Уединенные волны в плазме с магнитным полем

В диссертации на примере двухжидкостной магнитогидродинами-ческой модели плазмы, помещённой в магнитное поле, исследуется влияние коротких волн на существование локализованных волновых структур постоянной формы (уединённых волн) и эволюция структурно близких к ним локализованных возмущений. Ведущую роль в уравнениях движения указанной модели при этом играют давление магнитного поля и давление в жидкостях. Поэтому — в зависимости от соотношения их величин — рассматривается либо модель «холодной» плазмы, когда магнитное давление существенно превосходит внутреннее, либо модель «нагретой» плазмы, когда их величины сравнимы. В некоторых случаях, например, при протекании изотермических волновых процессов, для которых времена релаксации между компонентами плазмы существенно больше, чем характерное время коллективных взаимодействий электромагнитного поля и вещества, можно отнести и бесстолкновительную плазму [5].

Уединенные волны относятся к общему классу непериодических бегущих волн постоянной формы, основной характеристикой которых является убывание или выход на периодическую асимптотику на пространственной бесконечности. В средах с дисперсией уединённые волны появляются вследствие баланса эффектов нелинейности и дисперсии. Интерес, связанный с этими объектами математического и физического исследований, отражён в ряде книг и монографий, например: [1, 8, 20, 21, 25]. Помимо основного определения, в настоящее время в литературе принято давать название уединённая волна более общему классу непериодических бегущих волн, убывающих на бесконечности или выходящих на периодическую асимптотику. Поэтому в диссертации эти волны будут различаться как: классические уединённые волны (солитоны), обобщённые уединённые волны и уединённые волновые пакеты — с целью обозначения типов уединённых волн, отличающихся поведением в конечных областях пространства и асимптотикой на бесконечности.

Построение математической теории распространения локализованных возмущений в различных моделях плазмы началось с середины 60-х годов прошлого века и отражено в работах [24, 18, 64], в которых значительные реузльтаты достигнуты в рамках уравнений длинноволнового приближения. В частности, теоретическое исследование ионно-акустических волн в «холодной» плазме без магнитного поля представлено в работе [69], а солитонные решения для ионно—акустических волн с учётом конечности температур ионов найдены для модельного уравнения КдФ в [63]. Сравнение теоретических предсказаний с экспериментальными данными в различных аспектах приводится в обзорной статье [68]. Обширный материал накоплен в исследовании нелинейных гидродинамических волн в моделях «холодной» и «нагретой» плазмы. Систематическое изложение теории уединенных волн в многомерных моделях плазмы предпринято в [22]. Здесь за основу изложения принимается вывод модельного уравнения, в котором явно выделены главные эффекты, а второстепенными поправками пренебрегается. Необходимым условием при этом является сохранение симметрии, а также интегральных характеристик, присущих исходным уравнениям.

Первые решения для плоской задачи о возмущении однородного потока квазинейтральной плазмы в постоянном магнитном поле и о возмущении состояния покоя в частных случаях были получены в [64, 65]. Анализ солитонных решений конечной амплитуды производился на основании качественной теории динамических систем и численных методов [47, 54, 64, 65]. Было показано, что среди волн конечной амплитуды физический смысл имеют только солитоны продольного и поперечного направлений по отношению к постоянному магнитному полю. Упрощеные системы уравнений моделей «холодной» и «нагретой» плазмы в предположении о квазинейтральном и нерелятивистском характере волновых явлений [47, 48], позволили исследовать более общие случаи распространения гидродинамических волн произвольной амплитуды и направления («косых» волн) по отношению к вектору индукции однородного магнитного поля. Используя разные варианты метода многих масштабов, в этих моделях для длинных волн малой амплитуды удалось вывести уравнения КдВ: с квадратичной и кубической нелинейностью, а также обобщенные уравнения с пятой производной. Эти уравнения удовлетворительно описывают распространение и взаимодействие магнитозвуковых волн на фоне покоя и альфвеновских волн как возмущений среднего течения [49, 52]. Среди их решений найдены семейства косых волн, нормали к фронтам которых составляют уголы в с индукцией внешнего магнитного поля.

