Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия Кафедра электротехники и электрооборудования Расчетно-графическая работа Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях Выполнил:

Проверил:

Краматорск

Задание

В заданных вариантах необходимо: для каждой цепи рассчитать токи и напряжения во время переходного процесса вызванного коммутацией — определить их аналитические выражения и построить временные графики i (t), u (t). Задачи решить классическим и операторным методами.

Задача № 1

U₀=1000 В

R₁=120 Ом

R₂=50 Ом

R₃=10 Ом

L=0.4 Гн

Рис. 1.

Решение задачи классическим методом

Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в дифференциальной форме для послекоммутационного режима.

Составленную систему уравнений называют математической моделью динамического режима работы цепи.

Токи и напряжения до коммутации:

Принужденные составляющие токов и напряжения

Определим полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации. На основании первого закона коммутации:

Свободные составляющие токов и напряжений в первый момент после коммутации.

Составляем характеристическое уравнение и определяем показатель затухания:

Постоянная времени переходного процесса

7. Выражения для свободных токов и напряжений:

8. Определяем постоянные интегрирования:

9. Свободные токи и напряжения:

10. Полные токи и напряжения во время переходного процесса

11. Построим графики токов и напряжений во время переходного процесса:

График тока i1

График тока i2

График тока i3

График напряжения на индуктивности ul

Решение задачи операторным методом

Рис. 2.

Представим схему замещения цепи в операторной форме (рис.2) для после коммутационного режима.

Для расчета токов и напряжения U₁в операторной форме используем метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в операторной форме:

Так как напряжение на индуктивности до коммутации было равно нулю, внутренняя ЭДС также равна нулю, в дальнейших расчетах ее не учитываем.

Из второго уравнения:

Из третьего уравнения:

Значения I₂ (р) и I₃ (р) подставим в первое уравнение:

Выражение для тока первой ветви в операторной форме:

Выражение для I₁ (р) получено в виде дроби, числитель и знаменатель которой полиномы.

N (p) =150 000 + 400р — полином числителя, где

М (р) = 23 000р + 68p² — полином знаменателя

Определяем корни полинома знаменателя:

23 000p + 68 p² = p (23 000 + 68 p)

p₁=0; p₂=

Для перевода тока I₂ (р) из области изображений в область временных функций применяем формулу

где N (р₁) и N (р₂) — соответственно значения полиномов числителя при корнях р₁ и р₂ М' (р₁) и М' (р₂) — значения производной от полинома знаменателя соответственно при корнях р₁ и р_2. Полиномы числителя при корнях р₁ и р₂:

N (р₁) = 150 000; N (р₂) = 14 706

Производная от полинома знаменателя:

М (р) = 23 000 + 136p

Производная от полинома знаменателя при корнях р₁ и р_2.

м' (р₁) = 23 000; М' (р₂) = - 23 000;

Ток i₁ во время переходного процесса:

Остальные токи и напряжения определим используя законы Ома и Кирхгофа

При расчете операторным методом получены те же выражения для токов и напряжения как и при расчете классическим методом, что подтверждает правильность выполненного расчета переходного процесса.

Задача № 2

U₀=160 B

R=80 Oм

L=0.8 Гн

С=20*10^-6 Ф

Рис 3.

Необходимо найти закон изменения токов во всех ветвях и напряжений U_L и U_C в зависимости от времени и построить графики.

Решение задачи классическим методом

Математическая модель динамического режима работы цепи для послекоммутационного режима:

Решая данную систему дифференциальных уравнений, можно получить закон изменения токов и напряжений во времени в момент переходного процесса, не используя специальных методов. Доя упрощения решения системы воспользуемся классическим методом.

1. Токи и напряжения до коммутации.

2. Принужденные значения токов и напряжений

3. Полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации:

3. Свободные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации:

Определим производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации, для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа.

Производные от тока на индуктивности и напряжения на емкости:

Отсюда

Все полученные результаты занесем в таблицу:

Составим характеристическое уравнение (для послекоммутационного режима) и определим его корни:

Подставим численные значения параметров цепи:

Решив квадратное уравнение получаем:

р₁ = - 282.461

р₂ = - 442.539

7. Определим постоянные интегрирования А₁ и А₂, и запишем выражения для токов и напряжений а) Для тока i_1св: