Классические взаимодействующие поля в теории гравитации: проблемы космологической сингулярности, изотропизации и локализации

Современная космология возникла в начале XX века после создания А. Эйнштейном (1916 г.) общей теории относительности (ОТО), которая позволила физике выйти на качественно новый уровень в понимании физического мира — в ее рамках можно в принципе ставить и решать задачу описания Вселенной как целого. Как отмечают Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [1], ОТО открывает новые пути подхода к решению вопросов, связанных со свойствами мира, рассматриваемого в космических масштабах. Возникающие здесь новые замечательные возможности (впервые указанные А. Эйнштейном в 1917 г.) связаны с кривизной пространствавремени. Эти возможности тем более существенны, что ньютоновская механика приводит здесь к противоречиям, которые не могут быть обойдены в достаточно общем виде в пределах нерелятивистской теории [1].

Необходимо отметить, что ОТО резко отличается от других физических теорий поля. В теории любого поля, кроме гравитационного, есть, по образному выражению М. Е. Герценштейна [2], четкое деление природы на артистов (исследуемое поле) и сцену (пространство-время). Сцена имеет известную структуру — это пространство-время Минковского. В гравитационном поле это привычное деление на «артистов и сцену «теряется. Тяготение универсально, оно искривляет пространство-время, и введение искривленного пространства-времени основное в ОТО.

Отметим, что ОТО имеет свою специфику: точные решения уравнений Эйнштейна представляют определенный физический интерес и являются самостоятельным результатом.

Первая релятивистская космологическая модель была построена А. Эйнштейном в 1917 г. Как и все тогда, он считал, что Вселенная должна быть стационарна, она не может направленно эволюционировать. Здесь уместно привести слова С. Вайнберга из книги «Первые три минуты», отчасти объясняющие это убеждение: «Взгляд на ночное небо создает впечатление неизменности Вселенной» [3]. Однако из теории Эйнштейна следовала нестационарность Вселенной. И чтобы избавиться от этого, по его мнению, недостатка, Эйнштейн решил ввести силы отталкивания вакуума для уравновешивания сил тяготения. Так в уравнениях Эйнштейна появилась космологическая постоянная (Л — член). Проблема Л — члена в современной космологии обсуждается, например, в работах [4] — [8].

Через несколько лет после работы Эйнштейна A.A. Фридманом была создана теория расширяющейся Вселенной. Заметим, что расширение Вселенной следует также и из теории тяготения Ньютона [9]. Работы Фридмана (1922;1924 гг) показали, как с течением времени должна эволюционировать Вселенная. В частности, они предсказали необходимость существования в прошлом «сингулярного состояния «с бесконечной плотностью вещества. Это было теоретическим открытием взрывающейся Вселенной [9]. После коротких споров в кругу космологов по поводу решения Фридмана эта модель получила право на существование. Решение, описывающее расширяющийся мир, можно получить и для уравнений с Лчленом, что было также отмечено Фридманом. В 1929 г. Э. Хаббл, обобщив наблюдательные факты, вывел зависимость скорости разбегания галактик от расстояния между ними. Закон Хаббла подтверждает представление о расширяющейся Вселенной и записывается в виде V = HR, где V скорость разбегания галактик, Н — постоянная Хаббла, R — расстояние между галактиками. После открытия этого закона теория Фридмана стала широко известной.

В ней Фридман дополнительно к уравнениям ОТО постулировал «космологический принцип'!в таком виде: в процессе эволюции Метагалактика всегда остается однородной и изотропной. Эти условия хорошо согласуются с наблюдательными данными по распределению материи во Вселенной в современную эпоху [10].

Поэтому есть все основания считать, как заметили Я. Б. Зельдович и И. Д. Новиков [11], что в настоящее время и в сравнительно недалеком прошлом Метагалактика удовлетворяла наиболее простым предположениям об изотропии и однородности распределения вещества и его движения. При этом мы отвлекаемся от той мелкомасштабной неоднородности, которая проявляется в существовании галактик и их скоплений. В пользу изотропии и однородности говорит изотропия фонового микроволнового излучения, которая свидетельствует об одинаковости условий в различных направлениях от нас. Реликтовое излучение в хорошо изученной области спектра Л = 20−0,25 см слабо взаимодействует с пылью, нейтральными атомами и плазмой. Это позволяет сделать заключение об изотропии, относящейся к гораздо большему расстоянию, чем это можно сделать по статистике далеких дискретных объектов.

