью и приближенные методы расчета силы, действующей со стороны света на частицу: метод геометрической оптики с учетом френелевских коэффициентов отражения и преломления [17], который применяется для больших значений параметра д = к0а" 1, где к0 =— - волновое число света в вакууме, а — радиус сферы, охватывающей объект, и метод градиентной и рассеивающей сил [18], применимый для рэлеевских частиц ^"1). В [19] рассмотрено еще одно приближение для расчета силы света, действующей на микрочастицу: приближение связанных диполей. В [20] показано, что градиентную и рассеивающую силы можно получить из уравнений Максвелла и тензора напряжений. Полученное в [20] выражение для силы действия света справедливо при условии — п2 < 1, где.

7, и п2 — показатели преломления среды и частицы. В [21] с помощью тензора напряжений получено выражение для силы света, действующей на сферическую частицу с керровской нелинейностью. Для расчета сил, действующих со стороны электромагнитного поля на микрообъект используется метод разностного решения уравнения Максвелла [22] или аналитические выражения в случае сферических частиц [23].

Однако в перечисленных выше работах не проведены явные интегральные выражения для расчета сил, действующего со стороны электромагнитного поля с ТЕили ТМ-поляризацией на. диэлектрический цилиндр с произвольным сечением. Кроме того, не было проведено моделирование расчета сил, действующих со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр.

Дифракция электромагнитной волны на однородной сфере может быть проанализирована в рамках теории Ми. Обобщение теории Лоренца-Ми на случай дифракции гауссова пучка и пучка произвольной формы рассмотрено в [24−26] и [27] соответственно. Строгий электромагнитный расчет силы давления на сферическую микрочастицу со стороны гауссова пучка с непараксиальностью 5-го порядка рассмотрен в [26,28,29]. При этом гауссовый пучок имел радиус перетяжки много больше, чем длина волны света. Более «острую» фокусировку гауссова пучка можно осуществить с помощью сферической линзы с высокой числовой апертурой, обладающей аберрациями. Расчету сил давления света на сферическую частицу, расположенную в фокусе линзы с аберрациями, посвящены работы [30,31]. Однако расчет в [30,31] был осуществлен для рэлеевских частиц, то есть с использованием теории рассеяния 2-го порядка. В [32,33] рассмотрен строгий расчет сил, действующих на сферическую частицу произвольного радиуса, расположенную в фокусе сходящегося пучка со сферической аберрацией. Однако, действие силы давления света рассмотрено только вдоль оптической оси. В [34,35] проведено моделирование и строго рассчитаны силы, действующие на сферическую частицу, расположенную в фокусе сходящейся сферической волн. В [36,37] приведено теоретическое и численное сравнение 3-х методов расчета силы действия света: геометро-оптического, в приближении Рэлея и строгого. Аналитические выражения для силы действия света на сферическую частицу с керровской нелинейностью, расположенную в фокусе гауссова пучка, получены в [38]. В [39] рассмотрена передача углового момента от плоской электромагнитной волны с круговой поляризацией сферической частице. В [40,41] приведены аналитические формулы для расчета полей дифракции непараксиального 2Т> гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Однако в перечисленных выше работах не приведены явные аналитические формулы в виде рядов для проекций вектора силы, действующей со стороны электромагнитной волны (в частности, непараксиального гауссова пучка) с ТЕи ТМполяризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Целью работы является разработка быстрого итеративного алгоритма решения интегрального уравнения для расчета поля дифракции произвольной ТЕ- (ТМ-) поляризованной монохроматической волны для анализа сил, действующих со стороны светового поля на диэлектрический микроцилиндр с произвольной формой сечения.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• Разработка быстрого итеративного алгоритма для расчета поля дифракции на двумерном цилиндре с произвольной формой сечения на основе решения уравнения Фредгольма второго рода.

• Численное исследование сил, действующих на микрообъект в области перетяжки непараксиального гауссова пучка.

