Анализ оптимальных проектов элементов корпуса с кницными соединениями

Расчет проводился с целью количественной оценки полученных результатов оптимизации различных конструкций.

В работе представлены результаты расчетов задач по оптимизации, включающие в себя различные методы решения, а так же условия ограничения как на технологические параметры (DV), так и на параметры состояния (SV).

В качестве расчетного метода выбран метод конечных элементов, позволяющий подробно учесть геометрические и жесткостные характеристики конструкции, условия ее закрепления и, как следствие, получить наиболее полную картину НДС рассматриваемой конструкции. Все расчеты производились в программном комплексе Ansys.

Основной целью данных расчетов является анализ результатов задач, связанных с работой кничных соединений в составе перекрытия, а именно сравнить результаты расчетов модели с учетом и без учета кничных соединений в перекрытии. Условия закрепления и нагружения для всех задач остаются постоянными.

В данном отчете так же представлен ряд простых задач, результаты которых не сложно проанализировать. На таких примерах легко увидеть влияние на результаты различных методов оптимизации, количество параметров проектирования, а так же различных вариантов задания функции цели и параметра состояния.

Теоретическая часть

Требования, предъявляемые к судовым конструкциям

судовой конструкция кница шпангоутный

Конструкция корпуса предназначена для обеспечения нормальной эксплуатации судна в течение заданного срока и ее качество оценивается такими факторами, как надежность, функциональность, стоимость, масса, габаритные размеры. Кратко охарактеризуем эти факторы.

Надежность — способность конструкции выполнять свои функции без выхода параметров состояния прочности, жесткости, устойчивости, вибрации и других, за определенные ограничения в течение всего срока службы в заданных условиях эксплуатации. Количественной характеристикой надежности является вероятность отказа, под которым понимается выход параметров состояния конструкции за ограничения.

Функциональность — обеспечение требований заказчика по выполнению конструкцией заданных функций, например, связанных с перевозкой негабаритного груза и др. сюда входят также удобства эксплуатации и обслуживания.

Технологичность — удовлетворение технико-экономических требований производства, связанным с возможностью изготовления конструкции в данных конкретных условиях при ограниченных затратах труда, материалов и энергии.

Стоимость определяется стоимостью материала конструкции, стоимостью проектирования и изготовления. Стоимость ограничивается выделенными ресурсами, поэтому стремятся ее уменьшить.

Масса характеризует эффективность использования материала, объемы которого ограничены, поэтому целесообразно снижение массы.

Габаритные размеры — предельные размеры конструкции в каждом из трех измерений; для проектирования имеют особое значение те габаритные размеры, которые не являются заданными, а могут варьироваться, например, высота рамного набора палубных и бортовых перекрытий.

Все указанные факторы находятся в диалектическом единстве и взаимном противоречии. Задача конструктора состоит в разрешении этих противоречий в рамках одной конструкции для получения наилучшего результата.

Критерии проектирования судовых конструкций

Наиболее сложно подобрать характеристики конструкции, удовлетворяющие требованиям ее надежности. Поэтому долгое время внимание конструкторов было нацелено главным образом на обеспечение надежности конструкций. Однако нельзя сводить сложный процесс проектирования только к решению задачи надежности. В связи с возрастанием требований к эффективности судов наблюдается более глубокое проникновение экономических аспектов в процесс проектирования судовых конструкций. Больше внимания стало уделяться функциональности конструкций. Появляются узкоспециализированные суда — контейнеровозы и лихтеровозы с большим раскрытием палуб, суда с горизонтальной грузообработкой (типа ро-ро) без поперечных переборок в трюмной части. Учитывается обеспечение высокой технологичности для использования механизированных поточных линий сборки и сварки. Обращается внимание на снижение металлоемкости судов в процессе проектирования. Работы ряда исследований посвящены снижению стоимостных показателей конструкции и максимизации ее эффективности при проектировании.

Удовлетворение требованиям надежности, функциональности. Технологичности при ограниченных ресурсах стоимости и массы с целью получения максимального экономического эффекта — задача сложная. В рамках традиционного подхода к проектированию конструкций она практически не поддается решению. Под традиционным здесь понимается проектирование, которое сводится к разработке нескольких альтернативных вариантов конструкции с различными значениями характеристик, последующему исключению неприемлемых вариантов и выбору по критерию, главным образом эмпирическому, одного, признанного лучшим, варианта. Не приходится сомневаться, что требованиям сегодняшнего дня отвечает строгое решение задачи проектирования конструкций, возможное только с помощью методов оптимизации. Использование их позволит проектировать конструкции с заранее заданными свойствами.