Т.о., изотропия и однородность Вселенной в наше время являются наблюдательными фактами. Но, с другой стороны, сам факт изотропии и однородности остается загадочным, что особенно подчеркивается в работе Мизнера [12].

Хотя современная космология успешно интерпретирует имеющиеся астрономические данные, в ней есть несколько серьезных противоречивых моментов. Один из них — это вопрос о сингулярности начального состояния Вселенной и возможности ее устранения [13] — [15].

В настоящее время исследуются многочисленные космологические модели (в частности работы [13] — [23]). Но, несмотря на успехи последних десятилетий в этой деятельности [24], проблема нахождения точных решений уравнений Эйнштейна, обобщающих модели Фридмана ([25], с. 229−244) по-прежнему вызывает интерес.

Как уже упоминалось выше, наблюдаемые крупномасштабная однородность и изотропия Метагалактики говорят в пользу изотропной космологии, которая достаточно хорошо описывает современное состояние расширяющейся Вселенной. Но, несмотря на исключительность моделей Фридмана с точки зрения космологического принципа, требование полной изотропии и строгой однородности начального сингулярного состояния и прямо не наблюдаемых ранних стадий расширения Вселенной имеет априорный характер. Вполне допустима альтернативная гипотеза, что приближенная высокая симметрия Метагалактики не является изначальной, а возникает в процессе расширения из более общего анизотропного состояния как результат изотропизации — быстрого уменьшения факторов анизотропии. Эта гипотеза обсуждается обычно в рамках ограниченного космологического принципа — Вселенная всегда однородна, но могла быть анизотропна в прошлом [26].

Если это предположение верно, то необходимо рассматривать модели, начальные стадии которых нефридмановские, и выяснить те причины, которые привели к сегодняшней изотропной картине Вселенной. Если бы удалось показать, что при произволе начальных условий космологическое решение должно выходить на фридмановское, то мы могли бы считать, что объяснили свойство однородности и изотропии [11].

Поэтому, например, сейчас исследуется динамика анизотропных пространственно — однородных космологических моделей I — IX типов Бианки [26] - [31]. Они вблизи сингулярности и на ранних стадиях существенно отличаются от фрид-мановских моделей, но в ходе эволюции процесс расширения может выходить на изотропный режим.

В работах [32], [33] исследуются анизотропные однородные космологические модели с гидродинамическим тензором энергии-импульса материи. В работах [8], [13], [31], [34] рассмотрены анизотропные модели Вселенной типа Бианки-1 с нелинейным спинорным и скалярным полями. Анизотропной космологии посвящены также работы [1], [15], [35] - [39]. Отметим также, что при изучении моделей с векторным полем необходимо рассматривать именно анизотропные модели, поскольку векторное поле задает выделенное направление в пространстве [40].

В последнее время наблюдается бурное развитие физики частиц, астрофизики и космологии. Физика элементарных частиц стала основным инструментом более глубокого понимания нашей Вселенной. Появление теории великого объединения позволило проследить историю Вселенной вплоть до самых ранних моментов ее возникновения. Отметим, что возникла даже новая область физики — астрофизика элементарных частиц, в которой предпринимаются попытки понять некоторые фундаментальные проблемы современной физики с точки зрения астрофизики и теории элементарных частиц [41]. Таким образом, построение теории эволюции Вселенной, а также полной теории элементарных частиц есть различные аспекты единой проблемы. В настоящее время большие надежды в построении единой теории поля возлагаются на очень элегантную (в математическом смысле) теорию суиерсимметрии, а также на ее обобщение — теорию суперструн. И хотя теория суперсимметрии существует уже более 25 лет, в ней остается еще ряд нерешенных проблем [10].

Как известно, теория поля, рассматривающая элементарные частицы как математические точки, обладает рядом существенных недостатков. В такой теории невозможно получить конечные значения для масс частиц, объяснить существующий спектр масс, вывести конечные значения для заряда, спина частиц и т. д. Представление о точечных частицах не позволяет ставить вопрос об их внутренней структуре, существование которой вытекает из современных экспериментов.

Один из возможных подходов к преодолению указанных трудностей — нелинейное обобщение основных уравнений поля. Для этого существуют различные пути, например, можно рассматривать индуцированную нелинейность, обусловленную взаимодействием полей (взаимопревращением частиц), или учитывать собственное гравитационное поле системы полей, которое является универсальным и неэкранируемым. Учет собственного гравитационного поля в системах взаимодействующих полей представляет интерес также в связи с принципиальной невозможностью введения точечного объекта в ОТО (вследствие нелинейности гравитационного поля) [42] - [44] и возрастанием влияния гравитационного поля на физическую систему по мере увеличения энергии системы. Как отмечает М. А. Марков [45, 46], ОТО открывает более широкие возможности для анализа проблемы протяженных частиц, чем СТО.

При этом возникает вопрос: какое влияние оказывает собственное гравитационное поле в самосогласованных системах материальных полей на существование и свойства частицеподобных решений нелинейных уравнений классической теории поля? Поскольку для выяснения принципиальных свойств самосогласованных систем взаимодействующих полей крайне желательно располагать точным решением соответствующей системы полевых уравнений, целесообразно рассматривать модельные системы полей, допускающие точное математическое исследование [47] - [53].

В настоящее время обширная литература посвящена теории солитонов. Под солитоном обычно понимается регулярное устойчивое решение нелинейного дифференциального уравнения, обладающее локализованной энергией в том или ином' числе измерений [54]. Если не учитывать требование устойчивости, соответствующие решения естественно называть солитоноподобными [50]. Среди последних наибольший интерес представляют трехмерные регулярные локализованные решения, называемые частицеподобными (ЧПР) [55]. Впервые возможность существования ЧПР нелинейных уравнений классической теории поля исследовалась Н. Розеном [56].

Отметим, что понятие солитона широко используется в точном естествознании [57], что свидетельствует о его универсальности, но в то же время создает определенные трудности при попытке строгого определения понятия солитона [54]. Одной из областей применения понятия солитона является физика элементарных частиц, где солитонные решения нелинейных полевых уравнений используются в качестве простейших моделей протяженных элементарных частиц [58], [59]. Нахождение и исследование свойств солитоноподобных решений или ЧПР связано с надеждой создать свободную от расходимостей теорию элементарных частиц с описанием их пространственной структуры.

При этом надо иметь в виду, что нелинейное обобщение теории поля необходимо независимо от вопроса о расходимостях, т.к. учет взаимодействия полей неизбежно приводит к появлению в уравнениях поля нелинейных членов. Это означает, что нелинейность надо рассматривать не только как один из способов устранения трудностей теории, но и как отражение объективных свойств поля [60]. Точное описание элементарных частиц со всеми их физическими характеристиками может дать лишь теория взаимодействующих полей [61]. Попытки построения классических моделей элементарных частиц являются предварительным, но необходимым этапом исследования при переходе к квантовой теории.

Как показывают результаты исследований, учет гравитации важен независимо от ее силы, поскольку меняет сами условия существования ЧПР по сравнению с теорией в плоском пространстве-времени. При этом возникают как ограничения на выбор лагранжианов взаимодействия, так и некоторые новые возможности получения ЧПР [48]. Также есть указания на то, что собственное гравитационное поле может играть стабилизирующую роль в процессе образования солитоноподобных конфигураций полей [48], [62] - [72].

Влияние гравитации на свойства ЧПР существенно зависит от симметрии системы полей. Так, требование конечности полной энергии системы легко формулируется в плоском пространстве-времени для всех типов симметрий — сферической, цилиндрической и плоской. С учетом гравитации это требование можно сформулировать, например, для аксиально-симметричных или сферически симметричных ЧПР, т.к. конфигурации нолей с такой симметрией образуют островную систему, которая может существовать в асимптотически плоском пространстве-времени [35[, [73]. Поскольку системы полей с плоской и цилиндрической симметрией не ограничены по одной или двум координатам, то они не могут образовывать изолированную систему, и для них понятие полной энергии, включая гравитационную, не определено. Поэтому в теории гравитации интерпретация цилиндрически-симметричных и плоско-симметричных решений как солитоноподобных встречает определенные трудности. Эти трудности будут обсуждаться далее в главах диссертации.

Необходимо отметить, что после создания ОТО и квантовой теории поля возник интерес к исследованию роли гравитационного взаимодействия в физике элементарных частиц. С продвижением в область все более высоких энергий, где гравитация перестает быть пренебрежимо малой, и, по мере построения теорий остальных взаимодействий, включение гравитации в общую теоретическую схему взаимодействий элементарных частиц стало одной из наиболее актуальных проблем физики высоких энергий.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.

В главе 1 исследуется самосогласованная система гравитационного и нелинейного спинорного полей в изотропной Вселенной. Найдены точные решения полевых уравнений. Показано, что линейное спинорное поле имеет только сингулярные решения в начальный момент времени, но начальную сингулярность можно устранить за счет нелинейных членов в уравнении спинорного поля. Рассмотрены конкретные примеры.

В главе 2 исследуется система взаимодействующих гравитационного, скалярного, векторного и спинорного полей в космологической модели типа Бианки-1. В общем виде сформулированы условия изотропизации такой модели. Получены точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна и уравнений материальных полей. Рассмотрены конкретные примеры.

В главе 3 исследуются статические цилиндрически-симметричные решения нелинейного электромагнитного поля с произвольным калибровочно-инвариангным лагранжианом в теории гравитации Эйнштейна. Для отбора соли-тоноподобных решений сформулированы условия регулярности на оси симметрии и асимптотические условия плоской или струнной геометрии. Получены точные решения полевых уравнений.

В главе 4 изучается нелинейное спинорное поле в статической цилиндрически-симметричной метрике. Получены точные решения полевых уравнений. Установлено, что собственное гравитационное поле играет регуляризующую роль в формировании решений уравнений нелинейного спинорного поля с локализованной энергией.

В заключении изложены основные результаты диссертации.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

.

Как известно, проблема космологической сингулярности является одной из важных проблем современной теоретической физики. Для ее исчерпывающего анализа необходимо привлечь еще не созданную квантовую теорию гравитации. В классической теории гравитации, согласно теореме Хокинга-Пенроуза, возникает начальная сингулярность. Одно из основных условий этой теоремы — условие энергодоминантности е > Рг, где е — плотность энергии, а Рг — давление в некотором направлении. Поэтому возникает вопрос: «Можно ли устранить сингулярность начального состояния в рамках классической теории поля?» На уровне линейных полей этого сделать нельзя. Но если рассматривать нелинейные поля, то удается решить проблему начальной сингулярности.

Современная наблюдаемая часть Вселенной однородна и изотропна. Но, возможно, что расширение Метагалактики на ранних стадиях не было таким однородным и изотропным, так как полная однородность и изотропия — очень специальные начальные условия. Более вероятно, что начальные стадии были менее симметричны, и сегодняшняя картина — это результат естественных процессов, происходящих при расширении Вселенной. Поэтому рассматривают однородные анизотропные космологические модели и пытаются найти возможные механизмы изотропизации. Один из таких механизмов — это учет взаимодействия полей, т. е. нелинейных членов в лагранжиане системы полей. Поэтому исследование свойств нелинейных волновых полей в теории гравитации и космологии является актуальным направлением.

После создания ОТО и квантовой теории поля возник интерес к исследованию роли гравитационного поля в микромире. В физике элементарных частиц солитонные решения нелинейных полевых уравнений используются в качестве простейших моделей протяженных элементарных частиц. Хорошо известно, что предположение о том, что элементарная частица является точечным объектом, приводит к значительным трудностям как классической, так и квантовой теории поля. Нелинейное обобщение полевых уравнений служит одним из возможных подходов к преодолению указанных трудностей. Отметим, что нелинейное обобщение теории поля необходимо независимо от вопроса о расходимостях, так как учет взаимодействия полей неизбежно приводит к появлению в уравнениях поля нелинейных членов. Это означает, что нелинейность является также и отражением объективных свойств поля.

