Движение твердой частицы в нелинейных волнах на поверхности жидкости

Процессы перемещения твердых тел и частиц под действием вибраций получили широкое распространение в различных областях техники и технологии.

Одним из условий успешного применения и развития современных вибротехнологий явились глубокие исследования в области теории колебаний и виброперемещений, результаты которых отражены в работах И. И. Блехмана, Г. Ю. Джанелидзе, И. И. Артоболевского, И. И. Быховского, И. Ф. Гончаревича, В. О. Кононенко, Я. Г. Пановко, Р. Ф. Нагаева,.

Р.Ф.Ганиева, Л. Е. Украинского, К. В. Фролова и других известных отечественных и зарубежных ученых.

Среди различных направлений в теории вибрационного движения важное место занимают исследования по динамике твердых тел, частиц и взвесей в жидкой среде в волновых или вибрационных полях. Современные исследования и обзор результатов в этой области наиболее полно были даны в работах [26,30] и других. Эти исследования обусловлены необходимостью решения ряда актуальных задач, связанных с проблемами рационального природопользования, защиты окружающей среды, создания современных комбинированных технологий добычи полезных ископаемых и разработки техногенных месторождений и другими задачами.

Применение вибраций в физических процессах, объектом которых являются многофазные среды, может приводить к различным эффектам, таким, как направленное перемещение твердых частиц в жидкости, группирование их в определенной области, разделение частиц по плотности, затопление или всплытие твердых тел, эффект псевдоожижения, изменения плотности материалов и их очистка и другие [26].

В представляемой диссертационной работе исследуется движение твердого плавающего тела (частицы) в однородной жидкой среде под действием бегущих регулярных поверхностных волн, распространяющихся от источника вибрационного типа.

Среди известных моделей задачи наиболее простым является случай движения тела в идеальной несжимаемой жидкости. При этом на частицу, движущуюся в неограниченном объёме жидкости, при условии существования потенциала скорости, действует сила, обусловленная эффектом присоединённых масс жидкости [57].

При движении сферической частицы в вязкой несжимаемой жидкости сила вязкого сопротивления определяется известной формулой Стокса, полученной им при помощи линеаризации уравнений движения тела. Такое упрощение возможно при медленном стационарном обтекании сферы при малых числах Рейнольдса, когда силы вязкого сопротивления превосходят по величине инерционные силы [30,57].

Впоследствии результаты, полученные Стоксом, были уточнены Осееном и обобщены Буссинеском на случай произвольного неравномерного движения сферы. В результате сила сопротивления жидкости была представлена в виде дополнительных поправок к формуле Стокса [30,54,55].

Задача о движении тела в жидкости рассматривалась в трудах Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, А. М. Ляпунова, Н. Е. Кочина, Л. Н. Сретенского и других известных ученых [38,50,51,58,87]. Для их работ характерно применение при различных условиях задачи методов теории функций комплексного переменного. В работах [55,57,86,87] дается вычисление гидродинамических сил и моментов, действующих на полностью погруженное тело.

Новые модели задачи изложены в работах [85,93,112,115]. В статье [115] рассмотрено движение частицы в нестационарном потоке идеальной жидкости. Кроме обычных сил в рассмотрение вводится член, учитывающий неравномерность движения жидкости, выводится уравнение движения частицы. В работе [112] сила сопротивления сферы рассматривается в зависимости от её ускорения. Принимается, что в идеальной жидкости сила сопротивления пропорциональна квадрату ускорения.

Ряд экспериментальных исследований выполнен в последнее время учеными СССР, России, Украины, Японии и других стран [23, 28, 29, 121, 122, 124]. Силы сопротивления, действующие на круглый цилиндр, колеблющийся в продольном и поперечном направлении в потоке жидкости, были определены в исследовании [124]. Экспериментальное определение силы, действующей на цилиндр со стороны колеблющегося потока жидкости, коэффициента сопротивления и инерционного коэффициента сопротивления проведено в широком диапазоне изменения частоты, амплитуды и скорости потока для цилиндров различных размеров. Для вычисления горизонтальной силы сопротивления применяется формула Морисона [135], представляющая продольную силу в виде суммы инерционной составляющей и силы вязкого сопротивления. В статье [121] приведены результаты экспериментального определения сил сопротивления и инерции полностью погруженной сферы на регулярном и нерегулярном волнении.

Одновременно проводятся и теоретические исследования [39, 79, 85, 93, 122, 136]. В работе [93] рассматриваются колебания цилиндра, плавающего на волнении. Главный вектор и главный момент гидродинамических сил, действующих на тело, определяются интегрированием сил давления по поверхности погруженной части тела.

