Исследование электромагнитных полей в неоднородных средах методами математического моделирования — решение задач идентификации, синтеза и оптимизации слоистых диэлектрических структур и некоторых проблем медицинского приборостроения

Актуальность темы

диссертационного исследования.

Современное состояние радиофизики и радиотехники характеризуется значительным усложнением стоящих перед ними задач.

Новые проблемы возникают как в традиционных исследованиях, связанные, обычно, с расширением диапазонов используемых частот, сокращением длительности используемых импульсов или с ужесточением режимов работы аппаратуры, так и в связи с использованием новых поколений техники, существенно расширяющих ее возможности.

При этом, необходимо особо отметить принципиальную роль стремительного развития цифровой техники и особенно компьютеров, с учетом их все возрастающей экспансии практически во все области человеческой деятельности.

В радиотехнике компьютеры сейчас используются на всех стадиях разработки, проектирования и эксплуатации соответствующих систем, начиная с процессов автоматизации проектирования их отдельных узлов и систем вцелом и заканчивая системами изучения эффективности использования тех или иных их частей.

Внедрение компьютерных технологий требует адекватного математического моделирования процессов разработки и эксплуатации радиотехнических систем. Переход на качественно новый уровень абстрактного осмысления существующих технологий заставляет по-иному взглянуть и на уже традиционные проблемы радиотехники.

В частности, все сказанное выше имеет прямое отношение к крайне важной проблеме радиотехники — разработке обтекателей (см., например, [2.20]), закрывающих радио или акустические антенны, расположенные на подвижных объектах, которой посвящено большое количество теоретических и экспериментальных исследований.

Для создания хороших обтекателей необходимо обеспечить заданный уровень их высокой прозрачности в заданном рабочем диапазоне частот.

Та же самая проблема является чрезвычайно важной в оптике (см., например, [2.18]) при разработке просветляющих покрытий для высококачественных линзовых систем.

Прямо противоположная задача возникает при создании диэлектрических покрытий для зеркал и зеркальных антенн, когда требуется добиться предельно высокого возможного коэффициента отражения для таких устройств в максимально широком диапазоне частот.

В указанных классах практически важных технических задач возможны дополнительные технологические ограничения на используемые материалы и толщины соответствующих покрытий, еще больше усложняющие исходные задачи синтеза таких устройств.

Другой важный класс проблем радиотехники сводится к задачам идентификации некоторого устройства по той или иной информации о входных или выходных сигналах этого устройства (см., например, [2.14]).

В таких задачах, возникающие при их решении сложности, носят качественно иной характер, чем в задачах синтеза.

Однако, и здесь, для направленного продвижения по пути их исследования и решения, необходимо углубленное изучение характера функциональной зависимости основных рабочих характеристик рассматриваемых систем (таких, например, как зависимость коэффициентов отражения и пропускания от частоты), а также подходящих для их исследования входных воздействий и их выходных реакций, от параметров задачи, в качестве которых могут выступать, например, границы частотных интервалов, длительности импульсов и наборы физических параметров, характеризующих эти системы.

Все указанные выше зависимости могут быть выяснены только в процессе более глубокого, чем это было принято до сих пор (см., например, [2.1]- [2.4]- [2.9]- [2.10]- [2.18]- [2.19]) анализа подобных систем.

В настоящее время самым мощным средством изучения любых технических систем является их математическое моделирование с привлечением необходимой для этого вычислительной техники.

Такое изучение конечно же не может полностью заменить необходимое количество натурных экспериментов и тем более испытаний новой техники, но при правильном сочетании с традиционными методами разработки и технологической подготовки производства аппаратуры методы математического моделирования ее основных характеристик позволяют, как правило, значительно сократить физические объемы экспериментов и, следовательно, время затрачиваемое на их проведение .

Проблемы классической электродинамики (КЭД) (см. [1.1] — [1.32]), как и другие научные и технические проблемы, математическая постановка которых связана с дифференциальными уравнениями, естественным образом подразделяются на прямые, обратные и Математическое моделирование тем более необходимо в тех областях науки и техники, в которых прямые эксперименты либо вообще невозможны, либо чрезвычайно дороги. оптимизационные.

К настоящему моменту, с разной степенью строгости исследовано большое количество прямых задач КЭД, в которых по заданным физическим параметрам среды и источникам электромагнитного поля требуется найти это поле или некоторую его характеристику.

Однако, ввиду большой сложности таких задач, в случае общей неоднородной среды, и, несмотря на продолжающийся интенсивный поток исследований в этой области, направленный, в основном, на изучение важнейших специальных случаев прямой задачи, еще не создано сколько-нибудь полной классификации возможных типов решений прямых задач КЭД, а также недостаточно изучены многие их свойства.

Особая важность проблемы выделения классов решений системы уравнений Максвелла и изучения их свойств обнаруживается в исследованиях, связанных с обратными и оптимизационными задачами КЭД, где указанная информация используется уже при математической постановке соответствующей задачи.

Так, например, в типичной обратной задаче КЭД требуется по какой-либо заданной характеристике электромагнитного поля найти параметры среды, в которой существует указанное поле, или его источники.