В большинстве работ, посвященных солитоноподобным решениям, не учитывается собственное гравитационное поле материальных полей, хотя его учет представляет определенный физический интерес, так как оно универсально и неэкра-нируемо, а уравнения гравитационного поля нелинейны по своей структуре. Поэтому собственное гравитационное поле необходимо учитывать при изучении свойств нелинейных и взаимодействующих классических полей.

4.6 Выводы.

Исследовано спинорное поле с нелинейным членом, являющимся произвольной функцией инварианта спинорного поля 5, в статической цилиндрически-симметричной метрике.

Доказаны некоторые теоремы несуществования, в частности, если тензор энергии — импульса материального поля обладает свойством Т0° = = Т33, то не существуют статические цилиндрически-симметричные черные дыры с регулярной асимптотикой, кротовые норы с двумя регулярными аисмптотиками и т. д.

Получены точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна и нелинейного спинорного поля. Показано, что в случае линейного спинорного поля не существует регулярных решений.

Рассмотрено нелинейное спинорное поле в плоском пространстве-времени. Показано, что в этом случае нет регулярных решений с локализованной энергией.

Установлено, что собственное гравитационное поле играет определяющую, ре-гуляризующую роль в формировании решений уравнений спинорного поля с локализованной плотностью энергии и ограниченной энергией, приходящейся на единицу длины по оси г. Рассмотрены конкретные примеры, в том числе и солитоно-подобный.

Заключение

.

В главе 1 рассмотрено нелинейное спинорное поле в метрике ФРУ с плоским сопутствующим пространством. Нелинейный член в лагранжиане спинорного поля является произвольной функцией инвариантов спинорного поля /5, 1р, /5 ± 1р. Получены условия устранения сингулярности начального состояния.

Рассмотрен случай линейного спинорного поля в изотропной Вселенной. Он необходим для выяснения роли нелинейных членов в уравнении спинорного поля в процессе эволюции модели. Установлено, что решение в случае линейного спинорного поля сингулярно в начальный момент времени. Для устранения сингулярности необходимо ввести нелинейные члены в уравнение спинорного поля.

Для случая спинорного поля с нелинейностью, зависящей от 1 $, полностью проинтегрирована система полевых уравненийпоказано, что, в зависимости от знака параметра нелинейности существуют как сингулярные, так и несингулярные решения.

Для случая спинорного поля с нелинейным членом, зависящим от /р, полностью проинтегрирована система полевых уравнений для безмассового спинорного поля. Показано, что в зависимости от знака параметра нелинейности существуют как сингулярные, так и несингулярные решения.

В случае зависимости нелинейных членов в уравнении безмассового спинорного поля от инвариантов /5 ± /р найдены билинейные функции спинорного поля. Установлено, что имееются как сингулярные в начальный момент времени решения, так и несингулярные, в зависимости от выбора знаков параметров нелинейности. Рассмотрены конкретные примеры с нелинейностями полиномального типа.

В главе 2 изучены возможные механизмы изотропизации модели Вселенной типа Бианки-1. Рассмотрена система взаимодействующих гравитационного, векторного, скалярного и нелинейного спинорного полей. Полученные решения анализируются с точки зрения возможности устранения сингулярности начального состояния и изотропизации процесса расширения модели.

В общем виде выписаны условия изотропизации космологической модели типа Бианки-1.

В случае нелинейного векторного поля, которое создает анизотропию пространства-времени, полностью проинтегрирована самосогласованная система полевых уравнений. Показано, что решение сингулярно в начальный момент времени, и не происходит изотропизации процесса расширения Вселенной на поздних временах.

В случае взаимодействующих векторного и скалярного полей также проинтегрирована самосогласованная система полевых уравнений. Установлено, что рассмотренный тип взаимодействия не устраняет начальную сингулярность метрики пространства-времени Бианки-1 и не производит изотропизации процесса расширения космологической модели при t —" оо.

