Исследование статистических свойств хаотических нелинейных колебаний в гамильтоновых системах

Диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию основных закономерностей динамического хаоса в гамильтоновых системах на примерах из механики, гидродинамики, лучевой акустики и квантовой электродинамики. Выбор примеров обусловлен стремлением продемонстрировать разнообразие нелинейных процессов, которые можно описать в рамках единого подхода.

Открытие и изучение динамического хаоса в простых детерминированных динамических системах стало одним из главных достижений науки второй половины XX века. Проще всего определить динамический хаос в терминах экспоненциальной чувствительности к малым изменениям начальных условий. Если фазовое пространство системы ограничено, то экспоненциально быстро разбегающиеся по одному или нескольким направлениям траектории будут возвращаться в окрестность своего начального положения, что приводит к перемешиванию траекторий в ограниченном пространстве. Динамика называется хаотической, если экспоненциальная чувствительность проявляется почти для всех начальных условий и их вариаций. Отсюда следует практически важный вывод — хаос ограничивает прогнозируемость поведения даже сравнительно простых систем. Неизбежные неточности знания начальных условий в хаотической системе могут экспоненциально быстро нарастать, и через промежуток времени, обратно пропорциональный средней скорости разбегания траекторий (максимальный показатель Ляпунова), начальная неточность достигает неприемлемой для сколь либо разумного прогноза величины.

Пуанкаре, занимаясь проблемой трех тел в небесной механике, установил, что сложное поведение траекторий, чувствительная зависимость от начальных условий и бесконечное множество периодических орбит связано с существованием гомоклинической структуры — бесконечного разнообразия траекторий в окрестности неустойчивой точки равновесия, среди которых наряду со счетным множеством периодических траекторий имеются и хаотические. Как писал Пуанкаре: «Поражаешься, сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить». Фактически, Пуанкаре была поставлена проблема описания нового типа движения, впоследствии названного динамическим хаосом. Динамический хаос стал тем мостом, который связал давно известные и, казалось бы, несовместимые друг с другом типы движения — регулярное и полностью случайное.

Гамильтоновы системы, в отличие от диссипативных, являются чисто динамическими, поскольку диссипация всегда связана с некоторым шумом. Можно выделить четыре их класса. Регулярные, полностью интегрируемые системы, движение которых является устойчивым (квази)периодическим с дискретным спектром. Поскольку почти любое возмущение разрушает интегрируемость, то такие системы исключительны. Их антиподами являются системы Аносова, движение в которых отличается полным и однородным перемешиванием и является идеально хаотическим. Такие системы структурно устойчивы, но не слишком реалистичны. Существуют гамильтоновы системы со слабым возмущением, так называемые КАМ-системы (по фамилиям Колмогорова, Арнольда и Мозера). Слабое возмущение деформирует инвариантные торы с иррациональными числами вращения и разрушает торы с рациональными числами вращения, на месте которых образуются экспоненциально узкие стохастические слои. Для двух и менее степеней свободы разрушенные торы лежат между инвариантными, и траектории оказываются зажатыми между ними. Если число степеней свободы больше двух, то узкие стохастические слои могут соединяться и соответствующие траектории могут сколь угодно далеко уйти от своих невозмущенных значений (диффузия Арнольда). Наконец, четвертый класс составляют типичные гамильтоновы системы с неоднородным фазовым пространством, в котором существуют обширные области с регулярным и хаотическим движением.