Динамика вертикального цилиндра, плавающего на регулярном волнении, исследуется в работе [39]. При определении сил, действующих на цилиндр, используется подход, основанный на теории качки корабля А. Н. Крылова. Полные силы сопротивления и возмущающие гидродинамические силы определяются интегралами по погруженной части поверхности цилиндра, которые не выражаются в элементарных функциях и вычисляются с помощью компьютера. Нелинейные уравнения движения цилиндра также интегрируются с помощью ЭВМ. Результаты показывают наличие горизонтального дрейфа цилиндра.

В последнее время в ряде работ задача о движении тела в жидкости рассматривается на основе энергетического метода. В статье [116] рассматриваются колебания цилиндра в жидкости. Приводятся выражения для силы демпфирования и горизонтальной силы, действующей на цилиндр, полученные через плотность потока энергии волн.

Задаче о движении твердых плавающих частиц под действием поверхностных волн посвящены исследования [10,43,44]. Для этих работ характерно применение энергетического метода, при котором сила, действующая на частицу со стороны жидкости, определяется через среднюю плотность потока энергии волн [10,43], а также через плотность потока мощности [44]. Полученные уравнения движения при решении приближенными методами показывают, что частица движется в направлении распространения волны, и скорость частицы стремится в пределе к фазовой скорости или к групповой скорости волн.

Определение характеристик волнового поля, в котором движется твердая частица, и задание параметров волн с учетом их нелинейности связано с основными результатами теории волн на поверхности жидкости. Теория поверхностных волн является важным разделом классической гидродинамики и широко представлена в литературе исследованиями Стокса, Рэлея, А. И. Некрасова, Г. Ламба, Н. Е. Кочина, Л. Н. Сретенского и многих других известных ученых [40,53,54,56,86,106]. Волновое движение на поверхности идеальной жидкости, в зависимости от постановки задачи и принимаемых упрощений реальной физической модели, описывается либо линейной, приближенной теорией волн (теория волн малой амплитуды), либо нелинейной теорией (теория волн конечной амплитуды). В обоих случаях исходными являются уравнения Эйлера движения идеальной жидкости совместно с определенными граничными и начальными условиями. Движение жидкости происходит в поле сил тяжести и поэтому будет потенциальным. Оно обладает потенциалом скоростей, функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа, частные производные которой по координатам есть проекции скорости жидкости на оси координат. Граничные условия заключаются в равенстве нулю нормальной производной потенциала скоростей на поверхности жидкости, равенстве нулю вертикальной составляющей скорости движения у дна, равенстве давления на свободной волновой поверхности атмосферному давлению и некоторых других. Начальные условия при установившемся движении жидкости не имеют значения.

Конечная задача теории волн состоит в отыскании интеграла уравнения Лапласа, а также нахождении функции, описывающей профиль волны. Сложность ее решения заключается в том, что все граничные условия должны выполняться неизвестным потенциалом скоростей на неизвестной границе волны, а также в том, что уравнения Эйлера являются нелинейными. Поэтому в настоящее время существует очень мало задач теории волн, которые решались бы с полным удовлетворением граничных и начальных условий [87].

Наиболее широко развита приближенная теория волн [50,54,87,106]. Упрощения здесь достигаются с помощью линеаризации уравнений Эйлера в предположении, что скорости движения жидкости невелики и можно пренебречь их квадратами. Линейная теория волн дает бегущую (прогрессивную) волну синусоидального профиля. Из уравнения движения частиц жидкости определяется, что их траектории есть эллипсы, большая полуось которых расположена вдоль горизонтальной оси. Для жидкости бесконечной глубины эти траектории выглядят круговыми. Для всех характеристик волны определяемые результаты являются приближенными, а по вопросу траекторий частиц жидкости и вовсе не соответствуют действительности, как это было показано в нелинейной теории.

Нелинейной теории волн (теории волн конечной амплитуды) посвящено большое количество исследований, обзор которых и основные результаты изложены в [40,53,54,55,56,57,62,63,67,69, 82,86,87,88,92,106] и других работах. Впервые Стоке, решая нелинейную задачу о волнах на поверхности идеальной жидкости [54,87], при условии существования потенциала скорости, показал, что, в отличие от линейной теории, для нелинейных волн характерны такие эффекты, как разомкнутость траекторий частиц жидкости и существование приповерхностного течения жидкости в сторону распространения волн, несимметричность профиля волны, подъем среднего уровня жидкости, увеличение фазовой скорости волны и другие. Усредненная по периоду волны скорость приповерхностного течения, или скорость волнового переноса жидкости, выражается экспоненциальной зависимостью от глубины жидкости и быстро убывает с ростом глубины. Решения этой задачи впоследствии были также даны Рэлеем [54].

