Методы анализа несобственных задач математического программирования

С: Lbf{lt*) ^'[^M^Gc^^acfQ] - cL (O.I) выпишем двойственную в следующем виде:

Р {%(¦")' ueR* = ос*. (0.2).

Выше Q — выпуклое множество из h. -мерного евклидова пространства A* jfj (ас) (j= 0,1, .7 иа) — выпуклые функции, определенные на Q, О. = Р" 5 tfo (х) + (и, (ос.)} - функция Лагранжа задачи.

0.1).

Среди важнейших свойств задач математического программирования (МП) такие: разрешимость или неразрешимость, конечность или бесконечность оптимального значения задачи, выполнимость или невыполнимость равенства cL — oL*. Задачи МП, для которых не выполняется свойство одновременной разрешимости прямой и двойственной задачи и совпадения их оптимальных значений, называются несобственными [зз]. Например, задача (0.1) будет несобственной, если выполняется по крайней мере одно из условий:

М = о£, Х6 М] = J2T ,.

И* = { W.: 3. (u]- cL* oio, U6 M*j = 0y at ф oL* ^ где м, мдопустимые, а м, м — оптимальные множества соответственно прямой и двойственной задач.

Систематические исследования несобственных задач математического программирования были начаты в работах И. И. Еремина, В. Д. Мазурова [23, 26, зз]. В этих и последующих работах [24, 27] подробно обсуждены причины (как практического, так и теоретического характера) возникновения несобственных задач, вызывающие необходимость развития и обоснования методов их анализа и коррекции .

В ситуации несобственности задачи требуется иной подход к формулировке как принципа двойственности, так и соответствующих ему теорем двойственности. Разработка данного подхода была осуществлена в работах [23, 24, 27].

В исследовании несобственных задач большое развитие получила идея аппроксимации (оптимальной коррекции) [24, 26, 27, зз], когда исходная несобственная задача? (и вместе с ней двойг * ственная к ней задача L) погружаются в некоторое семейство задач о, x6Q }, зависящих от параметра у? R. При этом /j[ye] С^)5 s (х) 7 j — 1 .} м. при некотором? , т. е. задачи С (%) и С совпадают. Задача аппроксимации записывается в виде ut/ {Ф (уЬ у? К^ j, (0.3) где Я" 5 — функция, оценивающая качество аппроксимации (чем меньшеСР (у), тем более подходящим для нас является выбор задачи ч) облаДает свойством (У ^ 7.

О~ - то или иное свойство задачи С (у) (быть разрешимой, собственной и т. д.). Такой подход еще носит название непрерывной аппроксимации в отличие от дискретной, когда, например, обобщенное решение несовместной системы неравенств оптимальным образом выбирается на множестве ее комитетов [27, 31−33″ ].

В [2, 27, зз] исследовались полусобственные задачи выпуклого программирования, т. е. такие, для которых М Ф pf, М ^ Ф 0, но не выполняется по крайней мере одно из условий:

Цель диссертационной работы состоит в разработке новых методов анализа и коррекции несобственных задач МП, несовместных систем линейных уравнений и неравенств, а также линейных моделей с неточно заданной информацией.

Остановимся более подробно на содержании диссертационной работы.

Первая глава посвящена анализу и аппроксимации несобственных задач линейного программирования (ЛП). По-видимому, впервые аппроксимация несобственных задач ЛП рассматривалась в [26^, где исходной несобственной задаче ЛП и двойственной к ней, т. е.

L: max | [с^х) — А х > О ] ;

L* - yylLyl { (4, и): АТи > с, (Л ^ о j ОС? С € 4 € А = ["Ус^т^ставятся в соответствие задачи.

LСрл)' (c+a xV. Ax^^p.ivo } ,.

1 ^) 7 (О Л) tvun { +^, u>0 ], зависящие от параметров fy 6 К, p^ к. Задача аппроксимации рассматривается в виде (0.3), где рлЖГ" задача — собственная j = (1рА]'^дача L (?Л) -собственная .

В такая аппроксимация была названа симметрической. Методы решения задачи (0.3) разрабатывались в [24, 26, 27, 33, 39], причем наибольшее развитие здесь получили методы, названные методами итеративной аппроксимации, при которых в едином итерационном процессе отыскиваются одновременно [ р, ^ ] «решение задачи (0.3) и X решение задачи L «аппроксимирующей исходную.

