1. В настоящее время метод математического моделирования физических процессов на ЭВМ широко применяется и при решении технологических задач организации производства i~7j • Если составлена математическая модель процесса, то математический эксперимент позволяет воспроизвести его на ЭВМ, что даст возможность решать задачи управления.
Математическое моделирование предполагает, что технологический процесс может быть описан системой уравнений с известными краевыми условиями и параметрами, что не всегда возможно. В последнем случае часто можно воспользоваться методом обратных задач, алгоритмы решения которых доставляет теория регуляризации. Так, в работах [8~12j использование метода обратных задач позволило провести моделирование конкретных процессов в целом.
2. Кафедра математики физического факультета МГУ, на которой выполнена настоящая диссертационная работа, развивает интенсивное сотрудничество с АВТО-ЗИЛ. В ходе этого сотрудничества в работах f 5″, iZ~l?J решен ряд задач, касающихся конкретных технологических процессов.
Настоящее исследование связано с проектированием на ЗИЛе непрерывного технологического цикла. Речь идет об организации процессов разливки и термической обработки стальных заготовок таким образом, чтобы утилизовать отходы производства и свести к минимуму энергетические потери при переключении элементов технологического цикла. Такое направление работы, отвечающее директивам ХХУТ съезда КПСС, а также примыкающее к широко развиваемой проблематике математического моделирования, определяет ее актуальность.
В диссертации в рамках подходящих математических моделей решен ряд вопросов, относящихся к организации такого цикла.
Поскольку задачи управления процессом литья достаточно подробно изучены в специальной научной литературе [1, 2 ,.
2 i J «они в наст0Я1Дей работе не затрагиваются. Задачи химико-термической обработки /закалка, цементация/ также изучены, в частности, в работах[14, {7, 22 ~25]. В настоящей диссертации рассматриваются вопросы, связанные с экономией энергии в процессах транспортировки и первичной термообработки заготовок. Необходимо отметить, что вопросами снижения потребления энергии в процессе непрерывного литья стали в последнее время занимаются и за рубежом /см., например, [26]/• Тем не менее, эти вопросы еще не достаточно хорошо разработаны, и новизна возникающих здесь задач определяет и новизну полученных в диссертации результатов.
Научная достоверность конкретных результатов подтверждена точным математическим анализом проблемы, либо /для результатов методического плана/ численными экспериментами, а там, где возможно, — сопоставлением с данными эксперимента физического.
3. Основное содержание диссертации изложено в трех главах.
Петэвая глава посвящена задачам контроля над внутренним температурным полем заготовки, полученной методом непрерывного литья. Такой контроль необходим для оценок степени равномерности внутренней температуры и установления на их основе времени начала очередного этапа термообработки. Целью этой части работы является обоснование и планирование физического эксперимента, предназначенного для измерений температуры некоторой части поверхности. По данным этих измерений, представляющих собой априорную экспериментально доступную исходную информацию, необходимо определить внутреннее температурное поле заготовки как решение обратной задачи.
Обоснованию постановки эксперимента служит решение проблемы единственности восстановления начального температурного распределения ^ /поскольку при заданном температура в любой момент времени t > О определяется однозначно/. Вопрос о восстановлении начального температурного поля рассматривался наряду с другими в работах [27 -2 в J. Однако постановкам задачи в [ 2 2 8 J соответствует заданное распределение температуры всюду в некоторый последующий момент времени. В [ 2 7} 2? J вопросы единственности не затрагивались. В работе [2 3J исследовалась единственность решения одномерной обратной задачи, причем в качестве дополнительной информации использовались показания датчика, движущегося равномерно по отрезку (О, i) .В отличие от этого, в §§ 3,6 Главы I минимальной экспериментально доступной информацией для доказательства единственности неодномерных обратных задач служат данные о температуре на границе области, снимаемые движущимся датчиком в течение отрезка времени О < t± ^? tz. * Проблема единственности рассмотрена нами в рамках ряда конкретных линейных моделей. Установлены, в частности, следующие теоремы.
Теорема I, Двум различным начальным температурным полям.
Скч): о<�х<�г1у.
0< ус ег }у 6 К2, $ = 1А, отвечают различные К окласс функций у^, имеющих ограниченные (iC-i, Z) в Q и ограниченную У в).
Теотзема 2. Двум различным начальным (ХРУ) Щ (х,.
V), ¦• 0<х< е*, 0~i, 2.
— ti^k^ti (Кг,-класс функций, имеющих ограниченные А^ К (Xi/rl^) в Q ж ограниченные ^.
