Квантовополевые методы в космологии

Настоящая диссертация содержит результаты исследований автора, целью которых являлось развитие и применение методов квантовой теории поля ко Вселенной как целому. Такой подход традиционно называется квантовой космологией, подразумевая, что Вселенная в его рамках рассматривается как единая квантовая система, подчиняющаяся тем же общим принципам квантовой механики и квантовой теории поля, что и более привычные объекты. Хотя иногда и высказываются сомнения в том, что такое расширение сферы применимости квантовой теории является вполне законным, мы будем принимать его как постулат.

По нашему мнению, квантовая космология занимает уникальное место в современной теоретической физике, что связано с тремя группами причин. Во-первых, построение квантовой космологии тесно связано с попытками создания последовательной теории квантовой гравитации, которая, в свою очередь, необходима для разработки единой теории элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий и требует синтеза двух основных направлений теоретической физики нашего столетия-общей теории относительности [1, 2, 3] и квантовой теории [4, 5, 6].

Во-вторых, квантовая космология тесно связана с так называемой инфляционной космологией [7], которая приобрела в последние годы статус наблюдательной науки, благодаря открытию анизотропии микроволнового фонового космического излучения [8], предсказанной в начале 80-х годов [9].

Наконец, математическая структура теории гравитации в значительной степени аналогична структуре таких бурно развивающихся областей теоретической физики как теории струн и мембран [10, 11, 12], и, поэтому, изучение взаимоотношений между ними представляет значительный интерес.

Прежде чем перейти к перечислению проблем, рассмотренных в данной диссертации, и предварительному изложению результатов, необходимо дать краткое введение в историю современной классической и квантовой космологии.

Эта история началась с работ A.A. Фридмана, который показал, что зависящая от времени метрика, описывающая расширяющуюся или сжимаюшуюся изотропную и однородную Вселенную, удовлетворяет уравнениям Эйнштейна [13, 14]. Эта метрика может быть представлена в виде:

0.1) где t — время в так называемой синхронной системе отсчета, г, # и ф — пространственные координаты, а{1) — космологический радиус, описывающий эволюцию пространственных сечений четырехмерного пространства-времени. Число к может принимать три значения: 1,0, —1, причем значение 1 соответствует закрытой модели, чьими пространственными сечениями являются трехмерные сферы, 0 соответствует плоской модели, (пространственные сечения — трехмерные евклидовы пространства) и —1 описывает открытую модель, чьими пространственными сечениями являются трехмерные гиперболоиды.

Иногда более удобным является использование конформного времени г), задаваемого соотношением.

При переходе к конформному времени метрика (0.1) приобретает вид ds2 = ari) (V — + r2{d92 + sin2 вйф2)). (0.3).

Для простейшей модели Вселенной, заполненной пылью, то есть материей с уравнением состояния где р — давление, фридмановский закон эволюции имеет следующий вид: для закрытой Вселенной a®)dr? — dt.

0.2) р = 0.

0.4) a (r?) = а0(1 — cosi?),.

0.5) для плоской Вселенной а{г}) = а0г]2.

0.6) или, а t) = «oi2'3,.

0.7) и для открытой Вселенной а (г]) = а0(созЪ.т] — 1). (0.8) Аналогично, для Вселенной, наполненной излучением с уравнением состояния.

0−9) где е — плотность энергии, закон эволюции будет иметь такую форму: для закрытой Вселенной а{г]) = а0 втч], (0.10) для плоской Вселенной а (г}) = а0г/ (0.11) или а (*) = а0г½, (0.12) и для открытой Вселенной а (г}) = ао эшЬ г/. (0.13).

В конце 20-х годов Хаббл наблюдал эффект разбегания галактик, после чего представление о расширяющейся по фридмановскому закону Вселенной стало общепринятым. Так была завершена первая, по определению Я. Б. Зельдовича [15], космологическая революция. Тогда же была введена так называемая константа Хаббла, описывающая скорость расширения Вселенной.

Н =-. (0.14) а.

Определение значения этой величины в настоящее время является одной из важнейших задач наблюдательной астрономии, тогда как величина постоянной Хаббла в начале эволюции Вселенной должна быть определена в результате теоретического анализа квантово-космологических моделей.