Они относятся к быстрыми магнитозвуковыми солитонами с разной полярностью ядра («горб» или «яма»). Смена полярности происходит при переходе через некоторый критический угол 9С1 уменьшающийся с ростом степени нагретости плазмы. Причём уединённые волны, бегущие под углами меньшими 9С, представляют солитоны разряжения, а под большими углами — сжатия. Косые классические уединённые волны, относящиеся к медленной магнитозвуковой ветви как решения уравнения КдВ, выведенного в модели нагретой плазмы, представляют только волны уплотнения. Найденные решения являются продуктами эволюции локализованных возмущений в силу модельных уравнений. Исследования их эволюции в рамках полной системы уравнений не проводилось, очевидно, что новых эффектов, связанных со взаимодействием длинных и коротких волн не выявлено.

Принято считать, что уравнение КдВ адекватно описывает эволюцию локализованных возмущений для волн малой амплитуды. Это позволяет предполагать, что локализованные возмущения одной полярности с упомянутыми выше солитонами должны с течением времени распадаться в цепочку уединённых волн того же семейства и той же полярности, как это имеет место в модели тяжёлой несжимаемой жидкости конечной глубины без дополнительных поверхностных эффектов [34]. В случае, когда в модели учтена квадратичная нелинейность второго порядка, классические уединённые волны в низшем приближении по малому параметру (амплитуде волны) имеют форму солитонов уравнения КдВ. Известно, что последние являются динамически устойчивыми относительно возмущений произвольной, но малой амплитуды [62]. Динамическая устойчивость также доказана и для солитонов уравения Кавахары: обобщённого уравнения КдВ с отрицательным коэффициентом при дисперсионном члене, пятой (старшей) производной [39, 40]. Такое уравнение, в частности, было выведено для волн быстрой магнитозвуковой ветви в окрестности критического угла вс [48] а его численное исследование проводилось в [53, 40]. Тем не менее, в ряде полных систем уравнений моделей, описывающих среды со слабой дисперсией и нелинейностью, при определённых значениях физических параметров солитонные решения отсутствуют, но одновременно такого рода волны имеют место в модельных уравнениях, полученных из исходных с помощью асимптотических методов. В этих областях параметров имеет место замещение солитонов обобщённо — уединёнными волнами (ОУВ) — бегущими волнами, подобными в центральной части классическим уединённым волнам, но имеющих периодическую, незатухающую асимптотику на бесконечности.

Они наблюдаются в моделях идеальной тяжёлой несжимаемой жидкости конечной глубины с поверхностным натяжением [28, 36, 66] и под упругой пластиной, моделирующей покров [16]- непрерывно стратифицированной идеально-несжимаемой жидкости конечной глубины [27], двухслойной идеально-несжимаемой жидкости с конечной глубиной слоёв [35, 67]. В общем случае сформулированно условие наличия их периодической составляющей [57]. Присутствие в системе уравнений этих решений влечёт за собой распад локализованного возмущения за счёт излучения периодической волны, а не цепочки солитонов, как это имеет место в случае модельного уравнения. Исключения, когда при дискретном наборе значений свободных параметров периодическая составляющая отсутствует и ОУВ замещаются солитонами, также имеют место. Но они могут представлять только математический интерес, поскольку даже малое возмущение параметров выводит эти решения в класс ОУВ [62]. Аналитическое доказательство их существования легче всего провести для волн малой амплитуды. Можно показать, что амплитуда асимптотики ОУВ имеет экспоненциально малый порядок по сравнению с её центральной частью. В этой ситуации время распада существенно превосходит характерные времена волновых явлений, и не представляет интереса с физической точки зрения. С другой стороны, это семейство решений в ряде случаев может быть продолжено до умеренного значения по амплитуде, и как показывают численные расчёты, интенсивное излучение успевает разрушить возмущение за достаточно короткое время [30, 31].

Целью настоящей диссертации является рассмотрение полной системы уравнений, учитывающей все длины волн, и выявление отличия от классического описания в рамках уравнения КдВ на примере широко принятых моделей плазмы. Совершенно ясно, что эти различия, в первую очередь, могут быть связанны с влиянием коротких волн, которое не учитывается в модельных уравнениях.

Диссертация организованна следующим образом. В первой главе приводится постановка задачи о нерелятивистском распространении волн в квазинейтральной плазме, построенной для гидродинамической модели плазмы как двух заряженных жидкостей с установившимися изотропными максвеловскими распределениями. В параграфах 1.1−2 приводится вывод обратимой в пространстве и времени системы уравнений, описывающей распространение нелинейных плоских волн в присутствии дисперсии. Рассматривается геометрия графиков ветвей линейного дисперсионного соотношения. Исследуется взаимное расположение касательных в нуле к графикам ветвей, также проходящим через ноль. Известно, что классические уединённые волны, отвечающие некоторой ветви, имеют место в том случае, когда графики других ветвей лежат по одну сторону от её касательной.

В параграфах 2.1−2 второй главы для решений типа бегущих волн выведена нелинейная динамическая система. При построении возможных ветвей решений малой амплитуды, представляющих собой бифуркации из состояния покоя этой динамическая система сводится на центральное многообразие и приближается системами в «квазинормальной» форме. Метод редукции на центральное многообразие является классическим результатом качественной теории обратимых динамических систем. Он связан с заменой исходной динамичесой системы произвольного порядка на эквивалентную ей, но меньшего порядка, определённую на инвариантном многообразии. Теорема о центральном многообразии справедлива для решений, находящихся в окрестности состояния покоя системы [23, 44, 58]. Структурная устойчивость решений систем в квазинормальной форме в силу исходной динамической системы с обратимостью доказывается на основании общих теорем [45, 46]. Из основных работ, посвящённых приложению этого метода в моделях механики жидкости, следует упомянуть [45, 41, 12, 13, 17].

В параграфах 3.1−3 третьей главы описаны бифуркации из состояния покоя при тех значениях свободных параметров, для которых в окрестности нулевого значения управляющего параметра среди семейств решений, ответвляющихся от состояния покоя, ожидаются го-моклинические кривые, описывающие уединённые волны. В случае общего положения множество значений физических параметров можно разделить на две области: в одной имеют место классические уединённые волны, а в другой — обобщённые уединённые волны. Доказано, что в первой области имеют место солитоны малой амплитуды, относящиеся к быстрой магнитозвуковой ветви. Причём численное моделирование данных Коши умеренной амплитуды в первой области, близких по форме к солитонам этого семейства, не претерпевают существенных искажений с течением времени. В этой области следует ожидать хорошо известный механизм распада локализованных возмущений с образованием цепочки солитонов [18, 14]. В параграфе 3.2 для малых амплитуд доказано существование так называемых уединённых волн с рябью [45], асимптотика которых на бесконечности представляет монохромотическую волнуеё амплитуда сравнима с величиной «ядра». Нулевым пределом по амплитуде колебаний являются классические уединённые волны, которые удовлетворяют соответствующей квазинормальной форме с произвольной алгебраической степенью точности. С другой стороны, главное приближение таких солитонов, подставленное в исходную динамическую систему, даёт незатухающую асимптотику на бесконечности. Последняя найдена для волн быстрой и медленной магнитозвукой ветвей с помощью преобразования Фурье, примененного к исходной динамической системе. Проведённые численные расчёты подтверждают, что квазистационарное излучение солитоноподобными волновыми пакетами имеет место и для волн умеренной амплитуды.

В параграфе 3.3 рассматривается семейство быстрых магнитозву-ковых уединённых волновых пакетов (УВП) продольного направления в пределе «холодной» плазмы. Их появления следует ожидать в окрестности тех волновых чисел, при которых фазовая и групповая скрости линейных волн совпадают (т.е. наблюдается «1:1-резонанс»), и кроме того, имеет место модуляционная неустойчивость. Уединённые волновые пакеты — бегущие волны с волновым числом промоду-лированной волны, близким к «резонансному», и огибающей, описываемой классической уединённой волной [48, 52]. В частности, в модели «холодной» и «нагретой» плазмы резонансные волновые числа существуют на быстрой магнитозвуковой ветви для углов меньших вс. Существование УВП в силу модельного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с кубической нелинейностью было доказано для косых и продольных волн в моделях «холодной» [50, 60] и «нагретой» [59] плазмы. В другой работе была рассмотрена ситуация, при которой модуляционная неустойчивость обусловлена нелинейным взаимодействием поляризованных поперечных альфвеновских волн-биений и продольной магнитоакустической волны [61]. Показано, что область существования УВП «смешанного» типа расширяется за счёт нелинейного резонанса. Обосновано предположение о наблюдаемости такого рода решений на основании данных, полученных в магнитосфере Земли. В диссертации на основании общей теории [14] доказано существование быстрых магнитозвуковых УВП первого вида для продольного и близких к нему направлений распространения волн.

На тему диссертации опубликовано четыре работы [9, 10, 11, 70].

Таблица V. Обозначения (СГС).

Обозначение Содержание введенного обозначения x, t физические координата (см) и время (сек) mi, me массы покоя иона и электрона щ, пе плотности числа частиц ионов и электронов.

Vi, Ve векторы скоростей ионой и электроной жидкостей.

В вектор напряжённости магнитного поля вектор напряжённости электрического поля.

В0 вектор невозмущенного магнитного поля.

По число частиц в ед. объема в невозмущённом состоянии кв постоянная Больцмана 1,38 • Ю-23 Дж/К.

Ра давление в ионной (а — i) и электронной (а = е) жидкостях равные, соответственно, ра = квпаТа.

L линейный пространственный масштаб.

VA альфвеновская скорость Уд = |Bo|[47rn0(me + mj)]-½ и0 характерная частота явления Wq = УдЬ'1.

Up лэнгмюровская частота электронов ир — ^Атгще^/гПе.

Ui, Ue ионная и электронная циклотронные частоты равные, соответственно, иа = e|B0|/(mQc), a = i, e.

Ri, Re параметры дисперсии Ra = ша/а>0, ct = i, e.

A D дебаевский радиус Ар = уквТе/Атгще2.

Vi, Ve тепловые скорости ионов и электронов Va = у/квТа/та, а = г, е.

Pi, Pe безразмереные тепловые скорости ионов и электронов равные, соответственно, @а = Уа/Уд, а = г, е e угол между вектором В0 и нормалью к фронту волны.

P эффективная скорость звука /3 = J (me + тг)-1(ггц/32 + те/32) и, к безразмеренные волновая частота и волновое число.

V-, V+ безразмеренные характеристические скорости медленной (-) и быстрой (+) бесконечно длинных волн.

Таблица 2: Типичные значения параметров для космической плазмы двух видов (СГС).

Параметры плазмы Солнечный ветер[56] Плазма магнитосферы Земли [61].

Плотность по (см-3) 7 1.

Магнитное поле |Во|(гс) 7×10″ 5 2 х Ю-3.

Скоростной параметр Уд/с (см • сек) 1.9×10″ 4 1.5×10″ 2.

Тепловая энергия ионов и электронов (эВ) 12 1000.

Масштаб длины (см) 1.5×1013 = 1AU 4.2×109 = 6.6гЕ.

Характерная частота и (сек-1) 3.8×10″ 7 0.1.

Ионная циклотронная частота и^(сек-1) 0.7 20.

Электронная циклотронная частота о/е (сек-1) 1.2×103 3.5×104.

Частота плазменных колебаний шр (сек-1) 1.4×105 5.6×105.

Дебаевский радиус Ad (см) 103 2.3×104.

З2 — параметр 0.7 0.01.

Ионный ларморовский радиус pi (см) 5.1×106 1.5×106.

Электронный ларморовский радиус ре (см) 1.2×105 3.8×104.

Электронное время релаксации те (сек) 5.6×105 3.3×108.

Ионное время релаксации тДсек) 4.85×107 2.8 х Ю10.

Критический угол #с (рад) 1.5402 и 88.25° 1.5621 и 88.7°.

Заключение

.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Найдены однопараметрические семейства решений основной системы уравнений, описывающие в разных областях физических параметров: а) классические уединенные волны (локализованные волновые структуры постоянной формы) — б) обобщенно — уединенные волны — результат нелинейного взаимодействия классической уединенной волны и резонансной моды, отвечающей конечному волновому числу;

2. Проведен численный анализ эволюции данных Коши, близких по форме к классической уединенной волне, как в области существования солитонов, так и в области существования обобщенно — уединенных волн. Результаты анализа свидетельствуют о качественно различном характере процесса эволюции локализованных возмущений умеренной амплитуды. В рамках классической модели плазмы установлен новый эффект распада локализованных возмущений, который не может быть обнаружен на основании модельных асимптотических уравнений. В диссертации учтено нелинейное взаимодействие волн произвольной длины в рамках исследования полной системы уравнений модели. Впервые проведено такое исследование при изотермическом и адиабатическом процессах в плазме, помещённой в магнитное поле.

3. В «холодной» и слабонагретой плазме определено семейство уединённых волновых пакетов малой, но конечной амплитуды, продольного или близкого к нему направлений.