4.2 Маломодовая модель.90.
4.3 Параметрическое пространство модели .97.
4.4 Пространственная структура солнечного цикла.108.
4.5 Выводы.109.
Выводы и результаты 120.
Выводы и результаты.
В заключении еще раз приведем основные результаты диссертационной работы.
1. Предложен метод качественного исследования задач звездного динамо — маломодовое приближение. Метод апробирован на нескольких важных примерах из астрофизики: полностью конвективных звездах и звездах с тонкой конвективной оболочкой.
2. Установлено, что для генерации магнитного поля в полностью конвективных звезд достаточно взять пять мод свободного затухания.
3. Показано, что волна, характеризующая распространение тороидального магнитного поля в полностью конвективных звездах, почти стоячая, тогда как волна, характеризующая распространение полоидаль-ного магнитного поля, бегущая.
4. Обнаружено, что для генерации магнитного поля в звездах с тонкой конвективной оболочкой необходимо взять три моды свободного затухания, а не две, как было предсказано Паркером.
5. Продемонстрировано, что волна, характеризующая распространение тороидального магнитного поля в звездах с тонкой конвективной оболочкой, бегущая, тогда как волна, характеризующая распространение полоидального магнитного поля в звездах с тонкой конвективной оболочкой, почти стоячая.
Несмотря на некоторую простоту моделей метод действительно дает качественные результаты, соответствующие реальным астрономическим наблюдениям. Однако для более детального анализа теории и фотометрических данных необходимо использовать более совершенные модели динамо, учитывающие эффекты, обусловленные наклоном магнитной оси к оси вращения и др.явления.
3.5 Заключение и выводы.
Расчеты генерации магнитного поля, выполненные нами в рамках мало-модового приближения, как и численные расчеты других авторов — см., например, (БоЫег et а1., 2006) — показывают, что динамо-механизм может эффективно работать в полностью конвективных звездах, порождая циклически меняющееся магнитного поле. Сделав «правдоподобные» предположения о характере дифференциального вращения звезды, мы нашли, что в полностью конвективных звездах динамо начинает работать, когда динамо-число И > 5 — 103, а также оценили период цикла.
В полностью конвективных звездах, как и в звездах типа Солнца, при работе динамо возбуждается не только полоидальная, но и тороидальная компонента магнитного поля Вф. Полагая, что зависимость Вф{9,£) отражает временную эволюцию широтного распределения пятен по поверхности звезды, мы попытались сопоставить нашу теорию с наблюдениями молодой звезды У410 Таи (тип УТТ8). Большинство ¥-ТТЗ имеют конвективную зону, простирающуюся от центра до поверхности, а их уровень активности не только многократно превосходит солнечную, но и качественно отличается от нее по ряду параметров.
Из наших расчетов также следует, что динамо цикл в полностью конвективных звездах и в звездах с тонкими конвективными оболочками должен качественно отличаться: во-первых, в течении цикла пятна у этих двух типов звезд по разному распределяются по широте, а, во-вторых, модель предсказывает сильное ослабление пятнообразования у полностью конвективных звезд на определенных фазах цикла. Различие в работе динамо в полностью конвективных звездах и в звездах солнечного типа, по-видимому, связано с различным строением спектра затухания в рассматриваемых случаях. Весьма интересно было бы проследить, как меняется вид спектра затухания по мере увеличения размера лучистого ядра в звезде.
Выполненный нами анализ исторической кривой блеска звезды V410 Таи, относящийся к типу WTTS, показал, что характер фотометрической активности звезды на временном интервале ~ 50 лет имеет гораздо более сложный характер, чем это следовало из изучения только фотоэлектрических данных за период менее 30 лет. Оказалось, что активность звезды не представляет собой ярко выраженный цикл с определенным периодом, наподобие солнечного. Скорее можно говорить о квазициклической активности с характерным временем 4 лет, на которую накладывается хаотическая компонента. Остается открытым вопрос о наличии у V410 Tau (квази)циклической компоненты активности с характерным временем порядка 11 лет.
На основании анализа формы фазовых кривых в различные эпохи мы пришли к выводу о том, что вековые вариации блеска звезды обусловлены перераспределением пятен по долготе. Это обстоятельство не позволяет сравнить полученные результаты с предсказаниями нашей модели, в которой для простоты предполагалась симметрия по долготе и исследовалась временная эволюция распределения пятен по широте, а эту информацию извлечь из фотометрических данных, к сожалению, невозможно.