Kt, 7 Kt + Kz.<9) в Q).
Теотзема 3. Двум различным начальным ^ (%) отвечают различные Us СR, -Ь), ф^ -класс функций У, имеющих ограниченные g)* у в Q и ограниченную Jg1 f в).
Теотзема 4. Двум различным начальным f^C? ^(Z^) отвечают различные 0± 2.
1,2, t^t^tz (i^ ~ класс функций у9, имеющих ограниченные У Св и ограниченную р в Q).
Теотзема 5. Двум различным начальным (.
Ой У С 2 ft У ,.
g? отвечают различные h-htt)^ it, At, О, 0.
В Приложениях 1,2 приведены альтернативный метод доказательства единственности решения одной из рассмотренных обратных задач и некоторое обобщение Теорем 1,3,4..
Методическим результатом этой части исследования является разработка регуляризирующего по Тихонову оператора /РО/ для решения поставленных обратных задач, который заключается в нахождении решения уравнения Эйлера f[J{ Y> -tol/, Y*— f [3 0j «гДе J ~ линейный интегральный оператор прямого отображения, Д* -сопряженный оператору Д, fнеточно заданная температура части поверхности, U. -параметр регуляризации, который выбирался квазиоптимальным способом..
С помощью этого алгоритма проведен численный эксперимент на ЭВМ по восстановлению начальной температуры. В результате установлена эффективность РО и даны оценки точности, с которой должна быть измерена температура поверхности для получения нужной точности прогнозирования..
Разработанная программа-датчик температурных состояний может в перспективе служить целям оперативного прогнозирования в комплексе с измерительной установкой..
В дополнение к изложенному выше следует заметить, что разработанная в Главе I методика восстановления внутреннего температурного поля детали по измерениям температуры на ее поверхности может быть эффективно использована и в других технологических задачах. Примером этого может служить, в частности, задача определения температуры конца штамповки вытяжкой [ Ъ 1~J ..
Во второй главе рассматривается задача, связанная с транспортировкой заготовок квадратного сечения от места отливки к месту последующей термической обработки. Предполагается, что в целях экономии тепловой энергии заготовки помещаются в теплоизолированный контейнер. Такой контейнер, наряду с сохранением тепла заготовок, способствует выравниванию их температур, что важно для последующей обработки..
Задача состоит в том, чтобы оценить время теплообмена в контейнере fc * до установления квазиравномерного распределения и средний температурный уровень it, а также оптимальные размеры контейнера с учетом плотности упаковки заготовок, при которых стационарное поле формируется в приемлемые сроки..
Это задача решалась с помощью серии математических экспериментов. Дня этой цели разработана экономичная /точечная/ модель процесса теплообмена, позволяющая проводить расчеты трехмерной конфигурации заготовок. Процесс теплообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, имеющей общий вид tj-F (V), U=U (t), t>o, и (О) — Uo, где I/= { Ui (t)} -температуры выбранной системы конечных элементов { Ti J как функции времени t.
В двумерном варианте модель опробирована сопоставлением с более точной, описываемой системой уравнений в частных производных. Относительное расхождение результатов при расчетах времени теплообмена t * в обеих моделях не превосходит 24 $, что соответствует различиям в температурных полях, не выходящим за границы допуска при оценках степени равномерности нагрева? i 4 ]..
Установлено, что величина? * существенно возрастает с увеличением размеров контейнера. Тем самым, малые контейнеры более экономичны. Установлена также зависимость времени теплообмена от величины воздушного зазора между заготовками § /см. Рис. 12 /. Это дает возможность выбрать оптимальную внутреннюю конструкцию контейнера. В Приложении 3 приведены также алгоритм и результаты расчетов времени теплообмена заготовок, имеющих форщу восьмигранников..
Результатом работы над этой проблемой являются также программы-датчики, предназначенные для диагностики температурного состояния системы заготовок в контейнере /Приложение 4/..
Наряду с этим во второй главе даны среднестатистические оценки уровня температуры в квазиравновесном состоянии it по ансамблю начальных распределений, поскольку последние носят статистический характер. Именно, на основании неравенства Чебышева получены вероятностные оценки вида u,(xt, ь>а) — л (Яь)1 ё 8} > Qs (Z t p{tu{% t,)-л (Я, t) Ue (a) < Sj" & ft), где (Л (t, C^i j) -температура, рассматриваемая как функция пространственных координат X — {Л<}, времени и независимых случайных величин COi, ^(^t) -математическое ожидание /среднее значение/ величины U. «Sзадаваемый уровень отклонения температуры от среднего значения. Рассмотрены двухи трехмерные модели плотной упаковки заготовок..
В третьей главе изучается задача о перераспределении температурного поля заготовок, подвергаемых горячей поперечно-винтовой прокатке. Оценка соответствующего эффекта позволит уменьшить энергоемкость последующих стадий процесса термообработки..
Основные элементы теории прокатки /геометрия и кинематика процессов, напряженно-деформированное состояние металла в очаге деформации, направление и действие сил трения на контактной поверхности, расчет усилий и моментов прокатки, тепловой расчет станов/ достаточно подробно изложены как в учебной, так и в специальной технической литературе/ см., например, [32~3&J /• Для проведения инженерных расчетов имеются надежные и опробированные формулы, использующие также накопленный экспериментальный материал. Содержанием настоящего исследования является математическое моделирование на ЭВМ тепловых процессов внутри заготовки и на ее поверхности, происходящих в течение прокатки, с использованием некоторых элементов теории прокатки, а также математических методов теории пластичности..
Разработанная основная модель теплообмена заготовки цилиндрической формы с валками и с внешней средой учитывает следующие факторы: а/ перераспределение температуры по сечению заготовки вследствие теплопроводности, а также уменьшения ее радиуса, б/ тепловыделение на поверхности в результате трения с валками, в/ теплоотдача на валки в области деформации, г/ поверхностный теплообмен с окружающей воздушной средой, д/ мощность пластической деформации..
Соответственно, процесс описывается следующей совокупностью условий /см. § 3 Главы 3/:.
U{7, to+&t,.
T-a-ix u-T-i, т* и о* 4 1.
Для численного решения этой краевой задачи составлена неявная абсолютно устойчивая конечно-разностная схема. Проведенные расчеты на ЭВМ позволили изучить зависимость температуры поверхности заготовки в момент окончания прокатки от параметров модели, характеризующих прокатный стан и реологические свойства материала заготовок. Установлено, что в указанном диапазоне изменения параметров температура поверхности повышается в среднем на 60-Ю0°С, что в принципе согласуется с известными данными физического эксперимента..
Математические эксперименты обнаружили также некоторые изменения температурного уровня вдоль оси заготовки. Этому факту дано физическое объяснение..
Изучение распределения температуры в направлении оси проведено также в рамках упрощенной модели источника тепловыделения, движущегося вдоль «тонкого» стержня. В результате расчетов установлено, что температура по длине заготовки меняется несущественно, и заметное уменьшение ее уровня наблюдается лишь в малой окрестности концов в связи с теплоотдачей в окружающую воздушную среду..
Значительное число работ в области математической физики посвящено обратной задаче об определении параметров теплового источника по тем или иным характеристикам температурного поля /см., например, /. Подобная задача представляет интерес и в связи с рассматриваемой здесь проблемой ввиду ограниченности объема априорной информации. Отличие нашей задачи от рассмотренных ранее состоит прежде всего в том, что источник движущийся..
В третьей главе изложена, в частности, реализованная в программе для ЭВМ методика определения интенсивности теплового источника по измерениям температурного поля заготовки /в рамках упрощенной модели/. Поскольку методы расчета интенсивности наталкиваются на те или иные некорректные операции, основой методики является общий регуляризирующий оператор А. Н. Тихонова /7 Ъ ОJ с квазиоптимальным выбором параметра регуляризации. На основании этой методики проведен математический эксперимент на ЭВМ по восстановлению функции источника при неточно заданном температурном поле (К, о<�х<�е7 c?.
4. Рассмотренный крут вопросов связан с конкретными задачами производственной практики и потому полученные результаты могут найти практическое применение в производстве на предприятиях металлургической промышленности, использующих технологию непрерывного литья..
Диссертационная работа опробирована в докладах на Всесоюзной школе-семинаре по некорректным задачам /Самарканд, 29.09−6.10 1983/, Научно-технической конференции молодых специалистов и творческой молодежи АВТО-ЗИЛ /Москва, 8.02 -9.02 1983/, Московской городской конференции молодых ученых и специалистов «Информатика, вычислительная техника, автоматизация в науке и технике, народном хозяйстве» /Москва, 2.12−5.12 1983/, выездной школе-конференции молодых ученых МГУ" и молодых специалистов ЗИЛа «Естественные науки и проблемы автомобилестроения» /Моск.обл., Михнево, 16.02 — 19.02 1984/..
