Анализ переходных процессов в линейной электрической цепи

1.Анализ переходных процессов в линейной электрической цепи

1.1 Классический метод.

Задание: Классическим методом определить ток переходного процесса в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на конденсаторе при следующих условиях:

a) Ключ К2 находится в положении 1;

b) В цепи действует e (t)=100sin104t (В);

c) Переходной процесс возникает в результате размыкания ключа К1;

d) Построить график найденных зависимостей.

рис. 1.10

Исходные данные

таблица 1.1

Расчёт:

1) Определяем начальные независимые значения. К ним относятся ток через катушку и напряжение на конденсаторе в момент времени t=0+, т. е. i3(0+), Uс (0+).

Так как в схеме до коммутации конденсатор был закорочен ключом К1, то

Uc (0-)=U (0+)=0

В схеме до коммутации определяем Z (jw)-эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника.

рис. 1.12

Zэкв1 21.11ej9+100 = 120.9+j3.3 = =121ej1.56(Ом)

I1m- = (А)

I3m- = (А)

i3(t-) = 0.132sin (104t-72.56є) (A)

i3(0-)= 0.132sin (-72.56є) = -0.126 (A)

Начальные независимые условия:

iL (0-) = iL (0+) = -0.126 (A)

Uc (0-) = Uc (0+) = 0 (B)

2) Определяем установившиеся значения тока через индуктивность и напряжение на конденсаторе в момент времени t в схеме после коммутации.

рис. 1.13

Определяем эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника:

Zэкв2 = R1 + (Ом)

I1mу = (А)

I2mу = (А)

I3mу = I1mу-I2my = 0.194-j0.0041+0.057+j0.551 = 0.137-j0.6 = 0.615e-j77.2 (А)

Uсmу = (B)

Принужденные составляющиеся:

Ucу = 79.74sin (104t-5.86) (B)

iLу=0.615sin (104t-77.2) (A)

3) Определяем свободные составляющие тока через катушку и напряжение на конденсаторе. Для после коммутационной схемы (рис. 1.12) записываем эквивалентные сопротивления относительно зажимов источника

Заменяем j на p, получим:

p1,2 =

По виду корней характеристического уравнения записываем вид свободной составляющей: i3с (t)=Ae-7414.3tsin (7452t+)

Найдём неизвестные коэффициенты A,

Полная составляющая тока имеет вид:

iL (t)=iу (t)+iс (t)

iL (t)= 0.615sin (104t-77.8)+Ae-7414.3tsin (7452t+)

Продифференцируем ток i3(t) по времени:

= -7434.3Ae-j7434.3tsin (7452t+)+7452Ae-j7434,3tcos (7452t+)+6150cos (104t-77,8є)

В момент времени t=0+

iL (0+) = 0.615sin (-77.8) + Asin ()

= -7434.3Asin+7452Acos+6150cos (-77,8є)

iL (t) — является начальным независимым условием, а — начальным зависимым условием.

Для определения необходимо составить систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа для момента времени t=0+ в схеме после коммутации (рис. 1.2)

Тогда полный ток iL (t) равен:

(A)

Найдем Uc (t):

Тогда полное напряжение Uc (t):

(B)

Графики найденных зависимостей:

1.2 Операторный метод

Задание: Операторным методом рассчитать переходной ток через катушку и напряжение на конденсаторе при условии:

a) в цепи действует постоянная ЭДС Е=100 В

b) ключ К1 разомкнут

c) ключ K2 переводится из положения 1 в положении 2;

ток цепь напряжение конденсатор

рис. 1.20

Расчёт: В результате коммутации ЭДС отключается, и токи идут за счёт запаса энергии в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки.

Исходные данные

таблица 1.20

1) Определим начальные независимые значения, К ним относятся тое через катушку i3(0+) и напряжение на конденсаторе Uc (0+).

В цепи постоянного тока конденсатор представляет собой разрыв цепи, а катушка — короткое замыкание.

= 18.7 (B)

= 0.813 (A)

По законам коммутации

i3(0+)=i3(0-)=0.813(A)

Uc (0+)=Uc (0-)=18.7(B)

2) Составляем операторную схему. При составлении операторной схемы, все элементы исходной схемы заменяются операторными эквивалентами. Начальные независимые значения при переходе к операторной схеме представляют собой внутренние ЭДС.

рис. 1.21 Операторная схема

3) Определяем искомые токи и напряжения в операторной схеме.

Определим Uab методом двух узлов:

Зная напряжение между узлами, найдем IL (p) и Uc (p):

=

Приравняв знаменатель к нулю, находим корни уравнения:

=0

D=(668.242)2−4=75 489.673

p1= = -11 366.871

= -4743.1048

Подставим p1 и p2 в формулу, получим:

(A)

(B)

Графики найденных зависимостей: