Теоретическое описание развитой гидродинамической турбулентности часто называют последней нерешенной проблемой классической физики [38]. Одной из конкретных задач является обоснование в рамках микроскопической динамической модели явления аномального скейлинга для корреляционных функций поля скорости и вычисление соответствующих аномальных показателей в форме последовательной теории возмущений, подобной изветстным sили 1/TV-разложениям критических индексов в теории критических явленийсм. например [54, 11].
Первая встречаемая здесь трудность состоит в том, что обычная теория возмущений — разложение по нелинейности для стохастического уравнения Навье-Стокса — является фактически разложением по числу Рейнольдса, т. е. параметру, стремящемуся к бесконечности для развитой турбулентности. Возникает необходимость каким-либо образом перестроить (пересуммировать) ряды обычной теории возмущений. Подобная проблема известна и в теории критического поведения, где она решается с помощью метода ренормализационной группы (РГ), что приводит к представлению критических индексов в виде рядов по параметру s = A-dотклонению размерности пространства d от верхней критической размерности d=4, выше которой критическое поведение тривиализуется. Альтернативный подход основан на использовании уравнений самосогласования со скелетными диаграммами (бутстрап) и приводит к 1/TV-разложениям, где N — число компонент параметра порядка. Однако, применение этих методов к развитой турбулентности не привело до сих пор к окончательному решению проблемы аномального скейлинга.
Важное отличие состоит в том, что для турбулентности (а точнее говоря, для стохастического уравнения Навье-Стокса) не существует верхней критической размерности, и параметр разложения е в теоретикополевом РГ-подходе имеет совершенно иной физический смысл. Именно, корреляционная функция случайной силы, моделирующей «накачку» энергии в систему от внешнего источника, выбирается в степенном виде [34]: >".*, (1.1) где к — волновое число. Подробное обсуждение этого выбора можно найти в [3, 11, 26]. Физическое значение в = 2 отвечает накачке вихрями бесконечно большого размера: (ff)°о S{k^). При этом размерность пространства d остается свободным параметром и может изменяться независимо от s. Общей чертой с моделями критического поведения является то, что предел ^->0 соответствует логарифмической (точно ренормируемой) теоретико-полевой модели, а ультрафиолетовые (УФ-) расходимости проявляются как полюса по в в диаграммах теории возмущений. По этой причине, мы используем тот же символ в и для стохастического уравнения Навье-Стоксав литературе он иногда обозначается как в = у/2 [34].
Результаты РГ-подхода к модели (1.1) внутренне непротиворечивы и надежны при асимптотически малых с, тогда как возможность их экстраполяции к физическому (не малому) значению в — 2 далеко не очевидна. Разумеется, физическое значение в = 4 — d = 1 в теории критических явлений также отнюдь не мало. Но там нет конкретных оснований ожидать появления каких-либо качественных изменений в поведении системы при увеличении в из области малых значений ?"1 к реальным конечным в~ 1, так что возможность такой экстраполяции обычно не подвергается сомнению.
Для стохастического уравнения Навье-Стокса с накачкой (1.1) ситуация заведомо более сложная. Новые качественные эффекты возникают с ростом с, и они легко могут быть потеряны, если s-разложение используется некритично или неосторожно. Один из них, возникающий при с >3/2, связан с известным явлением переноса турбулентных вихрей как целого вихрями существенно больших размеров. Это приводит к сильной зависимости корреляционных функций скорости от внешнего (интегрального) масштаба турбулентности L, исчезающей лишь в галилеево-инвариантных величинах (например, в одновременных структурных функциях). Другой ожидаемый эффект — переход (кроссовер) при некотором (пока неизвестном) значении г. от колмогоровского скейлинга (теории «К41») к т.н. аномальному скейлингу (мультискейлингу) — сингулярной зависимости галилеево-инвариантных корреляционных функций от масштаба L, характеризующейся бесконечным набором независимых показателейсм. например [38].