При этом, обычно, предполагается, что заданная характеристика поля принадлежит некоторому классу функций, а искомые параметры среды или функции, характеризующие источники, принадлежат некоторым, вообще говоря, другим классам функций.

Обратные и оптимизационные задачи КЭД, как правило, являются некорректно поставленными и исследованы еще значительно меньше, чем прямые.

Этот недостаток теории особенно значим, если учесть, что именно к обратным и экстремальным задачам, чаще всего, приводят проблемы разработки, конструирования и производства современной техники.

Общие методы решения некорректно поставленных задач были созданы в основополагающих работах А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева.

В применении к классической электродинамике дальнейшее развитие методы решения обратных задач получили в важных исследованиях многих других авторов (см., например, [2.15], [2.16]).

Новые подходы к выделению классов решений системы уравнений Максвелла и исследование свойств этих решений позволяют эффективно использовать полученную таким образом дополнительную информацию при решении обратных и оптимизационных задач КЭД и сходных с ними.

Цель работы.

Целью работы является развитие теории синтеза сложных технических систем с предельно хорошими рабочими характеристиками и проблемы идентификации таких систем применительно к магнито-диэлектрическим слоистым системам.

Для достижения этой цели было необходимо: провести комплексные исследования по широкому кругу задач КЭД, включая их математическую постановку, изучение свойств решений прямых задач и использование этих свойств для решения обратных и экстремальных задач КЭДразработать теорию анализа слоистых систем до такой степени, чтобы стало возможным проанализировать зависимость основных рабочих характеристик таких систем от физических параметров и частотыисследовать зависимость плоских электромагнитных волн в плоскослоистой среде от физических параметров среды и частотыдоказать свойство квазипериодической зависимости от частоты основных характеристик плоских электромагнитных полей в слоистых диэлектрикахсоздать понятийный аппарат для использования свойства квазипериодической зависимости при постановке и решении задач синтеза и идентификации слоистых системиспользовать свойство квазипериодической зависимости основных характеристик слоистых диэлектриков для оценки коэффициентов отражения и пропускания для таких систем в различных смыслахисследовать вопрос о единственности решения и создании алгоритмов решения обратных задач для слоистых системисследовать свойства коэффициентов отражения и пропускания для решения на этой базе задачи согласования радиотехнических устройств в различных постановкахполучить в удобном для исследования и последующего использования виде дифференциальные уравнения, возникающие из законов преломления Снеллиуса и отражения, для корректировки волновых фронтов в линзовых литотриптерахразработать программы для персонального компьютера, позволяющие «наблюдать» за процессом распространения волнового фронта ультразвуковой квазиударной волны в рабочем пространстве литотриптерапровести комплексную отладку указанных программ на тестовых примерах и отработать методику отыскания важнейших «моментов» распространения волновых фронтов таких, например, как зарождение и развитие особенностей на них, связанных с повышенной концентрацией энергии в окрестности этих точекисследовать возможности и выработать рекомендации для повышения степени фокусировки квазиударных волн в линзовых лито-триптерах.

Предмет исследования.

Основным предметом исследования является система уравнений Максвелла, моделирующая процессы распространения электромагнитных волн в неоднородной, но изотропной среде, ее различные варианты, приспособленные наилучшим образом для исследования рассматриваемых задач электродинамики и на базе геометрической оптики и общности законов протекания волновых процессов (вне зависимости от их физической природы) — близкие задачи ультразвуковой литотрипсии.

Общее структурное исследование типичных решений системы уравнений Максвелла в виде «распространяющихся» волн в неоднородной среде с непрерывными физическими параметрами создает методическую базу для специализации подобных решений для сред, физические параметры которых претерпевают разрывы первого рода на некоторых фиксированных поверхностях и которые чаще всего и возникают при физическом и математическом моделировании практически важных задач электродинамики и акустики.

Научная новизна.

В работе разработан математический аппарат для специального представления решений уравнений Максвелла в неоднородных средах и исследования важнейших свойств таких решенийполучены представления основных электродинамических характеристик слоистых сред, пригодные для исследования их зависимости от физических параметров среды и частотыпоказано, что все основные электродинамические характеристики магнитодиэлектрических слоистых сред являются квазипериодическими функциями частотыразработан понятийный, методический и математический аппарат для исследования и решения широкого круга прктически важных задач анализа, синтеза и идентификации слоистых средполучены и обоснованы точные эффективные оценки для коэффициентов отражения и пропускания для слоистых среддоказана теорема единственности восстановления электродинамических параметров слоистой среды по ее амплитудному коэффициенту отраженияисследованы все возможные случаи неединственности восстановления значений физических параметров слоистых систем по коэффициенту отражениясформулированы точные постановки и получены решения задачи синтеза просветляющих и согласующих устройств в двух принципиально важных разных частных случаях — для минимума функции рабочего затухания слоистых систем в среднем по бесконечному интервалу частот и для одного слоя на фиксированном интервале частотразработана методика корректировки волновых фронтов квазиударных ультразвуковых волн для линзовых литотриптеровполучены обнадеживающие практические результаты по корректировке пятна фокусировки в линзовых литотриптерах.

