Большое значение при решении важных современных народнохозяйственных задач имеют вопросы фильтрации жадности в неоднородных и неоднородно-анизотронных трещиноватых и трещиновато-пористых средах.
Вопросы интенсификации добычи нефти и других полезных ископаемых, создания подземных хранилищ нефтепродуктов, подземных циркуляционных систем для извлечения тепла Земли, захоронения особо токсичных промстоков, введение в эксплуатацию новых месторождений нефти, цриуроченных к трещиноватому типу пород, требуют решения задач фильтрации в наиболее общей их постановке с учетом пространственного характера практических задач фильтрации и сложной структуры пород /неоднородности, анизотропии, сложной пористости/.
Модель пористой среды представляет собой систему непроницаемых, неподвижных зерен произвольной формы, между которыми имеются небольшие пустоты — поры. Поры заполнены жидкостью или газом, которые могут при определенных условиях перемещаться. Эта модель хорошо описывает установившуюся фильтрацию жидкости. Для многих пород она оказывается пригодной и для исследования процессов неустановившейся фильтрации на основе уравнения пьезоцровод-ности, выведенного В. И. Щелкачевым [^51 ] .
Однако, если в породах, кроме пор, имеется развитая система трещин, что характерно для многих пород, сопутствующих нефтяным месторождениям [^34,37 ~]у и тем более для искусственно нарушенных пород /с наведенной трещиноватостью/, [31,35 ] то исследование фильтрации с помощью уравнения пьезопроводности оказывается недостаточным.
Для пород, б которых имеются пустоты различного типа, потребовалось дальнейшее развитие представлений о пористой среде.
В конце 50-х годов Г. И. Баренблаттом, Ю. П. Желтовым, И.Н.Ко-чиной [ 10,11 J были разработаны физические основы движения жидкости в такой среде. Авторами особо выделен случай так называемой трещиновато-пористой среды, к которой ближе всего по структуре подходят искусственно нарушенные пласты и нефтеносные пласты с развитой системой трещин. Позднее равносильные уравнения были получены К/сЯМ-пX ] ,.
Исследованию движения жидкости и газа при работе отдельных скважин и галерей в трещиноватых и трещиновато-пористых средах посвящены монографии Г. Й. Баренблатта, В. М. Ентова, В. М. Рыжика Ю.П.Желтова [28,29 ], Л. Г. Наказной [37 ], В. Н. Николаевского и др. [звЗ, Е. С. Ромма [45 ], В. Н. Майдебора [34 ], Р.В.Шай-муратова [ 50″ ], А. Бан и др. [7 ]. Отдельные вопросы фильтрации жидкости в среде с двойной пористостью освещены в работе Г. И. Гусейнова, С.Н.Багир-заде, где методами интегральных преобразований решены задачи о притоке жидкости к несовершенной скважине [ 21 ]. Движение жидкости к галерее в среде с двойной пористостью исследовано И. А. Насрулаевым, С.Н.Багир-заде £б~]. Аметов применил для расчета фильтрации в среде с двойной пористостью теоремы сравнения [4 .
Стационарные задачи фильтрации в трещиновато-пористом пласте рассмотрены в работе И. И. Джаббарова, Г. И. Адамяна, С.Н.Багир-заде [26 ]. И. И. Джаббаровым, С.Н.Багир-заде фильтрация при упругом режиме к галерее рассмотрена в работе [25. Г. И. Баренблаттом решены операционным методом одномерные задачи о притоке жидкости к галерее и к совершенной скважине в трещиновато-пористом пласте [*9,I0 ]. Численное решение задачи фильтрации при работе единичной скважины в полуполосе для трещиновато-пористой среды получено в работе А. Ш. Асадова, Г. Н. Адамяна, С.Н.Багир
При исследовании неоднородных по проницаемости пластов обычно принято рассматривать два вида пород: слоистые и породы с нецрерывно изменяющимся коэффициентом проницаемости в пространстве. В последнее время в литературе все больше внимания уделяется движению жидкости в среде с прерывно и нецрерывно изменяющейся проницаемостью по простиранию пласта.
Учет неоднородности в радиальном направлении цроведен в работах П.Я.Полубариной-Кочиной [39 3, Г. И. Баренблатта [9,12*], Н. Н. Верилина, В. С. Саркисяна [l4,46~|, Г. В. Голубева, Г. Г.Тумаше-ва [17,18], О. В. Голубевой «ее учеников [ 19,20 J. Неоднородности в радиальном направлении и по мощности пласта учтена в работе М. Т. Абасова, М. А. Гаджиева, К. Н. Ддшшлова и др. £з ] .
Задачи фильтрации упругой жидкости в пористом пласте при изменении проницаемости по степенному закону в радиальном направлении и по мощности пласта рассмотрены в работе 3 С.Н.Бузи-нова, Н. С. Китайгородского. Вопросам фильтрации жидкости с учетом.
Работа несовершенных скважин в трещиновато-пористых средах.
Аналитическое решение для совершенных и несовершенных скважин в пластах с постоянным и кусочно-постоянным коэффициентом пронинесовершенства скважины посвящены работы М. Маскета И.МЛарного [48], Н. Г. Абасова, К. Н. Джалилова [2], А.А.Глу-щенко [16*] и многих других. исследована Г. Н. Гусейновым, С.Н.Багир-заде и другими.
—? цаемости получено в работах Л. М. Райченко [" 41,42,43,44 ] .
Настоящая работа продолжает исследование фильтрации жидкости в трещиновато-пористых неоднородно-анизотропных средах.
Целью диссертационной работы является получение точных формул распределения давления в неоднородных и неоднородно-анизотропных по проницаемости трещиновато-пористых пластах при работе совершенных и несовершенных единичных скважин, а также батарей скважин в конечном или бесконечном в горизонтальном направлении пласте, а также проведение на этом основании исследования влияния параметров неоднородности и трещиноватости пласта, несовершенства скважин на основные гидродинамические характеристики /давление, расход/ потока фильтрующейся жадности.
Метод исследования. Основными методами решения рассмотренных в диссертации задач является метод интегрального преобразования Лапласа по временной переменной и метод Фурье по цростран-ствённым переменным.
Научная новизна работы. Получены новые аналитические зависимости для определения полей давления, дебита скважины и давления на скважине в условиях неоднородного и неоднородно-анизотропного пласта с учетом совершенства и несовершенства скважин конечного радиуса, работающих в трещиновато-пористой среде. Также~получе-ны аналитические зависимости, описывающие динамику давления, -утечек и дебитов эксплуатационных скважин яри работе циркуляционных систем в неограниченном или конечном трещиноватом и трещиновато-пористом пластах.
Исследовано влияние гидродинамических параметров на основные характеристики фильтрационного потока с учетом перечисленных особенностей.
В ходе решения задач получены оригиналы обратного преобразования Лапласа для выражений, зависящих от бесселевых функций дробного индекса.
Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается строгостью постановок задач, применением обоснованных математических методов к исследованию и решению задач. Справедливость полученных аналитических формул подтверждается совпадением их в частных случаях с известными результатами других авторов. Некоторые результаты работы нашли практическое применение. Проведенные численные расчеты по полученным формулам дали хорошее совпадение с экспериментальными данными по освоению скважин.
Практическая ценность работы. Диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных тематик отдела горной теплофизики ИТТФ АН УССР, зарегистрированных под В 74 064 462 «Разработка и моделирование циркуляционных систем подземных тепловых котлов большой теплопроизводительности для извлечения тепла земной коры» /1978 г./, № 77076I2I «Разработка научных основ проектирования тепла Земли и создания подземных систем извлечения тепла Земли» /1981 г./, договора с йвано-Франковским институтом нефти и газа Минвуза УССР № 59/80 «Управление тепловым и гидродинамическим режимом призабойной зоны нефтяных скважин с целью улучшения показателей их проходки и эксплуатации в условиях месторождений Прикарпатья» /1982 г./.
