Нелинейная динамика электромагнитных и акустических модулированных волн в неоднородных волноводных структурах

Нелинейные явления, сопровождающие распространение волн в разнообразных физических средах, привлекают всё возрастающее внимание исследователей, работающих в различных областях физики, прежде всего, оптике, гидродинамике, акустике и физике плазмы. Абстрагируясь от специфических, определяемых физическими механизмами свойств процессов в каждой из перечисленных областей, оказывается возможным установить общие законы и закономерности этих процессов независимо от их физического содержания. Это позволяет выделить теорию нелинейных волновых процессов в самостоятельную физическую дисциплину, довольно разветвлённую и динамично развивающуюся. Подтверждением её широчайших возможностей может служить то, что методы и результаты, используемые и полученные в теории нелинейных волновых процессов, с успехом применяются для решения проблем в других научных дисциплинах, причём не только естественнонаучных, но и экономических и гуманитарных.

Теория нелинейных волновых процессов естественным образом является разделом теории волн вообще. В научной литературе отсутствует строгое определение волнового движениядаются лишь частные определения, ориентированные на определённый круг физических явлений. Чтобы охватить весь спектр волновых процессов, предпочтительнее руководствоваться интуитивным представлением о волне как о любом различимом сигнале, передающемся от одной части среды к другой с некоторой конечной скоростью [32, 66, 118]. Волны обычно служат наиболее быстрым механизмом переноса энергии, не сопровождающимся существенным перемещением вещества, хотя такое перемещение и возможно в качестве побочного эффекта. Различимое возмущение, с которым связывается понятие волны, может быть любого вида, например, максимумом какой-либо величины или резким её изменением при условии, что это возмущение чётко выделено и что в любой момент времени можно определить его местонахождение. Этот сигнал может искажаться, изменять свою величину и скорость, он должен лишь оставаться различимым. В частности, если скорость изменения амплитуды синусообразной волны по пространственным и временной переменным существенно меньше скорости изменения фазы, то волновой процесс различим и представляет собой колебания, модулированные по амплитуде, с высокочастотным, возможно модулированным, заполнением [13].

Различие физических механизмов волновых процессов проявляется в том, что их математическое описание осуществляется на базе совершенно разных систем уравнений. Однако для понимания фундаментальных свойств, присущих волнам различной физической природы, часто нет необходимости основывать анализ на исходной системе уравнений. Многие нелинейные эффекты могут быть описаны в рамках стандартных нелинейных математических моделей, основанных на небольшом числе уравнений, таких как уравнение Бюргерса, уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера [66, 118, 261], для механических волн хорошо разработаны модели теории упругости [41, 104]. Если же допустимо пренебречь нелинейностью процесса, то аналитическое описание ещё более упрощается. Так, например, электромагнитные явления в диэлектриках и распространение звука подчиняются совершенно разным физическим системам уравнений, однако в линейном приближении основные закономерности распространения как электромагнитных, так и акустических волн могут быть исследованы с помощью линейного волнового уравнения относительно какого-либо физического параметра.

Линейное волновое уравнение выводится из исходной системы физических уравнений путём некоторых преобразований. И если система уравнений Максвелла изначально имеет линейный вид, то в случае акустических волн требуется ещё и линеаризация исходной системы уравнений Навье-Стокса. Увеличение интенсивности волнового поля приводит к тому, что становится невозможным пренебрегать зависимостью свойств среды от амплитуды волны, и линейное приближение перестаёт быть справедливым. Анализ общих черт нелинейных эффектов сильно усложняется, поскольку эти эффекты описываются различными нелинейными уравнениями. И тем не менее, весьма широкий круг нелинейных явлений может исследоваться посредством нелинейного волнового уравнения.

О 1 п (и) д и Аи—= О с1 д12 в котором скорость сама зависит от искомой функции и, в случае п{и) электромагнитных процессов п{и) — показатель преломления среды. Нелинейное волновое уравнение, с одной стороны, представляет собой естественное обобщение линейного на случай, когда амплитуда поля достаточно велика, так что невозможно пренебрегать нелинейными эффектами, а с другой стороны, к нему могут быть сведены сложные системы уравнений нелинейной оптики и нелинейной акустики. Это обстоятельство делает универсальным подход к изучению нелинейных явлений в различных областях физики, основанный на применении нелинейного волнового уравнения.

В литературе встречаются различные модели нелинейности, что определяет различный вид квадрата показателя преломления пи). Широкий круг явлений, связанных с самовоздействием распространяющейся волны, адекватно описывается в рамках квадратичной нелинейности.