Наглядный образ фазового пространства гамильтоновой системы с малым числом степеней свободы дает сечение Пуанкаре — множество следов направленных траекторий, запечатленных с некоторым характерным периодом времени на определенной плоскости переменных системы. На Рис. 38 изображено сечение Пуанкаре на координатной плоскости пассивных частиц, адвектируемых точечным топографическим вихрем на фоне нестационарного течения. Для модели хаотической адвекции, рассмотренной в третьей главе, фазовое пространство совпадает с конфигурационным. Стало быть, точки на Рис. 38 могут представлять реальные положения частиц красителя в кювете, где удалось создать соответствующий двумерный поток. Фазовое пространство содержит множество «островов», движение внутри которых строго регулярное. Внешние «острова» погружены в «море» хаоса и окружены цепочками «островов» меньшего размера, те, в свою очередь, окружены «островами» еще меньшего размера. Иерархия «островов» прослеживается на всех масштабах увеличения разрешения. Хаотические траектории с неупорядоченным набором точек на сечении Пуанкаре не могут проникать через границы «островов». Влияние «островов» нельзя исключить, просто уменьшая на соответствующую величину фазовый объем хаэтического «моря». Их роль гораздо важнее. Вблизи внешних границ «островов» имеются так называемые зоны «прилипания», в которых траектории могут подолгу застревать, кардинально изменяя статистические свойства движения. Диффузия становится аномальной, корреляции не распадаются экспоненциально, а типичная траектория отличается перемежаемостью — чередованием регулярных и хаотических осцилляций. Динамическое, статистическое и кинетическое описания гамильтоновых систем являются важнейшими задачами современной нелинейной динамики.

В первой главе кратко обсуждаются современные проблемы теории гамильтонова хаоса в классических и квантовых системах, имеющие непосредственное отношение к теме диссертации.

Во второй главе развивается теория одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы, который может служить прототипной моделью множества физических явлений, в том числе и рассматриваемых в диссертации. Развитая теория позволяет выявлять в фазовом пространстве системы зоны устойчивости, которые присутствуют даже в случае широкополосного шума.

В третьей и четвёртой главах диссертации исследуются транспортные, фрактальные и статистические свойства динамического хаоса в гамильтоновых системах, которые естественным образом возникают в океанологии при моделировании адвекции пассивных примесей в районах так называемых топографических вихрей в океане и при распространении звука в глубоком океане на дальние расстояния в подводном звуковом канале. В гидродинамике лагранжевы уравнения движения в случае идеальной несжимаемой жидкости можно получить с помощью функции тока по аналогии с гамильтоновыми уравнениями движения для канонически сопряженных переменных в механике. Распространение звука в подводном звуковом канале на дальние расстояния адекватно описывается в приближении геометрической оптики в терминах звуковых лучей. И в том и в другом случае при ряде допущений получаем неавтономные гамильтоновы системы с полутора степенями свободы, в которых роль половинки степени свободы играет время в задаче адвекции и пространственная координата вдоль волновода в акустической задаче. Следует отметить, что эти системы подробно исследовались в работах Д. В. Макарова «Нелинейная динамика лучей в неоднородном подводном звуковом канале» (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руководством д.ф.-м.н. С. В. Пранца, защищена в 2004 г.) и М. В. Будянского «Хаотическая адвекция и фракталы в нестационарном плоском потоке» (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руководством д.ф.-м.н. С. В. Пранца, представлена к защите в 2005 г.). В настоящей работе рассмотрены новые эффекты и предложены новые методы исследования этих явлений, не вошедшие в упомянутые диссертации.

В чистом виде гамильтоновы системы встречаются, пожалуй, только в небесной механике. В земных условиях любая система подвергается действию шума со стороны своего окружения. Практически важно изучить влияние шума на хаотическую динамику. Автором предложен новый метод обнаружения зон устойчивости в фазовом пространстве гамильтоновых систем, выживающих даже под действием шума, в рамках предложенных моделей исследованы индуцированные шумом транспортные, фрактальные и статистические свойства хаотической адвекции пассивных примесей и хаоса лучей в подводном звуковом канале.

Связь классического динамического хаоса с квантовой механикой — одна из наиболее интересных проблем современной физики [30,69,76,77]. Динамическим хаосом в классической механике называется псевдослучайное поведение динамических систем при отсутствии всякого шума и случайно варьируемых параметров, основным свойством которого является сильная зависимость от начальных условий в ограниченном фазовом пространстве. Считается, что изолированные ограниченные квантовые системы не могут проявлять столь чувствительную зависимость от начальных условий как классические системы в силу унитарности своей эволюции. Возникает вопрос: каков механизм возникновения классического хаоса из квантовой механики? В пятой главе диссертационной работы показывается как классический гамильтонов хаос с чувствительной зависимостью от начальных условий, положительными показателями Ляпунова, фрактальными свойствами фазового пространства и аномальными статистическими характеристиками возникает в сильно связанной атомно-полевой системе с бесконечномерным фазовым пространством. Такая система возникает в квантовой электродинамике одиночного атома, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем в высокодобротном резонаторе. Изучение фундаментальных принципов атомно-фотонного взаимодействия составляет быстро развивающуюся область резонаторной квантовой электродинамики [67,106,118]. В экспериментальных работах достигнут уровень, когда переход между классическим и квантовым динамическими режимами может наблюдаться напрямую. В этой главе теоретически и численно исследуется нелинейная динамика и квантовый хаос во взаимодействии атома с квантованным полем стоячей световой волны с учетом атомной отдачи при излучении и поглощении фотонов в высокодобротном резонаторе. Установлено квантово-классическое соответствие поведения сугубо квантовых характеристик движения (квантовой энтропии и воспроизводимости состояний) и максимального показателя Ляпунова.

Заключение

.

В представленной работе на примере гамильтоновых систем различной физической природы (механических, гидродинамических, акустических и квантово-электродинами-ческих) с разным числом степеней свободы (от полутора до бесконечности) развиваются теоретические представления о динамических и статистических свойствах гамильто-нова хаоса. Распространяя теорию нелинейного резонанса на случай пространственно-временного периодического возмущения и стохастического возмущения, мы исследуем фазовое пространство нелинейной динамической системы и обнаруживаем в нём типичные структуры, ответственные за проявление характерных свойств гамильтоновых хаотических систем: аномальную диффузию, степенные характеристики функций распределения, динамические фракталы, динамические ловушки, шумоиндуцированные когерентные кластеры и проч. Эти свойства теоретически и численно исследованы для следующих моделей:

1. одномерный механический нелинейный осциллятор в пространственно-временном поле внешней силы (как периодическом, так и стохастическом);

2. распространение звуковых лучей в пространственно неоднородных океанических акустических волноводах (как периодических, так и стохастических);

3. адвекция пассивных примесей в плоском гидродинамическом потоке несжимаемой жидкости (как периодическом, так и стохастическом);

4. квантовая атомно-полевая система в идеальном резонаторе.

Получены следующие новые результаты.

1. Пространственно-временной хаос.

• Обнаружен эффект усиления хаоса в локальных областях фазового пространства под влиянием пространственных осцилляций внешней силы.

• Предложен новый метод обнаружения шумоиндуцированных зон устойчивости в фазовом пространстве маломерных гамильтоновых систем.

2. Лучевой хаос.

• Выявлен и описан механизм влияния вертикальной структуры неоднородности волноводного канала на хаотическую диффузию лучей.

• Обнаружена устойчивость когерентных лучевых кластеров при распространении звука в случайно-неоднородном волноводном канале с малым числом вертикальных мод неоднородности.

3. Хаотическая адвекция.

• Предложен новый численный метод обнаружения неустойчивых периодических орбит.

• Показано, что хаотическое рассеяние пассивных примесей в периодическом и случайном двумерном поле скоростей открытого несжимаемого потока имеет фрактальную структуру, установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик.

• Численно обнаружены и исследованы когерентные кластеры пассивных примесей в случайном поле скоростей.

4. Квантовый хаос.

• В рамках резонаторной квантовой электродинамики получена система уравнений для амплитуд вероятностей, описывающая взаимодействие двухуровневого атома с выделенной модой квантованного поля в идеальном резонаторе с учетом эффекта фотонной отдачи.

• Показано, что в соответствующей гамильтоновой системе с бесконечным числом степеней свободы возможны различные динамические режимы: регулярные осцилляции, полёты и проявления гамильтонова хаоса как в классическом атомном движении (хаотическое рассеяние и атомные фракталы), так и в квантовых степенях свободы (хаотические осцилляции Раби). Предложены мысленные эксперименты для проверки неустойчивости и хаоса в квантовой электродинамике.

• Показано, что сугубо квантовые характеристики (квантовая энтропия и воспроизводимость состояний атомно-полевой системы) коррелируют с классической мерой хаоса — максимальным показателем Ляпунова. Тем самым установлено квантово-классическое соответствие в резонаторной квантовой электродинамике.