• Вывод аналитических выражений для проекций сил, действующих на диэлектрический цилиндр с круглым сечением в области перетяжки непараксиального гауссова пучка.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы. Метод работоспособен при условии, что п ~п I < 06″ гДе ^ «длина волны света, а — радиус окружности, в, А которую вписано сечение цилиндра, и, и п2 — показатели преломления цилиндра и окружающей среды.

2. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы. Рассчитана сила, действующая со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы, расположенный вблизи перетяжки пучка. Численно показано, что при определенных условиях вблизи перетяжки пучка имеется точка, в которой сила равна нулю.

3. Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕи ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром.

На защиту выносятся:

1. Быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы.

2. Метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы.

3. Аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Практическая ценность работы определяется следующими обстоятельствами:

• Разработанный метод анализа дифракции ТЕ- (ТМ-) поляризованной волны на микрообъектах позволяет быстро рассчитать поле дифракции произвольной падающей волны, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца, и определять силы, действующие на цилиндрический микрообъект с произвольной формой сечения.

• Разработанный метод позволяет провести оптимизацию условий для осуществления оптической манипуляцией микрочастицами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: на международном конгрессе «Оптика 21 века» на конференции «Optics in computing», проводимой в научном центре Корнинг (Санкт-Петербург, октябрь 2002 г.), на международной конференции НОЦ в рамках программы «Фундаментальные исследования и высшее образование», проводимой в Министерстве образования РФ (Москва, апрель 2003), на международной конференции «Optoinformatics», проводимой в Институте точной механики и оптики (Санкт-Петербург, октябрь 2003), на международной конференции Saratov Fall Meeting, проводимой в Саратовском государственном университете (Саратов, сентябрь 2004), на Третьей самарской региональной конкурс-конференции студентов и молодых исследователей, проводимой в Самарском филиале Физического института РАН (Самара, ноябрь 2005).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 15 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения, списка цитируемой литературы (80 наименований), приложения, изложенных на 140 страницах и содержит 50 рисунков.

Выводы к 3-й главе.

1. Сравнение проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с круглым сечением со стороны непараксиального гауссова пучка, рассчитанных с помощью общих интегральных соотношений и с помощью полученных аналитических выражений, показало, что невязка не превышает 2% в случае ТЕ-поляризации и 6% для ТМ-полярищации, при этом число слагаемых в аналитическом ряде было не менее 15. При изменении диаметра цилиндра в пределах от 0.5Х, до 2Х невязка между проекциями силы, рассчитанная разными методами, не превышает 7%, а при изменении числа отсчетов, укладывающихся на диаметр цилиндра в диапазоне от 25 до 100 та же невязка не превышала 3% (ТЕ-поляризация) и 10% (ТМ-поляризация).

2. Моделирование надежности захвата (отношеие максимума силы, действующей на цилиндр в обратном направлении, к максимуму силы, действующей на цилиндр в прямом направлении) в зависимости от диаметра круглого сечения цилиндра показало, что во-первых, зависимость эта носит осциллирующий характер, что связано с резонансным эффектом при взаимодействии света с цилиндром, а во-вторых, максимум надежности приходится на Я диаметр Б=1.5А, (параметры: ¿-у0 =— - радиус перетяжки гауссова пучка, X — длина волны, ех=2, ег—П1 — диэлектрические проницаемости цилиндра и воды), причем для ТМ-поляризации она в 1.7 раза выше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы.

2. Показано, что с помощью разработанного быстрого итеративного метода приближенного решения двумерной задачи дифракции электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы удается за 50−100 итераций в течении десятков секунд рассчитывать поля дифракции 128×128 отсчетов с точностью 1%-4% в случае, если выполняется неравенствое,)<0.6, где, а — радиус окружности, в которую вписано сечение цилиндра.