Вторая космологическая революция была связана с развитием теории Большого Взрыва или теорией горячей Вселенной, которая была выдвинута в работах Г. Гамова в конце сороковых годов [16]. Открытие реликтового излучения Пензиасом и Вильсоном в середине 60-х годов стало блестящим подтверждением этой теории.

Тем не менее, теория горячей Вселенной обладала рядом недостатков, исправить которые была призвана третья космологическая революция — создание инфляционной космологии, предложенной в работах A.A. Старобинского [17], А. Д. Линде [18], А. Гуса [19] и ряда других авторов. Суть инфляционной космологии заключается в предположении, что в начале космологической эволюции Вселенная расширялась по (квази) -экспоненциальному закону, a (t) ~ exp (Ht), (0.15) где постоянная Хаббла Я связана с эффективной космологической постоянной.

3#2 = Ае//. (0.16).

Эта постоянная, в свою очередь, генерируется скалярным полем — инфлатоном ф, имеющим ненулевое классическое среднее значение. В начале космологической эволюции это скалярное поле меняется очень медленно и космологический член определяется потенциалом скалярного поля.

Ле// «(0.17) затем скалярное поле начинает осциллировать, значение космологической постоянной уменьшается и происходит «изящный» выход из инфляции, Вселенная начинает эволюционировать по степенному закону.

Разрешая ряд известных проблем стандартной модели горячей Вселенной, инфляционная модель не может предсказать начальных условий инфляции, то есть ответить на вопрос какими были начальное значение космологического радиуса и постоянной Хаббла. Ответ на этот вопрос является одной из основных задач квантовой космологии. Однако, прежде чем мы сформулируем основные задачи и результаты, представленные в настоящей диссертации, имеет смысл ввести основные элементы аппарата квантовой космологии.

Мы будем рассматривать гравитационное действие в N + 1 — мерном пространстве — времени:

S=j^JdN+1xJ^gN+lR, (0.18) где N+1g и n+1Rпространственновременная метрика и скалярная кривизна, а 1Рплан-ковская длина, введенная в (0.18) таким образом, чтобы действие было безразмерным. Затем, переходя к гамильтонову формализму, [20, 21] мы получаем lp~lGih- -^gR + Нх таШг, (0.19).

1р

Hi = -2gijTTjk, k ~{gik, m + gim, k — gkm, i)^mk + Hi matter, (0.20) где gij — метрика на пространственноподобных сечениях пространствавремени, тт^ -импульс, сопряженный метрике и представляющий внешнюю кривизну пространствен-ноподобной гиперповерхности. Суперметрика ДеВитта имеет следующий вид:

GHM = ^ [gik9ji + 9u9jk ~ l9tJ9ki^, (0.21) тогда как обратная к ней.

QiiM = 1^jkjl + gilgjk 2 gijgklj (0.22).

Н.l matter и Hi matter — вклады полей материи в супергамильтониан и суперимпульс, соответственно. Супергамильтониан и суперимпульсы представляют собой связи первого рода [22]. Их явный вид зависит от конкретных полей материи и взаимодействий, хотя соотношения инволюции между связями являются универсальными, поскольку имеют чисто геометрическое происхождение [23]. Эти соотношения инволюции имеют следующий вид:

Н±(х), Н±(х')} = д (х)д^(х)Нг (х)—5(х, х').

— д{х')д^{х')Щ{х')^5{х, х' ' (0.23).

Щ (х), Нх (х')} = H±(x)~S (x, x').

— Н±(х')-^8(х, хг (0−24).

Щ (х), Н3(х')} = Щ (х)-?-5(х, х').

— Щ{х')-^-5(Х, Х'). (0.25).

Здесь {,} обозначают скобки Пуассона, которые для канонических переменных имеют следующий вид: ' (0.26).

При переходе к квантовой теории поля канонические переменные становятся операторами, скобки Пуассона заменяются на их коммутаторы. Для системы связей первого рода правило квантования, восходящее к Дираку [24] требует уничтожения квантового состояния изучаемой системы операторами связей. В применении к квантовой космологии это дает следующую систему уравнений:

Ях|Ф) = 0, (0.27).

Я,-|Ф) = 0, (0.28) где |Ф) — это волновая функция или квантовое состояние Вселенной. Уравнение (0.27) называется уравнением Уилера — ДеВитта и является основным уравнением квантовой космологии, тогда как уравнения (0.28) отражают инвариантность волновой функции Вселенной по отношению к пространственным диффеоморфизмам.