В случае взаимодействующих гравитационного, скалярного, векторного и спи-норного полей вся система полевых уравнений проинтегрирована в квадратурах при произвольных нелинейностях. Показано, что изотропизации процесса расширения Вселенной происходит за счет вклада спинорного поля. Рассмотрен конкретный пример.

В главе 3 рассмотрены статические цилиндрически — симметричные решения системы уравнений Эйнштейна и нелинейного электромагнитного поля с произвольным калибровочно-инвариантным лагранжианом Ф (/), / = —РарРа/3 .

Рассмотрена возможность существования цилиндрически-симметричных конфигураций с регулярной осью и плоской или струнной асимптотикой. Сформулированы условия регулярности решений на оси симметрии и асимптотические условия плоской или струнной геометрии.

Исследовано три типа полей, возможных в статическом цилиндрически-симметричном случае: радиальные электрическое и магнитное поляазимутальные электрическое и магнитное поляпродольные электрическое и магнитное поля.

Для случая радиальных полей найдены решения уравнений электромагнитного поля. Уравнения Эйнштейна проинтегрировать не удается, если считать функцию Ф (1) заданной. Но если задать генерирующую метрическую функцию, то можно найти остальные метрические функции и саму функцию Ф (/).

Доказана теорема об отсутствии решений с регулярной осью для случая радиальных электрического и магнитного полей, если эффективный электрический заряд не равен нулю и лагранжиан электромагнитного поля Ф (/) регулярен при.

1 = 0.

Решения с регулярной асимптотикой можно получить, если функция Ф (/) на пространственной бесконечности убывает быстрее, чем линейно при / —> 0. Для линейного электромагнитного поля нет регулярных решений.

В случае азимутальных электрического и магнитного полей решены уравнения Максвелла. Подход к решению уравнений Эйнштейна такой же как и в случае радиального поля.

Установлено, что регулярная ось невозможна в случае азимутального электромагнитного поля, если эффективный электрический ток вдоль оси не равен нулю. Показано, что можно получить регулярные решения для случая азимутального электрического поля, если функция Ф (/) выбрана определенным образом.

Для азимутального электромагнитного поля решения с регулярной асимптотикой могут существовать, если на пространственной бесконечности Ф (/) имеет ноль более высокого порядка, чем первый, при I —> 0.

Для случая продольных электрического и магнитного полей получены решения уравнения электромагнитного поля и уравнения Эйнштейна проинтегрированы в квадратурах.

Показано, что все условия существования решений с регулярной осью могут быть выполнены. Регулярные решения существуют и для случая линейного электромагнитного поля (Вселенная Мелвина).

Установлено, что в случае продольного электромагнитного поля регулярная асимптотика существует только в особом решенииэто решение приводит к соли-тоноподобным конфигурациям. Дан явный пример такого решения.

В главе 4 рассмотрено спинорное поле с нелинейностью, зависящей от инварианта спинорного поля 5, в статической цилиндрически-симметричной метрике. Полностью проинтегрирована система полевых уравнений.

Доказаны некоторые теоремы несуществования, в частности, если тензор энергии-импульса материального поля обладает свойством Т^ = Т| = Т|, то не существуют статические цилиндрически-симметричные черные дыры с регулярной асимптотикой, кротовые норы с двумя регулярными асимптотиками и т. д.

Показано, что в случае линейного спинорного поля не существует регулярных решений, но спинорное поле имеет нулевую энергию и конечные заряд и спин на единицу длины по оси.

Исследовано влияние собственного гравитационного поля на интегральные характеристики такой системы полей: энергию, заряд, спин. •.

Показано, что в плоском пространстве-времени уравнения нелинейного спи-норного поля не имеют регулярных решений с локализованной плотностью энергией.

Установлено, что собственное гравитационное поле играет регуляризующую роль в формировании решений уравнений нелинейного спинорного поля с локализованной плотностью энергии и конечной полевой энергией, приходящейся на единицу длины по оси г. Рассмотрены конкретные примеры, в том числе и соли-тоноподобный.