3. Сравнение амплитуд полей дифракции плоской волны и непараксиального гауссова пучка на диэлектрическом цилиндре круглого сечения, рассчитанных с помощью итеративного метода и с помощью аналитического решения задачи в виде рядов цилиндрических функций, показало, что среднеквадратическое отклонение этих двух амплитуд растет при смещении цилиндра из центра перетяжки гауссова пучка, что обусловлено увеличением числа значащих членов ряда, которые требуется учитывать. Однако увеличение числа членов ряда в 2 раза приводит к увеличению времени расчета в 30 раз.

4. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы.

5. С помощью полученных интегральных формул для продольной и поперечной проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с произвольным сечением, можно рассчитывать эти силы, охватывая объект круговым контуром с радиусом, превышающим радиус сечения цилиндра в 3−5 раз на поле отсчетов 256×256 с ошибкой не хуже 5%. Изменение сетки отсчетов от 128×128 до 512×512 изменяет значения рассчитанной силы не более чем на 2%.

6. Рассчитанная сила, действующая со стороны непараксиального гауссова пучка с длиной волны X, радиусом перетяжки ^ и мощностью 0.1 Вт/м на диэлектрический цилиндр с круглым сечением с диаметром.

D=A, и ех =2, равна по порядку величины Ю-10— и совпадает со м значением для силы, приведенной другими авторами [21].

7. Два встречных цилиндрических непараксиальных гауссовых пучка с длиной волны «к и радиусом перетяжки ^ формируют вблизи перетяжки стоячую волну, которая будет являться оптической ловушкой для диэлектрического цилиндра с диаметром равным X и ех =2. Если же использовать только один такой гауссов пучок, то он сможет захватить в ловушку только более «слабый» цилиндр с г, <1.3.

8. Если диэлектрический цилиндр имеет проницаемость ех меньше, чем диэлектрическая проницаемость среды ег, то он будет «выталкиваться» из области перетяжки цилиндрического непараксиального гауссова пучка.

9. Если диэлектрическая проницаемость цилиндра комплексная, то наличие даже малой доли мнимой части, около (З*б)х10~3, нарушает условие оптического захвата.

10. Наличие асимметрии в ссчешш цилиндра изменяет условия оптического захвата, например если два цилиндра с круглыми сечениями с диаметром каждого — расположены поперек оптическои оси вблизи перетяжки гауссова пучка, радиус которой равен длине волны X, то захват такого цилиндра происходит при ех <2, если же эти цилиндры расположены вдоль оптической оси, то граница захвата сужается: г,<1.2.

11. Наиболее перспективным является использование для захвата «остро» сфокусированной плоской волны с ТМ-поляризацией. В этом случае при использовании цилиндрической линзы с относительным отверстием МА=1.27 и при равенстве диаметра круглого сечения цилиндра длине волны света граница «оптического захвата» в воде увеличивается до е{ <2.52.

12. Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕи ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром.

13. Сравнение проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с круглым сечением со стороны непараксиального гауссова пучка, рассчитанных с помощью общих интегральных соотношений и с помощью полученных аналитических выражений, показало, что невязка не превышает 2% в случае ТЕ-поляризации и 6% для ТМ-полярищации, при этом число слагаемых в аналитическом ряде было не менее 15. При изменении диаметра цилиндра в пределах от 0.5А, до 2Х невязка между проекциями силы, рассчитанная разными методами, не превышает 7%, а при изменении числа отсчетов, укладывающихся на диаметр цилиндра в диапазоне от 25 до 100 та же невязка не превышала 3% (ТЕ-поляризация) и 10% (ТМ-поляризация).

14. Моделирование надежности захвата (отношение максимума силы, действующей на цилиндр в обратном направлении, к максимуму силы, действующей на цилиндр в прямом направлении) в зависимости от диаметра круглого сечения цилиндра показало, что во-первых, зависимость эта носит осциллирующий характер, что связано с резонансным эффектом при взаимодействии света с цилиндром, а воI вторых, максимум надежности приходится на диаметр Б=1.5Х, (параметры: ф0 = - радиус перетяжки гауссова пучка, X — длина волны, ех= 2, ?2=1.77 — диэлектрические проницаемости цилиндра и воды), причем для ТМ-поляризации она в 1.7 раза выше.