Полученные результаты использовались при проведении комплекса работ по улучшению фильтрационных свойств призабойной зоны пласта и увеличению дебита скважины /Акт внедрения с экономическим эффектом 151 тыс. руб. по одной скважине прилагается/, при разработке методики расчета гидродинамических параметров ЩС и исследовании режима их работы /Акты об использовании результатов прилагаются/.
Полученные результаты могут быть также использованы при создании подземных хранилищ жидкости и газа, для интенсификации добычи полезных ископаемых, при захоронении особо токсичных промстоков, для определения параметров трещиновато-пористой среды.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
1. На республиканской конференции «Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе» /Киев, 1978 г./.
2. На Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы горной теплофизики» /Ленинград, ЛГИ, 1981 г./.
3. На семинаре по гидродинамике под руководством академика П.Я.Полубариновой-Кочиной и профессора О. В. Голубевой при отделении математических методов механики ИПМ АН СССР совместно с. группой гидродинамики. при МГУ /Москва, 1982 г., 1984 г./.
4. На Всесоюзном семинаре «Современные проблемы и математические методы теории фильтрации» /Москва, 1984 г./.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 статей.
Содержание работы. В первой главе кратко изложены основные представления теории фильтрации в неоднородных и неоднородно-анизотропных трещиновато-пористых средах на основании работ Описаны постановки задач, которые решаются в диссертации, в размерном и безразмерном виде. Задачи ставятся для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка, которая program d, а г. f) j m f, n s t о n m (2*) common / r 1 / r ,.r 1 t t cxternal f.
R 15 1 •.
RSl,.
П0 ¦ A K = j «5Q rsR+ 0, 1 r = 0, 001 no 3 Ia 1 ' 2 4 T1 = I.
T? = <5. т r T * 0. 2 # T 1 ¦ ft 1 s 0 .
A2 = SRr> T f 4 3, 8/T > AfiGAUSSfFi AbA2, ff) д i < i)=t¦ ((rш1>**(n/2 >* 0¦64* a).
2 F О R M A T (r E i 5 > 9).
3 с о n t i h и г PRINT 2, A I.
4 CONTINUT stop END.
FUNCTION rnj) С О M № О N? 1 / R, R 1,, т.
V=2./3 (j r = u * r * «3, (j R 1 = u * R * «J # x = В F. s j у 1 (у r) У = A N E J < й, IJ R 1 у 1 = a n e j < v, tj r> i).
7 = E X P (-(]*" j * 7) c=<�х*у1)/(x1 * * 2 + у 1 >
F = C*Z/U. ret i j r n F N О приводится к дифференциальному уравнению третьего порядка. Решение проводится в цилиндрической системе координат.
Во второй главе рассмотрены основные задачи плоско-радиальной фильтрации жидкости при работе совершенной скважины конечного радиуса в неоднородной по проницаемости среде. Коэффициент проницаемости является степенной функцией радиальной координаты, которая учитывает повышенную, пониженную и постоянную проницаемость пласта.
В третьем параграфе исследуется фильтрация жидкости в бесконечном горизонтальном пласте при работе скважины с постоянным давлением. Решение для функции давления в блоках Р^ и трещинах Р^ получено в виде квадратур от функций Бесселя I и П рода дробного индекса. Из полученных формул, как частный случай, следуют формулы для распределения давления в чисто пористом пласте при постоянном коэффициенте цроницаемости, что совпадает с результатами работ Г. И^БаренблаттаД.Карслоу, Щелкачева В. Ц При индексе, равном, функции Бесселя выражаются через элементарные трансцендентные функции, и решение для пористого пласта, таким образом, получается в замкнутом виде, удобном для инженерных расчетов.
Получены приближенные формулы для больших и малых значений аргументов и на основе точной формулы определен интервал их применимости.
В четвертом параграфе рассмотрена плоско-радиальная фильтрация жидкости в бесконечном горизонтальном пласте, когда на скважине в процессе работы поддерживается постоянный расход. Решение этой задачи используется в наиболее распространенных.
FUNCTIOjj X) 's.