Рассматриваемый в главе I подход к аппроксимации отличается от только что описанного тем, что наряду с векторами и С допускаются коррекции также и матрицы Д, т. е. коррекции могут подвергаться все параметры (коэффициенты) задачи L. Задачам L и L ставятся в соответствие задачи.

•J^* т*.

L (к^,^): гуЫП { + (A-v Н) а > e + ci, 7 в которых Н — L Kjil^ - матрица параметров, к. = ство Kqw и задача (0.3) имеют вид тп. этом множезадача собственная ^ = задача L* (к, р,^) — собственная|, где (к^р,^ рассматривается как вектор из (hm+M+ yl] —мерного пространства, Ц • Ц — евклидова норма. Такой подход является естественным развитием подхода (0.4-) и сохраняет свойства симметричности. Основная трудность здесь заключается в том, что множество уже не является, вообще говоря, выпуклым и замкнутым и задается системой билинейных ограничений.

В § I доказываются вспомогательные утверждения, в частности, вводится классификация матриц Ц, при которой все пространство Рч векторов hоказывается разбитым на три непересекающихся множества, ~Yt и «Т^, причем и Т^ открыты и замыкание их объединения равно PJ¹», а Т^ выполняет роль границы, разделяющей и I z. Следует отметить, что различные свойства матриц и систем линейных неравенств, на которых основывается данная классификация, рассматривались и ранее (см., например, [25, Зо]).

В § 2 доказываются необходимые (теорема 2.1) и достаточные (теорема 2.2) условия локального минимума задачи аппроксимации (0.5). Согласно теореме 2.1 задача (0.5) может иметь точку локального минимума (k°} только в случаях, когда О? или 0 6 «причем, если 0? «Т-, то и к. в.

1=1}2). Показывается, что каждой точке локального минимума (к'^р0,^0) соответствует подматрица T) jrj матрицы [- &? А ~] с линейно независимыми столбцами, и приводятся формулы, по которым k. j р° / .

Описание точек локального минимума задачи (0.5), данное в теоремах 2.1, 2.2, в ряде случаев может быть непосредственно использовано для их поиска. Кроме того, из теоремы 2.1 следует, что для поиска точек локального минимума задачи (0.5) могут использоваться методы, разрабатываемые в § 4 главы 2. Эти вопросы, а также вопрос об условиях устойчивости свойства несобственности (неразрешимости) задачи ЛП относительно вариации вектора всех коэффициентов, обсуждается в § 3.

Отметим, что исследованию устойчивости и методов регуляризации задач ЛП посвящена обширная литература (см., например, [i, 3, 17, 25, 28, 41, 42, 44], где, в частности было получено описание класса устойчиво разрешимых задач ЛП. В теореме 3.1 дается описание класса устойчиво неразрешимых задач Ж. Понятно, что это описание является одновременно и описанием класса «неустойчиво неразрешимых» задач ЛП, т. е. таких неразрешимых задач ЛП, которые могут быть превращены в разрешимые путем сколь угодно малой вариации коэффициентов (векторов С, и матрицы.

Д). С точки зрения задачи (0.5) теорема 3.1 описывает все случаи, когда L — несобственная и в то же время оптимальное значение задачи (0.5) равно нулю. Оказалось, что этот случай является редким в том смысле, что условие 0? ~~Г3 является для него необходимым.

Одним из проявлений несобственности задачи является несовместность ее ограничений. В главе 2 исследуется аппроксимация несовместных систем линейных уравнений и неравенств. Среди работ, в которых изучались несовместные системы, методы их коррекции или обобщенного решения, отметим [5, 14, 20 — 27, 29, 30 — 33,.

35, 46, 47, 49, 51, 54, 56, 58]. Так же, как и в главе I, при исследовании аппроксимации несовместных систем в главе 2 допускаются коррекции как правых частей, так и матриц ограничений.

В § 4 рассматривается задача аппроксимации несовместной системы линейных неравенств.

X ё | X*. А0зс^.

0.6) здесь А0 х ^? — некоторая совместная и некорректируемая система, задающая дополнительные ограничения на вектор X) вида.