Важный момент проектирования конструкций — обоснованный выбор критерия, по которому различные допустимые варианты конструкции должны сравниваться между собой для отбора наилучшего (оптимального) варианта. Критерий должен учитывать не только технические, но и экономические аспекты. При определении критерия для конструкции корпуса судна необходимо принимать во внимание цель, стоящую перед судном в целом.

Критерий минимума массы

Опыт проектирования корпуса всегда базировался на стремлении обеспечить необходимую прочность (надежность) конструкции при минимальных затратах материала. Снижение массы корпуса при постоянном водоизмещении позволяет увеличить грузовместимость (грузоподъемность). Если же грузоподъемность предполагается неизменной, можно уменьшить полное водоизмещение. А вслед за ним либо уменьшить мощность главной двигательной установки и сократить расход топлива, увеличить дальность (автономность), либо повысить скорость. Таким образом, сокращение металлоемкости корпуса повышает эффективность всего судна в целом.

Критерий минимума массы казался вполне естественным в задачах оптимизации конструкций. Он обусловливает очень простую и понятную по структуре функцию цели, которая обладает хорошей чувствительностью к переменным проектирования. Свойства конструкции минимальной массы вполне устойчивы и довольно слабо зависят от особенностей судостроения. В то же время для судовых конструкций, образованных пластинами, подкрепленными набором, стремление минимизировать массу вступает в прямое противоречие с трудоемкостью изготовления конструкции. В соответствии с характером внешних воздействий около 80% массы идет на пластины и 20% на подкрепляющий набор. Поэтому максимальное снижение массы происходит за счет уменьшения толщины пластин. Для обеспечения их прочности и устойчивости ребра жесткости устанавливаются чаще, их размеры уменьшаются. Количество увеличивается, а это непосредственно отражается на трудоемкости. Если конструкция проектируется по минимуму массы, необходимо задавать минимальные расстояния между ребрами с тем, чтобы по крайней мере удовлетворить требованию технологичности.

Критерий минимума массы в некоторых случаях используют для создания некоторого «идеального» образа конструкции, определяемого только ее внутренними свойствами, который затем может корректироваться с учетом внешних по отношению к рассматриваемой конструкции условий.

Критерий минимума стоимости

Стоимость затрат на создание конструкции складывается из трех основных составляющих — стоимости материала конструкции Цм, стоимости рабочей силы Цт, стоимости накладных расходов и прибыли Цн:

Кс = Цм + Цт + Цн В целом критерий минимума стоимости, в отличие от критерия минимума массы, позволяет учесть расходы на создание конструкции, наличие в конструкции элементов из различных материалов (например, применение стали повышенного сопротивления), влияние количества конструкций в серии и чисто экономические факторы.

Проектирование конструкций по минимуму стоимости приводит к упрощению конструктивной схемы, уменьшению числа составных элементов, росту шпации и увеличению толщины пластин. Конструкции, спроектированные на основе минимума массы и минимума стоимости, существенно различаются. По мере роста отношения стоимости изготовления к стоимости материала их различия увеличиваются. Интересно, что в тех странах, где стоимость рабочей силы высокая, конструктивные схемы корпуса существенно упрощают в ущерб металлоемкости конструкции.

Критерий минимума приведенных затрат

По этому критерию принято оценивать любое изделие, рассматривая его как средство достижения результата. В частности, по нему оценивается эффективность судна в целом. Приведенные затраты состоят из затрат на эксплуатацию и части (для судов это 15%) затрат на строительство:

Кпз = Цэ + 0,15Цс, где Цэ — эксплуатационные расходы; Цс — стоимость судна.

Поскольку приведенные затраты определяются главным образом эксплуатационными расходами, а для конструкции это расходы на ремонт, конструкция, спроектированная по данному критерию, будет иметь увеличенные толщины обшивки и набора, а следовательно, и увеличенную массу.

Критерий максимума экономического эффекта. Экономический эффект эксплуатации судна за весь срок эксплуатации представляется в виде набора безразмерных показателей:

Кээ = Д (к) — Цм (к) — Цп (к) — Цпо — Црп (к) — Цру (к) — Цро — Цэо, где Д (к) — полный доход от эксплуатации; Цм (к) — стоимость металла корпуса; Цп (к) — стоимость постройки корпуса; Цпо — прочие расходы, связанные с проектированием и строительством судна в целом; Црп (к) — расходы на ремонт корпуса вследствие нарушения прочности под воздействием экстремальных нагрузок; Цру (к) — расходы на ремонт корпуса вследствие усталостно-коррозионных повреждений; Цро — прочие расходы на ремонт судна; Цэо — эксплуатационные расходы. Буква «к» в скобках означает, что данная величина непосредственно зависит от параметров корпусных конструкций.

В отличие от критерия приведенных затрат, рассматриваемый критерий включает полную стоимость корпуса и позволяет учесть влияние того или иного конструктивного решения на доход от эксплуатации. На основе этого критерия можно проводить анализ экономической обоснованности критериев надежности, принятых в правилах классификационных обществ и нормах прочности.

Комбинированные критерии

Задачи, в которых используются несколько критериев одновременно, относятся к классу многоэкстремальных задач оптимального проектирования. Они позволяют получать области компромиссных решений. Однако по сравнению с однокритериальными задачами объемы вычислений увеличиваются в несколько раз, что не оправдывается получаемым результатом.

Основные понятия

Постановка задачи оптимизации проектируемой конструкции предполагает, во-первых, выбор переменных, используемых для определения характеристик конструкции и идентификации ее вариантов, во-вторых, установление на основании предъявляемых к конструкции требований допустимых границ изменений характеристик и, в-третьих, определение количественного критерия, по которому выполняется сравнение вариантов конструкции для выбора наилучшего варианта. Математически строгая постановка задачи открывает широкие возможности использования мощного математического аппарата оптимизации. Объективно этот аппарат не зависит от инженерной задачи проектирования. Однако качество получаемого результата во многом определяется корректностью постановки задачи. Здесь от конструктора требуются и инженерная проницательность, и математическая эрудиция, основанная на четком представлении о физических особенностях проектируемой конструкции, на знании преимуществ, недостатков и характерных отличий методов оптимизации.

Переменные проектирования

Конструкция описывается набором независимых величин; некоторые из них в процессе оптимизации изменяются в широком диапазоне, другие фиксированы и определяются внешними факторами. Величины, изменяемые в процессе оптимизации, называются переменными проектирования. В рассматриваемых задачах конечный набор переменных проектирования образует m-мерный вектор х = {х1×2…хm} Т. Фиксированные величины называются заданными параметрами. Переменные проектирования вместе с заданными параметрами однозначно определяют вариант конструкции. Назначение заданных параметров может быть обусловлено различными причинами. При проектировании части конструкции обычно конструктор не свободен в выборе определенных параметров, затрагивающих смежные элементы конструкции. Из опыта известно, что некоторые фиксированные значения переменных проектирования позволяют получить хорошие результаты; при переводе таких переменных в разряд заданных задача значительно упрощается.

Переменные проектирования, используемые при оптимизации конструкций, характеризуют механические или физические свойства материала, топологию конструкции, т. е. количество элементов в конструкции и способ их соединения, конфигурацию или геометрическую форму, размеры связей и характеристики поперечных сечений.

Различают непрерывные и дискретные переменные проектирования. Получить решение задачи с дискретными переменными значительно сложнее, поэтому если дискретные переменные с большим числом значений равномерно распределены в заданном интервале, часто можно решать задачу в предположении, что переменные проектирования непрерывны, с последующим выбором ближайшей допустимой величины. В этих случаях дискретные переменные называют псевдодискретными. Однако существуют ситуации, когда такой подход неприемлем и приходится использовать специальные методы дискретного программирования.

Переменные проектирования, определяющие свойства материала конструкции, обычно представляют собой дискретные переменные, поскольку выбор осуществляется из некоторого конечного набора предлагаемого ассортимента. Если рассматривается малое число предлагаемых материалов, наиболее эффективна оптимизация по другим переменным отдельно для каждого предлагаемого материала с последующим сравнением окончательных результатов частных оптимизаций. Применение композитных материалов в компонентах конструкций расширяет класс задач, в которых характеристики материала выступают как переменные проектирования. Хотя характеристики композитных материалов могут считаться непрерывными (например, модуль упругости, объемная фракция наполнителя), проблема выбора окончательного материала для конструкции на практике большей частью остается дискретной. Таким образом, и здесь наиболее приемлемый способ использования методов оптимизации при выборе материала — выполнение нескольких независимых решений при заданных значениях механических переменных. Непосредственно процедуры оптимизации для выбора материала конструкции применяют лишь в редких случаях.

Под топологическими переменными понимают количество связей в конструкции и расположение одних связей относительно других. Количество связей в конструкции представляет собой целую переменную. Иногда топологическим переменным присваивают только два значения: нуль — связь отсутствует, единица — связь существует. Примером может являться задача определения количества распорок в шпангоутной раме нефтеналивного судна. В отдельных случаях количество связей в конструкции можно получить непосредственно, без введения топологических переменных, если в процессе оптимизации размеров допускаются их нулевые значения. Это приводит к исключению некоторых неэкономичных связей, однако не обуславливает математически точное решение задачи. Расстояние между связями (шпация) по своей природе — непрерывная переменная проектирования, но при проектировании судовых конструкций руководствуются технологическими или экономическими соображениями, поэтому шпации выбирают из заданного набора рекомендуемых величин. Со шпациями можно оперировать, как с псевдодискретными величинами. Расстояние между связями в пределах отсека обусловлено их количеством. В этом случае они являются дискретными переменными.