Исследование уравнения Уилера — ДеВитта, сформулированного в середине 60-х годов получило новый импульс в начале 80-х, когда были предложены два новых рецепта построения волновой функции Вселенной: так называемая волновая функция «без границ» Хартла и Хокинга [25, 26] и туннелирующая волновая функция, предложенная в работах Виленкина [27, 28] и других авторов [29, 30, 31]. В основе обоих рецептов лежит аналогия между туннелированием в нерелятивистской квантовой механике и «рождением Вселенной из ничего». Математическим выражением этой аналогии является использование аналитического продолжения, связывающего пространство-время с естественной лоренцовой сигнатурой с евклидовым многообразием, которое описывает состояние, в некотором смысле предшествующее рождению Вселенной. Построение этого аналитического продолжения, последовательное описание неоднородных степеней свободы, а также выход за рамки древесного приближения теории возмущений являются весьма нетривиальными проблемами квантовой космологии. Эти проблемы тесно связаны с исследованием поведения Вселенной при приближении к космологической сингулярности, которое является традиционной задачей классической космологии.

Однако даже построение волновой функции Вселенной, обладающей требуемыми свойствами, не объясняет тот факт, что мир, рожденный в результате акта квантового туннелирования, обладает сегодня классическими свойствами. Таким образом, проблема классикализации квантовой Вселенной также является важной проблемой квантовой космологии. Основным подходом к решению этой задачи является исследование эффекта декогерентности, который изначально изучался для объяснения феномена редукции волнового пакета в квантовой. механике [32, 33, 34].

Упомянутые выше вопросы обсуждаются уже достаточно долго. Однако есть еще один важный аспект квантовой космологии, который, по нашему мнению, не получил достаточного внимания. Это — вопрос о самосогласованности дираковского квантования систем со связями в применении к космологии. Действительно, обычно, требуют одновременного удовлетворения уравнений (0.27) и (0.28). Такой подход восходит к дира-ковскому квантованию систем со связями [24]. Действительно, на классическом уровне эти связи принадлежат к первому роду и находятся в инволюции относительно скобок Пуассона [22]. Однако, когда мы рассматриваем операторы и их коммутаторы, алгебра может оказаться разомкнутой и дираковское квантование — невозможным. Подобная ситуация хорошо изучена в теории струн [10, 11], где, например в квантовой теории бозонной струны вместо замкнутой алгебры связей первого рода имеется центрально расширенная алгебра Вирасоро. Соответственно, только половина связей уничтожает физические состояния и квантовая теория является самосогласованной только в том случае когда размерность объемлющего пространства равна = 26. (0.29).

Представляется очень важным исследование проблемы самосогласованности квантования системы со связями первого рода в квантовой космологии.

В свете всего выше сказанного становится понятным, почему исследования, представленные в настоящей диссертации сконцентрированны вокруг попыток ответить на следующие вопросы:

1. Как обеспечить самосогласованное квантование алгебры гравитационных связей и к каким последствиям приводит требование такой самосогласованности?

2. Как построить волновую фуункцию Вселенной в однопетлевом приближении с включением неоднородных степеней свободы? Как предсказать начальные условия для инфляционной Вселенной?

3. При каких условиях можно избежать космологической сингулярности?

4. Каким образом квантовое рождение Вселенной приводит к появлению классического мира, который мы наблюдаем в настоящее время?

Диссертация состоит из настоящего Введения, пяти глав и Заключения. В первой главе рассматривается гамильтонова БФВ-БРСТ теория замкнутых космологических моделей [202]. Первый параграф посвящен формулировке задачи. Во втором параграфе выписаны скобки Пуассона для системы гравитационных связей в дискретном базисе. В третьем параграфе выписаны структурные константы алгебры гравитационных связей для обобщенной модели Бианки — I. В четвертом параграфе вычислены вклады гравитонов и полей материи в первую квантовую поправку к коммутаторам между связями. В пятом параграфе построен БРСТ оператор для рассматриваемой космологической модели, проверено условие его нильпотентности и проанализированы полученные критические соотношения, связывающие размерность пространства и спектр набора материальных полей, населяющих это пространство. В шестом параграфе рассмотрена ультрафиолетовая регуляризация основных коммутаторов струнных теорий с точки зрения ее возможного применения к исследованию ультрафиолетовых расходимостей в квантовой гравитации [203].