Подобные эффекты в РГ-подходе могут быть связаны с возникновением в соответствующих операторных разложениях т.н. опасных составных полей («составных операторов» в квантово-полевой терминологии), имеющих отрицательные критические размерности [4]. В модели (1.1) таковыми оказываются все операторы вида о", степени поля скорости о, при ?>3/2. Суммирование их вкладов в операторных разложениях, выполненное в [4], позволяет выйти за рамки простого s-разложения и дать адекватное описание вышеупомянутых эффектов переноса и связанных с ними сингулярностей при L-«ooсм. также [3, 26]. Чго касается аномального скейлинга в структурных функциях, то он, по-видимому, должен быть связан с существованием в модели (1.1) галилеево-инвариантных опасных операторов. Эта идея была успешно реализована в популярной модели Обухова-Крейкнана, описывающей турбулентное перемешивание пассивного скалярного поля (температуры, концентрации примеси и т. п.) «синтетическим» гауссовым полем скорости с заданным коррелятором вида ос S{t -/')/kd+rсм. обзор [35] и цитированную там литературу. Первоначально аномальные индексы в ней были вычислены в порядках 0(/d) [33] и О (а-) [31] в рамках т.н. метода нулевых мод (который можно рассматривать как некоторую разновидность метода уравнений самосогласования). В РГ-подходе к модели Обухова-Крейкнана, развитом в работе [25], аномальные показатели были отождествлены с размерностями опасных галилеево-инвариантных операторов, именно, степеней локальной скорости диссипации скалярных флуктуаций. Это позволило построить для них систематическое разложение по показателю s и выполнить практические вычисления в порядках s 2 [25] и s 3 [21]. Обсуждение РГ-подхода к проблеме аномального скейлинга в моделях турбулентного перемешивания и подробную библиографию можно найти в [28].
Однако, реализовать подобную программу для стохастической модели с накачкой (1.1) пока оказалось невозможным. Дело в том, что в отличие от модели Обухова-Крейкнана, критические размерности всех галилеево-инвариантных составных операторов при малых с в ней строго положительны. Если некоторые из них и становятся отрицательными при некоторых конечных значениях е ~ 1, этот факт нельзя надежно установить в рамках sразложения, так как известны лишь один-два члена ряда пог и лишь для немногих операторов (несколько размерностей известно точно, но все они при s < 2 остаются положительными[7]). Подробное обсуждение этих вопросов и ссылки можно найти в [3, 11, 26]. Таким образом, возникает потребность в альтернативной (к sразложению) теории возмущений. Предпринимавшиеся попытки ввести N «реплик'» поля скорости и построить 1 /Nразложение (см. например [46]) несовметимы с галилеевой инвариантностью и не могут быть признаны уд о в л етворител ьн ыми.
Гораздо более многообещающей представляется идея построения теории возмущений по 1UI, обратной размерности пространства, высказанная в различном контексте и в разной форме в ряде работ: [24, 36, 37, 42, 48, 51]. Ожидается [36], что в пределе с/-«оо задача упростится и, возможно, окажется точно решаемой (например, аномальный скейлинг исчезнет и теория К41 станет справедливой), так что ее можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром 1 Id (добавим, что для реальной трехмерной турбулентности он действительно мал: Мd — 1/3).
Аргументы в пользу исчезновения аномального скейлинга при d = оо, основанные на некотором замыкании уравнений для корреляционных функций, были приведены в работе [51]. Ранее это было обнаружено для упоминавшейся выше модели Обухова-Крейкнана [42], причем в ней удается найти и аномальные показатели в порядке 0{VId) [33] (хотя построить систематическое разложение по 1 Id или хотя бы выполнить вычисление аномальных показателей в порядке о{[/ d2) пока не удалось).
Приводились, однако, и аргументы в пользу сохранения нетривиального скейлинга для развитой турбулентности в пределе бесконечного числа измерений [37]. Выполненный в [36] анализ диаграмм нестационарной теории возмущений для стохастического уравнения Навье-Стокса, как и ренормированной стационарной теории возмущений с одетыми линиями, не обнаружил каких-либо диаграмм или классов диаграмм, которые исчезали бы при оо. Не было найдено и каких-либо радикальных упрощений в самих диаграммах, которые позволили бы получить явное общее выражение для их суммы, как это удается сделать для ф (л)-симметричной модели критического поведения, где предел Л/" —> оо описывается в замкнутом виде точно-решаемой сферической моделью [54].