Строгое доказательство существования волн Стокса независимо дали Леви-Чивита и А. И. Некрасов. В своих работах А. И. Некрасов развивает точную теорию волн конечной амплитуды, применяя метод конформных отображений теории функций комплексного переменного. Доказывается существование волнового переноса жидкости при определении времени прохождения частицей жидкости расстояния, равного длине волны, и другие эффекты нелинейной теории волн.

Нелинейная теория гравитационно-капиллярных волн развивается в работах [82,83,84,119,120]. Определяется профиль волны, фазовая скорость, скорость приповерхностного течения с учетом капиллярных эффектов. Более сложные и неоднозначные зависимости приповерхностного течения от амплитуды волны, вязкости, капиллярности, глубины жидкости выявлены в работах Харрисона, Лонге-Хиггинса, Хогана и других [119,131,132,133]. В работе [131] показано, что возможно совершенно противоположное распределение скорости приповерхностного течения по сравнению с тем, что дает теория Стокса: при малой глубине жидкости у ее поверхности волновое течение направлено назад, против распространения волн, а у дна, наоборот, по направлению движения волны. Возможен и другой вариант: у поверхности течение направлено в сторону движения волн, в средней части потока против движения волн и у дна — вновь в сторону распространения волн. Величина этого течения может в 2.3 раза превосходить значение скорости, определяемое формулой Стокса, и достигать величины 20.80% от значения фазовой скорости волны.

На основании этих данных можно сделать вывод о том, что эффекты, связанные с нелинейностью волн, могут оказать достаточно существенное влияние на движение твердых частиц в поверхностных волнах, чтобы нельзя было пренебречь их влиянием. Это зависит от типа волн (гравитационные, гравитационно-капиллярные, капиллярные), их амплитуды, вязкости и глубины жидкости и других условий задачи.

В классических и современных исследованиях движения частиц, тел и взвесей в поверхностных волнах в жидкости влияние, которое оказывают на это движение приповерхностное течение и другие особенности, описываемые нелинейной теорией волн, не рассматривается или рассматривается лишь частично.

Анализ приведенных исследований показывает, что большинство работ посвящено задаче о движении тела, полностью погруженного в жидкость, и что задача о движении плавающих частиц в поле прогрессивных поверхностных волн в жидкости получила недостаточное внимание, несмотря на широкое распространение соответствующих процессов в природе и в производстве.

В последние годы в этом направлении выполнен ряд работ на уровне статей, научных отчетов, экспериментальных исследований. При этом большинство работ выполнены в рамках линейной теории волн (теории волн малой амплитуды) [9,11,43,44 и др.].

Несмотря на проводившиеся исследования, остался нерешенным целый ряд вопросов в теории движения твердых частиц в поверхностных волнах:

• не исследовано влияние, оказываемое на движение частицы со стороны приповерхностного течения жидкости и других особенностей нелинейных волн;

• не определялось влияние различных параметров волн на движение частиц;

• не производилось сравнение различных моделей движения частицы с целью определения их точности и эффективности в описании движения;

• не определялись положения равновесия частицы на поверхности волны;

• не определялись возможные режимы движения частицы в зависимости от параметров волн.

Отличие представляемой работы от предыдущих исследований в этой области состоит в том, что движение твердой частицы в волновом поле на поверхности жидкости рассматривается на основе методов, используемых в теории несвободного движения механических систем. При этом учитываются основные особенности волнового движения, описываемые нелинейной теорией волн (приповерхностное течение жидкости, асимметрия профиля волны и другие), и их влияние на движение частицы [4,9].

Цель представленной работы заключается в изучении закономерностей движения твердой плавающей частицы на поверхности вязкой однородной жидкости под действием бегущих гравитационных поперечных волн с учетом особенностей нелинейной теории волн. При этом основными задачами являются:

• построение математической модели движения частицы с применением методов механики несвободных систем при различных подходах к определению сил сопротивления ;

• исследование зависимостей скорости и перемещения частицы от характеристик волнового поля, среды и частицы.

• выявление влияния волнового переноса жидкости на движение частицы;

• определение возможных положений равновесия частицы на поверхности волны и их устойчивости, а также возможных режимов движения.

На защиту выносятся следующие положения:

• математическая модель движения твердой плавающей частицы в нелинейных волнах на поверхности вязкой жидкости, основанная на применении методов теории несвободного движения механических систем;

• частные случаи решения дифференциальных уравнений движения частицы с определением положений равновесия частицы на поверхности волны и их устойчивости, а также возможных режимов движения;

• определение зависимости скорости частицы и ее перемещений от параметров волн с учетом влияния приповерхностного течения и других особенностей нелинейных волн.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Результаты исследования могут быть полезными при решении некоторых задач в области механики несвободных систем с голономными нестационарными идеальными и неидеальными связями с использованием методов, примененных для построения математической модели движения в данной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построена новая математическая модель движения твердой частицы в поле нелинейных волн на поверхности жидкости на основе методов механики несвободных систем для двух видов зависимости сил вязкого сопротивления среды, соответствующих формулам Стокса и Осеена. Предлагаемая модель позволяет упростить общую картину сил взаимодействия частицы и волны, провести анализ влияния различных параметров и особенностей нелинейных волн на движение частицы.