1 FORMAT (2 H у =, P i 4, й, 2 H X=, F. i A, 8 > I F С. X) 2. b 0 «3 ' 2 PRINT i, v, X.
STOP. AO T Г (V) 2. /, 1, 42 41 PESJV1=1 .
GO TO l0 4 2 Б F. J J v 1 я n .
ПО TO in, s s a «* v* г х-? (v * s a p т (i a * * г)>
Si = $QRT (B*V У* (1 , — A** 2) > * < 1. + 5 ?5 R T < 1. -A*"?))**!
5FSJVJ = 1 ПО To 1Q 4 $ = 1, / G A f’M Д (V + 1 ,) S I". X / 2. AK=i. 44 A ~ 1 • B = 1 .
B?=V+AK • -2 5 B = B*(-Si**2)/A A = A + 1 .
T F < A — А К) 2 5 > p 5, 2 | •21 I F < В 2 — 2 p .) 2 2 «2 3, 2 3 2 2 В1=0АММЛ (R2+1.) P3=B/Bi.
S в S + R 3.
GO TO 2 к 23 RsB/B2 n ^ = В 2 — i.
G О T 0 2 I.
2 4 I F (А В s < В 3 3 -1./1flt f* 7) 2 6, 2 6, 4 3 43 AK=AK+ - GO TO 4A.
26 RESJVt=sl"*V*S•.
GO TO in.
8 A=4.*V#*2 P = 8. ¦ X C=B*"2 P I = 3, 14 i 5 9 2 6 5 3 5 9 P I 1 = X ~ P f / 2, * < V+, .5-) AKXs (2 r"V-5,)/4, А К 2 = (2. *V-7 ,) /4., P=1, С1 = X. 02 = 1. Д К = 2, А К 3 = 2 .
S = -(A -{)*(.A-9, J/2,/ С ¦ д M = А В s (рч).
9 CI =0 1 + 4 02=02+2* д К = А К +1 *, гидродинамических способах определения параметров пласта [12] .
В параграфах 5 и 6 рассмотрены основные задачи плоско-радиальной фильтрации при работе совершенной скважины в ограниченном пласте, когда на контуре питания поддерживается либо постоянное давление, что соответствует упруго-водонапорному режиму фильтрации, либо нулевой расход, что соответствует замкнуто-упругому режиму фильтрации. Решения получены в виде рядов от комбинации функций Бесселя I и П рода.
Третья глава посвящена исследованию процессов фильтрации в неоднородно-анизотропном трещиновато-пористом пласте. В седьмом параграфе рассмотрена фильтрация жидкости при работе несовершенной скважины с постоянным расходом в бесконечном горизонтальном слое трещиновато-пористых пород. Слой, заключенный между двумя непроницаемыми пластами, считаем неоднородно-анизотропным. В радиальном направлении трещинная проницаемость является функцией расстояния I и описывается степенной зависимостью, а в перпендикулярном направлении является постоянной величиной. Применяя преобразование Лапласа по временной переменной и метод разделения переменных по пространственным переменным, получаем решение для функции изображения в виде ряда. Доказывается его сходимость по всем переменным и дважды дифференцируемоеть по пространственным переменным. Решение для оригинала функции давления получено в виде ряда квадратур, которые в частном случае совпадают с соответствующими формулами для совершенной скважины. В 8 и 9 параграфах рассмотрены задачи нестационарной фильтрации при работе несовершенной скважины с постоянным давлением или.
Si = -SM A-Cl A — (Ci + 2-" >**2)/-С2 / < C2 + 1 ¦)/C.
I F < А В $ (t- 1)) 5 0!" 5 2 i 5 0 5 2 f=P + S ' ' r, 0 to.
5 0 I Г <.А В St s1>- A M)1 о, 10, 11.
10 AM=ABs («-l) Й К 3 = А К.
12 P = P + S S = S1.
GO TO 9.
11 iF.
31 I F 4 «4 «3 2.
32 AaX/V.
13 P1 — 0. С1 = 1, C2 = 3 •.
-, AK=1. дКЗП. S = < A -1,) / В — AM=ABS"S).
