Оценка и оптимизация квантильного критерия для функции потерь с малым параметром в условиях статистической неопределенности

2.2. Обзор методов исследования систем в условиях неопределенности. 43.

2.3. Постановка задачи.46.

2.4. Принцип равномерности.48.

2.5. Оценка характеристик эффекта.50.

2.5.1. Некоторые вспомогательные результаты.50.

2.5.2. Использование принципа равномерности.52.

2.6. Оценка абсолютной и относительной эффективностей квантилыюго подхода к анализу систем по отношению к гарантирующему. 53.

2.6.1. Оценка абсолютной эффективности.53.

2.6.2. Оценка относительной эффективности.60.

2.6.3. Оценка относительной эффективности в случае функции потерь с детерминированной составляющей.65.

2.7.

Заключение

68.

3 Решение задачи формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом методом линеаризации 70.

3.1.

Введение

.70.

3.2. Обзор методов решения задач оптимизации портфелей ценных бумаг 72.

3.3. Постановка задачи.73.

3.4. Применение метода линеаризации к задаче формирования портфеля 74.

3.5. Решение линеаризованной задачи.79.

3.6. Пример.83.

3.7.

Заключение

84.

Заключение

85.

Список литературы

87.

В диссертационной работе исследуются задачи анализа и оптимизации систем с квантильным критерием качества в условиях стохастической неопределенности.

Задачи управления в вероятностной постановке (особенно задачи оптимизации по вероятностному критерию или с вероятностными ограничениями) до недавнего времени рассматривались крайне редко. Это объясняется в основном сложностью использования самого вероятностного критерия и отсутствием сопутствующих конструктивных методов решения подобных задач. Потому при практическом решении таких задач широкое распространение получили различные приемы, состоящие в замене вероятностных критериев более простыми [46]. Один из приемов состоит в использовании среднеквадратических критериев качества. В настоящее время наиболее общие результаты по оцениванию параметров и состояний линейных статистически и стохастически неопределенных моделей получены при использовании среднеквадратического критерия. Однако, используя среднеквадратический критерий, зачастую нельзя определить вероятностные характеристики ошибок оценивания в многомерном случае, даже если известно, что модель наблюдения является гауссовской. На практике ситуация выглядит еще более удручающей: не только истинные законы распределения случайных параметров модели неизвестны, но и их важнейшие характеристики (векторы средних значений и ковариационные матрицы) задаются лишь приближенно. Последнее еще более усложняет задачу оценивания по вероятностным критериям качества.

Для моделей с полной априорной информацией задачи стохастической оптимизации по вероятностному и квантильному критериям в последнее время исследовались весьма интенсивно [46,79]. Дальнейшие результаты, применимые к линейным стохастически неопределенным моделям, описаны в [49, 86]. Исследование вероятностных и квантильных критериев в задачах идентификации линейных статистически неопределенных моделей в настоящее время следует признать недостаточным. Широкому распространению среднеквадратического подхода способствовало то обстоятельство, что для линейных систем с гауссовыми случайными возмущениями удается получить в явном виде решение как задачи анализа, так и задачи синтеза оптимального управления. Однако в общем случае нельзя гарантировать выполнение требуемых условий с заданной вероятностью при использовании среднеквадратической стратегии управления. Именно поэтому некоюрые исследователи обратились к использованию другого подхода, получившего название гарантирующего (минимаксного). Сущность его состоит в интерпретации всех неконтролируемых факторов, включая и случайные, о которых известна некоторая статистическая информация, как неопределенных факторов, о которых известными считаются лишь диапазоны их изменения или, более точно, некоторые предельные (доверительные) множества. В конечном счете, оптимальная стратегия управления определяется как стратегия, гарантирующая достижение наилучшего результата при наихудшем сочетании неопределенных факторов. Если при этом доверительное множество неопределенных факторов выбрать априори так, что его вероятностная мера будет не ниже заданной, то минимаксная стратегия управления будет гарантировать достижение результата с такой же вероятностью. Основной недостаток гарантирующего подхода заключается в том, что соответствующая ему стратегия, как правило, оказывается слишком «осторожной», а величина оценки критерия — сильно завышенной. Это объясняется тем, что, с одной стороны, решение выбирается из расчета наихудшего сочетания неопределенных факторов (а это событие является маловероятным), а с другой, — тем, что статистическая информация о случайных факторах при данном подходе используется частично или не используется вообще.