Пока не известно, насколько характер активности V410 Таи является типичным для звезд типа Т Тельца без аккреционных дисков. Необходим анализ исторических кривых блеска как можно большего числа молодых звезд, а также организация программы систематического доплеровского картирования нескольких звезд типа WTTS на протяжении нескольких ближайших десятилетий.
Чтобы понять, насколько сильны различия между двумя видами динамо и насколько их можно связать с особенностями активности звезд типа ¥-ТТБ, необходимо рассматривать модели динамо, учитывающие эффекты нелинейности, отклонения от осевой симметрии и, конечно же, основанные на адекватных законах дифференциального вращения изучаемых звезд, что планируется сделать в будущем. Достоинство предлагаемого нами подхода состоит в том, что его сравнительно просто обобщить так, чтобы все вышеуказанные факторы были приняты во внимание. Дальнейшее сопоставление выводов теории динамо для полностью конвективных звезд и данных астрономических наблюдений, безусловно, является перспективным направление исследований.
Для описания работы динамо в полностью конвективных звездах предлагается модель, в основе которой лежит представление магнитного поля в виде суперпозиции конечного числа полоидальных и тороидальных мод свободного затухания. В рамках принятого закона дифференциального вращения определена величина динамо-числа, при превышении которого в звездах без лучистого ядра возможен процесс генерации циклически меняющегося магнитного поля, и получено выражение для периода цикла. Показано, что динамо цикл в этих звездах и в звездах с тонкими конвективными оболочками должен качественно отличаться: во-первых, в течении цикла пятна у этих двух типов звезд по разному распределяются по широте, а, во-вторых, модель предсказывает сильное ослабление пятнообразования у полностью конвективных звезд на определенных фазах цикла.
Для сравнения теории с наблюдениями мы проанализировали историческую кривую блеска звезды У410 Таи, которая относится к типу звезд Т Тельца со слабыми линиями, и обнаружили, что ее активность не представляет собой ярко выраженный цикл с определенным периодом — скорее можно говорить о квазициклической активности с характерным временем ~ 4 лет, на которую накладывается хаотическая компонента. Мы также пришли к выводу о том, что вековые вариации блеска звезды обусловлены перераспределением пятен по долготе. Это обстоятельство не позволяет сравнить полученные результаты с предсказаниями нашей модели, в которой, для простоты, предполагалась симметрия по долготе и исследовалась временная эволюция распределения пятен по широте. В этой связи обсуждается вопрос о том, какие наблюдения и как сравнивать с предсказаниями теории динамо. о.
• 0 — 0.1.
0,1−0,2.
Ф 0,2−0,3 ф 0,2. 0,5 оР.!-0.
О -5,1—0.2.
О -0,2 ¦ чу.
О адо-5 1.
Рис. 3.1: Баттерфляй-диаграмма для тороидального магнитного поля и магнитной спи-ральности. Здесь сплошной линией проведено положительное поле, а пунктирной линией — отрицательное тороидальное поле. Черными кругами показана положительная магнитная спиральность, белыми — отрицательная.
Глава 4.
Маломодовое приближение в задаче динамо Паркера.
4.1 Ведение.
Считается, что физическая природа солнечного цикла связана с работой механизма динамо, действующего в глубине конвективной зоны Солнца. Работа этого механизма основана на совместном действии дифференциального вращения и т.н. а-эффекта, связанного с нарушением зеркальной симметрии конвекции во вращающемся теле. По-видимому, этот механизм обуславливает эволюцию магнитного поля и в других небесных телах, включая Землю и галактики.
Математическое описание работы динамо приводит к громоздким системам дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых в полной постановке сейчас возможно, однако не исчерпывает проблему. В самом деле, в эти уравнения в качестве коэффициентов входят величины, о деталях распределения которых по небесному телу можно только догадываться. Более того, прямое численное моделирование непосредственно не дает объяснения явлений, для получения которого теоретическая физика постоянно пользуется разнообразными упрощенными моделями явления.