Вторая глава диссертации посвящена исследованию волновой функции Вселенной в однопетлевом приближении [204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212]. В первом параграфе анализируется проблема нормируемости волновой функции Вселенной в однопетлевом приближении и выведен критерий, определяющий эту нормируемость [204]. Во втором параграфе этот критерий применяется к исследованию различных моделей физики элементарных частиц [205, 206, 211]. В третьем параграфе исследована модель с сильной неминимальной связью и, в рамках этой модели, получен энергетический масштаб инфляции [207, 208]. В четвертом параграфе проанализирована проблема описания неоднородных степеней свободы с помощью волновой функции Вселенной в прескрипции Хартла — Хокинга и туннелирующей волновой функции и показано, что строгий анализ ситуации подтверждает выводы предыдущих работ [209]. В пятом параграфе исследована проблема аналитического продолжения лоренцева многообразия в евклидово в случае когда невозможно избежать комплексификации полевых переменных [208, 210].

В шестом параграфе выписаны эффективные уравнения движения для инфлатонного скалярного поля в однопетлевом приближении. Последние два параграфа второй главы посвящены применению реномгрупповых методов к исследованию структуры эффективного лагранжиана скалярного поля, взаимодействующего с гравитацией [213, 214]. В седьмом параграфе получено выражение для однопетлевых расходимостей в теории с произвольным взаимодействием между скалярным полем и гравитацией, а в восьмом параграфе выписаны и проанализированы соответствующие уравнения ренормализаци-онной группы.

В третьей главе представлена техника однопетлевых вычислений в квантовой теории поля на многообразиях с границами, основанная на модифицированной версии (- регуляризации и продемонстрированы ее приложения к квантовокосмологическим задачам [215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233]. Первый параграф третьей главы посвящен формулировке нашей версии С — регуляризации и выводу формул для однопетлевого эффективного действия в случае, когда явный вид спектра соответствующего оператора неизвестен [215, 216, 217]. Во втором параграфе вычислен гравитонный вклад в волновую функцию Вселенной на части де-ситтерового евклидова многообразия с границей [215] и значения аномального скей-линга для различных полей на этом многообразии [216, 217, 218]. В третьем параграфе мы исследуем проблему соответствия между ковариантным и нековариантным формализмами при вычислениях на многообразиях с границами для электромагнитного поля [219, 220, 221, 222, 226]. В четвертом параграфе та же проблема исследуется на примере гравитационного поля [223, 224, 225]. В пятом параграфе рассмотрены различные типы граничных условий и различные применения разработанной техники [227, 228, 229, 230, 231, 232, 233].

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию классической и квантовой динамики космологических моделей со скалярным полем. [234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242]. Первый параграф четвертой главы посвящен исследованию космологической модели с комплексным неминимально связанным скалярным полем [234, 235, 236, 237, 239, 241]. Показано, что в рамках этой модели существует возможность предсказания начальных условий инфляции уже в древесном приближении для обеих прескрипций для волновой функции Вселенной. Во втором параграфе выписаны уравнения движения для обобщенной космологической модели со скалярным полем. В третьем параграфе исследована классическая динамика космологической модели с действительным скалярным полем и дана классификация множества траекторий, избегающих сингулярности [237, 238, 239, 241]. В четвертом параграфе исследовано влияние космологической постоянной на структуру множества траекторий, рассмотренных в предыдущем параграфе. В пятом параграфе исследован вопрос о хаосе в изотропных космологических моделях и разработан метод вычисления топологической энтропии для широкого класса таких моделей [242].

В пятой главе рассмотрена проблема классикализации квантовой Вселенной [243, 244, 245, 246, 247, 248]. В первом параграфе дано краткое объяснение того, что такое квантовая декогерентность и что собой представляет многомировая интерпретация квантовой механики. Во втором параграфе пронализирована проблема ультрафиолетовых расходи-мостей при вычисления фактора декогерентности в квантовой космологии и показано, что наивное применение размерной регуляризации не позволяет построить непротиворечивую редуцированную матрицу плотности [243]. В третьем параграфе показано, что можно получить непротиворечивый вклад бозонных полей в редуцированную матрицу плотности в квантовой космологии, используя конформную репараметризацию этих полей. В четвертом параграфе показано, что методы, использованные при исследовании бозонных вкладов в редуцированную матрицу плотности, неприменимы при вычислении фермионных вкладов, и, что можно получить матрицу плотности, обладающую разумными свойствами, осуществляя нелокальное боголюбовское преобразование [244]. В пятом параграфе предложено обобщение базиса ШредингераЦея в многомировой интерпретации квантовой механики [246, 247], а в шестом параграфе этот базис используется для анализа ряда квантовомеханических моделей [247, 248].