Для решения сложных практических задач в вероятностной постановке в настоящее время универсальным и эффективным является аппарат, базирующийся на использовании метода статистического моделирования совместно с численными (поисковыми) методами оптимизации. При этом возможны два принципиально разных способа совместного использования этих методов. Первый способ состоит в последовательном применении статистического моделирования и поисковой оптимизации. Второй способ совместного использования статистического моделирования и поисковой оптимизации заключается в применении их параллельно. Подобные методы оптимизации стохастических систем называются методами стохастической аппроксимации.

Теория стохастического программирования с вероятностными критериями рассматривает конечномерные задачи, которые своей целью ставят принятие оптимальных решений с учетом риска или требований надежности в условиях неопределенности, имеющей стохастическую природу. Стохастическая природа в таких задачах моделируется некоторым случайным вектором. Вероятностными критериями оптимальности являются функции вероятности и квантили. Функция вероятности несет в себе смысл вероятности выполнения некоторого условия. Функция квантили характеризует минимальное гарантированное значение функции потерь, которое не может быть превышено с заданной вероятностью при выборе гарантирующей стратегии. В силу актуальности и важности задач стохастического программирования их исследованием занимались известные российские ученые в области теории управления [2,3,40,41]. Из зарубежных исследователей в этой области следует отметить представителей венгерской [88−92] и эстонской [43−45,54−58,62,63,68,69,80,82,93,94] научных школ.

В общем случае, задачи стохастического программирования и анализа в условиях стохастической неопределенности являются весьма сложными. Это связано с тем, что найти аналитический вид функций квантили и вероятности или их градиентов можно лишь в некоторых частных случаях. При отсутствии аналитического вида критерия бывает сложно построить эффективные численные методы решения подобных задач. Кроме того, задача может быть усложнена тем, что распределение случайных параметров системы явно не задано, а известно лишь то, что распределение принадлежит некоторому классу неопределенности. Несмотря на возникающие сложности исследования этих задач, в последнее время их актуальность увеличивается. Это объясняется тем, что данные критерии не рассматривают некоторые маловероятные совокупности неопределенных параметров, учитывая только риск их реализации. Однако главным недостатком вероятностных критериев остается то, что зачастую не представляется возможным привести их к аналитическому виду.

При детерминированном подходе исследования систем влияние неопределенных факторов не учитывается. Но с практической точки зрения в этом случае может быть потерян реализм присутствующих в задаче явлений. Например, при формировании портфеля ценных бумаг сложно не учитывать случайность эффективностей финансовых инструментов или при моделировании движения летательного аппарата определять, как постоянную, скорость ветра. Таким образом, практическая значимость учета неконтролируемых факторов в моделях систем не вызывает сомнений.

Одним из подходов к решению задач стохастического программирования является метод детерминированного эквивалента, суть которого состоит в замене исходной стохастической задачи некоторой детерминированной. В задачах анализа и оптимизации систем в присутствии случайных параметров зачастую, чтобы избавиться от «стохастики», усредняют целевую функцию по этим параметрам. В результате полученное решение может абсурдным, так как оно будет справедливо лишь «в среднем». Наглядным примером является биржевой парадокс [60]. Другим вариантом построения детерминированного эквивалента является гарантирующий (минимаксный) подход. Гарантирующий подход к анализу систем заключается в том, что берутся наихудшие из возможных реализаций случайных параметров. Так осуществляется страховка от наихудшего результата. Но в реальности наихудшие сочетания неопределенных параметров системы маловероятны и пере-страховочны, особенно когда таких параметров много. Некоторым компромиссом между стохастическим и минимаксным подходами к моделированию систем в условиях неопределенности является квантильный подход, основанный на использовании квантильного критерия качества. При квантильном подходе маловероятные, наихудшие сочетания параметров, характерные для минимаксного подхода, исключаются пз рассмотрения. Риск их появления ограничивается на некотором допустимом уровне.

При анализе и синтезе систем в присутствии случайных параметров по квантильному критерию качества возникают сложности следующего характера. Во-первых, в большинстве таких задач найти аналитическое выражение для квантильного критерия при заданном уровне доверительной вероятности, как правило, невозможно. Это связано с абстрактным (через вероятность) определением функции квантили. Кроме того, задача усложняется нелинейностью квантильного критерия. Во-вторых, для статистического оценивания квантили не всегда понятно, сколько нужно провести испытаний, чтобы с заданной точностью оценить искомую величину. В-третьих, если количество опытных данных фиксировано — как улучшить точность оценки квантили. В силу указанных причин при разработке численных методов для вычисления квантили приходится использовать различные аппроксимации. Обычно применяют аппроксимации двух типов: основывающиеся на статистических оценках и на построении детерминированных границ для квантили. Наиболее известными методами оценки квантили являются выборочная оценка [5,16], экстремальная порядковая оценка [11,13] и ядерная оценка функции квантили [75,87,97].

Для решения задач стохастического программирования с критерием в виде функции квантили, как правило, используются стохастические квазиградиентные алгоритмы [17, 20, 79]. Некоторые из этих алгоритмов [79] сходятся крайне медленно, в частности потому, что при приближении к экстремуму требуется увеличение объема выборки. Поэтому актуальна проблема сокращения числа испытаний, а, следовательно, и повышения быстродействия подобных алгоритмов. В диссертации в первой главе предлагается метод линеаризации для оценки квантильного критерия, в случае, если в системе присутствуют малые случайные параметры. При рассмотрении линеаризованной задачи указанные проблемы обычно удается преодолеть.

Приложениями теории стохастического программирования являются задачи об оптимизации инвестиционных портфелей, рассмотренные, например, в [12,23, 36,83]. Одна из таких задач рассматривается в третьей главе.

Подводя итог вышесказанному, можно сделать вывод о том, что постановки задач анализа и стохастического программирования с квантильным критерием активно исследуются в настоящее время, что подтверждает актуальность диссертационной работы.

Целью работы является обоснование метода линеаризации для оценки квантильного критерия, а также сравнение квантильного и гарантирующего подходов к анализу качества систем в условиях статистической неопределенности. Для достижения поставленной цели предлагаются:

1) аналитические оценки для абсолютной и относительной эффективностей квантильного подхода по отношению к гарантирующему;

2) достаточные условия применимости метода линеаризации функции потерь для оценки квантили;

3) новое решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом с помощью метода линеаризации.

Диссертация была поддержана грантами РФФИ Ж№- 05−08−17 963, 09−08−369. Результаты работы докладывались на следующих международных научных конференциях: «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, 2006, 2007, 2008гг.), «Авиация и Космонавтика» (Москва, MAPI, 2008 г.), а также на всероссийской конференции молодых ученых и студентов «Информационные технологии в авиационной и космической технике» (Москва, МАИ, 2008 г.) и на научных семинарах в MAPI, ИПУ РАН и МИЭМ.

Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях [25,29] в журнале, входящем в Перечень ВАК, и тезисах научных конференций [24,26−28,30].

Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы (97 источников). Объем диссертации включает 95 машинописных страниц, включая 1 рисунок и 6 таблиц.

Краткое содержание основных результатов работы по главам состоит в следующем.

Первая глава посвящена методу линеаризации для решения задач квантильного анализа и оптимизации в присутствии в системе малых случайных параметров. Малыми случайными параметрами будем называть произведение где д > 0 — малый скалярный параметр, а? — n-мерный случайный вектор с известным распределением, моделирующий статистическую неопределенность.

Задачи оценивания или оптимизации квантили в общем случае являются достаточно сложными. Сложность заключается в том, что квантильный критерий в большинстве случаев не может быть явно представлен в аналитическом виде. Но в случае, когда модель системы является линейной по неопределенным параметрам, задачу оценивания квантили можно свести к задаче обобщенного линейного программирования на выпуклом множестве.

Рассматривается функция потерь /(ж), являющаяся непрерывно-дифференцируемой по х G R". Вводится также линеаризованная функция потерь:

Ж/*О = /(0) + /хат£> (1) df (y) где, а =^f. и у=0.

Задачей первой главы является обоснование того, что квантиль (fi (rt))a отличается от искомой квантили (/(/х?))а на малую величину порядка /-2.

В качестве вспомогательной задачи рассматривается задача нахождения квантили для линеаризованной функции потерь. С помощью результата из [78] при выполнении ряда условий, задача оценивания квантили (fi (rt))a сводится к задаче обобщенного линейного программирования: fi№))a = пах fi№), (2) х? Ла где Ка — регулярное а-ядро случайного вектора, а а? (0,1). Понятие а-ядра, а также некоторые его свойства приведены в главе 1 диссертации.

Таким образом, задачу (2) можно записать в следующем виде: fi№))a = /(0) + jtz max а? х. (3).

X?J ct.

В главе сначала рассматривается случай, когда вектор? одномерный, а затем приводятся результаты для многомерного случая.

Введем следующие обозначения: I — замыкание интервала (ол, а>+), где и- — inf (a:: F{x) > 0), и+ = sup (rr: F (x) < 1), F (x) — функция распределения случайной величины.

В одномерном случае оказывается, что если функция распределения F{x) случайной величины? непрерывна и строго возрастает на I, функция потерь f (x) строго монотонна и непрерывна на этом же отрезке и непрерывно-дифференцируемая на интервале и, кроме того, а ^ 0, тогда.

W))a — (Ш))а = 0(«2) — (4).

Дальнейшие рассуждения ведутся для систем, которые имеют в качестве неопределенности многомерный вектор Рассматривается частный случай функции потерь [8]:

0 = г («т (^ + с)), (5) где, А — некоторая матрица размерности тхп,£ — n-мерный случайный вектор, -г/, с — фиксированные векторы размерности гп, г (-): Н1 —> R1 — строго возрастающая непрерывно-дифференцируемая функция, определенная на всей числовой оси.

Доказано, что если функция потерь имеет вид (5) и вектор f имеет сферически симметричное распределение, то где (?i)q — квантиль уровня, а первой компоненты случайного вектора a t0 = итс, г'(to) = ^|£=(о • Таким образом, решается задача нахождения квантили для линеаризованной функции потерь (5). Доказано также, что если система задана функцией потерь структуры (5), то справедливо равенство.

Далее формулируются и доказываются еще два утверждения, касающиеся точности оценивания квантили функции потерь квантилью для линеаризованной функции. При выполнении ряда условий, сформулированных в теоремах первой главы, также выполняется соотношение (7).

В конце главы приводится три примера задач квантильного анализа в случаях нормального, равномерного и экспоненциального распределений для размерности пространства п = 1. Аналитически находятся разности квантилей функции потерь и ее линейного приближения для этих случаев. Данные примеры подтверждают справедливость оценки (4). Кроме того, рассмотрена задача коррекции искусственного геостационарного спутника Земли с квантильным критерием оптимизации. Сравниваются значения квантили для истинной и линеаризованной функций потерь.

Во второй главе рассматривается задача сравнения квантильного и гарантирующего подходов к анализу систем в условиях неопределенности. Сравнение подходов производится для функции потерь в условиях статистической неопределенности. Данная неопределенность задается распределениями из класса Бармиша. Рассматривается линейная функция потерь fi (^))a = ^ATu\T'(t0)(^)a + r (t0),.

6).

7) где вектор с — детерминированный n-мерный вектор с нормой ||с|| = случайный вектор с плотностью вероятности р (х), которая берется из класса Бармиша, где х = (xi, ., хп) т. Определение класса Бармиша приведено в главе 2. Распределение вектора? задается соотношением.

Р (А)= J p (x)dx, (9) л где, А — произвольное борелевское множество, Р (-) — вероятностная мера борелев-ских подмножеств пространства Rn. Обозначим множество вероятностных мер Р вида (9), соответствующих всевозможным плотностям из класса Бармиша, как.

Пв.

Если Р G то распределение случайного вектора? сосредоточено на единичном кубе = jselT: 1¹ г = 1,., п|. (10).

Гарантирующий подход к анализу систем заключается в том, что выбирается такая комбинация компонентов неопределенности, которая обеспечивает наибольшие потери.

Максимальные потери на единичном кубе 1п будут иметь вид.

1 п т© = max/(с, я) = - (11) x€ln I г=1.

Рассмотрим квантильный подход к анализу систем в условиях статистической неопределенности, описанной классом Пд. Определим наихудшее значение функции квантили на выбранном классе распределений: у*а© = sup min {у: Р (/(с, ?) ^ у) > а}, (12).

Репв где a G (0,1) — заданный уровень надежности.

Задачей сравнения этих двух подходов является оценка абсолютной ha© = m (c) — у*© (13) и относительной.

Ш = Щ (14).

7П[С) эффективностей квантильного подхода по отношению к гарантирующему.

С помощью некоторых вспомогательных результатов, в частности принципа равномерности [19, 73], находятся аналитические оценки нижних граней для абсолютной (13) и осредненной по вектору с (14) относительной эффективностей. Приводятся численные результаты расчетов средней относительной эффективности для различных, а и п. Оказывается, что квантильный подход в среднем является оптимистичнее гарантирующего не менее чем на 40%.

Кроме того, во второй главе рассматривается случай линейной функции потерь с детерминированной составляющей (свободным членом). Для данной функции также находится аналитическая оценка нижней границы среднего относительного эффекта квантильного подхода к анализу систем по отношению к гарантирующему. Также приводятся результаты численных расчетов относительной эффективности для системы, которая задается функцией потерь с детерминированной составляющей. Из результатов вычисления видно, что при увеличении размерности пространства п нижняя граница относительной эффективности стремиться к значению 39% и практически не зависит от а.

Третья глава посвящена задаче формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом. Речь идет о задаче формирования портфеля бескупонных ценных бумаг с фиксированным доходом на интервале времени [0,Т]. Такие ценные бумаги будем называть бондами. Каждый г—й бонд характеризуется номиналом Li и датой погашения Т. Инвестор, который купил бонд по цене с в момент времени t? [0, Т] выручает в момент 2] капитал размера Li. Доход от этой операции равен^г5, т. е. он фиксирован. Бонд, погашаемый в момент Т, называется безрисковым. Упорядочим бонды по датам погашения следующим образом: 0 < Т <. < Тп < Т. Все средства, выручаемые в момент Т* погашения г-го бонда, инвестор вкладывает в безрисковый бонд. Таким образом, к моменту Т в портфеле остаются лишь экземпляры безрискового бонда. Цена безрискового бонда в моменты Т-, г = 1,., п, априори неизвестна. Предполагается, что эти цены случайны. Если предположить, что эти цены имеют нормальный закон распределения, то оказывается, что доход портфеля не имеет математического ожидания [78]. По этой причине сформулировать задачу в терминах Марковица [53] не удается. В связи с этим в постановке задачи используется квантильный критерий качества портфеля, известный также под названием Value-at-Risk (VaR).

Ранее эта задача решалась в работах [23,78] приближенно в предположении, что цены безрискового бонда являются независимыми. В диссертации предлагается приближенное решение задачи формирования портфеля бондов с учетом того, что цены безрискового бонда в моменты Т^г — 1,., п, могут быть зависимыми. Это достигается путем применения метода линеаризации, разработанного в главе 1 диссертации для решения задач стохастического программирования с квантиль-ным критерием качества.

Пусть у инвестора имеется начальный капитал, который в начальный момент времени t = О вкладывается в бонды с целью получения дохода к заданному моменту времени Т > 0. Обозначим через щ долю начального капитала, вкладываемую в г—ю ценную бумагу. Тогда справедливо следующее равенство: и0 +. + ип = 1. (15).

В данной задаче операции типа «short sales» (взятие бондов в долг па время Т) принципиально нереализуемы, поэтому.

Щ ^ 0, г = 0, ., п. (16).

Доход портфеля в процентах годовых определяется соотношением, которое получено в [23]: т-./ / 1 — с? о 1 — d%gi.

Д («, д) = ат | + X, у (17) где и = (ub., un) T, ат = d{ = f-, д{ = f^, г = 0,.,??, д = (gi,., gn) T ~ Jf (m, К) с известными вектором математического ожидания m и ковариационной матрицей К. Отметим, что переменная щ не включена в вектор и для удобства дальнейших выкладок. При заданном и она определяется однозначно в силу (15). Предполагается, что диагональные элементы of матрицы К таковы, что Oi «rrii, i = l,., n.

Качество портфеля с учетом риска характеризуется квантильным критерием.

— Д (и, д))а =' min{<р: Р (-Д (и, д) ^ <р) > а}, (18) где, а Е 1) — заданная доверительная вероятность. Требуется решить задачу.

— R (u, g))a^ min, (19) и при ограничениях (15) и (16). Пусть.

Ъ = (Ьь ., 6&bdquo-)т, Ьо = ^-г^аг, (20) an bx =. = bn = ~ат, а = (аь ., а,&bdquo-), а* = —(21) rriidi.

6i = —, i=l,., n. (22) mj.

Тогда n.

— R{u, g) = G (u, ту) *йbQu0 — Fu — V) (23) l^i 1 + ^ где т? г = gi~mi ~ Л/" (0,1). В [78] предложено аппроксимировать задачу (19) задачей max G (u, х) —> min, (24) жеКа U при ограничениях (15),(16), где Ка — ск-ядро для случайного вектора 77, а х € Е1'г — возможные реализации вктора 77. В [23] и [78] задача (24) успешно решена в предположении о независимости компонент вектора г/.

В диссертации задача (24) решается приближенно без предположения о независимости компонентов 77. С этой целью учтем, что величины в{, г = 1, ., п, малы и рассмотрим линеаризованную функцию п.

Gi (u, 77) = —b0u0 — bTu — <цщ (1 — OiVi) — (25) г=1.

Исходя из свойств функции Gi (u, rj) [78] можно записать следующее: maxGi («>®) = (Gi (w, 77))a. (26).

X (zKa.

Основным результатом третьей главы является теорема о том, что задачу (24) можно аппроксимировать задачей п.

Gi (u, г]))а = -b0u0 — bru — min У^ aiuAl — 0{хЛ min, (27).

4 reft". ^—' ."iiT., i .^n 4 C г=1 учетом погрешности решения не превосходящей величину, имеющую порядок для всех 9* < -г, где в* = max Та i=i,.,., ii.

Далее в главе приводится алгоритм решения задачи (27). Данный алгоритм обоснован в [31].

Глава завершается рассмотрением примера формирования портфеля, содержащего пять государственных краткосрочных облигаций. Задача формирования портфеля решается двумя способами: методом [23] и методом линеаризации, предложенным в диссертационной работе. Приводятся результаты решения задачи этими методами.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1) достаточные условия применимости метода линеаризации для оценивания функции квантили в задачах с малыми случайными возмущениями;

2) получены аналитические оценки эффекта квантильного подхода по отношению к гарантирующему в задачах оценки критерия качества систем в условиях статистической неопределенности;

3) новое решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом с учетом возможной зависимости случайных цен.

Заключение

.

В диссертационной работе предложен метод линеаризации для решения задач квантильного анализа в присутствии малых случайных параметров. Сформулированы условия, необходимые и достаточные для применения метода линеаризации в системах с малыми случайными параметрами для оценивания квантили. При этом в некоторых случаях задачу анализа удается свести к обобщенному линейному программированию на выпуклом множестве. Кроме того, исследована точность оценок квантили при использовании метода линеаризации.

Также в диссертации впервые предложены оценки эффекта использования квантильного критерия в задачах оценки качества систем в условиях статистической неопределенности. Рассмотрена система, заданная линейной функцией потерь. Найдены нижние оценки абсолютной и относительной эффективностей преимущества квантильного подхода. Показано, что в условиях неопределенности, заданной классом Бармиша, квантильные оценки качества системы в среднем на 40% является более оптимистичной, чем гарантирующие. Получены аналогичные оценки эффективностей в случае, если в функции потерь системы присутствует детерминированная составляющая.

В качестве примера использования метода линеаризации получено новое решение задачи формирования портфеля бескупонных ценных бумаг. Учтено, что в системе управления портфелем присутствуют малые случайные параметры с известным распределением. Также оценена погрешность полученного решения. Оказывается, что она не превосходит порядка квадрата вышеуказанного малого параметра.