Работа выполнена при поддержке:

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 01−02−6 021, Л" 9902−17 269, № 03−02−6 896, № 02−02−17 796).

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Математические методы в нелинейной динамике» (проект № 4.17 «Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах»).

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты № 03-III-A-02−124 «Квантовые фракталы», № 04-III-A-02−45 «Квантовый хаос во взаимодействии атомов с фотонами», № 04-III-A-02−051 «Атомные фракталы в резонаторной квантовой электродинамике», № 05-Ш-Г-02−141 «Корреляция квантовых состояний атома и света с движением атома в резонаторе», № 05-III-A-02−100 «Декогерентность атомов в собственном поле излучения», № 05-Ш-Г-07−075 «Акустическая томография протяжённых океанических трасс в условиях сильного лучевого хаоса», № 05-Ш-Г-04−011 «Хаотическое рассеяние и аномальная диффузия в модели адвекции пассивных примесей топографическим вихрем с детерминированным и случайным возмущениями», «Исследование механизмов возникновения фракталов и динамических ловушек в зоне топографического вихря и их роль в неоднородном распределении пассивных примесей», «Влияние внутренних волн на сверхдальнее распространение звука в океане и проблема лучевого хаоса в подводных звуковых каналах»).

• Федеральная целевая программа «Исследование природы Мирового океана». Проект «Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере» .

Список статей, опубликованных по теме диссертации.

1. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. A nonlinear oscillator with two degrees of freedom in a laser field // Journal of Russian Laser Research. 2001. Vol. 22. 1. P. 69−81.

2. Макаров Д. В., Пранц C.B., Улейский М. Ю. Структура пространственного нелинейного резонанса лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Доклады АН. 2002. Т. 382. № 3. С. 394−396.

3. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Доклады АН. 2002. Т. 386. № 5. С. 686−689.

4. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. Chaotic absorption of coherent laser light by an anhar-monic molecule. In: «Fundamental Aspects of Laser-Matter Interaction and Physics of Nanostructures» (eds. A.V. Andreev et al) // Washington: Proc. SPIE. 2002. Vol. 4748. P. 89−96.

5. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. A driven nonlinear oscillator with a few degrees of freedom: chaos and controllability in the light absorption. «Progress in Nonlinear Science», vol. 2. «Frontiers of Nonlinear Physics», ed. by A.G. Litvak, Nizhny Novgorod, 2002. P. 608−613.

6. Макаров Д. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. О возможности определения характеристик внутренних волн по данным распределения, времен прихода лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса // Письма в Журнал технической физики. 2003. Т. 29. № 10. С. 70−76.

7. Prants S.V., Uleysky M.Yu. Atomic fractals in cavity quantum electrodynamics // Physics Letters A. 2003. Vol. 309 № 5−6. P. 357−362.

8. Uleysky M., Kon’kov L., Prants S. Quantum chaos and fractals with atoms in cavities // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2003. Vol. 8. JV" ¾. P. 329−347.

9. Makarov D.V., Uleysky M.Yu., Prants S.V. Ray chaos and ray clustering in an ocean waveguide // Chaos. 2004. Vol. 14. № 1. P. 79−95.

10. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Hamiltonian fractals and chaotic scattering by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. № 3−4. P. 369−378.

11. Будянский M.B., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 126 JV" 5(11). С. 1167−1179.

12. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Влияние локальных вариаций профиля скорости звука на динамику лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса. Докл. 10-й научной школы-семинара ак. Л. Бреховских «Акустика океана», совмещенной с XIV сессией РАО. Москва, 2004. С. 137−140.

13. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Когерентные лучевые кластеры в неоднородном подводном звуковом канале. Докл. 10-й научной школы-семинара ак. Л. Бреховских «Акустика океана», совмещенной с XIV сессией РАО. Москва, 2004. С. 141−144.

14. Prants S.V., Uleysky M.Yu. On the quantum (in)stability in cavity QED. [Электронный ресурс] / E-print archive. 2005. quant-ph/504 180 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/504 180).