Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации движений механических систем

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации движений механических систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

0. 1. Введение
0. 2. Список основных сокращений и обозначений

1. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием

1.1. Постановка задачи. Предельные уравнения.

1.2. Знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова в задачах о полной устойчивости.

1.3. Устойчивость по части переменных

1.4. Случай автономного, периодического и почти периодического по времени уравнения.

2. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием

2.1. Фазовое пространство.

2.2. Теоремы существования и единственности. Предельные уравнения

2.3. Знакоопределенные функционалы Ляпунова.

2.4. Знакопостоянные функционалы Ляпунова.

2.5. Исследование устойчивости по части переменных.

2.6. Следствия для периодического уравнения

3. Методы исследования задач о стабилизации движений управляемых механических систем

3.1. Стабилизация движений управляемых механических систем с обратной связью с запаздыванием.

3.2. Оптимальная стабилизация движений.

3.3. Стабилизация с гарантированной оценкой качества.

4. Некоторые задачи об устойчивости и стабилизации движений механических систем

4.1. Исследование стабилизации положения равновесия управляемых механических систем. Конечное запаздывание

4.2. Исследование стабилизации положения равновесия управляемых механических систем. Бесконечное запаздывание.

4.3. Устойчивость движений эредитарных механических систем

4.4. О стабилизации положения относительного равновесия

4.5. О стабилизации программного движения.

4.6. Задача о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении.

4.7. Задачи о стабилизации твердого тела.

4.8. Стабилизация по части переменных при допущении неограниченности неконтролируемых координат.

А. Исследование устойчивости функциональнодифференциальных уравнений нейтрального типа с конечным запаздыванием

А.1. Основные определения.

А.2. Принцип инвариантности для автономных уравнений

А.З. Построение предельных систем.

А.4. Локализация положительного предельного множества. 211 А.5. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости

А.6. Равномерная асимптотическая устойчивость.

А.7. Знакопостоянный по ядру функционал Ляпунова.

А.8. Исследование устойчивости НФДУ по части переменных

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы

Простейшая гипотеза, принимаемая при математическом описании физических явлений предполагает, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т. е. будущее состояние не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Однако в многочисленных задачах механики, техники, теории автоматического регулирования, экономики, биологии, экологии pi т. д., для адекватного описания реальных процессов необходим учет запаздывания, «предыстории» процесса. В этих случаях, в качестве математических моделей, используются функционально-дифференциальные уравнения. Согласно [114], функционально-дифференциальные уравнения — это уравнения относительно неизвестной функции x (t) и ее производных, вычисленных в различные моменты времени t.

Впервые в достаточно общей форме такие уравнения были представлены и исследованы в трудах В. Вольтерра [21].

Одним из важнейших разделов качественной теории функционально-дифференциальных уравнений является теория устойчивости. Метод функционалов Ляпунова, предложенный Н. Н. Красовским [58], является в настоящее время одним из основных в исследовании устойчивости систем с запаздыванием.

Многие ученые внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Н. Н. Красовским [58] доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости для уравнения запаздывающего типа. Теорему о неустойчивости получил С. Н. Шиманов [121]. Устойчивость решений уравнения нейтрального типа исследовалась в работах [46, 47, 115, 146]. Частичная устойчивость функционально-дифференциального уравнения исследовалась в работах [24]—[26], [35, 143, 156]. Функционально-дифференциальные уравнения Вольтерра, введенные в [21, 22], исследовались далее в работах [107, 108, 110, 109]. Другие значительные результаты классического типа при исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений вторым методом Ляпунова были получены в работах В. Б. Колмановского, В. Р. Носова, Дж. Хейла,.

Л. Хатвани и других ученых [38]—[40], [44]—[50], [75, 114], [137]-[139], [144]—[147], [155]-[158], [164].

Постановка новых задач об устойчивости и стабилизации движений различных систем и процессов (в том числе механических), отсутствие универсального способа построения функционалов Ляпунова, удовлетворяющих условиям тех или иных общих теорем об устойчивости, приводит к необходимости модификации и обобщения известных ранее таких теорем, в частности в направлении модификации и обобщения теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости путем ослабления знакоопределенности функционала Ляпунова и его производной. В работах [29, 43, 44, 52] было предложено использовать для исследования устойчивости уравнения запаздывающего типа знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова. Для автономных функционально-дифференциальных уравнений теорему Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости [19] с использованием функционала Ляпунова со знакопостоянной производной обобщил Дж. Хейл [146]. Исследование устойчивости неавтономных уравнений представляет собой большую трудность. Один из методов исследования опирается на идею построения предельной системы для заданного уравнения с последующим использованием качественных свойств решений предельной системы. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений эта задача решалась в работах [3]-[6], [130]—[134, 166], то для функционально-дифференциальных уравнений она исследовалась в [12]—[15, 69], [80]—[86, 117, 118, 119]. В работах [106, 143, 144, 145, 148, 156, 157, 161] с помощью метода предельных уравнений исследовались уравнения запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием, для чего вводилось особое фазовое пространство начальных функций. В работах А. С. Андреева и Д. Х. Хусанова [14, 15] для функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа были получены методы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости, предельного поведения решений неавтономной системы, основанные на использовании предельных уравнений и знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости из [14] есть обобщение теоремы БарбашинаКрасовского для неавтономного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа.