У (1! РДМ QXT:

Зэс, (А+Н^Х^-р,, (0.7) гле в качестве Q, 0 г можно брать любые неособенные матрицы размерности Уп х га. и (h+ * l) р =.

1Н, р1= L^llwt.n.l. «ОРИИВтрицы вычисляется по формуле |[Д||г= 21» • Аналогич ная задача н/{ недн. р] ог Г г рассматривается для системы линейных уравнений.

Ах =? , X 6 (зс1, Г] ,.

0.8).

0.9).

В теоремах 4.1, 4.2 решение задач (0.7), (0.8) сводится к решению задачи минимизации выпуклой функции намерной сфере (при дополнительных линейных ограничениях), причем, если ограничения A0dc ^ & в задаче (0.8) отсутствуют, то ее оптимальное значение оказывается равным минимальному собственному числу матрицы В"" 7″ В (где В я Q1, А^ Qz), а со.

HiV р и вектор, удовлетворяющий (А+Н)5с=-ё-р, выражаются по формулам через собственный вектор, соответствующий этому собственному числу. В теореме 4.3 получены формулы для вычисления радиусов совместности и несовместности систем линейных уравнений и неравенств и радиуса разрешимости задачи L. Отметим, что меры несовместности систем линейных неравенств исследовались ранее в [20, 46~).

В § 5 рассматривается задача аппроксимации системы линейных неравенств (0.6) вида.

Н Iе? (М ' Зое,, [к, р]? S ]? (0.10) где LkpVl^H, kio—) ^Mrtik.KUi-^hi^ile R^*^ функция качества аппроксимации Я^ определена на множестве.

— s гч mn+ ha.

О € К «в также аналогичная задача для системы уравнений.

0.9). Для функций и множеств ^ > принадлежащих некоторым классам соответственно выпуклых кусочно-линейных функций и выпуклых полиэдральных конусов, решение задачи (0.10) и аналогичной задачи для системы (0.9) удается свести к решению некоторых задач ЛП (см. теоремы 5.1, 5.2). В частности, к упомянутым классам принадлежат функции стР и множества S следующих видов:

Я^крЬ И СМИ.-max ,.

V / п $ = Sl = { Lk. pl: =0, и I для любых I e {Ij-mH+I^NT, £Г ^ J С { 1,., И-+ .Здесь условие t^jpl^-S'Si означает, что столбцы матрицы [А, 4] с номерами i в I' фиксированы и корректироваться (при решении задачи (0.10)) не могут.

В главе 3 рассматриваются системы линейных уравнений и неравенств.

Ах, Q х ^ р, х V О.

Q ~ С к ' Р&euro- ^) • а также задачи лп ыах (сэху. Ах = ?, Qx ^ Р, зс^о ], все или часть коэффициентов (параметров) которых заданы не конкретными значениями, а интервалами их возможных значений. Изучение линейных моделей подобного рода с множественно заданными коэффициентами было начато Данцигом и Вульфом (обобщенное линейное программирование) [l8^j и продолжено в работах [34, 43, 48, 50, 52−53, 55, 57, 59 — 65].

Как неоднократно отмечалось в [24, 26, 27, зз], неточность (неопределенность) задания информации является одной из причин возникновения несобственных задач. Поэтому различные методы учета и «раскрытия» неопределенностей одновременно выступают в роли методов преодоления или предупреждения несобственности. На важность использования множественного (и, в частности, интервального) задания параметров, отображающего реальные возможности управления ими, как на средство «улучшения надежности модели в смысле ее совместности», позволяющее в случае ее несовместности формализовать трудоемкую процедуру коррекции параметров, указывалось в [ 34, с. 5, 7, 13].

В зависимости от конкретной ситуации в качестве допустимых векторов такого рода моделей можно рассматривать или все эс, удовлетворяющие ограничениям модели при каких-либо значениях ее параметров, укладывающихся ъ заданные границы (обобщенное линейное программирование), или же все X, удовлетворяющие ограничениям модели при любых (лежащих в заданных границах) значениях неопределенных параметров. Для названия второго из этих подходов, использующего принцип гарантированного результата в условиях неопределенности информации о параметрах модели, в иностранной литературе используется термин «неточное линейное программирование», введенный в.

В случае несовместности ограничений модели первый из этих подходов соответствует цели преодоления ее за счет либо рассмотрения всех эквивалентных по точности решений системы [4-I^J (если система задана приближенно), либо управления параметрами (если возможности такого управления имеются). Второй подход («неточное ЛП») обеспечивает гарантированную допустимость выбранного (оптимального) вектора X .

Предлагаемый в главе 3 подход к «раскрытию» неопределенностей в моделях с интервально заданными параметрами включает в себя оба описанных выше подхода. При этом (в общем случае) возникают постановки игрового типа, когда вначале выбирается оптимальный план X, а затем по мере поступления дополнительной информации о параметрах модели производится соответствующая «подстройка» управляемых параметров, позволяющая в итоге обеспечить допустимость плана X и одновременно максимизировать значение целевой функции (с, х) .

Для всех рассматриваемых в главе 3 задач даются методы, сводящие их решение к решению обычных, т. е. точно заданных систем линейных неравенств или соответственно задач ЛП.

В [33, с.48−51J впервые рассматривалось погружение несобственной задачи (0.1) в семейство задач вида.

С K, pV> ly4 { p, эсeQ }, зависящих от параметра [д, р^) € Я. • При этом задача аппроксимации имела вид l4 (^U^ U. Pl е К ], №-и) где К = { [ - собственная J. В [Ю — II, 14, 22, 24, 27, 33, 36, 37] исследовались методы решения задачи (О.II) для случая Я*5 (с^р^к ^ и близких к (О.II) задач вида.

L4 {%(?)¦¦ р? к<^, ^ {Н1: «vt кь,.

Ц { i: Ц 6 Кс, i> 0}, где и Кс — множества параметров р и, для которых не пусты допустимые множества соответственно задачи С^р) и двойственной к ней задачи С * (р^, Я^ - некоторая выпуклая функция качества аппроксимации, — фиксированный вектор из R .

Как известно, задачи С и могут быть записаны соответственно в виде.

Lyuf. Л-up Г (х., и), ос в Q, а > о ск^. -Vup | F (x, uV Р"")^ • осе Q u>o.

Но тогда, очевидно, (О.II) может рассматриваться и как задача выбора оптимальной коррекции р!, обеспечивающей для выпукло-вогнутой функции Г (x3u) — ~ (Р>и*) существование седловой точки на множестве .

В главе 4 в качестве исходной берется минимаксная задача tKsfVup F (х 1 хеХ uelL в которой F (x, u) — выпуклая по х и вогнутая по U. функция, определенная на декартовом произведении выпуклых множеств х С Г и и с ИГ. Для нее рассматривается задача оптимальной линейной коррекции (являющаяся естественным обобщением задачи (0.11)).

Lrvf. { Я5 (X* u*'): [х*, и*1? К П $ 5 — (0.12) где — выпуклая функция (качества коррекции), гч — множество всех ^x^u* f для которых функция.

F — (х*, эс) — (и имеет седловую точку на множестве X х U — $ - выпуклое множество из РJ***" 1 ,.

Теоремы 10.1, 10.2 заключают в себе методы, сводящие решение задачи (0.12) к решению некоторой последовательности (разрешимых) выпукло-вогнутых минимаксных задач.

В § II полученные результаты применяются к описанному выше случаю аппроксимации несобственных задач ВП.

Результаты диссертационной работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации опубликованы в [7 — I3], j[27, §§ 12−13, 26, с.84−119, 245−262] и докладывались на семинарах в Институте математики и механики УНЦ АН СССР, на У Сибирской школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (г.Иркутск, 1980 г.), на конференции «Методы математического программирования и их программное обеспечение» (г.Свердловск, 1981 г.) и на Конференциях молодых ученых институтов математики АН СССР (г.Ленинград, 1981 г., г. Москва, 1983 г.). В работе используются следующие основные обозначения:

D «» -Л" .

Г — евклидово пространство векторов [x1,.JxK J • ос v О э х > О означает соответственно x-L>Oy Х^>0 (для всех L) — в { X?: х > О ^ ^.