Геометрические переменные проектирования определяют форму, положение и координаты узловых точек рамы, размеры вырезов, толщину пластины, форму конструкции и т. п. В общем случае геометрия конструкции описывается непрерывными переменными проектирования.

Размеры связей и характеристики поперечных сечений — наиболее распространенные переменные проектирования. Под характеристиками поперечных сечений здесь понимают площадь поперечного сечения заданной формы, например, площадь поперечного сечения в виде замкнутого кругового кольца для связи, воспринимающей только осевые усилия; момент инерции симметричного двутавра для связи, воспринимающей только изгибы усилия. Если в связи возникают усилия различных типов, полезно найти способ установления однозначного соответствия между характеристиками поперечных сечений и размерами, поскольку это позволит упростить формулировку задачи и получить значительные преимущества в решении.

Переменные состояния

Для описания поведения конструкции при заданных внешних воздействиях и выбранных тем или иным способом значениях переменных проектирования вводятся переменные состояния y = {y1 … yh}T. Физическое содержание переменных состояния определяется особенностями поведения конструкции под внешним воздействием. Это могут быть внутренние усилия в связях, перемещения, деформации и напряжения в отдельных точках конструкции, критические напряжения, приводящие к потере устойчивости, частоты и амплитуды колебаний конструкции. Значения переменных состояния определяются однозначно через переменные проектирования с помощью уравнений состояния — уравнений равновесия, уравнений устойчивости, уравнений динамики и т. д. Подчеркнем, что конструктор не может непосредственно управлять переменными состояния. Влиять на них можно только косвенным образом — через изменение переменных проектирования. Хотя в практических задачах проектирования различия между переменными проектирования и переменными состояния обычно представляются вполне естественными.

Ограничения

Набор значений переменных проектирования определяет некоторый вариант конструкции. Одни из вариантов могут быть удовлетворительными, а другие — неудовлетворительными в отношении требований надежности, функциональности, технологичности, стоимости, массы и габаритных размеров. Если вариант конструкции удовлетворяет всем предъявляемым к нему требованиям, он называется допустимым. Условия, которые должны быть удовлетворены, чтобы обеспечить получение допустимого варианта конструкции, являются ограничениями задачи. С физической точки зрения можно выделить два вида ограничений: ограничения на переменные проектирования и ограничения на переменные состояния.

Ограничения, накладываемые на переменные проектирования, представляют собой в основном ограничения на размеры связей. Эти ограничения имеют обычно явную форму и реализуют требования функциональности, технологичности, габаритных размеров, массы и стоимости. Они определяют верхнюю или нижнюю границу переменных проектирования или соотношения, фиксирующие относительные размеры группы переменных проектирования. В качестве примеров таких ограничений можно привести размер шпации, минимальную толщину пластины, максимальную высоту подкрепляющего набора, требование равенства значений высоты связей перекрытия.

Ограничения, накладываемые на переменные состояния, отражают требования надежности. Типичные примеры таких ограничений — ограничения максимальных перемещений, ограничения деформаций и напряжений, минимальное значение критической силы потери устойчивости, требование к частоте собственных колебаний конструкции. В практических задачах встречаются как явная, так и неявная формы ограничений на переменные состояния. Явные ограничения часто задаются формулой, представленной относительно переменных проектирования. Однако в большинстве случаев ограничения на переменные состояния имеют неявный вид, т. е. связываются с переменными проектирования через расчетные соотношения. В любом случае ограничения должны быть вычисляемой функцией переменных проектирования.

С математической точки зрения ограничения как переменных проектирования, так и переменных состояния допустимо выражать в виде системы неравенств

fi (x)? 0; i = 1, …, l, (2.1)

где l — количество ограничений неравенств; x — вектор переменных проектирования, который может включать и переменные состояния.

В задачах проектирования конструкций встречаются также ограничения равенства в общей форме

fi (x)? 0; i = l + 1, …, k, (2.2)

где k — полное количество ограничений. В форме (2.2) могут быть в общем случае представлены уравнения состояния рассматриваемой задачи относительно всех переменных проектирования и состояния.

Ограничения равенства формально применимы для исключения части переменных проектирования и уменьшения размерности задачи, однако реализовать это удается, лишь, когда зависимости (2.2) имеют простую и явную форму.

Ограничения переменных состояния в общем случае являются нелинейными функциями переменных проектирования.