Ключевая идея данной работы — совмещение асимптотики d -«оо для модели (1.1) с аппаратом РГ и sразложением. Ранее было замечено [24, 48], что переход к пределу больших d приводит к значительным упрощениям в ренормгрупповых вычислениях. Так, в очень важной работе [48] скейлинговые размерности всех составных операторов — степеней скорости локальной диссипации энергии — были вычислены в модели (1.1) в первом порядке по г.. Для конечных d эта задача оказывается чрезвычайно сложной из-за смешивания операторов при ренормировке, так что она не была полностью решена даже для простейшего случая квадрата оператора диссипации [7]. Найденные в [48] размерности положительны при с<2, монотонно убывают с ростом е и обращаются в нуль при физическом значении s~2, в согласии с аргументами работ [36, 51] о справедливости теории К41 для d = со. Поэтому вполне возможно, что поправки порядка к результату [48] окажутся отрицательными (степени скорости диссипации окажутся опасными операторами), так что аномальный скейлинг в модели (1.1) будет корректно обоснован в рамках двойного разложения по s и М d. (Напомним, что именно степени скорости диссипации ответственны за аномальный скейлинг в модели Обухова-Крейкнана [21, 25, 28]. Для векторного аналога модели Обухова-Крейкнана, где вычисления аномальных показателей оказываются весьма громоздкими уже в порядке 0(е) из-за смешивания составных операторов, дополнительное разложение по 1UI также приводит к существенным упрощениям [24].
В первой главе данной работе мы систематически исследуем предел больших d для стохастического уравнения Навье-Стокса в рамках РГ-подхода. Хотя нам и не удалось найти точное решение задачи при d = оо или построить аналог сферической модели, мы обнаружили радикальные упрощения в диаграммах функции Грина (функции отклика), что позволило вычислить основные ингредиенты РГ-теории — константу ренормировки, Рфункцию, координату неподвижной точки и ультрафиолетовый поправочный индекс — в третьем порядке sразложения, (трехпетлевое приближение). Полученные результаты позволяют предложить гипотетические точные (т.е. без разложения по е) выражения для этих величин. Мы полагаем, что эти результаты окажутся полезными в последующих попытках построения 1/ dразложения для развитой гидродинамической турбулентности.
Во второй главе рассмотрены два стохастических уравнения, описывающие турбулентный перенос пассивного скалярного поля и обобщающие известную модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии. Парная корреляционная функция поля характеризуется в этом случае бесконечным набором показателей, которые ранее были найдены точно с помощью метода нулевых мод. В квантово-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, а по ним найти соответствующие константы ренормировки.
В третьей главе рассматривается проблема аномального скейлинга для пассивного векторного поля, при этом турбулентная среда моделируется ансамблем Обухова-Крейчнана. С точки зрения физики, ее можно рассматривать как некоторую приближенную линеаризацию стохастического уравнения Навье-Стокса. Для векторного поля операторов одинаковой размерности и симметрии можно построить много, они смешиваются при ренормировке, так что асимптотика структурных функций определяется не индивидуальными операторами, а целыми семействами операторов. Ренормировка семейств составных операторов и вычисление соответствующих матриц критических размерностей — достаточно трудоемкая задача.
Модель пассивного векторного поля представляет особый интерес: в ней также присутствует проблема смешивания операторов, но теперь это не является непреодолимым препятствием: ведущие аномальные показатели определяются критическими размерностями операторов определенного типа, именно, (дв)2″ (со всевозможными вариантами сверток по векторным индексам), причем операторы с данным значением п образуют семейства, ренормировку которых можно рассматривать независимо.
Мы рассмотрим проблему аномального скейлинга в модели пассивного векторного поля при dоо. Как и в случае скалярной модели Обухова—Крейчнан а, аномальные показатели при больших d убывают как 0(]/d), так что аномальный скейлинг при d = оо исчезает. При этом для нахождения всех отрицательных размерностей оказывается достаточным рассматривать некоторое подсемейство полного семейства (дв)2″, а соответствующая матрица критических размерностей может быть построена с помощью определенного алгоритма. Это позволило явно найти все о грицательные критические размерности в семействах до п- 28 включительно в порядке 0(s) — они определяют ведущие и поправочные аномальные показатели для структурных функций вплоть до.
При больших п прямые вычисления становятся слишком трудоемкими, но в них и нет необходимости: полученные результаты позволяют предложить простые явные эмпирические выражения для ведущих и поправочных аномальных показателей, которые становятся практически точными для больших п. Таким образом, при d —> оо удается получить полное описание аномального скейлинга при всех п.