Методологический и методический инструментарий работы.

Методологической основой работы являются исследования и разработки отечественных и зарубежных ученых в области анализа, синтеза и идентификации технических систем и дифференциальных уравнений ([1.1] —[1.32], [2.1] — [2.29]).

Методический инструментарий составляют методы математического моделирования научных и технических проблем, в первую очередь такие, как методы описания этих проблем на языке прямых и обратных задач для соответствующих дифференциальных уравнений, теория функций для исследования характера зависимости электродинамических характеристик от параметров задачи, теория экстремальных задач, а также методы компьютерного моделирования.

Практическое использование результатов работы.

Результаты работы использовались: в МНПО «Спектр» при разработке отечественных моделей линзовых литотриптеровв МНПО при разработке диэлектрических обтекателей радиоантенн различного назначенияв нескольких производственно-коммерческих структурах при проектировании просветляющих покрытий для оптических систем и устройств фокусировки для цветных телевизоровв учебном процессе в МИРЭА.

Апробация работы.

Основные положения работы и ее результаты докладывались и обсуждались на Всесоюзных школах-семинарах по теории и методам решения некорректно поставленных задач (Фрунзе, 1979 г., Саратов, 1985 г.), Всесоюзном научном семинаре «Методы синтеза и применение многослойных интерференционных систем» (Москва, 1984 г.), XI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Челябинск, 1986 г.), международной конференции по некорректным задачам (памяти А.Н.Тихонова) (Москва, 1994;96г.), на научно-исследовательских семинарах в ИРЭ, МГУ, университете г. Кардифф (Великобритания), МИРЭА, Институте прикладной физики (г.Нижний Новгород) и ряде других семинаров.

Публикация результатов работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в 17 научных работах (см.

список литературы

в конце работы [3.1] —[3.17]).

Большинство из них — в ведущих радиофизических и математических журналах.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заканчивающихся краткими выводами, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований.

Выводы.

1. Теоретически обоснованы и развиты основы (разработаны математические модели) преобразования волновых фронтов преломляющими и отражающими поверхностями фокусирующих систем лито-триптеров, причем указанные дифференциальные уравнения могут служить углублению исследований в этой области техники.

2. Созданы программы для персонального компьютера (разработано математическое обеспечение), позволяющие «проследить» (во времени) «весь» процесс распространения в линзе и рабочей зоне линзового литотриптера плоского, сферического и «бесселева» волновых фронтов ультразвуковой квазиударной волны, начиная от момента ее генерации до момента ее фокусировки.

3. Удалось смоделировать и представить на графиках возникновение особенностей на первоначально гладком выпуклом волновом фронте после прохождения этим фронтом линзового фокусирующего устройства, а связанное с этим явление локальной концентрации энергии, может быть опасным для внутренних органов пациентов при медицинском использовании литотриптеров.

4. Теоретически доказана возможность корректировки (лучшей фокусировки) неидеального волнового фронта, порождаемого реальным генератором.

Предложены практические рекомендации и получены положительные результаты по практической корректировке волновых фронтов в медицинских литотриптерах, позволившие в различных конкретных вариантах улучшить параметры фокусирующей системы до величин порядка 30 процентов от существовавших.

Заключение

.

В диссертации разработаны принципы математического моделирования прямых, обратных и оптимизационных задач (анализа, синтеза и идентификации) классической электродинамики, в частности, решены следующие научные проблемы.

1. Предложено математическое описание «распространяющихся» электромагнитных волн как специального класса решений системы уравнений Максвелла для неоднородной среды. Предложена естественная классификация решений рассматриваемого типа.

2. Разработан и применен структурный подход к исследованию всего комплекса задач электродинамики слоистых сред, позволивший формализовать возникающие здесь задачи и дающий математический аппарат для их решения.

3. Решена проблема идентификации слоистых магнитодиэлек-трических систем. Показано, что «в главном» задача имеет единственное решение. Полностью описана возникающая при этом неоднозначность отыскания соответствующих физических параметров слоистой системы.

4. Установлены точные, т. е. не допускающие улучшения в общем случае, эффективные, т. е. полученные простым вычислением, оценки сверху для энергетического коэффициента отражения и снизу для аналогичного коэффициента пропускания произвольных магни-тодиэлектрических слоистых систем.

5. Разработана методика решения задач синтеза просветляющих покрытий и согласующих устройств в различных постановках. Получены точные выражения для параметров слоистых систем, доставляющих глобальный минимум функции рабочего затухания в бесконечной полосе частот и энергетическому коэффициенту отражения при его минимизации на заранее заданном интервале частот.

6. Предложена эффективная методика исследования причин недостаточной степени фокусировки ультразвуковых квазиударных волн, используемых в качестве рабочего инструмента для разрушения конкрементов в почках при помощи литотриптеров. На конкретных примерах показано и обосновано, что степень фокусировки может быть существенно повышена при помощи надлежащей корректировки параметров фокусирующих устройств литотриптеров.

— Z It.