14 П1 = с 1 + 4 С 2 = С 2 + 2 4 А К = А К + i >
S1=-S*C д — (С 1−2 ,) * * 2 > * (A-Ci-«*2) / (С 2−1 «J) /Cg/C I F (А В s (? 1)) 3 i, 5 з, 3 1.
53 Pi = Pl + S.
GO TOfi 51 T F < А В S t s I > ~ A M) l 5, 1 5 «1? 1.5 A/v'» = ABs (^n.
А К 3 = А К.
16 P.1 = P1 + S S = Sl.
GO TO — -• |.
17 TF< АКЗ-ДК2) !.6f l6f 18 ifl В E S U V i = $ ft R T (21 / P ! / X) * < P * С О S < Pll>-Pl*SlN (P 1.1 >) 19 RE T l) RN I.
F:NO.
FUNCTIOn AfiFJ (V, X).
1 -FORMAT- (2 И V? «E1 4*9 «2 H X —, F-1 4,4 в).
P I «3. 1 4 i 5 Q 2 6 5 3 5 О ! F (X) 2 > 2 «3.
2 print 1, V, X stop.
3 ANEj=(GoS (Pl" *V)*BESJVltV#Xy-8EsJVi (-v"-X>)/.SlN (P!*V) return end нулевым расходом в цилиндрическом слое трещиновато-пористых пород, когда на внешнем слое поддерживается постоянное давление или нулевой поток.
Решение получено в виде двойных рядов от линейной комбинации функций Бесселя I и П рода.
Для практических приложений представляет интерес задача фильтрации в областях с кусочно-неоднородным коэффициентом проницаемости, которая и рассмотрена в девятом параграфе. В присквао CJ жиннои зоне проницаемость изменяется по степенной зависимости, а вне этой зоны проницаемость считается постоянной.
Методами интегральных преобразований и разделения переменных получено точное решение для прискважинной зоны и внешней зоны, которое в частном случае при кусочно-постоянном коэффициенте проницаемости совпадает с результатами работы [ 43 «] .
При исследовании гидродинамики подземных циркуляционных систем практический интерес представляют задачи фильтрации при работе батарей скважины. Этому вопросу и посвящена 1У глава. В § 10 рассмотрены циркуляционные системы, состоящие из центральной эксплуатационной скважины и произвольного числа нагнетательных скважин в бесконечном трещиношто-пористом пласте. Фильтрация жидкости при работе циркуляционных систем в ограниченном пласте рассмотрена в § И.
Из полученных в работе решений задач фильтрации в неоднородной и неоднородно-анизотропной трещиновато-пористой среде, как частный случай, получаются решения задач фильтрации в пористой среде, неоднородной или однородной по проницаемости.
В приложении даны алгоритмы программно которым проводились численные расчеты, анализируется точность проведенных расчетов. Основные результаты отражены в работах [ 57−67 J .
Примечание. В работе £б2 ] соавтору принадлежит формулировка общей задачи, диссертантом предложена математическая постановка и осуществлено решение. В работах? 64,66 ] соавтором были сформулированы задачи, диссертантом было осуществлено решение задач и проведены численные расчеты.
В нумерации формул принят следующий порядок: каждая формула обозначается двумя числами, разделенными точками. Например, формула [3.5J, в ней число 3 обозначает параграф, второе число 5 -порядковый номер формулы.
В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доценту, кандидату физических наук А. М. Антоновой за помощь, оказанную мне цри выполнении диссертационной работы.
I 1.
Входные данные:
65 = ± fa h-0.001. — отрезок,!на котором ищутся корни, & ~ & - внешняя граница пласта — Ь= 3 О^ ъ. = & - переменный радиус, начинать с с шагом О. Z t = Т d. — время k — i. — первый корень, нумерация корней,.