Один из путей получения подобных упрощенных моделей, направленных на прояснение физики явления, состоит в следующем. Кажется вероятным, что возбуждаемое магнитное поле в каком-то смысле просто устроено и его можно описать сравнительного небольшим числом параметров, так что для его качественного описания уравнения динамо можно заменить подходящим образом подобранной динамической системой не очень высокого порядка. Впервые эта задача была сформулирована в (11игта1кт, 1981)(см. также Краузе Ф., Рэдлер, 1980), где предложено использовать следующую динамическую систему й, А = ~А 4- аВВ — С В, (4.1).
Сои.
В, ч — -аВ + а А, (4.2).
НС —иС + АВ. (4.3).
СЬи.
Здесь, А соответствует тороидальной компоненте магнитного потенциала и, следовательно, полоидальному магнитному полю, В — тороидальной компоненте магнитного поля, И — динамо-числу, а С — альфа-эффекту. Физический смысл коэффициента, а требовал дополнительного прояснения. В таком виде маломодовая модель с помощью подходящих замен сводится к известным уравнениям аттрактора Лоренца, что дает надежду на объяснение хаотической составляющей солнечного цикла. Принятие уравнения (4.3) означает, что стабилизация работы динамо связывается с сохранением магнитной спиральности и с основанным на этом представлении динамическом уравнении для альфа-эффекта. С другой стороны, без уравнения (4.3) пара уравнения (4.1, 4.2) не может приводить к хаотическому поведению (это возможно лишь когда число уравнений не меньше 3). Таким образом, в рамках представлений цитированных работ хаотическое поведение динамо-системы связывалось с одним специальным (хотя и вероятным) механизмом насыщения работы динамо. Накопленный с тех пор опыт численного моделирования работы динамо в различных обстоятельствах показывает, что хаотические режимы работы динамо возникают и в ситуациях, совершенно не связанных с проблемой перераспределения магнитной спиральности. Это заставляет более внимательно отнестись к проблеме вывода маломодовой системы для работы динамо.
Из недавних работ по динамическим системам как моделям солнечного динамо отметим работы (Kitiashvili and Kosovichev, 2008, 2009), где подчеркивается важность использования таких моделей для задачи прогноза солнечной активности.
В данной работе мы предлагаем регулярный метод построения маломо-дового приближения уравнений динамо, причем основное внимание уделяется выводу аналогов уравнений (4.1, 4.2). Напротив, вывод аналога уравнения (4.3), в том случае, когда рассматривается схема динамической эволюции альфа-эффекта, специально не рассматривается в силу того, что эта часть вопроса не вызывает затруднения после появления работы (Ruzmaikin, 1981). Поэтому мы выводим уравнения маломодовой модели в простейшем приближении алгебраического подавления спиральности. При этом аналога уравнения (4.3) вообще не возникает.
Мы показываем, что получаемая таким образом нелинейная модель динамо оказывается достаточно богатой и дает надежду на описание широкого круга явлений генерации магнитного поля в сферических оболочках небесных тел (звезд и планет).
Результаты этой главы основаны на статье Нефедова и Соколова, 2010, Щу Хайчин и др., 2009, а также Нефедова и Соколова, 2008.
4.2 Маломодовая модель.
При построении интересующей нас динамической системы мы руководствуемся естественным представлением о том, что магнитное поле, самовозбуждаемое механизмом динамо, в какой-то степени напоминает магнитное поле, наиболее медленно затухающее в данном теле без участия динамо.
Исходная система Паркера (Parker, 1955) имеет вид dA d2A.
— Ж = R" aB + да' (4−4) dB. АА d2B = + (4.5).
Здесь, А — векторный потенциал полоидального магнитного поля, а В тороидальное поле, Ra и Rw параметры, характеризующие интенсивность а-эффекта и диффиренциального вращения соответственно. Мы используем простейшую схему стабилизации роста магнитного поля, т.н. подавление спиральности. В рамках этой схемы считается, что, а = а^{в)/(1 —^2В2) «Qio (l — £2В2), где ао — значение спиральности в незамагниченной среде, а Bq — - магнитное поле, при котором происходит существенное подавление альфа-эффекта. Для определенности считаем, что ао (в) = cos9. В качестве граничных условий используем условия .А (О) = В{0) = А (тг) = В (тг) — 0. Здесь мы интересуемся решениями с дипольной симметрией.
При традиционном объяснении работы динамо Паркера говорится о тороидальном магнитном поле, из которого за счет «-эффекта порождается полоидальное магнитное поле, из которого, в свою очередь, дифференциальное вращение производит полоидальное поле. Кажется естественным представлять себе оба эти поля как старшие моды затухания (собственные функции задачи о свободном затухании магнитного поля) в среде без а-эффекта и дифференциального вращения. В более общей форме кажется достаточным представлять себе возбуждаемое магнитное поле в виде линейной комбинации таких мод затухания (маломодовая модель).
На пути реализации этой идеи возникает ряд препятствий. Во-первых, оказывается, что многие моды затухания фактически не участвуют в работе динамо. Другими словами, многие конфигурации начального магнитного поля непригодны для возбуждения растущего магнитного поля. Попытка проследить, как именно они вымирают на фоне растущих решений бесполезно осложняет задачу. В работе (Соколов и др., 2008) на примере задачи о самовозбуждении магнитного поля в полностью конвективной звезде показано, как путем перебора очистить искомое описание от этих бесполезных мод и оставить только продуктивные моды. Мы пользуемся здесь этой рекомендацией. При этом приходится подсчитывать разнообразные матричные элементы от операторов, входящих в уравнения динамо, по модам затухания. Формулы необходимые для таких рутинных и громоздких подсчетов собраны в (Соколов и Нефедов, 2007).
Следующее осложнение специфично для задачи динамо в тонкой оболочке и преодолевается в данной работе. Оказывается, что в рамках линейной (кинематической) постановки для самовозбуждения магнитного поля в задаче Паркера достаточно трех мод (двух тороидальных мод Т и Т2 и второй полоидальной моды Р2), так что для самовозбуждения можно не привлекать первую полоидальную моду Р. Подчеркнем, что если в рамках уравнений динамо Паркера последовательно ограничиться модами Р и как это фактически сделано в уравнениях (4.1, 4.2), то самовозбуждения магнитного поля не происходит.
Отсутствие среди мод, необходимых для самовозбуждения, моды Рх, с которой связан дипольный магнитный момент самовозбуждаемого магнитного поля, кажется неожиданным, поскольку переменность магнитного момента Солнца входит в представление о солнечном цикле. На самом деле проблема последовательного описания эволюции магнитного момента встречает трудности в теории динамо. Дело в том, что для тела, окруженного вакуумом, магнитный момент пропорционален интегралу от магнитного поля, взятого по всему пространству. В то же время этот интеграл в силу соленоидальности магнитного поля является сохраняющейся величиной (см. подробнее БоЫег, 2006). Это означает, что динамо может генерировать магнитное поле, антисимметричное относительно солнечного экватора, но без дипольного момента, т. е. симметрии более высокого типа, чем диполь-ная. Эта возможность и реализуется, если не включать в динамическую систему моду Р. Более интересная возможность состоит в том, что в систему мод включается мода Р, а выполнение упомянутого закона сохранения связывается с деталями эволюции магнитного поля вне слоя, в котором сосредоточена работа динамо (это очень правдоподобное, но трудно доказуемое предположение неявно присутствует практически во всех моделях солнечного динамо).
Мы убедились в том, что включение моды Р в набор мод, с помощью которых описывается искомое магнитное поле, существенно понижает порог генерации магнитного поля и делает его эволюцию в зависимости от набора определяющих ее параметров гораздо более разнообразной. Поэтому ниже мы приводим основные результаты для модели, основанной на четырех модах, а результаты, связанные с моделью, основанной на трех модах, рассматриваем как вспомогательные.
Представим теперь приближенно решение уравнений (4.4, 4.5) в виде линейной комбинации четырех упомянутых мод с зависящими от времени коэффициентами а^ а2, 62. Пользуясь ортогональностью рассматриваемых мод затухания, спроектируем уравнения (4.4, 4.5) на подпространство, натянутое на эти моды. В результате получим следующую динамическую систему = - аг — - 6Ь1й1а2 + 2 М? + (4.6).
Ъ2а{ + 662а, а2 + Шца’г + + 2б1)], ^ = ^(Ьг + Ь2) — 9а2 — М +2а, а2 (4.7).
36,а| + 3 Ъ2а + Ь2а + (61 + Ь',)(Ь + Ъф2 + 62)], = ^(«1 — За2) — 4&1, (4.8).
Ъ = ^ 166 г. (4.9).
Линейные члены этой системы описывают процесс самовозбуждения, а нелинейные — его стабилизацию за счет нелинейного подавления спиральности. В систему в качестве управляющих параметров входят величины Ra и До-, обезразмеренные с помощью коэффициента турбулентной диффузии и геометрических параметров задачи и характеризующие амплитуду «-эффекта и дифференциального вращения. Конечно, в более детализированных моделях солнечного динамо наряду с этими параметрами возникают параметры, характеризующие пространственное распределение источников генерации, а при выходе за рамки приближения Паркера — влияние разнообразных эффектов, опущенных в этом простейшем приближении.
Для того, чтобы получить из этой (и последующих) систем динамическую систему, основанную на трех модах, необходимо отбросить переменную ai и соответствующее ей дифференциальное уравнение.
В уравнениях (4.6−4.9) мы уже пренебрегли тем, как альфа-эффект производит полоидальное поле из тороидального, поскольку дифференциальное вращение справляется с этим гораздо лучше (т.н. аи—динамо). Тороидальное поле в нашем приближении всегда гораздо сильнее полоидально-го, поэтому мы удаляем из нашей системы те нелинейные члены, в которые входят полоидальные моды. В итоге получаем следующую редуцированную динамическую систему: dai Rabi, оь2 (л 1 М = ——ai — f —— (&! + 262), (4.10) da2 Ra, u. , x n c23Ra (bl + 62) /, 2, Т и, u2 (ллл = — (bi + b2) -9a2 —? —-(&! + 6162 + b2) i (4.11) = ^(ai3fl2)-461> (4.12) db2 3 R^a2 —16b2″ (413).
Мы проверили, что решения систем (ге1:ос1е1−4.9) и (reforel.-4.13) практически не отличаются друг от друга при разумном выборе управляющих параметров Я. а и (см. рис. 4.1).
Чтобы учесть диссипативные потери, мы добавили в уравнения член отвечающий за магнитную диффузию: = (4.14) = Щ-{Ьг + 62) — 8а2 — + ^ + ^ (4Л5) =%(а1-За2)-ЗЬь (4.16).
Й 2 вЬ2 ЗКша2.
— 15Ь2. (4−17) ей 2.
В данной работе мы изучаем эволюцию магнитного поля преимущественно дипольной симметрии (антисимметричное относительно солнечного экватора). При этом мы допускаем возникновение небольшой составляющей с квадрупольной симметрией (симметричной относительно солнечного экватора), однако мы для определенности считаем, что рассматриваемая дипамо-система не возбуждает магнитной конфигурации с квадрупольной симметрией. Поэтому мы добавляем к системе (4.10−4.13) две первые моды квадрупольной симметрии (одну тороидальную моду q и одну полоидаль-ную моду р), в результате чего получаем систему.
Подчеркнем, что мы даем самое обобщенное описание режимов, встречающихся при исследовании нашей динамической системы и опускаем многие интересные подробности, которые могут оказаться полезными при построении моделей динамо в конкретных небесных телах.
Мы провели аналогичное изучение динамической системы, которая получается исключением переменной, а и выяснили, что ее поведение в целом гораздо беднее, чем поведение описанной системы. В частности, мы не обнаружили в ней режима васцилляций и хаотических режимов, хотя она имеет решения в виде периодических колебаний (и, конечно, затухающие решения).
Также мы численно исследовали задачу (4.1 — 4.3) и получили, что ее поведение также существенно беднее системы (4.10−4.13). При достаточно широком изменении параметра мы получили лишь два режима — хаотические колебания (см. рис. 4.12) и выход на стационар (см. рис. 4.13).
1 = ДсА/2 — сц — Яа/8((6Ь1 — 3Ъ2) я2 + 3Ъ + 6М2), (4.18) р = Иая/2 -АрЯа/8(?(2д2 + 9 Ъ + 6 Ь|)), (4.19) а2 = Да (&-! + Ь2)/2 — 9а2 — Да/8(3(Ь1 + ^Х?2 + Ъ + Ь + 6162)), (4.20) я = -Яшр — Я, (4.21) к = Д^х — За2)/2 — 4Ъъ (4.22).
Ъ2 = ЯшЗа2/2 — 1662- (4−23).
Далее мы сравним результаты, полученные для обыкновенной динамической системы (4.10−4.13), системы с диффузией (4.14−4.17) и системы, в которой присутствуют квадрупольные моды: (4.18−4.21). О соотношении решений с дипольной и квадрупольной симметриями см. подробнее (ЛоЬпб-КгаИ ^ а1., 2004).
4.3 Параметрическое пространство модели.
Путем численного решения системы (4.6−4.9) с различными управляющими параметрами и начальными условиями мы убедились, что эта динамическая система воспроизводит режимы генерации, напоминающие поведение магнитного поля в некоторых небесных телах. Характерные примеры такого поведения показаны на рис. 4.2−4.5. Для более наглядной визуализации на некоторых рисунках пропущен начальный период роста магнитного поля и показаны уже установившиеся режимы. На рис. 4.2 показано решение, имеющее в нелинейном режиме вид стационарных осцилляций. Этот тип поведения динамо-системы напоминает солнечный цикл. На этом и последующих рисунках в качестве единицы времени выбрано время переноса магнитного поля поперек тонкой оболочки за счет конвективной диффузии. Перевод его в годы требует отдельного обсуждения и здесь не рассматривается.
На рис. 4.3 показан пример циклического поведения магнитного поля с хаотическими возмущениями. Подобное поведение также известно из наблюдений циклической солнечной активности, поскольку амплитуда солнечного цикла меняется от цикла к циклу, причем кажется, что эти изменения по крайней мере до некоторой степени случайны. В рамках данной работы мы не уточняем, как именно мы формализуем соответствующее понятие случайности, а ограничиваемся описанием зрительного впечатления от полученного временного поведения. При этом мы должны учитывать тот факт, что длинные временные ряды, выбранные даже из простейших периодических зависимостей, могут казаться хаотическими если период, с которым выбран временной ряд, неудачно согласован с истинным периодом системы. Путем измельчения шага, с которым из решения выбираются точки для построения рисунка, мы убедились, что в данном случае мы имеем дело с нерегулярным поведением, похожим на хаотическое, а не с артефактом изображения.
Периодическое решение, возникающее в нашей системе, может быть очень далеко от синусоидального и выглядеть как набор всплесков магнитного поля (рис. 4.4). Аналогичная картина всплесков присутствует и для динамической системы с квадрупольными модами (рис. 4.5). Возможность подобного поведения магнитного поля некоторых звезд обсуждается в (ВаНипав et а1., 2006).
Итак, мы заключаем, что паша динамическая система в состоянии воспроизвести феномен циклической активности, включая по крайней мере некоторые хаотические элементы этого режима. Другими словами, само по себе хаотическое поведение солнечного цикла не требует привлечения представлений о динамике магнитной спиральности. В этом существенное отличие нашей динамической системы от системы (4.1 — 4.3). В свою очередь, это отличие связано с тем, что наша система включает эволюцию четырех, а не двух мод, как система (4.1 — 4.3). В то же время, хаотическое поведение в решениях нашей системы, подобно хаотическим решениям других простых динамо-моделей, опирающихся на алгебраические схемы подавления спиральности, гораздо беднее (ивовкт et а1., 2009) поведения реальной солнечной активности, включающей такие характерные явления, как минимум Маундера. Конечно, включение уравнения, аналогичного уравнению (4.2) и описывающего сохранение магнитной спиральности, вполне может сделать решения системы более реалистическими. Другим путем для этого является учет флуктуаций а-эффекта (Шозкш а1., 2009).
Как известно, модели динамо в сферической оболочке используются не только для объяснения солнечного цикла, но и для объяснения происхождения геомагнитного поля. В последнем случае считается, что возбуждаемой магнитное поле не осциллирует подобно синусу, а имеет ненулевое среднее по времени значение (такие колебания в англоязычной литературе принято называть васцилляциями (Barenghi, 2009)). Очевидно, что васцилляции невозможны в линейной (кинематической) теории динамо, а являются существенно нелинейным режимом. Замечательно,' что в определенной области параметрического пространства наша модель демонстрирует поведение в виде васцилляций (рис. 4.6). На рис. 4.7 мы демонстрируем режим вас-цилляций при одинаковых управляющих параметрах для разных динамических систем. При больших динамо-числах мы снова имеем васцилляции несколько другой структуры (см. 4.8).
В целом мы заключаем, что построенная динамическая система в состоянии качественно передавать временное поведение реальных динамо-систем различных небесных тел. На синоптической карте пространства параметров (рис. 4.9) мы показываем расположение областей в пространстве параметров, отвечающих различным режимам эволюции магнитного поля: васцилляциям, характерным для геомагнитного динамо, хаотическим колебаниям, характерным для Солнца, динамо-всплескам и другим режимам. Аналогичные синоптические карты мы построили для системы с диффузией (рис. 4.10) и системы с квадрупольными модами (рис. 4.11).
Рис. 4.1: Решения динамо систем. Сплошной линией показана решение системы (4.6−4.9), штрихованной — системы (4.10−4.12).
Рис. 4.2: Режим устойчивых осцилляций. Показана временная эволюция коэффициентов Ьх (сплошная линия), и &2 (прерывистая линия) которые определяет тороидальное поле. Остальные коэффициенты существенно меньше этих коэффициентов. I.
Рис. 4.3: Режим колебаний с хаотической составляющей. Показано временное поведение одной из тороидальных мод. Обозначения как на рис. 2.
Рис. 4.4: Режим динамо-всплесков. Обозначения как на рис. 2.
Рис. 4.5: Режим всплесков для системы с квадрупольными модами. Сплошной линией указаны квадрупольные тороидальные моды, штрихованной — дипольные квадруполь-ные.
Рис. 4.6: Режим васцилляций. Обозначения как на рис. 4.2. I.
Рис. 4.7: Режим васцилляций при одинаковых управляющих параметрах для разных динамических систем. Сплошной линией обозначена лидирующая тороидальная мода для системы (4.10−4.12), штрихованной линией — для системы с квадрупольными модами, пунктирной — для системы с диффузией.
Рис. 4.8: Режим васцилляций при = 0.625 и В^ = 1300. Обозначения как на рис. 2.
4.4 Пространственная структура солнечного цикла.
Несмотря на то, что в уравнениях нашей динамической системы в качестве переменной присутствует только время, мы можем восстановить пространственное строение возбуждаемого магнитного поля поскольку пространственное строение мод затухания известно. На рис. 4.14 показана широтно-временная диаграмма (баттерфляй-диаграмма) для тороидального магнитного поля полученная для режима с установившимися осцил-ляциями в случае четырехмодовой модели. На карте видно, что области повышенной напряженности тороидального поля распространяются в направлении от средних широт к экватору. В рамках данной модели мы не занимаемся вопросом о том, как подогнать длительность цикла и размеры области, которые занимает диаграмма, к реальности, поэтому время на диаграмме показано в единицах диффузионного времени (а не в годах). С точки зрения рассматриваемой модели распространение волны активности от средних широт к экватору связано с тем, что тороидальные моды Т и Т2, с помощью которых построена модель, имеют различное пространственное строение, а коэффициенты Ь и 62, с помощью которых построена диаграмма, сдвинуты по фазе друг относительно друга так, что тороидальное поле в целом перемещается по широте. Для трехмодовой модели, аналогичная широтно-временную диаграмма показана на рис. 4.15, при этом видно, что при добавлении четвертой моды скорость распространения волны существенно увеличилась. Это соотносится с нашим результатом, согласно которому порог генерации для четырехмодовой модели существенно ниже.
Мы можем построить широтно-временную диаграмму и для полоидального магнитного поля, точнее, для величины А, которая соответствует ему в динамо Паркера. Для нашей четырехмодовой модели такая диаграмма показана на рис. 4.16. Видно, что соответствующая волна активности почти не распространяется в широтном направлении, а является стоячей. Это связано с тем, что амплитуда одной из полоидальных мод намного больше амплитуды другой моды. Широтио-временные диаграммы для полоидаль-ного магнитного поля (в той степени, в какой степени его трасером можно считать крупномасштабное магнитное поле на поверхности Солнца) обсуждаются в (ОЬпс1ко et а1., 2006). Эти диаграммы действительно похожи на стоячие волны. Возможно, что различие широтно-временных диаграмм для тороидального и нолоидального магнитных полей действительно связано со свойствами рассматриваемой маломодовой модели. Для трехмодовой модели, аналогичная широтно-временную диаграмма показана на рис. 4.17. Здесь мы видим, что волна будет фактически стоячей, к тому же вместо одного нуля по экватору, волна будет иметь три нулевые линии, это связано с тем, что в трехмодовой модели, векторный потенциал, характеризующий распространение полоидального поля пропорционален втЗв и имеет три минимума на отрезке (7г, —7г), в случае же четырехмодовой модели, он пропорционален с бш^ + С2 втЗв и имеет один минимум.