2. Исследованы дифференциальные уравнения движения частицы в частных случаях, определены соответствующие им фазовые траектории и их особые точки. Для автономной механической системы решена задача об определении положений равновесия материальной точки на поверхности волны и их устойчивости.

3. Положения устойчивого равновесия частицы на поверхности волны существуют при движении ее в волнах, имеющих крутизну больше предельной (Кр>КрПР), как в идеальной, так и в маловязкой жидкости при незначительном затухании волн.

4. Существование устойчивых положений равновесия твердой частицы на поверхности волны позволяет сделать вывод о возможности получения режима движения частицы с фазовой скоростью волны.

5. Исследованы уравнения движения материальной точки в моногармонических и нелинейных волнах на поверхности идеальной жидкости. Полученные решения позволяют анализировать движение частицы в зависимости от различных параметров волн, определить основные режимы движения, а также ввести критерий перехода от одного режима к другому в виде предельной крутизны волны.

Эти решения показывают, что при движении материальной точки при наложении идеальной стационарной связи, описываемой рядом Фурье, существует первый интеграл движения в виде зависимости скорости от координаты.

6. Анализ дифференциальных уравнений движения частицы в общем случае с применением численных методов решения позволяет определить основные характеристики движения частицы в зависимости от параметров волнового поля, среды и частицы, а также выявить влияние волнового переноса жидкости на перемещение частицы. Полученные решения показывают, что скорость и перемещение частицы при одинаковой длине волны растут с увеличением крутизны волны. Эти решения также показывают, что приповерхностное течение и другие эффекты нелинейных волн оказывают существенное влияние на перемещение частицы, которое растет при увеличении крутизны волны: рост перемещения может составлять 11. 27% при /ф=0.03.0.1. Установлено, что для получения максимального перемещения частицы эффективнее, при одинаковой длине, более крутые волны, с большей амплитудой. Влияние изменения длины волны на перемещение частицы неодназначно: при постоянной амплитуде выгодны более длинные волныпри постоянной крутизне волны при движении частицы в пологих гравитационных волнах могут быть эффективнее более короткие волны, а в крутых гравитационных волнах — более длинные.

Увеличение размеров частицы, по результатам численных решений, приводит к уменьшению скорости ее движения.

Влияние изменения вязкости жидкости проявляется в том, что при увеличении вязкости растут коэффициенты вязкого сопротивления частицы и затухания волны. Соответственно уменьшается абсолютное перемещение частицы, и, по мере затухания волны, затухает движение частицы тем быстрее, чем больше вязкость жидкости.

7. Проведено экспериментальное исследование движения частиц в поверхностных волнах. Выявлено соответствие теоретических решений с результатами эксперимента, а также с более ранними экспериментами [108]. Основные наблюдавшиеся режимы движения и их зависимости от параметров волнового поля и частицы качественно совпадают с теоретическими результатами, показывают возможность разделения частиц по размерам и плотности и управления их движением, что указывает на адекватность физической и математической моделей. Сравнение экспериментальных результатов с результатами численного интегрирования уравнений движения частицы показывает возможность применения построенной в работе математической модели движения к исследованию динамики твердых легких частиц в волновом поле вибрационного типа на поверхности жидкости. Эксперимент, проведенный в лабораторных условиях, подтверждает теоретические выводы.

8. Областью применения результатов работы являются теоретические вопросы обоснования различных технологий и инженерных разработок, связанных с процессами движения твердых частиц и тел в волнах на поверхности жидкостей, управления движением, разделением частиц по размерам и плотности, локализации их, очистки жидкости. Результаты могут быть применены при создании динамических моделей движения твердых частиц в вибрационных полях (поля поперечных волн), при разработке методик расчета характеристик соответствующих технологических процессов .

В частности, в области горно-обогатительных производств результаты могут иметь применение при разработке технологий, использующих гравитационные методы обогащения, для разделения смесей, очистки поверхности от частиц с пеной и других специфических процессах с использованием волновых или вибрационных полей. Возможно применение результатов работы при теоретическом описании технологических процессов в химических и металлургических производствах с использованием волновых воздействий. Кроме этого, результаты могут быть применены для описания движения твердых тел в некоторых волнах, наблюдаемых в естественных условиях, например, цунами и других.