Область проектирования

Каждую переменную проектирования можно рассматривать как одну размерность в пространстве проектирования, а набор значений всех переменных проектирования — как точку в этом пространстве. В случае двух переменных пространство проектирования представляет собой плоскость. В общем случае m переменных проектирования имеем m-мерное пространство. Вариант конструкции, удовлетворяющий всем ограничениям (2.1) и (2.2), является допустимым.

Набор всех допустимых вариантов конструкции формирует допустимую область. Части соответствующих поверхностей, ограничивающих допустимую область, формируют полную поверхность ограничений задачи. Точки внутри допустимой области fi (x) < 0 (i = 1, …, l) называются свободными или безусловными точками, а также вариантами конструкций без ограничений. Точки на поверхности ограничений задачи (т.е. допустимые варианты конструкции, для которых, по крайней мере, одно из ограничений fi (x) = 0) называются граничными или условными точками, а также вариантами конструкции с ограничениями.

Ограничение неравенства, для которого fi (x) = 0, называется активным, а fi (x) < 0 — пассивным. Если fi (x) > 0, ограничение нарушается и соответствующий вариант конструкции недопустим.

Функция цели

В допустимой области существует бесконечное множество допустимых вариантов конструкции. Задача проектирования состоит в отыскании лучшего варианта. Для этого необходимо иметь однозначную функцию переменных проектирования f (x); ее используют при сравнении допустимых вариантов между собой. Такая функция называется целевой, или функцией цели (функцией качества, критерием проектирования). В задачах оптимизации ищется экстремальное значение целевой функции в допустимой области.

В качестве функции цели может быть принято одно, наиболее важное для рассматриваемой конкретной задачи, требование к конструкции. Тогда остальные требования принимают за ограничения. Наиболее распространенными целевыми функциями являются масса, стоимость, приведенные затраты, экономический эффект. В отдельных случаях функцией цели может быть коэффициент концентрации, максимальное перемещение конструкции, частота свободных колебаний и т. п. Ниже будем предполагать, что функция цели минимизируется, но это не влечет за собой потерю общности, поскольку всегда, когда в задаче требуется найти максимум функции, у целевой функции можно изменить знак на противоположный:

max f (x) = - min [- f (x)].

Выбор целевой функции иногда оказывается одним из наиболее важных моментов в процессе оптимизации конструкции. Чаще всего при проектировании конструкций за функцию цели принимают массу, поскольку последняя вычисляется достаточно просто и является важной характеристикой конструкции. Существует специальный класс методов оптимизации, которые построены на минимизации полной массы конструкции. Однако минимум массы далеко не всегда обходится дешево. Более широкое практическое значение имеет стоимость конструкции, но получить достоверные данные о реальной зависимости стоимости конструкции от переменных проектирования часто бывает сложно. Стоимость конструкции может включать стоимость материала, стоимость изготовления, транспортировки и т. п. в дополнение к этому учитываются и другие факторы: стоимость эксплуатации, стоимость ремонта, стоимость страховки и т. д. Далеко не всегда следует стремиться к формированию наиболее общей целевой функции. Такая функция может оказаться «плоской», т. е. не чувствительной к изменению переменных проектирования, и оптимизационный процесс не будет улучшать конструкцию. С практической точки зрения желательно вводить целевую функцию, чувствительную к изменению переменных проектирования.

Функции различаются по количеству экстремумов. Функция называется одноэкстремальной, или унимодальной, в том случае, если она имеет только один экстремум, и многоэкстремальной, или мультимодальной, если она имеет более одного экстремума.

Проектирование судовых перекрытий

Проектирование судового перекрытия предполагает определение топологической схемы, т. е. выбор системы набора, установление количества и расположения балок каждого направления, а также определение формы и размеров поперечных сечений балок. Шпации продольного и поперечного набора обычно согласуются со шпацией смежных конструкций. Например, поперечная шпация палубного перекрытия должна соответствовать поперечной шпации связей борта и днища. Поэтому вычислять ее значение следует при рассмотрении корпуса судна в целом или, по крайней мере, отсека, ограниченного поперечными переборками. Шпации продольных ребер жесткости, да и сами их размеры находят в результате решения задачи о распределении материала в поперечном сечении корпуса судна. Таким образом, некоторые параметры, характеризующие перекрытие, известны из решения внешних по отношению к перекрытию задач. Их можно рассматривать как координирующие переменные между задачами различных уровней. Другие параметры — положение и количество рамных связей, форма и размеры их поперечного сечения — определяются особенностями работы собственно перекрытия и принимаются за переменные проектирования.

