Оценки погрешности численного интегрирования квазилинейных гиперболических уравнений

Проблема обоснования' численных методов решения квазилинейных гиперболических уравнений представляет собой одну из важных задач современной вычислительной математики. Интерес к этой проблеме обусловлен широким распространением таких уравнений в качестве модельных для системы уравнений газовой динамики 25,26. Сложность этой задачи связана с недостаточной разработанностью математического аппарата исследования квазилинейных уравнений. В частности, еще не получены общие теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка. В отличие от систем, для одного уравнения доказаны теоремы существования и единственности, а также получены оценки погрешности широкого класса приближенных методов расчета слабых решений задачи Коши.

Развитие теории квазилинейных гиперболических уравнений началось в 50-х годах с работы Э. Хопфа [35], в которой построено разрывное решение задачи Коши для одного специального уравнения. В дальнейшем эта теория получила развитие в работах А. Н. Тихонова, А. А. Самарского [31], Д. Лакса [36], О. А. Олейник [22,23], И.М.Гель-фацда [8], А. С. Калашникова [9]. В последующих работах Н. Н. Кузнецова [14,15], А. И. Вольперта [7], Е. Конвея, Дж. Смоллера [33], С. Н. Кружкова [ 10−13] доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для одного многомерного квазилинейного уравнения, что привело к созданию в 1960;1975 годах сравнительно законченной теории обобщенных решений таких уравнений. Что касается систем квазилинейных гиперболических уравнений, то одним из центральных результатов остается теорема Глимма [34], в которой доказано существование обобщенного решения задачи Коши в предполо-" жении малости нормы и вариации начальной функции.

Начало исследованию сходимости решений разностных схем положила работа Н. Д. Введенской [4~], в которой при условии выпуклости доказана сходимость решения схемы Лакса к обобщенному решению задачи Кош в норме .В работе Н.С.Бах-валова [2] впервые получена оценка погрешности схемы Лакса для строго выпуклого случая, а В. В. Разумейко [24,25] обобщила этот результат на случай выпуклости с вырождением. Н. Н. Кузнецов [16−21]', используя введенное им новое понятие погрешности метода, доказал общие теоремы об оценке погрешности приближенных методов решения задачи Коши в норме ^ (в многомерном случае, что позволило получить оценки погрешности широкого класса дивергентных монотонных разностных схем без предположения о выпуклости. В работах С. А. Волошина [б, б] теоремы Н. Н. Кузнецова конкретизированы на случай неявных схем.

С практической точки зрения часто оказывается полезным иметь оценки погрешности в равномерной метрике. В диссертации в случае одномерного квазилинейного уравнения указанные оценки погрешности получены для ряда явных дивергентных монотонных разностных схем в предположении наличия области непрерывной дифференцируемости решения задачи Коши.

Основой для получения оценок в равномерной метрике в работе служат оценки погрешности в норме.

Г) [19,20]. Следует отметить, что цри таком подходе основную трудность составляет получение предварительной оценки погрешности вида tliy0c') | ^ С^, где Ъ (Ь?Х) — погрешность в точке X), а постоянные Си оС определяются в зависимости от поведения решения вблизи боковой границы области непрерывной дифференцируемости. Среди известных автору работ наиболее близкими по постановке задачи являются работы С.И.Сердю-ковой [28−30], в которых исследован вопрос о ширине зоны «размазывания» изолированного разрыва для линейного гиперболического уравнения.

Диссертационная работа состоит из 13 параграфов. В первых восьми параграфах обсуждается постановка задачи и доказывается ряд вспомогательных утверждений, составляющих аппарат исследования поставленной задачиостальная часть работы посвящена получению оценок погрешности дивергентных монртонных разностных схем при различных предположениях.

Первый параграф посвящен постановке задачи. Для задачи Коши для одномерного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка.

2) где 1Т0 (X) — функция ограниченной вариации, У (У) — дважды непрерывно дифференцируемая, рассматривается класс явных дивергентных монотонных конечно-разностных схем.

СЧ (з) здесь ^? ЯГ и к. — шаги сетки по ~Ь и X соответственно, В предположении существования области Сг, в которой решение ^(Ь^Х) задачи (I) ,(2) имеет ограниченные производные до второго порядка включительно и через любую точку которой проходит характеристика уравнения (I), лежащая в области.

Ц, ставится задача получения оценок погрешности схем (3) в равномерной метрике в области (3.

1. Бахвалов Н. С. Численные методы. -М.: Наука, 1973, 673с.

2. Бахвалов Н. С. Оценка погрешности численного интегрированияквазилинейного уравнения первого порядка. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, T.I.A5, с.771−783.

3. Бахвалов Н. С. Условия сходимости и порядок ошибки при решении задачи Коши для одного линейного уравнения первого порядка методом конечных разностей. ШШ, 1956, т.20, № 2, с.3−18.

4. Введенская Н. Д. Решение задачи Коши для нелинейного уравнения с разрывными начальными данными методом конечных разностей. Доклады АН СССР, 1956, T. III, № 3, с.517−520.

5. Волошин С. А. Об одном классе монотонных конечно-разностныхаппроксимаций квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка. Доклады АН СССР, 1978, т.242, Щ, с.14−16.

6. Волошин С. А. Об одном классе неявных конечно-разностных схем. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1983, т.23, № 2, с.347−354.