В Заключении сформулированы основные результата диссертации.

I ГАМИЛЬТОНОВА БФВ — БРСТ ТЕОРИЯ ЗАМКНУТЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

1 ВВЕДЕНИЕ.

В настоящее время мы наблюдаем бурное развитие в квантовой гравитации и теории струн, которые имеют много общего [10, 11, 12]. С точки зрения теории систем со связями [22] эти теории обладают определенным сходством, проистекающим из репа-раметризационной инвариантности, которая является калибровочной симметрией для обеих. Однако, обычно эти теории рассматриваются весьма различным образом с точки зрения пертурбативных разложений. Различные модели теории струн рассматриваются сегодня как разложения относительно различных предельных значений константы связи некоторой неизвестной фундаментальной суперструнной теории («М — теория») [35]. С другой стороны, для гравитации общепризнанным кандидатом на роль фундаментальной теории является эйнштейновское действие, или, возможно, некоторое его обобщение, но ее пертурбативная трактовка является многолетней нерешенной проблемой общей теории относительности.

Главным содержанием работы [202], представленной в этой главе, является попытка гамильтонова БФВ — БРСТ квантования замкнутых космологических моделей посредством использования сходства между калибровочными теориями струн и гравитации.

Обычно, имеются существенные отличия в подходах к квантованию струн и гравитации. Квантуя струны, работают с дискретным набором мод, описывающим струнные возбуждения и дискретным набором связей, образующих алгебру Вирасоро. При этом квантовые коммутаторы связей приобретают центральное расширение и квантовая самосогласованность теории. может быть обеспечена лишь для критических значений размерности и интерсепта. Одним из наиболее эффективных методов наблюдения этого явления являетя БФВ — БРСТ квантование систем со связями [36, 37, 38, 39, 40]. В рамках этого метода можно показать как условие нильпотетности для оператора БРСТ определяет значения критических параметров для струн [41, 42] и мембран [43].

Каноническое квантование гравитации и космологии обычно связано с использованием непрерывного базиса динамических переменных и связей, который может удовлетворительно описывать локальную динамику, но не является глобально хорошо определенным на компактных пространтсвенноподобных сечениях пространства-времени. Между тем, рассмотрение космологических возмущений на языке глобально определенных гармоник использовалось при исследовании различных проблем в классической [44, 45] и квантовой [46] космологии. Однако, глобально определенный дискретный базис связей для квантовой космологии замкнутых вселенных ранее не рассматривался. Между тем, последовательное квантование требует глобального определения как динамических мод так и связей, поскольку это необходимо для согласованного выбора упорядочения для мод и для связей. Например, в случае виковского упорядочения мод бозонных струн, квантовые поправки для коммутаторов связей приводят к центральному расширению представления алгебры Вирасоро в фоковском пространстве. Затем, алгебра квантовых связей может быть сделана самосогласованной при условии, что выбран подходящий базис связей {ЬиЬ вместо традиционных для космологов генераторов хода и сдвига Ях, Яц и, более того, лишь часть генераторов должна уничтожать физические состояния). В то же время, прямолинейное следование дираковской схеме с Ях и Яц, действующими на физическом подпространстве степеней свободы приводит к противоречию.