— скалярное произведение векторов С $ X ;

К = К — * ] ;

А — ["я! ы ", г — матрица размерности х п и транспонированная к нейА, «D 3 — матрица размерности ^ х (и-+ «О, образованная приписыванием справа к матрице, А = l^jt]^ л матрицы.

D=L<^slwt / >

Al^, С- - оптимальное множество задачи С.

1. Астафьев Н. Н. Линейные неравенства и выпуклость. — М.: Наука, 1982. — 152 с.

2. Астафьев Н. Н. Аппроксимирующие многогранники Лагранжа и разрыв в двойственности. В кн.: Несобственные задачи оптимизации, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.23−29.

3. Ашманов С. А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981. -304 с.

4. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982. — 584 с.

5. Булавский В. А. Методы релаксации для систем неравенств. Новосибирск: НГУ, 1981. — 84 с.

6. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980. 520 с.

7. Ватолин А. А. Об условиях экстремума в аппроксимации несобственных задач линейного программирования. В кн.: Численные методы оптимизации и их приложения. — Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1981, с.49−57.

8. Ватолин А. А. Метод аппроксимации несобственных задач выпуклогопрограммирования. В кн.: Несобственные задачи оптимизации.-Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.67−74.

9. Ватолин А. А. Об аппроксимации несобственных задач выпуклого программирования. Мат. заметки, 1983, т.33, № 4, с.627−636.

10. Ватолин А. А. К анализу задач линейного программирования с интервальными коэффициентами. Ин-т матем. и механ. УНЦ АН СССР. Свердловск, 1983, 22 с. Рукопись деп. в ВИШИ 03.05.83,2363−83 Деп.

11. Ватолин А. А. Методы аппроксимации несовместных систем линейных уравнений и неравенств. Ин-т матем. и механ. УНЦ АН СССР, Свердловск, 1983, 17 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 03.05.83,2362−83 Деп.

12. Габасов Р., Кириллова §-.М. Методы оптимизации. Мн.: Изд. БГУ им. В. И. Ленина, 1981. — 350 с.

13. Гермейер Ю. Б.

Введение

в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. — 383 с.

14. Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в линейном программировании. М.: Сов. радио, 1966. — 524 с.

15. Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966. — 600 с.

16. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их приме-менение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. — 432 с.

17. Еремин И. И. О несовместных системах линейных неравенств. -Докл. АН СССР, 1961, т.138, W 6, с.1280−1283.

18. Еремин И. И. Итеративный метод для чебышевских приближений несовместных систем линейных неравенств. Докл. АН СССР, 1962, т.143, № 6, с.1253−1256.

19. Еремин И. И. О задачах выпуклого программирования с противоречивыми ограничениями. Кибернетика, 1971, № 4, с.124−129.

20. Еремин И. И. Двойственность для несобственных задач линейного и выпуклого программирования. Докл. АН СССР, 1981, т.256, № 2, с.272−276.

21. Еремин И. И. Двойственность для несобственных задач линейного и выпуклого программирования и методы их коррекции. Известия АН СССР, Технич. кибернетика, 1983, № I, с.20−32.

22. Еремин И. И., Астафьев Н. Н.

Введение

в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. — 192 с.

23. Еремин И. И., Мазуров В. Д. Нестационарные процессы математического программирования. М.: Наука, 1979. — 288 с.

24. Еремин И. И., Мазуров В. Д., Астафьев Н. Н. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1983. -336 с.

25. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980. — 256 с.

26. Коробкин А. Д., Михайленко Ю. М. К анализу несовместности системы ограничений в задачах оптимизации. Применение ЭВМ в оптимальном планировании и управлении. (Новосибирск), 1979 (1980), № 4, с.3−25.

27. Линейные неравенства и смежные вопросы: Сб. статей/Под ред. Г. Куна и А.Таккера. М.: ИЛ, 1959. — 470 с.

28. Мазуров В. Д. 0 комитете системы выпуклых неравенств. Труды ICM 1966. — М.: Изд-во МГУ, 1966, № 14, с. 41.

29. Мазуров В. Д. 0 построении комитета системы выцуклых неравенств. Кибернетика, 1967, № 2, с.56−59.

30. Несобственные модели математического программирования/Под ред.И.И.ЕреминаУНЦ АН СССР. Ин-т матем. и механ., Свердловск, 1980, 466 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 03.07.80- чЛ, 236 е., $ 2823−80 Деп.- ч.2, 230 е., № 2824−80 Деп.

31. Плискин Л. Г. Билинейные модели оптимизации производства. -М.: Сов. радио, 1979. 200 с.

32. Плотников С. В. 0 циклическом проектировании на систему выпуклых множеств с пустым пересечением. В кн.: Несобственные задачи оптимизации, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.60−66.

33. Попов Л. Д. Двойственный метод итеративной аппроксимации, использующий модифицированную функцию Лагранжа. В кн.: Несобственные задачи оптимизации, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.42−51.

34. Рокафеллар Р. Т. Выцуклый анализ. М.: Мир, 1973 -472 с.

35. Скарин В. Д. 0 применении метода регуляризации для коррекции несобственных задач ЛП I рода. В кн.: Методы аппроксимации несобственных задач математического программирования. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984, с.51−63.

36. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.456 с.

37. Тихонов А. Н. 0 приближенных системах линейных алгебраических уравнений. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1980, т.20, № 6, с.1373−1983.

38. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. — 285 с.

39. Тимохин С. Г., Шапкин А. В. О задачах линейного программирования в условиях неточных данных. Экономика и матем. методы, 1981, т.17, № 5, с.955−963.

40. Федоров В. В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. — 280 с.

41. Фиакко А., Маккормик Г. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. — 240 с.

42. Черников С. Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. — 488 с.

43. Anwendungen der linearen parametrischen Optimierung/Ed. K. Lommatzsch.- Berlin: Akad.- Verl., 1979. 190 S.

44. Cope J.E., Rust B.W. Bounds on solutions of linear systems with inaccurate data.- SIAM Numer. Analysis, 1979″ vol.16, m 6, p.950−963.

45. Elving T. Block-iterative methods for consistent and inconsistent linear equations.- Numer. Math., 1980, vol.35, IS 1″ p.1−12.

46. Falk E.J. Exact solutions of inexact linear programs.- Oper. Res., 1976, vol.24, № 4, p.783−787.

47. Pan K., Glicksberg I., Hoffman A. Systems of inequalities involving convex functions.- Proc. Amer. Math. Soc., 1957″ vol. 8, Hi 3, p.617−622.

48. Gay D. Solving interval linear equations.- SIM J. Numer. Analysis, 1982, vol.19, И 4, p.858−870.

49. Granot D., Granot P., Johnson E.L. Duality and pricing in multiple right-hand choice linear programming problems.-Math. Oper. Res., 1982, vol.7, J2 4, p.545−556.

50. Laczkovich M. Solvability and consistency for infinite systems of linear inequalities.- Period. Math. Hung., 1978, vol.9,Ш 1−2, p.63−70.

51. Rohn J. Systems of linear equations with inexact data.- Ekon.-mat. obzor, 1976, vol.12, № 3, p.311−315.

52. Roodmen G.M. Post-infeasibility analysis in linear programming.- Manag. Sci., 1979, vol.25, hi 9, p.916−922.

53. Sik F. A linear problem of the interval calculus.- Ekon.-mat. obzor, 1980, vol.16, N? 1, p.37−46.

54. Sik F. Solutions of a system of linear equations with given error sets for coefficients.- Aplik. Mat., 1982, vol.27, M 5, p.319−325.

55. Singh C. Convex programming with set-inclusive constraints and its applications to generalized linear and fractional programming.- J. Opzimiz. Theory and Appl., 1982, vol.38, Ne 1, p.33−42.

56. Soyster L.A. Convex programming with set-inclusive constraints and applications to inexact linear programming.- Oper. Res., 1973, vol.2, Ш 5, p.1154−1157.

57. Soyster L.A. A duality theory for convex programming with set-inclusive constraints.- Oper. Res., 1974, vol.22, Ш 4-, p.892−898.

58. Soyster L.A. Erratum.- Oper. Res., 1974, vol.22, ?.g 5, p. 1279−1280.

59. Thuente J.D. Duality theory for generalized linear programs with computational methods.- Oper. Res., 1980, vol.28, Ш 5, p.1005−1011.