Исследование разностных методов решения краевых задач нелинейной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах

Многие газовые и нефтяные месторождения представляют собой многопластовые и трещиновато-пористые образования. Большинство задач теории нелинейной нестационарной фильтрации в этих средах при известном начальном распределении поля давления и заданных режимах разработки месторождения в общей постановке, как известно, являются трехмерными. Однако, трехмерные задачи нестационарной нелинейной фильтрации жидкости и газа во взаимосвязанных пластах с произвольной границей весьма трудоемки для численного решения на ЭВМ, поэтому особую актуальность приобретает рассмотрение упрощенных моделей фильтрации в многослойных и трещиновато-пористых пластах путем сведения их к задачам меньшей размерности.

Упрощенные модели фильтрации в многослойных пластах предлагались многими авторами (см., напр./ijи приведенную там библиографию).

В случав трещиновато-пористой среды в каждой точке пространства приписываются два давления жидкости или газа — давление в порах и давление в трещинах, а также соответствующие им скорости фильтрации в порах и в трещинах. Это обусловлено значительной разницей в проницаемости пор и трещин. Задачи фильтрации в трещиновато-пористых средах, сформулированные в виде системы двух параболических уравнений, рассматривались, например, в работе [2],.

Различные алгоритмы решения задач фильтрации как в многослойных, так и в трещиновато-пористых пластах предлагались в работах /з-5/. Однако, исследование корректности предлагаемых моделей задач теории фильтрации, а также алгоритмов их решения в этих работах почти не проводилось.

Важным моментом в постановке задач фильтрации является выбор закона фильтрации, т. е. зависимости скорости фильтрации от градиента давления. Во многих случаях эта зависимость является нелинейной [ 6−9/.

Отметим здесь нелинейный закон фильтрации с предельным градиентом давления. При этом соответствующие задачи фильтрации формулируются в виде систем нелинейных вырождающихся параболических уравнений.

Сложность решения задач фильтрации вязко-пластической жидкости обусловлена во многом тем, что фильтрация происходит в области, границы которой заранее неизвестны и должны быть определены в процессе решения. В некоторых случаях такого типа задачи изучались в работах/Ю-22].

Одним из наиболее распространенных и универсальных методов решения краевых задач, в том числе задач фильтрации, является метод конечных разностей. Теория этого метода для линейных, а также для весьма широких классов нелинейных параболических уравнений развита к настоящему времени достаточно полно /23−34^Значительно слабее изучены теоретические вопросы метода конечных разностей для систем параболических уравнений, допускающих вырождение по нелинейности.

Целью настоящей диссертации является построение и исследование разностных методов решения нестационарных задач фильтрации в многослойных, а также трещиновато-пористых средах в случае нелинейного закона фильтрации с предельным градиентом сдвига.

Отметим работы, близкие к тематике диссертации.

В работах /" 35−46/ рассматривались вопросы существования, единственности и гладкости решения линейных и нелинейных параболических уравнений, а также систем линейных уравнений (см. также /47/ и приведенную там библиографию).

В работе /*48/ рассматривались некоторые разностные схемы для.

— б нелинейного вырождающегося параболического уравнения, описывающего распространение температурных волн. Исследованию неявных разностных схем для уравнений такого типа посвящены работы В. Н. Абрашина /32- 35/.

В работах /49−54/ исследована сходимость метода конечных разностей для некоторых вырождающихся параболических уравнений теории фильтрации при некоторых достаточно сильных ограничениях на гладкость исходных данных.

Итерационные методы решения одномерного параболического уравч нения с вырождением (типа температурной волны) рассматривались в /55/.

Разностные методы решения стационарных задач теории фильтрации с предельным градиентом изучались в работах А. Д. Ляшко, М. М. Карчевского и др. /56−60/.

Разностным методам решения нестационарных задач нелинейной фильтрации в многослойных пластах посвящены работы/1,10,17−22/.

В работе М. М. Карчевского, А. Д. Ляшко и М.Ф.Павловой/13/ исследованы явные, неявные и регуляризованные разностные схемы для решения квазилинейного параболического уравнения, описывающего нелинейную фильтрацию жидкости в пористой среде при упругом режиме фильтрации. Доказаны теоремы существования и единственности решения первой краевой задачи.

Исследованию разностных схем решения нелинейных краевых задач посвящены также работы/16, 61−64/.

В настоящей диссертации проводится построение и исследование математической модели задачи нестационарной фильтрации в многослойных пористых средах. Для этой модели, сформулированной в виде нелинейного вырождающегося параболического уравнения со специальными граничными условиями построены и исследованы разностные схемы.

Для нестационарной задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах построена и исследована математическая модель в виде системы из двух нелинейных параболических уравнений. Для решения этой задачи построен метод прямых [?8−77] и исследована его сходимость.

Разностные схемы, построенные в диссертации использовались при проведении численных экспериментов для расчета конкретных нефтяных месторождений.

Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения.

— 126 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Построены математические модели нелинейных задач нестационарной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах в случав нелинейного закона фильтрации с предельным градиентом. Доказаны теоремы существования и единственности.

2. Построен и исследован итерационный метод для решения нестационарной задачи фильтрации газа в трещиновато-пористых средах.

3. Построены явные, неявные и регуляризованные разностные схемы для нелинейных задач нестационарной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах. Доказаны теоремы существования и единственности решений разностных схем и теоремы о сходимости кусочно-постоянных восполнений решений разностных схем к решениям дифференциальных задач.

На основе проведенного вычислительного эксперимента на ЭВМ выявлено, что недоучет проявления начального градиента давлений приводит к существенным ошибкам при фильтрационных расчетах месторождений нефти.