9 9 о п (и) = /70 + п2 | и |). Отметим однако, что помимо нелинейности более высокой степени, интерес исследователей привлекают также среды с насыщающейся нелинейностью [29, 159, 201, 229], при этом функция п2(и) при увеличении амплитуды волнового поля стремится к конечному значению. Вид функции пи) может быть постулирован исходя из физического содержания задачи, так, например, в случае электромагнитных волновых процессов он определяется предполагаемой зависимостью вектора поляризации среды от напряжённости электрического поля. И наоборот, зависимость п2{и) может быть обусловлена непосредственно исходной нелинейной системой уравнений, так, например, при описании нелинейных акустических явлений явное выражение для функции п2(и) выводится из системы уравнений Навье-Стокса.

Среди проблем теории нелинейных волн особое место занимают слабо нелинейные волновые процессы. С физической точки зрения они выделяются тем условием, что величина амплитуды волнового поля достаточно велика, так что линейное приближение уже становится неприменимым, и в то же время действие нелинейности ещё можно локально рассматривать на фоне линейного процесса в качестве поправки или дополнения к нему. Особенно наглядно различие между сильно и слабо нелинейными процессами демонстрируется в случае оптического излучения. При его распространении в оптических волокнах изменение показателя преломления за счёт нелинейности среды составляет величину, на много порядков меньшую показателя преломления в линейном приближении, поэтому распространение оптического импульса в световоде может трактоваться как слабо нелинейный процесс. В случае же распространения стационарных пучков в объёмных средах «нелинейное» изменение показателя преломления компенсирует дифракционное расплывание и никак не может считаться малым эффектом [260]. Сильной нелинейностью характеризуются также и многие волновые процессы в плазме [48]. Точности нелинейного параболического уравнения оказывается недостаточно, и для описания сильно нелинейных волновых процессов следует привлекать нелинейное волновое уравнение [27].

С математической точки зрения сильно нелинейные процессы отличаются тем, что характеризующие их уравнения являются нелинейными в старшем порядке, решения таких уравнений обладают особыми чертами, не имеющими аналогов в слабо нелинейных задачах. Слабо нелинейные волновые процессы могут описываться как асимптотические решения некоторых модельных уравнений по малому параметру, характеризующему порядок величины волнового поля. Различные асимптотические методы решения задач с малой нелинейностью, асимптотические схемы и условия их разрешимости содержатся в обзоре [99].

Особую разновидность волновых процессов составляют процессы, происходящие в течение ограниченного промежутка времени или в ограниченной области пространства. Локализация, или сосредоточенность, означает, что решения соответствующих уравнений отличны от констант лишь в окрестностях некоторых кривых или поверхностей. Импульсный режим распространения волнового поля характеризуется дополнительно сосредоточенностью по временной (или фазовой) переменной. Локализация линейного волнового процесса может обеспечиваться механическим взаимодействием с обладающей нелинейными свойствами границей [30], а также некоторой специальной зависимостью свойств среды в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны. Это может иметь место в случае слоистых сред [23], но эта зависимость может быть и непрерывной, тогда возникает градиентный волноводный канал. Такой канал характерен, прежде всего, для природных сред, а в качестве технического устройства, в котором реализуется концепция градиентного волновода, следует упомянуть градиентное оптическое волокно [119].

В локализации может заключаться также и одно из проявлений нелинейности волнового процесса. Более того, обращение исследователей к нелинейным уравнениям во второй половине XX века во многом было связано с поиском их солитонных решений. Аналитические решения в виде распространяющейся уединённой волны были построены методом обратной задачи теории рассеяния для целого ряда модельных нелинейных уравнений [1, 51, 115, 116]. Концепция солитонного решения оказалась чрезвычайно продуктивной в различных практических приложениях, в частности монография [69] целиком посвящена образованиям солитонного типа, встречающимся в нелинейной оптике. Исследования по двухволновым уравнениям Максвелла — Блоха позволили обобщить это понятие и сформулировать концепцию оптического зумерона — осциллирующей уединённой оптической нелинейной волны, распространяющейся в одномерной периодической резонансной брэгговской структуре. Зумерон обладает характерной для солитона устойчивостью при распространении и взаимодействии [158], но проявляет новую динамику: его амплитуда и скорость испытывают значительные осцилляции в процессе распространения, причём возможно изменение не только абсолютной величины, но и знака скорости импульса [85].