К исследованию устойчивости ФДУ сводятся задачи об устойчивости эредитарных механических систем, о стабилизации регулируемых систем, о стабилизации движений механических систем с учетом запаздывания в структуре обратной связи. Изучением этих задач, в том числе с использованием функционалов Ляпунова, занимались Н. Н. Красовский, Ю. С. Осипов, С. М. Белоцерковский, В. Б. Колмановский, И. М. Ананьевский, Дж. Хейл, B.C. Сергеев, А. А. Ким и другие ученые.

Теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы ФДУ с конечным запаздыванием, при условии существования знакоопределенного функционала со знакопостоянной производной, позволили решить ряд интересных задач об устойчивости и стабилизации движения механической системы с запаздыванием [7]. Эти результаты определили, по существу, новое направление в теории устойчивости ФДУОднако многие проблемы этого направления до настоящего времени оставались малоисследованными или неисследованными.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию новых методов исследования устойчивости и стабилизации механических систем.

Целью диссертации является:

1) разработка новых методов исследования устойчивости, притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всем и части переменных для неавтономного функционально-дифференциального уравнения на основе знакопостоянных, немонотонных и знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными;

2) применение получаемых методов к решению ряда конкретных и прикладных задач, к решению задач о стабилизации движений управляемых механических систем при помощи управлений с обратной запаздывающей связью.

Научная новизна.

Получены новые методы исследования устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздыванием на основе функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными. Разработаны новые методы решения общих и конкретных задач об устойчивости эредитарных механических систем, о стабилизации движений механических систем с запаздывающей обратной связью.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в изучении устойчивости ФДУ, для исследования устойчивости движений эредитарных механических систем, для построения структуры управления в задачах о стабилизации движений управляемых механических систем.

Первый круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, связан с разработкой новых методов исследования устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием по всем и части переменным. Эти методы основаны на применении знакопостоянных, знакоопределенных и немонотонных функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными и используют метод предельных уравнений. Эти вопросы рассматриваются в первой главе диссертации.

Первая глава.

В первом разделе первой главы приводятся основные определения, теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных. Излагаются предположения относительно правой части уравнения, позволяющие провести построение предельных систем.

Во втором разделе первой главы рассматривается задача об устойчивости при условии существования знакопостоянного и немонотонного функционала Ляпунова. Получены теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости, в том числе эквиасимптотической и равномерно асимптотической. Новизна теорем заключается в том, что были получены условия устойчивости и асимптотической устойчивости при существовании знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной. Результаты второго раздела развивают и обобщают результаты работ [14, 15, 18, 19, 29, 43, 44, 52, 66, 67, 114, 116, 121, 146] и представлены в работах [13, 80, 84, 88, 89, 96].

В третьем разделе излагаются результаты об исследовании частичного притяжения решений, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа посредством предельных уравнений и функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную.

Так как построение предельного уравнения проводится в компактно-открытой топологии, то в исследовании существенна ограниченность решений по неконтролируемым координатам. Доказаны теоремы, относящиеся к исследованиям асимптотической устойчивости по части переменных, посредством предельных систем. Получены теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную, в предположении ограниченности решений по остальным переменным. На основе результатов из раздела 2 выведены критерии устойчивости по части переменных в предположении существования знакопостоянного функционала Ляпунова и ограниченности решений по неконтролируемым координатам. Также в третьем разделе получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости в предположении неограниченности решений по неконтролируемым координатам. Результаты третьего раздела развивают и обобщают результаты работ [24, 25, 26, 35, 78, 79, 105] и представлены в работах [10, 86, 89, 96].

В четвертом разделе формулируются следствия результатов второго и третьего разделов для случая автономного, периодического и почти периодического уравнений, которые представлены в работах [89, 96].

Второй круг вопросов связан с разработкой новых методов исследования устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с бесконечным и запаздыванием по всем и части переменным. Эти вопросы рассматриваются во второй главе диссертации.

Вторая глава.

Во второй главе исследуется устойчивость функционально-дифференциального уравнения с бесконечным запаздыванием на основе метода предельных уравнений с использованием знакоопределенных и знакопостоянных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Для уравнений с неограниченным запаздыванием значительную роль в построении теории играет выбор подходящего фазового пространства. Фазовое пространство такого уравнения определяется в первом разделе на основе аксиоматического подхода, разработанного в [148]. Такой подход позволяет определить условия, при которых возможно построение предельных уравнений со свойствами, аналогичными полученным для обыкновенных [166] и функционально-дифференциальных уравнений, приведенных в первом разделе первой главы.