Основные результаты опубликованы в следующих работах:.
1. Булычев Е. В., Гласко В. Б., Федоров С. М. О восстановлении начальной температуры по ее измерениям на поверхности. — I. вычисл.матем. и матем. физ., 1983, т.23, № 6, с.1410−1416..
2. Булычев Е. В., Гласко В. Б. О единственности в некоторых обратных задачах теории теплопроводности. — Инж.-физ. журнал, 1983, т.45, 2, с.305−309..
3. Тихонов А. Н., Гласко В. Б., Булычев Е. В., Ильин М. Е., Кулик Н. И. Некоторые задачи оптимизации технологических процессов в металлургии. — В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. — Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара, Самарканд, 1983. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с.215−216..
4. Гласко В. Б., Булычев Е. В., Кондорская Е. Е. 0 восстановлении начальной температуры по ее измерениям на поверхности. — Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 1284−83 Деп..
В заключение автор считает приятным долгом выразить благодарность своему научному руководителю профессору физического факультета МГУ В. Б. Гласко за постановку задач диссертационной работы и постоянное внимание, академику А. Н. Тихонову за интерес к работе и ценные замечания, зам. главного инженера АВТО-ЗИЛ В. Д. Кальнеру и сотрудникам АВТО-ЗИЛ С. М. Федорову, В. А. Ковригину за предоставление экспериментальных данных, а также инженеру кафедры математики Н. И. Кулик за полезные консультации..
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы..
1. Предложен метод диагностики внутреннего температурного состояния заготовок непосредственно после отливки, основанный на решении обратной задачи об определении начальной температуры по измерениям на поверхности..
2. Доказаны теоремы единственности решения соответствующей обратной задачи в рамках различных физико-математических моделей. Тем самым дано математическое обоснование предлагаемому методу..
3. Разработан и реализован в программах для ЭВМ регу-ляризирующий по Тихонову алгоритм решения указанной обратной задачи..
4. Посредством математических экспериментов на характерных моделях решена задача планирования эксперимента по измерениям температуры поверхности с целью определения внутреннего температурного поля с заданной точностью..
Программа-датчик температурных состояний заготовки может быть в перспективе использована для оперативного прогнозирования в комплексе с измерительной аппаратурой..
5. Разработаны математические модели процесса внутреннего теплообмена заготовок, помещенных в теплоизолированный контейнер и предназначенных для дальнейшего использования в цикле первичной термообработки..
6. Даны динамические оценки времени теплообмена в зависимости от размеров контейнера, числа заготовок в нем и способа их укладки, а также статистические оценки среднего температурного уровня. Установлено, что величина t* существенно возрастает с увеличением размеров контейнера. Тем самым, малые контейнеры более экономичны. Рассчитан график зависимости времени теплообмена от величины зазора между заготовками S, что дает возможность выбрать оптимальную внутреннюю конструкцию контейнера..
7. Предложенные алгоритмы расчетов реализованы в программах-датчиках, предназначенных для диагностики температурного состояния системы заготовок в контейнере..
8. Разработана основная модель теплофизических процессов, происходящих во время горячей поперечно-винтовой прокатки заготовок цилиндрической форды..
9. На основе этой модели разработан и реализован в программе для ЭВМ алгоритм расчета температурного поля заготовки в течение и после прохождения прокатки..
10. Проведена серия математических экспериментов на ЭВМ по определению температуры поверхности заготовки в момент окончания прокатки в зависимости от параметров модели. Результаты представлены в номографической форме..
11. Установлено в частности, что в указанном диапазоне изменения параметров модели температура поверхности повышается в среднем на 60-Ю0°С, что удовлетворительно согласуется с данными физического эксперимента..
12. Для изучения распределения температуры вдоль оси заготовки разработана упрощенная модель движущегося источника тепловыделения. В рамках этой модели установлено, что температура по длине за счет теплопроводности меняется незначительно, и заметное уменьшение ее уровня наблюдается лишь в малой окрестности торцов заготовки из-за теплоотдачи в окружающую среду..
13. Разработана и реализована в программе для ЭВМ методика определения интенсивности теплового источника по измерениям температурного поля заготовки /в рамках упрощенной модели/. Методика основана на использовании общего регуляри-зирующего оператора А. Н. Тихонова. Проведен математический эксперимент на ЭВМ по восстановлению функции источника при неточно заданном температурном поле. Он может служить целям планирования соответствующих измерений..