По теме диссертации опубликовано четыре статьи в реферируемых журналах:
1. Антонов Н. В., Гольдин П. Б., Точные аномальные размерности составных операторов в модели Обухова-Крейчнана. Теор. матем. физ. Т. 141. № 3. с. 455−468 (2004).
2. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Gol’din P.B., Kim T.L., Kompaniets M.V., Renormalization group in the infinite-dimensional turbulence: Third-order results. J. Phys. A: Math. Theor. Vol. 41. P. 495 002. 25 p. (2008).
3. Аджемян Л. Ц., Антонов H.B., Гольдин П. Б., Ким Т. Л., Компаниец М. В., Ренормализационная группа в теории турбулентности: Трехпетлевое приближение при d-> оо. Теор. мат. физ. Т. 158. № 3. с. 460 — 477 (2009).
4. Аджемян Л. Ц., Антонов Н. В., Гольдин П. Б., Компаниец М. В., Аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля: Высшие структурные функции. Вестник СПбУ. Сер. 4. Физика, Химия. Вып. 1. с. 56 — 67 (2009).
Рисунки собраны в приложении и пронумерованы подряд.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Ключевая новая идея данной работы — совмещение асимптотики d -«со с теоретико-полевым аппаратом ренормгруппы и-разложением. Это позволило получить следующие новые результаты:
1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса с коррелятором случайной силы вида k*~d~2e в пространстве d измерений исследовано с помощью метода ренормализационной группы в связи с проблемой построения разложения по Мd и выхода за рамки стандартного еразложения в теории развитой гидродинамической турбулентности. Показано, что число диаграмм теории возмущений для функции Грина в пределе больших d резко сокращается и разработана техника их аналитического вычисления. Практический расчет основных ингредиентов ренормгруппового подхода ~ константы ренормировки, /?-функции, координаты неподвижной точки и. ультрафиолетового поправочного индекса со — впервые выполнен в порядке с3 (трехпетлевое приближение). На основе полученных результатов предложены гипотетические точные (т.е. вне рамок еразложения) выражения для неподвижной точки и индекса со.
2. Парная корреляционная функция поля скорости для стохастического уравнения Навье-Стокса в пределе больших d впервые вычислена в третьем порядке разложения по s (двухпетлевое приближение). Вместе с полученными в п. 1 результатами это позволило вычислить в в третьем порядке sразложения константу Колмогорова Ск в спектре энергии турбулентности, и фактор асимметрии в асимптотике инерционного интервала.
3. Для двух моделей турбулентного переноса пассивного скалярного поля, обобщающих модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии, в главном порядке е-разложения вычислен бесконечный набор аномальных показателей, характеризущий поведение парной корреляционной функции в анизотропных секторах. В теоретико-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, квадратичных по полю скорости. Сравнение с точными ответами, полученными с помощью метода нулевых мод, позволило получить точные выражения для этих размерностей и соответствующих констант ренормировки.
4. Исследована модель турбулентного переноса пассивного поперечного векторного поля, в которой скорость турбулентной среды моделировалась статистическим ансамблем Обухова-Крейчнана. Показано, что аномальный скейлинг возникает как следствие существования в модели составных полей (операторов) с отрицательными критическим размерностями, причем ведущие члены асимптотик структурных функций определяются собственными числами матриц критических размерностей семейств таких операторов специального вида. При d -«со соответствующие матрицы критических размерностей могут быть найдены с помощью относительно простого алгоритма, что позволило вычислить их в главном порядке sразложения для структурных функций до порядка п = 28 включительно. Для высших структурных функций предложены явные эмпирические формулы, становящиеся практически точными с ростом п. Таким образом, дано полное описание аномального скейлинга для модели при всех п.
Полученные в диссертации результаты должны стимулировать дальнейшие попытки нахождения точных решений в моделях развитой турбулентности в пределе большого числа измерений и построения систематического разложения.. Разработанные методы вычисления многопетлевых диаграмм могут быть использованы в других моделях турбулентности и турбулентного переноса, например в модели Бюргерса. Полученное представление для асимптотик структурных функций в виде суперпозиции большого числа степенных вкладов с близкими показателями должно учитываться при теоретическом описании экспериментальных данных.