В разделе 2.2 приводятся теоремы существования, единственности и проводится построение предельных систем.

В третьем разделе на основе знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости.

В разделе 2.4 исследование устойчивости проводится на основе знакопостоянных функционалов Ляпунова.

В пятом разделе проводится исследование по части переменных.

В шестом разделе формулируются следствия результатов разделов 2.3— 2.5 для случая периодического уравнения.

Результаты второй главы развивают и обобщают результаты работ [12]— [15, 106, 143, 144, 145, 148, 156, 157, 161] и представлены в работах [89, 94, 95, 98].

Третий круг вопросов, исследованных в диссертации, связан с получением условий стабилизации, в том числе оптимальной и с гарантированной оценкой качества управления, систем с обратной запаздывающей связью. Эти вопросы рассматриваются в третьей главе диссертации.

Третья глава.

В первом разделе третьей главы рассматривается задача о стабилизации систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями. Здесь получены теоремы о стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Предложено решение задачи стабилизации для систем, описываемых уравнениями запаздывающего типа с конечным и бесконечным запаздыванием. Здесь также рассматривается стабилизация систем, моделируемых функционально-дифференциальным уравнением второго порядка. Управление строится только на основе информации, полученной в предыдущие моменты времени и зависит от координаты и скорости, измеренных в предыдущие моменты. Получены результаты для автономного случая, а также для случая переменного запаздывания и случая зависимости от времени коэффициентов в управлении. Результаты этого раздела представлены в работах [90, 88].

Во втором разделе третьей главы рассматривается задача об оптимальной стабилизации. Здесь получены теоремы об оптимальной стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Предложено решение задачи об оптимальной стабилизации систем со стационарными связями. Здесь следует отметить, что структура функционала качества и выбор его коэффициентов не являются фиксированными и могут, вообще говоря, выбираться с определенным произволом, так как основная задача состоит не в минимизации конкретного функционала, а в построении стабилизирующего управления.

В третьем разделе третьей главы получены теоремы о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. В теоремах об оптимальной стабилизации, доказанных во втором разделе этой главы диссертации, требуется, чтобы функционал B[t, Vq, xt, и] принимал минимальное значение на управляющем воздействии u°(t, xt). С практической точки зрения указанное условие является довольно ограничительным. В ряде случаев, удобным и эффективным представляется постановка задачи о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления [8]. В указанной задаче ослаблено требование к функционалу качества I, а именно: не требуется его минимизация, необходимо лишь, чтобы он не превосходил некоторой оценки.

Результаты главы 3 развивают некоторые результаты работ [40, 63, 77] и представлены в работах [85, 87, 88, 89, 91, 92, 93].

Четвертая глава.

В четвертой главе рассматриваются примеры о стабилизации управляемых механических систем.

В первом разделе исследуется стабилизация положения равновесия управляемых механических систем со стационарными, голономными идеальными связями. Управление строится на основе информации о предыдущих значениях фазовых координат. Движения рассматриваемой системы определяются уравнениями Лагранжа d дТ дТ. где Q (t:qt, qt) — матрица-столбец размерности п х 1 обобщенных сил, действующих на систему.

Предложены различные типы регуляторов. Показывается, что можно стабилизировать систему до равномерной асимптотической устойчивости на основе управлений, которые зависят только от координат системы: о.

Qy (t, qt) = -C (t)q (t) + J F (t, s) q (t + s) ds,.

— h.

Qy (t, qt) = -F0(t)q (t) + C0(t)q (t — h).

Рассматриваются также следующие управления:

Qy (t, qU qt) = -C{t)q{t — h) — F (t)q (t)> о.

Qy (t, qu q) = ~F (t)q{t) — C{t) J q (t + s) ds,.

— h 0.

Qv (t, qt, q) — -F (t)q (t) — J C (t)q (t + s) ds,.

— h.

Qy{t, qu qt) = ~Cq (t — h) — Dq (t — h).

Показаны условия, при которых указанные управления стабилизируют систему до равномерной асимптотической устойчивости. Полученные в разделе 3.2 результаты представлены в работе [95].

Во втором разделе рассматриваются регуляторы с неограниченным запаздыванием. Результаты раздела 3 представлены в работах [89, 98].

В третьем разделе исследуется устойчивость эредитарных механических систем. Результаты этого раздела представлены в работе [99].

В четвертом разделе решается задача о стабилизации неустойчивого положения относительного равновесия механической системы с голономными нестационарными связями. Решение задачи предлагается на основе регулятора, зависящего только от координат системы.