В статье [202], была предложена новая схема канонического квантования замкнутых космологических моделей. Отличительными чертами этой схемы являются разложение как динамических переменных так и связей по гармоникам, которые являются собственными функциями оператора Лапласа для максимально симметричного пространства данной топологиивыделение подалгебры диффеоморфизмов, сохраняющих объем, из общего набора гравитационных связей, в то время как оставшиеся связи образуют Вирасоро-подобные генераторыквантование этой системы со связями производится на языке БФВ — БРСТ формализмаисследуя условие квантовой нильпотентности для оператора БРСТ, мы применяем некоторое пертурбативное разложение связей и структурных функций по малому параметру? р/У1^, где V — пространственный объем Вселенной, N — размерность пространства. Мы применяем эту схему к стационарной обобщенной модели Бианки — I под которой мы подразумеваем космологическую модель, чьи пространственные сечения имеют топологию N — мерного тора. Мы считаем фоновую метрику этого тора плоской и независимой от времени. Специфика топологии определяется формой структурных функций, которые могут быть выражены через коэффициенты Клебша-Гордана соответствующего представления группы симметрии. В случае модели Бианки — I, эти коэффициенты очень просты ввиду того что группой симметрии является группа 11(1)м. Хотя мы и выбрали эту модель для упрощения вычислений, она представляет и определенный физический интерес [47, 48, 49]. С другой стороны, N — мерный тор позволяет использовать прямую аналогию с замкнутой бозонной струнной сигма — моделью при проверке нильпотентности БРСТ заряда. Интересно то, что процедура БРСТ — квантования, будучи примененной к эйнштейновской гравитации, связанной с полями материи приводит к появлению связи между числом материальных степеней свободы и размерностью пространства N. Например, когда имеется лишь <1 безмассовых скалярных полей, уже первая квантовая поправка приводит к следующему соотношению между ¿-к Ы.

4 = 30 + + 1)(ЛГ — 2), (1.1) которое является условием нильпотентности квантового БРСТ заряда. Интересно, что при N = 1 (когда тор сводится к окружности и связи образуют алгебру Вирасоро) соотношение 1.1 дает (I = 25. Этот результат легко объясняется с точки зрения струнной сигма-модели, не обладающей вейлевской инвариантностью [50]. Действительно, тею-рия бозонной струны не может рассматриваться в качестве одномерного предела эйнштейновской гравитации, связанной с набором из <1 скалярных полей, посколько струна обладает дополнительной калибровочной симметрией, а именно — вейлевской инвариантностью, тогда как вышеупомянутая сигма-модель не обладает вейлевской инвариантностью. Как известно [50], критическая размерность сигма-модели равна 25, в отличие от 26 для струн. Это легко понять, вспомнив что вейлевская инвариантность откали-бровывает конформную моду 1+1 метрики, тогда как в неконформной, а — модели эта мода дает вклад в генераторы Вирасоро на тех же основаниях, что и струнные моды. Таким образом, в обоих случаях критическая размерность равна 26, но для, а — модели это число состоит из 25 струнных координат и одной гравитационной конформной моды.

VI ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод квантования замкнутых космологических моделей, в основе которого лежит гамильтоново БФВ-БРСТ квантование систем со связями. Предложенная версия квантования включает использование гармонического разложения не только гравитационного и материальных полей, но и связей, выделение из полного набора связей подалгебры диффеоморфизмов, сохраняющих объем, построения генераторов типа Ви-расоро и использование для вычисления квантовых поправок к скобкам Пуассона между связями теории возмущений по малому безразмерному параметру, представляющему собой отношение планковской длины к размеру Вселенной.

2. Метод БФВ квантования замкнутых космологических моделей применен к исследованию стационарной космологической модели с тороидальной топологией. Получены критические соотношения между числом материальных полей, населяющих Вселенную и ее пространственно-временной размерностью.

3. Волновая функция Вселенной без границ и туннелирующая волновая функция построены в однопетлевом приближении. Показано, что учет однопетлевых поправок может сделать эти волновые функции нормированными. Получен критерий нормируемости волновой функции Вселенной. Этот критерий представляет собой неравенство, наклы-дываемое на величину аномального скейлинга теории, который, в свою очередь, зависит как от набора элементарных частиц, населяющих Вселенную так и от констант взаимодействия между ними. С точки зрения нормируемости волновой функции проделано сравнение различных моделей физики элементарных частиц. Показано, что лучшими свойствами обладают супесимметричные модели или достаточно сложные модели Великого Объединения.

4. Для модели с сильной отрицательной неминимальной связью между инфлатонным скалярным полем и гравитацией построено вероятностное распределение для начальных параметров инфляции. Показано, что для туннелирующей волновой функции Вселенной в этом распределении есть явно выраженный пик на масштабе Великого Объединения. Для этой же модели построены эффективные уравнения движения для инфлатонного поля в однопетлевом приближении. Анализ этих уравнений, а также детальный анализ процесса перехода от евклидовой Вселенной к лоренцевой подтверждают заключение о предпочтительности туннелирующей волновой функции Вселенной.