7. Вольперт А. И. Пространства BV и квазилинейные уравнения. Математический сборник, 1967, т.73, № 2, с.255−302.

8. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. Успехи математических наук, 1957, т.14, № 9, с.87−158.

9. Калашников A.C. Построение обобщенных решений квазилинейныхуравнений первого порядка как пределов решений параболических уравнений с малым параметром. Доклады АН СССР, 1959, т.127, ЖЕ, с.27−30.

10. Кружков С. Н. Результаты о характере непрерывности решениипараболических уравнений и некоторые их применения. -Математические заметки, 1969, т.6, № 1, с.97−108.

11. Кружков С. Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом длянелинейных уравнений первого порядка. Доклады АН СССР, т.187, М, с.29−327.

12. Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными. Математический сборник, 1970, т.81, Ш, с.228−255.

13. Кружков С. Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений первогопорядка со многими независимыми переменными. Математический сборник, 1970.

14. Кузнецов H.H. О слабом решении задачи Коши для уравненияпервого порядка с двумя независимыми переменными. Доклады АН СССР, 1967, т.177, 112, с.268−271.

15. Кузнецов H.H. О слабом решении задачи Коши для многомерногоквазилинейного уравнения. Математические заметки, 1967, т. 2, М, с. 401−410.

16. Кузнецов H.H. Об устойчивых методах решения квазилинейногоуравнения первого порядка в классе разрывных функций. -Доклады АН СССР, 1975, т.225, № 5, с.25−28.

17. Кузнецов H.H. О кАоМл* мАМб jvt ioUutj. оъсйл pa/ftuit ЦшХш^ иь iktи"dytti, ni. 3, (Ucud. Рш Лиг., р. 241−25?.

18. Кузнецов H.H. Слабые решения квазилинейных уравнений. ШаЬау ^ШХа^мт, 1978, т. З, 0.9−39.

19. Кузнецов H.H., Волошин С. А. О монотонных разностных аппроксимациях квазилинейного уравнения первого порядка. Доклады АН СССР, 1976, т.229, № 6, с.1317−1320.

20. Кузнецов H.H., Волошин С. А. Об устойчивости одного классанеявных конечно-разностных схем. Доклады АН СССР, 1978, т.242, JI3, с.525−528.

21. Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальныхуравнений. Успехи математических наук, 1957, т. 12, JO, с.3−73.

22. Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенногорешения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Успехи математических наук, 1959, т.14, Ш, с. 165.

23. Разумейко Р. В. Оценка погрешности численного интегрированияквазилинейного уравнения первого порядка. Математические заметки, 1973, т.13, Й2, с.207−215.

24. Разумейко Р. В. Оценка погрешности численного интегрированияквазилинейного уравнения в случае регулярного вырождения.-Математические заметки, 1975, т. 18, № 5, с.753−706.

25. Рождественский Б. Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. -М.: Наука, 1978, 688с.

26. Самарский A.A., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики.М.: Наука, 1980, 352с.

27. Сердюкова С. И. 0 достижении минимального порядка погрешностигиперболических уравнений методом конечных разностей в равномерной метрике. Доклады АН СССР, 1980, т.255, с.1325−1328.

28. Сердюкова С. И. Асимптотические свойства разностных схеммаксимального нечетного порядка точности. Математические заметки, 1982, т.32, М, с.517−528.

29. Сердюкова С. И. Асимптотические оценки функции Грина и «разностной ступеньки» в случае липшиц-непрерывных коэффициентов. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1984, т.24, Ш, с.517−528.

30. Тихонов А. Н., Самарский A.A. 0 разрывных решениях квазилинейных уравнений первого порядка. Доклады Ж СССР, 1954, т.99, Jfcl, с.27−30.

31. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения, т.1. -М.: Мир, 1967, 500с.

32. Сомоц Е. D., imMut Т. А. Glotal? oLaLw cj tk Cauiky. ?ytoUewjot, а (^ш^-йшл, fy/uX-ouhrt, ?^ шшьС фрсш.шшМиCom. Pmi Offi. ША., 4Ш, ir. iS, p. 2s~os.

33. G&mrn J. G. МиХ<�ш iiu V*JU la/tyi wdiMWtlu^miolu, MtfUw ofгуш^иом Comm. Qff?. 4365,.

34. Hof>i E. pa/dial еушлХиж ut + U-U^JJ un.-Comm. Fuajl dppl. Wit., 4950, tr.3, p.2о{~2зо.36. &oe. P.D. ШсаА wluuon pf мнЪяаал, tj/uafooMOuui tihi/t, ¡-шпшкаС to^uiaUou ¦ Coynm. /W. (iffI. %dtk., 4954, 1 Г. f, p.459-m.

35. Мищенко В. В. Оценка погрешности численного интегрированияквазилинейных гиперболических уравнений. Депонир. в ВИНИТИ, № 4455−82, 1982, 18 сент., 48с.

36. Мищенко В. В. О главном члене погрешности схемы Лакса. Моделирование, идентификация, синтез систем управления технологическими процессами и производствами. Сб.научн. тр. Донецк, ун-та, Донецк: Изд-во Дон ГУ, 1983, с.173−176.

37. Мищенко В. В. Об оценке погрешности численного интегрирования квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка. Докл. АН СССР, 1984, т.277, Щ, с.37−41.