В качестве функции цели в большинстве случаев может быть принята масса, которая при фиксированной топологии обусловлена лишь размерами поперечных сечений связей. Варьирование количеством связей отражается на трудоемкости изготовления перекрытия, что может быть учтено, если за функцию цели принять стоимость. Во всех случаях функция цели перекрытия должна согласовываться с функцией цели внешней задачи — проектирования отсека или корпуса судна в целом.

Выделяя оптимизируемое перекрытие из состава конструкции, особое внимание следует обращать на назначение граничных условий, поскольку перекрытия (упругая или жесткая заделка связей) зависит не только от условий нагружения конструкции. Но и от относительных жесткостных характеристик смежных частей конструкции и перекрытия, которые в процессе оптимизации изменяются. В связи с этим в расчетную модель оптимизируемого перекрытия необходимо включать элементы смежных конструкций. Наиболее полный учет влияния смежных конструкций обеспечивают расчетные модели метода суперэлементов, в соответствии с которым составляется расчетная модель всей конструкции корпуса или нескольких смежных отсеков. Из нее, как подконструкция, выделяется рассматриваемое перекрытие. Оставшаяся часть модели с помощью процедуры статической конденсации приводится к граничным узлам перекрытия. Заметим, что порядок разрешающей системы уравнений, описывающей состояние перекрытия, не увеличивается. Этот подход целесообразно применять в тех случаях, когда решается задача оптимизации связей в отсеке корпуса судна, и имеются все необходимые данные о смежных конструкциях.

Наиболее распространенный вид поперечного сечения для расчетных моделей судовых перекрытий — несимметричный двутавр, описываемый четырьмя переменными геометрическими размерами.

Реальные судовые перекрытия представляют собой регулярные конструкции со сравнительно небольшим количеством типоразмеров связей. Это целесообразно учитывать при формулировке задачи оптимизации и вводить один набор переменных для связей одного типа. Из конструктивно-технологических соображений задаются ограничения на габаритные размеры элементов поперечного сечения и требования сохранения соотношений между размерами сечений связей различных типов, например, равенства высоты всего рамного набора к высоте ребер жесткости, требование одинаковых размеров свободных поясков различных связей.

О программе Ansys

Программа ANSYS располагает возможностями не только для расчета конструкции, но и для отыскания ее оптимального варианта (оптимального проекта). Оптимальным является проект, отвечающий всем предъявляемым требованиям и имеющий минимальные значения определенных показателей, таких как вес, площадь поверхности, объем, напряжения, собственные частоты и т. п.

В ANSYS доступны методы и средства оптимизации. Следует сразу указать разницу между ними. Методы оптимизации (methods) обеспечивают оптимизацию целевой функции путем варьирования входных параметров. Средства оптимизации (tools) обеспечивают получение нескольких наборов выходных параметров (целевая функция, переменные состояния) при изменении входных параметров по заданному закону, оптимизацию целевой функции они не производят.

Перед описанием методики оптимизации проекта в ANSYS, необходимо определить некоторые термины.

Переменные проекта (design variables) — это параметры, которые изменяются с целью нахождения оптимального проекта. Для переменных проекта указываются ограничения — минимальное и максимальное значения. Эти значения определяют диапазон изменения переменных проекта. Переменными проекта обычно являются геометрические параметры, такие как длина, толщина, диаметр или координаты точек. Переменные проекта могут принимать только положительные значения.

Переменные состояния (state variables) — это параметры, которые служат ограничениями для проекта. Они также называются зависимыми переменными. Как правило, они представляют собой параметры отклика, являющиеся функциями переменных проекта. Переменные состояния могут быть ограничены максимальным и минимальным значениями или иметь только одно из этих ограничений. Примерами переменных проекта являются напряжения, температуры, скорости тепловых потоков, собственные частоты, деформации и т. п. Однако переменная состояния не обязательно должна быть вычисляемой величиной, в качестве переменной состояния может быть указан любой параметр.

Целевая функция (objective) — это зависимая переменная, которую требуется минимизировать. Она должна быть функцией переменных проекта, т. е. изменение значений переменных проекта должно изменять значение целевой функции. В оптимизационной задаче может быть определена только одна целевая функция.

Переменные проекта, переменные состояния и целевая функция обобщенно называются переменными оптимизации (optimization variables). Пользователь должен указать, какие параметры в модели являются переменными проекта, переменными состояния, и целевой функцией.

Набор параметров проекта, или проект (design set, design) — это набор значений параметров, представляющих какую-либо конфигурацию модели. Как правило, набор параметров проекта характеризуется значениями переменных оптимизации, однако в него включаются все параметры модели, в том числе и те, которые не являются переменными оптимизации.

Возможный проект (feasible design) — это проект, удовлетворяющий всем указанным ограничениям — на переменные состояния и переменные проекта. Если хотя бы одно из ограничений не соблюдается, проект называется невозможным (infeasible design). Наилучший проект (best design) — тот, который удовлетворяет всем ограничениям и обеспечивает минимальное значение целевой функции. Если все проекты являются невозможными, наилучшим является проект, наиболее близкий к тому, чтобы быть возможным, вне зависимости от значения целевой функции.

Методы оптимизации в ANSYS. Общее описание

Методы оптимизации производят минимизацию целевой функции. В программе доступны два метода: метод аппроксимации (subproblem approximation method) и метод первого порядка (first order method). Метод аппроксимации — это метод нулевого порядка, обеспечивающий эффективное решение большинства конструкторских задач. Метод первого порядка основан на оценке чувствительности проекта к изменению определенных факторов и более подходит для решения задач, требующих высокой точности.

Кроме того, пользователь может применить другой оптимизационный алгоритм, в этом случае алгоритм ANSYS будет пропущен.

Как при использовании метода аппроксимации, так и метода первого порядка, программа выполняет серию итераций. В течение каждой итерации выполняется расчет начального проекта, оценивается соответствие результатов расчета определенным критериям качества и, при необходимости, осуществляется изменение проекта. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены определенные условия.

Переменные состояния и ограничения на переменные проекта используются, чтобы ограничить изменения в проекте и приводят к оптимизационной задаче с ограничениями. ANSYS преобразует эту задачу в оптимизационную задачу без ограничений. При проведении оптимизации по каждому из методов, программа учитывает ограничения, наложенные на переменные состояния, добавляя к целевой функции штрафные функции.

Метод аппроксимации

При использовании метода аппроксимации программа на каждой итерации производит аппроксимацию целевой функции и переменных состояния (методом наименьших квадратов) квадратичными функциями переменных проекта. Для аппроксимации используются значения целевой функции и переменных состояния на предыдущих итерациях (т. е. для предыдущих наборов параметров).

Следует отметить, что в документации к ANSYS не описаны некоторые детали алгоритма построения данных аппроксимаций (вычисление весовых коэффициентов для различных наборов параметров). Кроме того, существуют ограничения на количество одновременно учитываемых при аппроксимации наборов параметров. д После построения аппроксимаций программа преобразует оптимизационную задачу с ограничениями в задачу без ограничений, находит экстремум аппроксимации целевой функции и назначает на следующей итерации значения переменных проекта, соответствующие этому экстремуму. Эта процедура повторяется и на следующих итерациях.

Пользователь может выбирать тип аппроксимирующей функции. Можно использовать линейную функцию, квадратичную функцию без перекрестных членов и квадратичную функцию с перекрестными членами.

Для начала итераций по методу аппроксимации необходимо наличие определенного количества наборов параметров (для построения аппроксимирующей функции). В случае их отсутствия программа создаст их сама, случайным образом варьируя переменные проекта внутри их границ.

Т. к. это случайные наборы параметров, то сходимость может быть медленной. Иногда можно ускорить сходимость, создав несколько возможных наборов параметров. Это может быть сделано путем создания нескольких случайных наборов параметров и исключения всех невозможных наборов параметров. Кроме того, можно создать начальные наборы параметров путем выполнения нескольких одиночных циклов анализа, указывая новые значения переменных проекта перед каждым циклом.

В конце каждого цикла анализа производится проверка сходимости и условий прерывания оптимизации. Задача считается сошедшейся, если текущий, предыдущий и наилучший проекты (наборы параметров) являются возможными и выполнено одно из следующих условий:

— Разность значений целевой функции между лучшим возможным проектом и текущим проектом меньше погрешности сходимости целевой функции;

— Разность значений целевой функции между двумя последними проектами меньше погрешности сходимости целевой функции;

— Разности значений всех переменных проекта между лучшим возможным проектом и текущим проектом меньше их погрешностей сходимости;

— Разности значений всех переменных проекта между двумя последними проектами меньше их погрешностей сходимости.

Пользователь может указать погрешности сходимости целевой функции и переменных проекта.

Иногда процедура оптимизации может быть прервана до достижения сходимости. Это происходит в случае выполнения одного из приведенных ниже условий:

— Выполнено указанное количество итераций;

— Количество последовательных невозможных проектов достигло указанного предела.

Сходимость не всегда означает нахождение глобального минимума. Она означает только то, что был выполнен один из указанных выше критериев. Поэтому именно пользователь должен определить, был ли проект достаточно оптимизирован. Если это не так, то можно выполнить дополнительные итерации.

Метод первого порядка

Метод первого порядка использует информацию о производных зависимых переменных относительно переменных проекта. Этот метод очень точен и хорошо решает задачи с большими диапазонами изменения зависимых переменных, однако требует больших вычислительных ресурсов.

При использовании метода первого порядка программа преобразует оптимизационную задачу с ограничениями в задачу без ограничений, а затем на каждой итерации вычисляет градиент целевой функции по переменным проекта. Для вычисления каждой частной производной программа присваивает небольшое приращение соответствующей переменной проекта, оставляя значения других переменных проекта прежними, и производит расчет конструкции с данным набором параметров.

После вычисления всех частных производных, определяется направление поиска экстремума на данной итерации. Следует отметить, что, в общем случае, поиск осуществляется не в направлении градиента, для определения направления поиска используется более сложная зависимость. Затем осуществляется линейный поиск экстремума целевой функции по данному направлению.

Пользователь может указать приращения переменных проекта, используемые для вычисления градиента, а также предельное значение шага линейного поиска Таким образом, каждая итерация разделяется на набор субитераций, который включает поиск направления и вычисление градиента. В связи с этим одна оптимизационная итерация для метода первого порядка включает в себя несколько циклов анализа.

Найденный таким образом экстремум используется в качестве исходной точки для следующей итерации и т. д.

Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута сходимость или условия прерывания процесса оптимизации. Задача считается сошедшейся, если текущий, предыдущий и наилучший проекты (наборы параметров) таковы, что выполняется одно из следующих условий:

— Разность значений целевой функции между лучшим проектом и текущим проектом меньше погрешности сходимости целевой функции.

— Разность значений целевой функции между предыдущим проектом и текущим проектом меньше погрешности сходимости целевой функции.

Процедура оптимизации может быть прервана до достижения сходимости. Это происходит в случае, если выполнено максимальное количество итераций, указанное пользователем.

По сравнению с методом аппроксимации, метод первого порядка является более точным. Однако высокая точность метода первого порядка не всегда гарантирует получение наилучшего решения. Для метода первого порядка возможна сходимость при невозможном наборе параметров проекта. В этом случае, скорее всего, был обнаружен локальный минимум, или не существует возможных наборов параметров проекта.

Если это случилось, может быть полезным проведение оптимизации методом аппроксимации, т. к. это более хорошее средство для исследования всей области варьирования параметров проекта. Кроме того, будет полезным получить случайные наборы параметров проекта, чтобы обнаружить область их возможных значений (если она существует), а затем перезапустить метод первого порядка, используя возможный набор параметров проекта в качестве начальной точки.

Средства оптимизации в ANSYS

В дополнение к двум методам оптимизации, в программе ANSYS доступны пять различных средств оптимизации.

Средства оптимизации используются для оценки и понимания области варьирования параметров проекта. Они обеспечивают не оптимизацию целевой функции, а автоматическое получение нескольких наборов параметров проекта при определенном законе изменения переменных проекта. Для использования этих средств не требуется наличие целевой функции, однако переменные проекта должны быть определены.

Средства оптимизации, доступные в ANSYS:

Однократный анализ (single-loop analysis tool) заключается в выполнении расчета одного варианта конструкции с установленными в данный момент переменными проекта.

Случайное варьирование (random tool) выполняет указанное число циклов анализа, устанавливая каждый раз для переменных проекта случайные значения. Появившийся в версии ANSYS 5.7 модуль вероятностного анализа является своеобразным расширением этого средства оптимизации.

Сканирование области варьирования параметров (sweep tool) создает заданное количество наборов параметров, поочередно варьируя каждую переменную проекта в исходном наборе параметров через весь диапазон ее изменения. Значения других переменных проекта при этом остаются неизменными.

Факторный анализ (factorial tool) создает наборы параметров, анализируя конструкцию при различных сочетаниях крайних значений переменных проекта.

Градиентный анализ (gradient tool) вычисляет градиенты целевой функции и переменных состояния относительно переменных проекта.

Оптимициция книц

1. Оптимизация кницы с одним параметром проектирования (TVOL=U)

В качестве функции цели выбрано суммарное перемещение боковой полосы в месте приложения силы (TVOL=U) Рис. 1. Параметром проектирования в данном случае выступает боковой катет кницы (DV=C₁), как показано на Рис. 1

Исходные данные:

Катеты книц С₁ и С₂ равны 300 мм Ограничение: 180

Материалы конструкции.

Днищевое и бортовое перекрытие с обшивкой выполнены из стали:

Модуль продольной упругости Е, Па 210 000

Коэффициент Пуассона, н 0.3

Плотность с, т/м3 7,8

Условия нагружения

На конце полосы действует сила, равная 1кН Рис. 1

Условия закрепления