5. Вычислены однопетлевые расходимости для взаимодействующих скалярного поля и гравитации для произвольных потенциалов взаимодействия. Аппарат ренормгруп-пы использован для получения уравнений ренормгруппы для обобщенных потенциалов. Полученные функциональные уравнения ренормгруппы проанализированы в пределе больших значений скалярного поля. Показано, что с точки зрения самосогласованности ренормгрупповых уравнений естественным является возникновение неминимальной связи между скалярным полем и гравитацией.

6. Разработана новая версия вычисления однопетлевых функциональных детерминантов посредством техники? — функции. Эта техника позволяет вычислять значения ?

— функции и ее производной в нуле в тех случаях, когда спектр исследуемого оператора неизвестен, но известны его базисные функции. С помощью предложенного метода вычислены значения аномального скейлинга и производной (- функции на части четырехмерной сферы, имеющей в качестве границы трехмерную сферу, для различных полей.

7. Исследован вопрос о соответствии результатов вычислений аномального скейлинга посредством техники (- функции и результатов ковариантных вычислений посредством обобщенной техники Швингера-ДеВитта. Показано, что известные в литературе противоречия между результатами таких вычислений могут быть устранены посредством учета вклада полей-духов и так называемых калибровочных степеней свободы.

8. Исследована космологическая модель с неминимально связанным комплексным скалярным полем. Показано, что меняя параметры этой модели, можно получать весьма разнообразные геометрические конфигурации евклидовой области на минисуперпро-странственной координатной плоскости двух переменных — космологического радиуса и модуля величины скалярного поля. Наличие компактных евклидовых областей приводит к существованию инстантонных решений, обеспечивающих существование пиков вероятности для начальных данных инфляционной стадии для обеих волновой функций.

— без границ и туннелирующей.

9. Построена классификация для траекторий, избегающих сингулярности, в простейшей замкнутой космологической модели с массивным скалярным полем. Полученные результаты подтверждают гипотезу о фрактальности множества траекторий, избегающих сингулярности. Рассмотрена также космологическая модель со скалярным полем и космологической постоянной. Показано, что для небольших по сравнению с массой скалярного поля значений космологический постоянной, фрактальность множества несингулярных траекторий сохраняется.

10. Для широкого класса изотропных космологических моделей со скалярным полем и гидродинамической материей разработан метод вычисления топологической энтропии, позволяющий количественно оценить меру хаотичности системы. Для некоторых конкретных моделей выписаны алгебраические уравнения, численное решение которых, позволяет вычислить топологическую энтропию.

11. Исследована проблема ультрафиолетовых расходимостей, возникающих при вычислении фактора декогерентности в космологической модели, где роль окружающей среды играют неоднородные моды бозонных полей. Показано, что применение размерной регуляризации к вычислению ультрафиолетово-конечной части фактора декогерентности, приводит к противоречивым результатам, поскольку редуцированная матрица плотности теряет положительную определенность и ограниченность. Показано также, что конформная репараметризация полей приводит к подавлению ультрафиолетовых расходимостей и построению редуцированной матрицы плотности, обладающей желаемыми свойствами.

12. Исследована проблема ультрафиолетовых расходимостей фактора декогерентности в космологической модели с фермионами. Показано, что ни размерная регуляризация, ни конформная параметризация не могут разрешить эту проблему. Построение непротиворечивой редуцированной матрицы плотности достигается посредством применения нелокального боголюбовского преобразования фермионных степеней свободы.

13. Проблема классикализации квантовой Вселенной рассмотрена с точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики. Проделано обобщение процедуры построения биортогонального предпочтительного базиса Цея на случай матриц плотности с вырожденным спектром. Полученный алгоритм построения предпочтительного базиса применен к исследованию квантовой динамики некоторых простых квантовомехани-ческих систем, а также систем, обладающих неабелевой симметрией.

В заключение я хотел бы выразить признательность И. М. Халатникову, совместная работа с которым чрезвычайно обогатило не только мое понимание космологии, но и физики в целом. Я благодарен A.A. Старобинскому за постоянную поддержку моей работы. Я благодарен А. О. Барвинскому, совместно с которым мы работаем в течение многих лет и в соавторстве с которым была получена немалая часть представленных здесь результатов. Я благодарен C.JI. Ляховичу, И. В. Мишакову, A.B. Топоренскому, Дж. Эспозито и другим моим соавторам. Я хотел бы также выразить мою благодарность коллективу Институту теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, где была выполнена эта диссертационная работа.