Некоторые вопросы квантовых полевых матричных моделей

Основным методом изучения квантовой теории поля [1] является теория возмущений, использующая технику фейнмановских диаграмм. Для квантовой электродинамики было выявлено замечательное согласие между теоретическими результами, полученными с помощью теории возмущений, и экспериментальными данными. Однако, как известно, квантовая хромо-динамика [2], [3], [4], которая лежит в основе сильных взаимодействий, хорошо описывается теорией возмущений только на малых расстояниях или в области больших импульсов в силу асимптотической свободы. Чтобы описать эту теорию в области малых импульсов, необходимо развитие методов исследования квантовой теории поля, выходящих за рамки теории возмущений. Одним из наиболее применяемых является метод малого параметра по обратному числу степеней свободы системы, известный также как 1/^-разложение. Для калибровочной теории Янга-Миллса II (И) [5], которая описывает глюонные поля, естественным параметром N является ранг калибровочной группы. Впервые 1/Л^-разложение рассматривалось в статистической физике [б].

Из знаменитой работы т' Хуфта [5] хорошо известно, что в многомерной матричной теории Янга-Миллса в пределе больших N и при наложении определенного условия на константу связи выживают, т. е. дают ведущий вклад в вычисление различных величин, планарные диаграммы. Ими являются такие диаграммы, которые можно нарисовать на плоскости. Для выполнения аналитических исследований необходимо вычислять сумму всех планарных диаграмм. Оценка числа роста планарных диаграмм была сделана в работах канадского математика Татта [7] и группой физиков Коплика, Неве и Нуссинова [8] комбинаторным способом с использованием уравнения на производящие функции для корреляторов. Оказалось, что число планарных графов растет степенным образом по числу вершин, в то время как общее число графов растет факториально. Комбинаторные исследования продолжились 'т Хуфтом [9] для модели с потенциалом Ф3+Ф4. Методом 1/АГ-разложения Брезаном, Ициксоном, Паризи, Зюбером (BIPZ) [10] исследовались эрмитовые нуль-мерные Ф3 и Ф4, а также одномерная Ф4 модели. Для упомянутых нуль-мерных моделей путем решения сингулярного интегрального уравнения на плотность распределения собственных значений матрицы найдены корреляционные функции, вакуумная энергия, уравнения на одночастично-неприводимые вершинные функции. Было показано также, что планарное приближение одномерной матричной модели описывается невзаимодействующими между собой фермионами.

Исследование нуль-мерных матричных моделей представляет интерес для многомерных квантовых теорий поля, так как такие модели подсчитывают полное число планарных диаграмм при N оо. В 1980 году Виттен [И] предложил описывать многомерную квантовую хромодинамику при больших N введением одного нематричного поля. Такое поле Коулмен назвал мастер-поле [12], которое стало общепринятым. Задача построения такой конфигурации обсуждалась во многих работах [13]—[23]. В статьях Дагласа, Гросса и Гопакумара [23]—[24] было построено мастер-поле для двумерной хромодинамики. Проблема его построения в многомерной калибровочной теории поля была решена в работе Арефьевой и Воловича [25] для функций Вайтмана. Было показано, что мастер-поле удовлетворяет стандартным уравнениям релятивистской квантовой теории. Однако, изменяются условия квантования и коммутационные соотношения для мастер-поля принимают вид соотношений для больцмановской статистики. Появление больцмановских полей в матричных моделях было отмечено в [23]. Нахождение явных решений этих уравнений являются нетривиальной задачей и представляется разумным развить приближенные методы изучения мастер-поля.

Вначале матричные модели были предложены Вигнером для описания возбужденных уровней ядер. Им было получено знаменитое вигнеровское распределение собственных значений матрицы для гауссовой эрмитовой матричной модели. Обзор применения матричных моделей в ядерной физике и их другие приложения, например, в теории квантового хаоса, содержится в [26].