В пятом разделе предложено решение задачи о стабилизации программного движения голономной механической системы. Исходная система заменой сводится к новой таким образом, что изучение поведения решений исходной системы в окрестности заданного программного движения сводится к изучению поведения нулевого решения полученной системы в отклонениях.

В шестом разделе решается задача о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении равновесия. Результаты этого раздела представлены в работах [13, 89, 96].

В седьмом разделе рассматриваются задачи о стабилизации движений твердого тела: о стабилизации вращательного движения твердого тела, о стабилизации одноосной ориентации твердого тела, о стабилизации трехосной ориентации твердого тела в инерциальной системе координат. Результаты этого раздела представлены в работах [10, 13, 89, 96].

В восьмом разделе решается задача о стабилизации голономной системы по части переменных при неограниченности неконтролируемых координат. Результаты этого раздела представлены в работе [97, 89].

Решение всех представленных задач достигается па основе знакопостоянных и знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной.

Результаты четвертой главы развивают и обобщают результаты работ [63, 77, 111].

Приложение.

В приложении проводится развитие методов, полученных в первой главе, в задаче исследования устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа (НФДУ).

В первом разделе приложения приводятся теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных, несколько отличных от теорем, изложенных в [114]. Эти теоремы используются в последующих разделах главы и были доказаны в [83, 89].

Во втором разделе приводятся результаты исследования задачи о локализации положительного предельного множества автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную.

В третьем разделепроводится построение предельных систем и доказывается теорема о квазиинвариантности предельного множества.

В разделе 4 получена теорема о локализации положительного предельного множества.

В пятом разделе получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе функционала Ляпунова со знакопостоянной производной.

В разделе 6 исследуется равномерная асимптотическая устойчивость неавтономного уравнения нейтрального типа в предположении свойства равностепенной непрерывности положительного предельного множества.

В разделе 7 исследуется задача об устойчивости pi асимптотической устойчивости НФДУ на основе знакопостоянного по ядру функционала.

Ляпунова со знакопостоянной производной.

В разделе 8 исследуется задача об устойчивости НФДУ по части переменных.

В разделах 3—8 приложения проводится развитие метода предельных уравнений и предельных функционалов Ляпунова [3, 4, 5, 6, 14, 15, 69, 117, 119]. Результаты этих разделов развивают и обобщают результаты работ [46, 47, 115, 146] по исследованию устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа. Основные результаты главы представлены в работах [12, 82, 89].

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Донецк, 1996 г., 2005 г.) — Украинской конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Киев, 1994 г., 1996 г.) — 11-й Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Ульяновск, 1996 г.) — Региональной конференции «Фундаментальные проблемы математики и механики» (г. Ульяновск, 1996 г.) — семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под рук. акад. РАН В. В. Румянцева, проф. А. В. Карапетяна и член-корр. РАН В. В. Белецкого (март 1997 г.) — Пятой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2003 г.) — International Conference «Dynamical System Modeling and Stability Investigat» (KHeB, 2003 г., 2007 г.) — Шестой и Седьмой Крымской Международной Математической Школы «Метод функций Ляпунова и его приложений» (Крым, Алушта, 2002 г., 2004 г.) — IX международном семинаре им. Е. С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления «(Москва, 2006 г.) — IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.) — Всероссийском семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под рук. акад. РАН В. В. Румянцева, член-корр. РАН В. В. Белецкого и проф. А. В. Карапетяна (14 марта 2007 г.) — Всероссийском семинаре по нелинейной динамики в ВЦ РАН (15 марта 2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 26 работах, в том числе 1 монографии. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Выводятся новые методы исследования устойчивости, асимптотической устойчивости по всем и части переменных для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздываниями, обосновывающие широкое применение знакопостоянных функционалов Ляпунова.

2. Выводятся новые методы решения задач о стабилизации, в том числе, оптимальной и с гарантированной оценкой качества, регулируемых систем, управляемых регуляторами с переменным и бесконечным запаздыванием. В основе этих методов лежит применение функционалов Ляпунова, имеющих знакопостоянную производную.

3. Решаются задачи о стабилизации по всем и части переменных правляемой голономной механической системы с учетом запаздывания в структуре управления, в том числе, задачи о стабилизации вращательного движения твердого тела.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Показать весь текст

Список литературы

Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллииа Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991.280 с.
Ананьевский И.М., Колмановский В. Б. О стабилизации некоторых регулируемых систем с последействием // АиТ. 1989. — № 9. — С. 34−42.
Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. — Т. 48. — Вып. 2.
Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // ПММ. 1984. — Т. 48. — Вып. 5. — С. 707−713.
Андреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений // ПММ. 1987. — Т. 51. — Вып. 2. — С. 253−260.
Андреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // ПММ. 1991. — Т. 55. — Вып. 4. — С. 539−547.
Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: Ульяновский гос. университет, 2005. — 328 е.
Андреев А.С., Безгласный С. П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. -Т. 61. — Вып.1. — С. 44−51.
Андреев А.С., Бойкова Т. А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости // МТТ.- 2002. Вып. 32. — С. 109−116.
Андреев А.С., Павликов С. В. Об устойчивости по части переменных неавтономного функционально-дифференциального уравнения // ПММ. 1999. — Т. 63. — Вып. 1. — С. 3 — 12.
Андреев А.С., Павликов С. В. Исследование устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на основе знакопостоянных функционалов Ляпунова // Труды Средневолжского математического общества. 1999. — Т. 2(1).- С. 74−75.
Андреев А.С., Павликов С. В. К методу функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Математические заметки. — 2000. Том 68. — Вып. 3.- С. 323−331.
Андреев А.С., Павликов С. В. Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием / / МТТ. 2004. — Вып. 34. — С. 112−118.
Андреев А.С., Хусанов Д. Х. К методу функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости и неустойчивости // Дифференц. уравнения.- 1998. 34. — № 7. — С. 876−885.
Андреев А.С., Хусанов Д. Х. Предельные уравнения в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. — 34. — № 4. — С. 435−440.
Андреева Е.А., Колмановский Е. Б., Шайхет Л. Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. — 336 с.
Астанов И.О., Белоцерковский С. М., Каганов Б. О., Кочетков Ю. А. О системах интегро-дифференциальных уравнений, описывающих неустановившееся движение тел в сплошной среде // Дифференц. уравнения. 1982. — 18. — № 9. — С. 1628−1637.
Билашевич И.В., Габасов Р., Кириллова Ф. М. Стабилизация динамических систем при наличии запаздываний в канале обратной связи // Автоматика и телемеханика. 1996.- № 6.- С. 31−39.
Барбашин Е.А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР, 1952, — Т. 86. № 3 — С. 453−546.
Бранец В.Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. — 320 с.
Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976. 288 с.
Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. — 302 с.
Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. — 335 с.
Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991.
Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследования, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика. 1993. — N 3. — С. 3−62.
Воротников В.И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы, приложения М.: Научный мир, 2001 — 320 с.
Габриелян М.С. О стабилизации неустойчивых движений механических систем // ПММ. 1964. — Т. 28. — Вып. 3.
Габриелян М.С., Красовский Н. Н. К задаче о стабилизации механической системы // ПММ. 1964. — Т. 28. — Вып. 5.
Гайшун И.В., Княжище Л. Б. Немонотонные функционалы Ляпунова. Условия устойчивости уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1994. — 38. — № 3. — С. 5−8.
Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ. 1957. 240 с.
Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.
Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966.
Илюшин А.А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоу пру гости. М.: Наука, 1979. — 431 с.
Каленова В.И., Морозов В. М., Салмина М. А. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации механических систем с циклическими координатами // ПММ. 1992. — Т. 56. — Вып. 6. — С. 959−967.
Калистратова Т.А. Об устойчивости по части переменных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика 1986. — N 5. — С. 32−37.
Каменский Г. А. Существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Мат. сб. 1961. — Т. 55. — N 4. — С. 363−378.
Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. — 168 с.
Ким А. В. Ко второму методу Ляпунова для систем с последствием // Дифференц. уравн. 1985. — Т. 21. — № 3. — С. 385−391.
Ким А. В. Об обратимости теорем метода функционалов Ляпунова для систем с последствием // Некоторые задачи управления и устойчивости. Свердловск, 1989, — С. 12−26.
Ким А. В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последствием // Екатеринбург: Изд-во Уральского унив., 1992. 144 с.
Ким А.В. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: УрО РАН, 1996. 234 с.
Ким Е.Б. О моделировании нелинейной управляемой системы // Социально-экономические и технические системы. 2006. — Я2 3(19). http: // kampi.ru / sets /
Княжище Л.Б., Щавель Н. А. Немонотонные функционалы Ляпунова и оценки решений дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1997. — 33. — № 2. — С. 205−211.
Кпяжище Л.Б., Щеглов В. А. О знакоопределенности функционала Ляпунова и устойчивости одного уравнения с запаздыванием. -Минск, 1994. 32 с.
Колмановский В.Б. Об одной задаче управления системами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1970. — N 10. — С. 47−53.
Колмановский В.Б., Носов В. Р. Устойчивость систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // ПММ. 1979. -Т. 43. — Вып. 2. — С. 209−218.
Колмановский В.Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.- 448 с.
Колмановский В.Б., Носов В. Р. Системы с последействием нейтрального типа // Автоматика и телемеханика. 1984. — N 1. — С. 5−35.
Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием // Докл. РАН. 1993. — Т. 331.- N 4. С. 421−424.
Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых систем с последействием и переменными коэффициентами // ПММ. -1995. Т. 59. — Вып. 1. — С. 71−81.
Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. 543 с.
Косов А.А. К теории устойчивости неавтономных систем. Л.: ВИНИТИ, 1995. — 11 с.
Комленко Ю.В., Тонков Е. Л. О мультипликаторах линейного периодического дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Сибирск. мат. ж. 1974. — Т. 15. — N 4. — С. 835−844.
Красильников П.С., Маркеев А. П. Об устойчивости резонансных решений вязко-упругого спутника // препринт No 479. М.: ИМП АН СССР. 1990. 33 с.
Красильников П.С. Об одной теореме Лагранжа-Имшенецкого // препринт No 548. М.: ИМП АН СССР. 1995. 14 с.
Красильников П.С. Об асимптотической устойчивости при резонансе 1:3 // ПММ. 1996. — Т. 60. — Вып. 1.
Красовский Н.Н. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздыванием по времени // ПММ. 1956. — Т. 20. — N 3. — С. 315−327.
Красовский Н.Н. Об асимптотической устойчивости систем с последействием // ПММ. 1956. — Т. 20. — N 4. — С. 513−518.
Красовский Н.Н. Об одном свойстве гироскопической стабилизируемости управляемой консервативной механической системы. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1964. -№ 5.
Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.
Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений. В кн.: Малкин И. Г. «Теория устойчивости движения», Дополнение 4. -М.: Наука, 1966. С. 475−515.
Красовский А.А., Буков В. Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными системами. М.: Наука, 1977. 272 с.
Красовский Н.Н., Осипов Ю. С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием / / Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1963. — N 6 — С. 3−15.
Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов//АиТ. -1960. Т.21. — № 4−6.- 1961. — Т. 22. — № 4.- 1962. — Т.23. — № 11.
Лилов Л.К. О стабилизации стационарных движений механических систем по части переменных // ПММ. 1972. Т. 36. — Вып. 6. — С. 977−985.
Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л.: Гостехиздат, 1950. — 472 с.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд., испр. — М.: Наука, 1966. — 530 с.
Мартышок Д.И., Самойленко A.M. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием // Математическая физика. -1967. Вып. 4. — С. 128−145.
Мартынюк А.А., Като Д., Шестаков А. А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990. — С. 4656.
Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ. 1962. — Т. 26.- Вып. 5. С. 885−895.
Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ. 1962. — Т. 26.- Вып. 6. С. 992−1002.
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. 1987. — 304 с.
Мухаметзянов И.А. Построение систем асимптотически устойчивого в целом программного движения // Вестник Рос. унив-та дружбы народов. Сер. Прикл. мат. и инф. 1998. — № 1. — С. 16−21.
Мухаметзянов И.А. Построение систем с асимптотически устойчивыми программными связями // ПММ. 2001. — Т. 65.- Вып. 5. С. 822−830.
Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. — 352 с.
Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. — 354 с.
Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1965. — Т. 1. — N 5. — С. 605−618.
Озиранер А.С., Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // ПММ. -1974. Вып. 2.
Озиранер А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных // ПММ. 1973. — Т. 37. — Вып. 4. -С. 659−665.
Павликов С.В., Хусанов Д. Х. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа // Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске, 1996. 42 с. Деп. в ВИНИТИ, N 881-В96.
Павликов С.В. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений / / Диссертация на соискание уч. степени к. ф.-м. н. Ульяновск. — 1997.- 134 с.
Павликов С.В. О стабилизации управляемых механических систем с обратной связью с запаздыванием // Ученые записки Ульяновского гос. университета. «Фундаментальные проблемы математики и механики».- Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2002. Вып. 2 (12). — С. 4048.
Павликов С.В. Предельные уравнения и функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости по части переменных // Ученые записки Ульяновского гос. ун. «Фундаментальные проблемы математики и механики». Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. — Вып. 1 (13). — С. 63−74.
Павликов С.В. Об управляемости и стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Обозрение и промышленной математики.- 2003. Т. 10. — Вып. 1. — С. 201.
Павликов С.В. О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием // МТТ. 2005. — Вып. 35. — С. 212−216.
Павликов С.В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. Набережные Челны: Институт управления, 2006. — 264 с.
Павликов С.В. О стабилизации систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями второго порядка // Социально-экономические и технические системы. 2006. — № 1(17). http://kampi.ru/sets/.
Павликов С.В. О стабилизации положения равновесия управляемых механических систем // Социально-экономические и технические системы. 2006. — № 1(17). http://kampi.ru/sets/.
Павликов С.В. К задаче об оптимальной стабилизации // Социально-экономические и технические системы. 2006. — № 2(18). http://kampi.ru/sets/.
Павликов С.В. К задаче о стабилизации с гарантированной оценкой качества // Социально-экономические и технические системы. 2006. — № 2(18). http://kampi.ru/sets/.
Павликов С.В. О стабилизации движений управляемых механических систем с запаздывающим регулятором // Доклады Академии наук. -2007. Т. 412. — № 2. — С. 1−3.
Павликов С.В. Знакопостоянные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // ПММ. 2007. — Том 71. — Вып. 3. — С. 377−388.
Павликов С.В. К задаче о стабилизации управляемых механических систем // Автоматика и телемеханика. 2007. — № 9. — С. 16−27.
Павликов С.В. Об устойчивости движений эредитарных систем с бесконечным запаздыванием // Доклады Академии наук. 2007. -Т. 416. — № 2. — С. 1−3.
Павликов С.В. Метод знакопостоянных функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Вестник ОГУ. 2007. — № 3. — С. 158−162.
Разумихин B.C. Об устойчивости систем с запаздыванием // ПММ.- 1956. Т. 20. — Вып. 4. — С. 500−512.
Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников.- М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1967. 276 с.
Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ. 1970. — Т. 34. Вып. 3. — С. 440−456.
Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифф. уравнения. 1983. — Т. 19. — № 5. — С. 739−776.
Румянцев В.В., Озирапер А. С. Устойчивость и стабилизация по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. — 253 с.
Седова Н.О. К методу Ляпунова-Разумихина для уравнений с бесконечным запаздыванием // Дифференциальные уравнения. -2002. Т. 38. — № 10. — С. 1338−1347.
Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости движений в некоторых классах с последствием // ПММ. 1993. — Т. 57. — Вып. 5.- С. 166−174.
Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости и оценке области притяжения в некоторых системах с последействием // ПММ. 1996.- Т. 60. Вып. 5. — С. 744−751.
Сергеев B.C. Об устойчивости равновесия крыла в нестационарном потоке // ПММ. 2007. — Т. 64. — Вып. 2. — С. 227−236.
Сергеев B.C. О кручении вязкоупругой пластины в нестационарном потоке // ПММ. 2007. — Т. 71. — Вып. 3. — С. 483−495.
Смирнов Е.Я., Павликов В. Ю., Щербаков П. П., Юрков А. В. Управление движением механических систем. JL: Изд-во ЛГУ, 1985.- 316 с.
Тереки Й., Хатвани Л. Функция Ляпунова типа механической энергии // ПММ. 1985. — Т. 49. — Вып. 6. — С. 894−899.
Фурта С.Д. Об асимптотических решениях систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в некоторых критических случаях // Математ. сборник. 1993. — Т. 184. — N 2. — С. 43−56.
Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984. 421 с.
Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. — 207 с.
Шестаков А.А. О локализации предельных множеств неавтономной системы с помощью функций Ляпунова // Дифференц. уравнения. -1979. Т. 15. — № 10.
Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990. — 320 с.
Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных систем с последствием // Дифференц. уравнения. 1965. — Т. 1. — N 1. — С. 102−116.
Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени // ПММ. 1960. — Т. 24. — Вып. 1. — С. 55−63.
Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздываниями времени // ПММ. 1963. — Т. 27. — Вып. 3.
Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // Успехи матем. наук. 1954. — Т. 9. -№ 4. — С. 95−112.
Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. — 127 с.
Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. — 296 с.
Akinyele О. On partial stability of differential equations with time delay // Ann. Mat. Pure Appl. 1979a. IV. — Vol. 121. — P. 351−372.
Akinyele 0. Necessary conditions for the non-uniform partial stability for delay systems // Rend. Acc. Naz. del Lincei. CI. Sci. Fis. Mat. Natur.(8). 1979b. — Vol. 66. — № 3−4. — P. 509−515.
Akinyele 0. On the partial stability of the nonlinear abstract Chauchy problem // Riv. Mat. Univ. Parma.(IV). 1980. — V. 6 — P. 81−88.
Akinyele 0. On partial boundedness of differential equations with time delay // Riv. Mat. Univ. Parma.(IV). 1982. — V. 7. — P. 9−21.
Artstein A. Uniform asymptotic stability via the limiting equations // J. Differ. Equat. 1978. — V. 27. — P. 172−189.
Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary equation // J. Differ. Equat. 1977. — V. 23. — N 2. — P. 216−223.
Artstein Z. On the limiting equations and invariance of time-dependent difference equations // Stability of dynamical systems (Theory and Applications) Proceedings of NSF Conference, Mississippi State University, 1978. P. 3−9.
Artstein Z. The limiting equations of ordinary differential equations // J. Differ. Equat. 1977. — V. 25. — N 2. — P. 184−202.
Artstein Z. Stability, observability and invariance// J. Differ. Equat. -1982. V. 44. — P. 224−248.
Aubin J. P., Cellina A., Nohel J. Monotone trajectories of multivalued dynamical system // Ann. Mat. Pure Appl. 1977. — Vol. 115 — P. 99 117.
Aubin J. P., Clarce F. H. Monotone invariant solutions to differential inclusions //J. London Math. Soc. 1977. — V. 16. — P. 357−366.
Burton T.A. Stability theory for functional differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. — V. 255. — P. 263−275.
Burton T.A., Hatvani L. Stability teorems for nonautonomous functional differential equations by Liapunov functional // Tohoku Math. J. 1989.- V. 41 -N 1. -P. 65−104.
Burton T.A., Hatvani L. On nonuniform asymptotic stability for nonautonomous functional differential equations // Differential and Integral Equations. 1990. — N 3. — P. 285−293.
Cantarelli G. Criteria of a partial boundedness for the motion of holonomic scleronomic dissipative systems // Riv. Mat. Univ. Parma. (V). 1995.- V. 4. P. 69−78.
Cantarelli G. Global existence and boundedness for quasi-variational systems // Int. J. Math, and Math. Sci. 1999. — Vol. 22. — N 2. — P. 383−394.
Corduneanu C. On partial stability for delay systems // Ann. Polon. Math. 1975. — Vol. 29. — P. 357−362.
Corduneanu C., Lakshmikantham V. Equations with unbounded delay: a survey // Nonlinear Analysis: TMA. 1980. — Vol. 4. — N 5. — P. 831−877.
Haddock J., Terjeki J. On the location of positive limit sets for autonomous functional differential equations with infinite delay //J. Differential Equations. 1990. — V. 86. — P. 1−32.
Haddock J., Hornor W. // Funk. Ekv. 1988. — V. 31. — P. 349−361.
Hale J.K. Theory of functional-differential equations. New Jork: Springer, 1977. — 365 p.
Hale J.K., Cruz M.A. Existence, uniqueness and continuous dependce for hereditary sistems // Ann. math, pura ed appl. 1970. — Vol. 85. — P. 63−81.
Hale J. К, Kato J. Phase space for retarded equations with infinite delay // Funk. Ekv. 1978. — V. 21. — P. 11−41.
Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to Functional Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1993. — 447 p.
Hatvani L. A generalization of the Barbashin-Krasovskij theorems to the partial stability in non-autonomous systems // Colloquia Math. Soc. J. Bolyai, 30. Qualitative Theory of Differential Equations. Szeged. Hungary, 1979. — P. 381−409.
Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. I. (Autonomous systems) // Acta Sci. Math. 1983a. — Vol. 45. — № 1−4. — P. 219−231.
Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. II. (The method of limiting equations) // Acta Sci. Math. 1983a. — Vol. 46. — № 1−4. -P. 143−156.
Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. III. (Energylike Ljapunov functions) // Acta Sci. Math. 1985a. — Vol. — 49. — № 1−4. — P. 157−167.
Hatvani L. On partial asymptotic stability by the method of limiting equation // Ann. Mat. Рига Appl. (IV). 1985b. — Vol. 139. — P. 65−82.
Hatvani L. On the asymptotic stability of the solutions of functional differential equations // Colloq. Math. Soc. J.Bolyai. Qualitative theory of differential equations. Szeged (Hungary). 1988. — P. 227−238.
Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional Differential Equations with Infinite Delay. Berlin: Springer-Verlag, 1991. — 317 p.
Kato J. Stability problem in functional differential equations with infinite delay // Funk. Ekv. 1978. — V. 21. — P. 63−80.
Kato J. Uniform asymptotic stability and total stability // Tohoku Math. Journ. 1970. — V. 22. — P. 254−269.
Kato J. On Liapunov-Razumikhin type theorems for functional differential equations // Funkc. Evkac. 1973. — Vol. 16. — N 3. — P. 225−239.
Kato J. Liapunovs second method in functional differential equations // Tohoku Math. J. 1980. — Vol. 32. — N 4. — P. 487−497.
Kato J. and Yoshizawa T. Remarks on global properties in limiting equations // Funk. Ekv. 1981. — V. 24. — P. 363−371.
Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. Boston: Acad. Press, 1993. — 398 p.
Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability Analysis of Nonlinear Systems. New York: Marcel Dekker, Inc., 1989. — 315 p.
Lakshmikantham V., Rama Mohana Rao M. Theory of Integro-Differential Equations. Lausanne: Gordon and Breach Sci. Publ., 1995. — 362 p.
Salvadori L. Famiglie ad un parametro di funzioni di Liapunov nello studia della stabilita // Symp. math. V.6 Meccanika non-lineare e stabilita, 2326 febbraio, 1970. L.- N.Y.: Acad. Press., 1971. — P. 310−330.
Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1,2// Trans. Amer. Math. Soc. 1967. — V. 22. — P. 254−269.
Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov’s second method. Tokio: The Math. Soc. of Japan, 1966. — 223 p.
Yoshizawa T. Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost-Periodic Solutions // Applied Math. Sciences. 1975. — Vol. 14. 233 h.

Заполнить форму текущей работой