— количество корней на отрезке (В в, АА) В основную программу входят циклы по ^ (d ~ d с шагом и по t (Г d — d. с шагом d О *¦ Td) и разбиение отрезка (АА> 88) на участки, содержащие один корень j/ - количество точек разбиения отрезка С & & «А, А «], Ряд суммируется по 4i, с точностью, пока первый отброшенный член.
SZ | ^ Bfos = Е-3 .
Затраты машинного времени на расчет РСъ,^) для 10 цжлов по ^ и 24 циклов по t составляет Э program ЦСОГР ^ ni.MHNSIo.N St (?M Ol-MENSinN 5 К 0 ft < j. ПОП) СОМмОм/С1/$> я" Т F X Т Е R N д ! F г X Т С R И, А Г Е X Р, А В s 1. Д, А = 0. С о 1 N = ifl0 0 0 1 h=/(!n-1> П = о ,.
П о: 2 J = 1 • N а1=аа+(j-1v"h ft j, = А 1- + Н j f с f 1) а > 7, 2.
6 .CALL EQROOT (А1"BIП, Е-9"FEXP>Ri> G ОТ 0 in.
R1SB1.
7 i f < f e x? < a 1, f a, с).
G 0 T 0 9 ^ go to 10 9 rl = a. l 10 T1=I 1+1.
PRINT 1 и"Rl SKOR< Il1sRl.
N1 s П.
2 G 0 N T I N U F p i = 3. i 4 1 5 9 2 '6 5 П «1 0, R = 1 •.
П 0 4 К = l * 1 0 R = R + 0. 2.
D=(R*#2-B"*2)/(> d 0 3 i = i «24 Ua I t=id"t: S! U)-0 L = i e p s = i. p «з.
AX3. = SK0R (L >
S1 = F = 5 13.1 L = t + 1 т f < t., g t, n x).
GOTO 13.
Л1 1. = SKOfj < I.) s 2 = f (a 1 i).
1? s ! < i > = s г < п + s 2 йО TO Ij.
1.2 s I И = S t (I У * P I * Г 13 PRINT 1, S2.
1 FORMAT C? x, 'ОСТАТОК' «2X, 4E.15#9) j. 4 г or h a t (7 x, к о p h h в ' «2 x »? 13 8 5 > «5 for-m a t { js. e j, 5, 9).
S I И >=s t + o.
3 continue PRINT 5, S!.
4 CONT I NUf <-TOP PNO sljbr out t ne :.eoroot (a1, bi, ep51 «fun, root) a = a i n-5 i н p s = A n 5 { E «s i) TF (FUn (S).£Т, 0).
GO TO .1.
A = Bl.
P> - A 1..
1 Х=0.5*(Д+В).
I Г (FUN (X)) 2 «5 «3.
Z, А К X.
0 0 TO 4.
3 R = X ..
4 IF (APS (ВчА), QttEPS>.
G О T 0 1.
5 R О О T = X P. E T U R M F N 0.
выводы.
Подводя итоги, отметим, что основные результаты, полученные в диссертации, следующие:.
1). В работе изучено явление нестационарной фильтрации в неоднородной и неоднородно-анизотропной трещиновато-пористой среде. За основу принята модель трещиновато-пористой неоднородно-анизотропной среды..
2). Получены решения основных задач нестационарной фильтрации в неоднородных и неоднородно-анизотропных трещиновато-пористых пластах при работе одиночных совершенных и несовершенных скважин и батарей скважин..
3). Проведено исследование влияния, переменной проницаемости, трещиноватоети пласта степени несовершенства скважины, размеров пласта по простиранию на процессы фильтрации и показано, когда эти параметры должны учитываться при расчетах и проектировании процессов разработки нефтяных месторождений и ПЦС..
4). Решения перечисленных задач получены в аналитическом виде и представлены квадратурами, рядами квадратур, рядами и двойными рядами, исследуется сходимость полученных рядов. Расчет по полученным формулам проведен на БЭСМ-6. Программы составлены на алгоритмическом языке ФОРТРАН, исследуется точность числовых расчетов..
В целом работа представляет собой дальнейшее развитие аналитических методов и численных методов применительно к решению задач теории фильтрации..
.