В приложениях большое значение имеет частный вид матричных моделей, а именно, векторные модели. Методом 1/]У~разложения исследовались различные векторные модели [27]—[32]- бозонные, фермионные, сг-модели и другие, обладающие различным поведением при больших N. В частности, фермионная модель Гросса-Неве [28] и 0(Л7') а-модель [30] обладают свойством асимптотической свободы, что было показано как по теории возмущений так и по 1/^-разложению. Более подробно сведения о свойствах различных векторных моделей можно найти в [33], [34].

Были также рассмотрены модели с произвольным размером матриц, более общие, чем квадратные. Обычно рассматривают эрмитовые, комплексные, ортогональные, симметрические, унитарные, симплектические, фермионные [35] и суперсимметрические [36] матричные модели. Более подробные сведения о статистических ансамблях различных матричных моделей можно найти в [37], [38]. Однако, наиболее применяемы эрмитовые матричные модели.

Выход за планарное приближение впервые был осуществлен с помощью метода ортогональных полиномов Бессисом [39], Бессисом, Ициксоном и Зюбером [40]. В работе [40], используя этот метод, было найдено два следующих члена ряда по для вакуумной энергии. С помощью петлевых уравнений [20] были получены результаты общего характера для производящих функций корреляторов старших родов [41]. Также было предложено общее интегро-дифференциальное уравнение на плотность распределения.

42], которое учитывает эффекты конечных N. Планарное сингулярное интегральное уравнение можно рассматривать как уравнение с интегральным преобразованием Гильберта. В более общем уравнении для конечных N появится член с логарифмической производной от плотности. Это нелинейное обобщение преобразования Гильберта. Такое уравнение решалось в.

43]. Однако данным подходом не удалось воспроизвести результаты для вакуумной энергии из работы [40].

Одним из обобщений одноматричной модели является модель с двумя матрицами с простейшим членом взаимодействия между ними вида сЬтМхМъ Проблема, как в такой модели проинтегрировать по угловым переменным, обсуждалась Ициксоном-Зюбером [44]. Этими авторами была получена известная формула интегрирования по унитарным матрицам. Пока не удалось методом седловой точки с помощью уравнений на плотности распределения получить планарное описание двуматричной модели. Хотя попытки в этом направлении препринимались. Однако, метод ортогональных полиномов оказался эффективным для исследования двуматричной модели [45]. Используя биортогональные полиномы, зависящие от двух переменных, Мехта получил планарное описание двуматричной модели. Он вывел уравнение для функции, через которую выражается вакуумная энергия. Многоматричные модели рассматривались в [46]. Двуматричная модель описывает модель Изинга на случайной решетке, что было обнаружено Казаковым [47], [48]. А случай модели Изинга на случайной решетке с магнитным полем рассматривался Булатовым и Казаковым [49]. В цитируемых работах было получено формальное выражение для вакуумной энергии матричных моделей Ф3 и Ф4 с магнитным полем и без него, вычислены критические индексы, которые сравнивались с точными ответами для модели Изинга. Для двуматричной модели с помощью петлевых уравнений было Штаудахером [50] найдено уравнение на производящую функцию корреляционной функции одной матрицы. Другими авторами предлагались различные подходы к исследованию двуматричной модели и разные варианты мастер-уравнения, описывающего поведение системы.

Планарное описание нуль-мерной и одно-мерной матричной модели [10] сравнивалось с результатами, полученными другими подходами: вариационным методом [51], методом эффективного действия [52], методом коллективного действия [14]. Также Брезаном и Зинн-Жюстеном был предложен метод ренормализационной группы по размеру матрицы N [53], который исследовался дальше для более сложных моделей. Была замечена формальная аналогия между планарным решением одноматричной модели и алгебраическим Бете-анзацем [54]. Кроме того, был рассмотрен перспективный метод разложения по характерам [55] для матричных моделей, который позволяет исследовать более сложные системы [56]—[58], чем стандартная одноматричная и многоматричные модели. Одним из подходов, в связи с которым обсуждалось планарное приближение, является метод вильсоновской ренормализационной группы [59]. Также Хиками [60] сравнивались ответы для различных, но достаточно простых, матричных моделей, полученных при конечных и небольших размерах матрицы И, с теми, которые известны, когда N -" сю.

Предпринимались усилия подсчитать некоторую часть планарных диаграмм. В работах [61], [62] было рассмотрено так называемое полу-планарное приближение к планарной теории. Отличительной особенностью этого метода является то, что в нем можно записать замкнутую систему уравнений типа уравнений Швингера-Дайсона для конечного числа корреляционных функций. Этот подход учитывает сумму только полу-планарных или планарных радужных диаграмм [61]. Полу-планарное приближение дает хорошее согласие с известными точными ответами при больших N в широкой области изменения константы связи, что было показано Арефьевой и Зубаревым [62]. Однако, это приближение не воспроизводит точно режим сильной связи для точных планарных функций Грина.

Как хорошо известно, одним из самых известных приложений матричных моделей является использование их в двумерной квантовой гравитации [63]-[65], которая в общем случае описывает некритическую теорию струн. Матричные модели осуществляют решеточное описание двумерной гравитации с помощью динамической триангуляции римановой поверхности. При этом кубичный член в матричной модели осуществляет обычную триангуляцию треугольниками, а более старшие члены взаимодействия соот-ветсвуют триангуляциям правильными многоугольниками. Двойной скей-линговый предел, который учитывает сумму всех родов, был предложен и изучен для матричной модели Ф4 в работах [66]—[74]. В модели с полубесконечным рядом по следу матрицы 5(Ф) = N ^ гФг, г = 0,., оо уравнения Швингера-Дайсона (уравнения связей или тождества Уорда) образуют алгебру Вирасоро без центрального заряда [69], [70]. В непрерывном пределе эта структура сохраняется, но изменяется зависимость генераторов алгебры от констант связи. В общем случае статистическая сумма матричной модели оказывается т-функцией интегрируемой системы. А константы связи матричной модели оказываются временами в соответствующей интегрируемой иерархии в дискретном случае. Детальные обзоры применения к двумерной гравитации различных матричных моделей находятся в [71]-[81], в них рассмотрены неперерывные пределы этих моделей и их аналоги в интегрируемых системах.

Поведение статистической суммы двумерной квантовой гравитации определяется индексом струнной восприимчивости 7. В [82] была получена зависимость этого индекса от центрального заряда теории некритических струн с. Из известной формулы Книжника-Полякова-Замолодчикова для 7, выведенной в данной работе, видно, что теория некритических струн хорошо определена там, где вакуум теории стабилен при с < 1, с > 25. Этот важный результат совпадает с ответом для 7 [83], полученным в матричных моделях.

В частности, можно рассмотреть матричную модель, которая учитывает для двумерной гравитации старшие члены по кривизне. Это модель с модифицированным квадратичным членом в действии £гАФАФ. При интегрировании этого члена в функциональном интеграле по угловым переменным в эффективном действии теории появляются многоследовые слагаемые. В такой модели с многоследовыми членами удается сократить число физических степеней свободы и записать замкнутую систему уравнений на плотность распределения и корреляционные функции. Простейшая матричная модель с двуследовым членом была рассмотрена в работе индийских ученых ДасаДхарыСенгуптыВадии [84]. Авторами этой статьи было показано изменение индекса струнной восприимчивости 7 для случая с многоследовыми членами по сравнению с формулой КнижникаПоляковаЗамо-лодчикова. Этот результат имеет отношение к проблеме — барьера. Эта проблема заключается в том, что при размерности В > 1 для матричной теории поля не удается точно решить задачу сокращения динамических переменных при N Чоо и построить 1/ЛГразложение. Еще более простая модель без четвертичного члена взаимодействия является на самом деле векторной [85]. Для таких моделей совпадают уравнения Швингера-Дайсона для корреляционных функций. Исследование матричных моделей с многоследовыми слагаемыми продолжилось в [86], [87].

Необходимо отметить, что метод случайных триангуляций для суперструн сталкивается с трудностями, связанными с дискретизацией суперсимметрии. Попытки построить суперсимметричное обобщение дискрети-зованных римановых поверхностей закончились частичным успехом только для простейшего случая двумерной супергравитации [88], хотя ее формулировка в виде суперсимметричной матричной модели и не была построена. Однако для суперструн был применен несколько иной подход, но он также использует матрицы в качестве фундаментальных объектов [89]—[91]. Вместо динамической триангуляции для непертурбативного описания суперструнной теории замкнутых струн ПА, которая получается при компак-тификации гипотетической 11-мерной М-теории, Банкс, Фишлер, Сасскинд и Шенкер [89] предложили использовать матричную теорию, которая задается суперсимметричной квантовой механикой в координатах светового конуса. В подходе для непертурбативного рассмотрения теории замкнутых струн типа ПВ матричная модель связана непосредственно с суперструнами [91], что было замечено японскими учеными Ишибаши, Каваи,.

Китазавой и Чучией. Действие этой модели получается из десятимерной суперсимметричной калибровочной теории редукцией к точке, т. е. рассмотрением полей, не зависящих от координат вообще. Различные решения полевых уравнений матричных теорий этих двух типов интепретируются как браны, соответствующие тем солитоноподобным объектам — D-бранам, которые возникают в теориях замкнутых суперструн IIA и IIB. Появление матричной теории привело к возникновению некоммутативной квантовой теории поля и ее последующему бурному развитию. Несмотря на то, что матричная теория добилась некоторых локальных успехов на пути непер-турбативного описания теории суперструн, она не достигла пока удовлетворительных ответов по сравнению с пертурбативными.

Кроме того, были найдены замечательные применения матричных моделей в геометрии. Модель с логарифмическим потенциалом [92] вычисляет виртуальные эйлеровые характеристики римановой поверхности. А статистическая сумма модели из работы [93] является производящей функцией для корреляторов индексов пересечений. Удивительным оказалось то, что этот функциональный интеграл воспроизводит непрерывный предел обычной эрмитовой модели с полубесконечным рядом.

Также в последнее время было обнаружено использование матричных моделей в суперсимметричных калибровочных теориях поля. Дийкграафом и Вафой было замечено соответствие между решениями на многих отрезках (по-английски multi-cut solutions) [94]—[ЮТ] в матричных моделях и суперсимметричными калибровочными теориями [108]—[110]. В эрмитовой матричной модели с обычным массовым членом решение сингулярного интегрального уравнения ищется на одном отрезке, однако для моделей с отрицательным квадратом массы появляются решения на нескольких отрезках или разрезах. Многоразрезное решение уравнения иа плотность распределения дает гиперэллиптическое описание римановой поверхности, что является достаточно удобным. Решения на нескольких отрезках для уравнения на плотность распределения собственных значений матрицы впервые были обнаружены в простейшем случае нуль-мерных и одно-мерных эрмитовых матричных моделей Голдстоуна, а также в решеточной модели Когута-Сасскинда [94]. В работе [95] было замечено, что не все решения найдены в предыдущей работе. Произвольное решение на двух отрезках задается параметром? — интегралом по левому отрезку от плотности распределения матрицы. Попасть в такую конфигурацию с заданным? можно, если ввести в действие исчезающе малый возмущающий член специального вида, нарушающий исходную симметрию U (N). В этом случае можно говорить, что решения с различными? определяют различные фазы теории в смысле квазисредних H.H. Боголюбова [111]. Отметим, что при этом вакуумная энергия зависит от способа введения в действие возмущающего слагаемого. Это довольно необычная ситуация для статистической физики, где, как правило, от способа введения в действие бесконечно малого члена, нарушающего исходную симметрию, зависят функции Грина, но не свободная энергия. Симметричное двухразрезное решение соответсвует? = ½, а полностью несимметричное —? = О или 1.

Двумерная теория Янга-Миллса на решетке, которая описывается виль-соновским действием, сводится к унитарной нуль-мерной матричной модели, как было отмечено в работе [112]. Подобно тому, как это происходит в эрмитовых моделях, в унитарных матричных моделях возникает интегральное уравнение на плотность распределения собственных значений унитарной матрицы. В этой статье также было показано, что вакуумная энергия при критическом значении константы связи претерпевает фазовый переход третьего рода, названный переходом Гросса-Виттена. Аналогичный фазовый переход происходит и в эрмитовых матричных моделях. Многоразрезные решения для унитарных моделей первоначально обсуждались в [113].

Паркетное приближение или обобщенное лестничное приближение было предложено Ландау, Абрикосовым и Халатниковым в их исследовании высокоэнергетического поведения квантовой электродинамики [114]. Результаты, полученные с помощью паркетного приближения, находятся в согласии с подходом ренормализационной группы [1]. Первоначальной задачей в [114] было развитие непертурбативных методов в квантовой теории поля. Паркетное приближение приводит к замкнутой системе интегральных уравнений на пропагаторы и вершинные функции. Эти уравнения имеют смысл и при больших константах связи. Данный подход учитывает больший класс фейнмановских диаграмм, чем приближение главных логарифмов. И поэтому полученные результаты с помощью паркетного приближения носят более строгий характер. На основании решения системы паркетных уравнений Ландау с сотрудниками сделал утверждение о тривиальности взаимодействия при больших энергиях, так называемый нуль-заряд, для квантовой электродинамики и мезонной теории. Отметим, что паркетное приближение использовалось в бозонных [115], фермионных [116] и векторных моделях [117]-[120]. Предположение о том, что могут быть теории другого типа с асимптотической свободой, сделал Ансельм [119] для двумерной модели Тирринга на основании исследования высокоэнергетического поведения системы интегральных уравнений. Паркетное приближение использовалось в статистической физики и теории критических явлений для рассмотрения свойств фазовых переходов [121], а также в теории квантовых жидкостей [122]. Одним из неясных вопросов теории паркетного приближения применительно к КХД является вопрос о калибровочной инвариантности этого приближения.

В данной работе рассматривается планарно-паркетное приближение для матричных моделей Ф4 и его сравнение с их планарным описанием. Первоначально планарно-паркетное подход для матричных моделей обсуждался Арефьевой и Зубаревым [123]. Это альтернативный подход к известному планарному решению. В планарно-паркетном приближении, вместо бесконечной системы планарных уравнений Швингера-Дайсона на функции Грина, которую, правда, можно заменить на производящую функцию, рассматривается конечное число уравнений на пропагаторы и вершинные функции. Авторами работы [123] было показано, что оно с хорошей точностью описывает решение на одном отрезке (решение BIPZ) для всей области определения константы связи. Это было проверено для нуль-мерных эрмитовых матричных моделей Ф3 и Ф4. Также там было показано, что скалярная нульмерная теория Ф4 плохо описывается паркетными уравнениями. Начиная с некоторого значения константы связи, паркетное описание не воспроизводит точный ответ.

Было высказано предположение, что планарное приближение над пер-турбативным вакуумом и для решения уравнения на плотность распределения на одном отрезке, как при больших, так и при малых значений константы связи достаточно хорошо приближено данными, полученными из небольшого числа уравнений над тривиальным вакуумомуравнения Швингера-Дайсона на пропагатор и планарно-паркетных уравнений на вершинные функции. Предполагается, что эта гипотеза имеет место и в случае нескольких полей. Это предложение было проверено для симметричной фазы модели Голдстоуна, одноразрезного решения многоследовой [124] и двуматричной моделей [125]. А для непертурбативного случая — двухразрезного полностью несимметричного решения различие между двумя подходами существенно [126]. Сильной стороной паркетного метода является то, что он позволяет исследовать модели, для которых сложно построить планарное приближение. Например, такой моделью является замкнутая многоматричная модель к матриц с дополнительным членом ЬгМгМь в действии по сравнению с обычной открытой многоматричной цепочкой. А недостатком является то, что это подход использует пертурба-тивную процедуру интегральных уравнений на пропагаторы и вершинные функции и зависит явно от потенциала взаимодействия. Это делает также трудным напрямую получение паркетной вакумной энергии и подсчет критических индексов моделей. В данной диссертации будет для удобства рассмотрен потенциал Ф4, который активно обсуждался в литературе.

Первая глава настоящей диссертации посвящена исследованию планарно-паркетного приближения для матричной модели с отрицательным квадратом массы, которая более известна как модель Голдстоуна. Здесь исследуется вопрос о том, как система паркетных уравнений описывает непер-турбативное решение на двух отрезках. Сравнение проводится для двух случаев — симметричного и полностью несимметричного решений. В этой главе представлены также основные определения и методы изучения, использующиеся в дальнейшем.

Вторая глава ставит целью сравнение двух подходов для матричной многоследовой модели с простейшим двуследовым членом вида (¿-гФ2)2 в действии. Этот пример иллюстрирует общее предположение, что планарное паркетное приближение воспроизводит планарное над тривиальным вакуумом для одного матричного поля.

Целью третьей главы ставится развитие исследования двуматричной модели обычного вида с помощью планарных паркетных уравнений. Таким образом, рассматриваемый паркетный подход проверяется для случая нескольких матричных полей.

В четвертой главе рассмотрены особенности решения на двух отрезках для голдстоуновской модели с многоследовым членом. Здесь рассматриваются некоторые свойства решения на двух отрезках для случая двух констант связи. Паркетное приближение проверяется для симметричного двухразрезного решения.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Заключение

.

В настоящей работе изучались различные аспекты нульмерных эрмитовых матричных моделей. Показано, как планарное паркетное приближение воспроизводит планарные данные для некоторых простых случаев.

Основные положения, выдвигаемые на защиту, состоят в следующем.

1. Получены следующие результаты для эрмитовой матричной модели Голдстоуна.

A. Обнаружено, что решение планарных паркетных уравнений вокруг тривиального пертурбативного вакуума пригодно для описания симметричной двухразрезной фазы.

B. Оказалось, что планарное паркетное приближение над непертурба-тивным вакуумом не воспроизводит полностью несимметричное решение на двух отрезках сингулярного интегрального уравнения.

2. Для многоследовой матричной модели показано с достаточно хорошей точностью согласие между паркетио-иланарным и планарным приближениями. Сравнивались пропагаторы, четырехточечные вершины и значения критических констант связи.

3. Наблюдалось достаточно хорошее согласие между двумя рассматриваемыми в диссертации подходами для двуматричной модели с симметричным потенциалом, когда сравнивались олнотипные пропагаторы и значений критических значений константы связи. Для несимметричного случая выписаны уравнения и приведено его решение для слабой связи.

4. Рассматривалась многоследовая матричная модель Голдстоуна. Найдены области существования решения на двух отрезках в симметричном и полностью несимметричном случаях. Подсчитана вакуумная энергия и пропагатор для симметричного случая. В произвольном случае вычислены намагниченность и пропагатор. Оказалось, что наблюдается хорошее согласие при сравнении планарного паркетного приближения над тривиальным вакуумом с симметричным решением на двух отрезках многоследовой модели.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору И. Я. Арефьевой за поддержку и постоянное внимание к работе, а также И. Зиятдинову и Л. О. Чехову за полезные обсуждения.