Существенным элементом в аналитическом описании нелинейной волновой динамики является установление вида локальной зависимости мгновенных частоты, волнового числа и амплитуды. В работе [270] для решения этой задачи предложен метод усреднения по локальным осцилляциям, аналогичный методу Крылова-Боголюбова для обыкновенных дифференциальных уравнений теории колебанийвпоследствии на основе этой процедуры был разработан метод усреднённого лагранжиана [118].

Вариационные подходы также применялись для описания эволюции огибающей импульса в оптическом волокне [131], а в работе [276] - в волокне с управлением дисперсией.

Широкое применение в описании нелинейных волновых процессов нашли асимптотические методы. В монографии [87] излагается обобщение ВКБ-метода на случай нелинейных уравнений. Применения многомасштабных разложений к различным физическим задачам подробно разбираются в [179]. Разработке комбинированных аналитических методов в теории нелинейных волн посвящены монографии [13, 89, 91]. В них на базе результатов исследования невозмущённых уравнений формируются анзатцы, позволяющие решать задачи для возмущённых уравнений и для уравнений, относящихся к неоднородным средам, а также учитывать взаимодействия и взаимные возбуждения локализованных волн.

Настоящая работа лежит в русле исследований [13, 89, 91] и развивает асимптотические методы описания слабо нелинейной волновой динамики в модели нелинейного волнового уравнения, вариаций параметров солитонного решения, а также нелинейного взаимодействия основной и примесной уединённых волн в модели нелинейного уравнения Шредингера. Адекватность физической модели при этом обеспечивается надлежащим выбором малого параметра, по которому проводится асимптотическая процедура.

В процессе работы над диссертацией автор рассчитывал достичь следующих целей :

1. представить аналитическое описание слабо нелинейной динамики коротких электромагнитных и акустических импульсов, модулированных по амплитуде и частоте, в градиентных волноводных каналах с учётом продольной неоднородности и возможной кривизны ;

2. установить теоретическую реализуемость солитонного режима распространения волнового поля в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью и выяснить, какие ограничения для этого должны быть наложены на характеристики продольной неоднородности;

3. осуществить аналитическое описание влияния продольной неоднородности градиентного волноводного канала на амплитуду, форму, ширину и скорость солитонного импульса в процессе его распространения;

4. разработать асимптотические методы исследования влияния нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на характеристики солитонных импульсов в различных режимах распространения;

5. представить аналитическое описание светлых и тёмных солитонных импульсов с длиной волны несущей, близкой к длине волны нулевой дисперсии;

6. установить применимость нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью для моделирования слабо нелинейной динамики короткого акустического импульса.

Достигаются сформулированные цели путём всестороннего исследования ряда задач, каждая из которых представляет научный интерес сама по себе и решение каждой из которых весьма актуально и для общей теории нелинейных волн, и для нелинейных оптики или акустики:

1. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения применительно к описанию динамики короткого оптического импульса в градиентных оптических волокнах или планарных структурах с продольной неоднородностью. Нелинейность процесса предполагается слабой, порядок величины амплитуды импульса принимается в качестве малого параметра асимптотического решения. В ходе асимптотического решения происходит естественное выделение линейной компоненты волнового процесса, описание модовой структуры импульса и вывод уравнения для огибающей, учитывающего продольную неоднородность градиентного оптического волновода.

2. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения для аналитического описания слабо нелинейной динамики короткого импульса с линейной частотной модуляцией несущей. Как показано в работе, решение требует принципиально различных методов в зависимости от соотношения ширины спектра и глубины линейной частотной модуляции.

3. Исследование локальной и глобальной разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами в классе быстро убывающих функций. Формулировка на основе результатов этого исследования условий, которые достаточно наложить на продольную неоднородность волноводного канала и выполнение которых гарантирует сохранение локализованного характера импульса по мере его распространения.

4. Установление применимости нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью к описанию слабо нелинейной динамики акустического импульса, осуществление с этой целью аналитического вывода нелинейного волнового уравнения из системы гидродинамических уравнений Эйлера. В процессе этого вывода оказывается возможным выяснить, при каких значениях показателя адиабаты среда является фокусирующей или дефокусирующей для акустического излучения.

5. Асимптотическое решение нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами для малой и плавной продольной неоднородности, а также на малых расстояниях при произвольной продольной неоднородности.

6. Асимптотическое решение обобщённого нелинейного уравнения Шредингера с дополнительными членами, характеризующими дисперсионные и нелинейные эффекты высших порядков, при различных соотношениях между коэффициентами этих членов и протяжённостью трассы распространения.

7. Асимптотическое решение обобщённого уравнения Шредингера применительно к импульсам с длиной волны несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии, аналитическое описание возникающих в процессе распространения таких импульсов связанных состояний солитонов. Решение задачи требует принципиально различающихся подходов в зависимости от величины отстройки длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии.

Представляемая работа является попыткой математического исследования слабо нелинейных волновых явлений различной физической природы в волноводных каналах: рассматривается прохождение коротких световых импульсов в планарных структурах и световодах и коротких звуковых импульсов в акустическом волноводном слое. Изучение нелинейных электромагнитных явлений основывается на системе уравнений Максвелла, в которой диэлектрическая проницаемость среды зависит от амплитуды электрического поля. При решении задач нелинейной акустики исходят из системы уравнений Навье-Стокса. Общим с математических позиций для этих двух систем является то, что они могут быть сведены к нелинейному волновому уравнению с кубичной нелинейностью. При решении обеих физических задач это уравнение является промежуточным звеном, однако оно обобщает линейное волновое уравнение и, как можно предполагать, является столь же широко применимым.

В настоящей работе нелинейное волновое уравнение применяется к описанию импульсов, в которых высокочастотное заполнение модулируется по амплитуде и частоте. Как и в общем случае нелинейной волновой динамики, процесс распространения импульса формируют два более простых процесса, идущие с разными скоростями. Выражается это в том, что различаются фазы комплексной амплитуды импульса и его высокочастотного заполнения. Иными словами, для описания динамики модулированных импульсов в волноводе необходимы две фазовые переменные.

Для того чтобы решение нелинейного волнового уравнения описывало модулированный импульс с высокочастотным заполнением, необходимо, чтобы амплитуда, мгновенная частота и мгновенное волновое число мало менялись за время порядка периода колебаний и на расстояниях порядка длины волны. Этого можно достичь, явным образом введя в фазовые функции анзатца малый параметр. Важным вопросом является соотношение этого параметра с малым параметром, характеризующим слабую нелинейность процесса, — с порядком величины амплитуды импульсав работе устанавливается соотношение между ними, обеспечивающее адекватное описание физического процесса.

Решение нелинейного волнового уравнения должно быть локализованным. Сосредоточенность волнового поля в поперечном сечении волноводного канала обеспечивается поперечной неоднородностью среды, в продольной же сосредоточенности импульса проявляется нелинейность процесса. Из общей теории известно, что одномерные волновые пакеты в неограниченном пространстве описываются нелинейным уравнением Шредингера. В случае рассматриваемого в настоящей работе волноводного распространения продольная динамика огибающей импульса также подчиняется этому уравнению.

В настоящей работе рассматриваются градиентные волноводные каналы, они характеризуется сильной зависимостью свойств среды (показателя преломления) от поперечной координаты. Допускается также слабая продольная неоднородность волноводного канала, так что отношение масштабов поперечной и продольной неоднородностей является ещё одним малым параметром, связь которого с порядком амплитуды волнового поля также должна быть установлена в ходе анализа задачи. Продольная неоднородность оказывает влияние на процесс распространения импульса. Таким образом, основываясь только на общих идеях теории нелинейных волн, можно предсказать, что слабо нелинейный процесс распространения короткого импульса в градиентном волноводе окажется трёхмасштабным, причём скорости различных компонент процесса имеют различный порядок величины по принятому малому параметру асимптотического решения.

Влияние продольной неоднородности волноводного канала на распространение импульса описывается в рамках асимптотического решения нелинейного волнового уравнения благодаря тому, что коэффициенты уравнения для огибающей импульса являются функциями от продольной координаты. Для продольных неоднородностей некоторого специального вида, тем не менее, удаётся в явном виде построить солитонное решение. Это позволяет наглядно проиллюстрировать трёхмасштабный характер изучаемого волнового процесса и получить явные формулы для параметров импульса. В случае же продольной неоднородности общего вида вариации амплитуды, формы, ширины и скорости импульса аналитически описываются с помощью специальных асимптотических методов, применимых либо при малых возмущениях, либо при возмущениях произвольной величины на малых расстояниях. Особый подход также требуется для исследования нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков, а также режима распространения, при котором длина волны высокочастотного заполнения лишь незначительно отличается от длины волны нулевой дисперсии.

Приведём распределение материала между главами диссертации и укажем, в каких работах соответствующие основные результаты были опубликованы. Список публикаций по теме диссертации помещён ниже.

В Главе 1 исследуется слабо нелинейный процесс распространения короткого оптического импульса в градиентном планарном волноводе со слабой продольной неоднородностью, допускается также изогнутость волновода. Производится асимптотическое решение двумерного нелинейного волнового уравнения. Помимо этого, исследуется динамика слабо нелинейных двумерных волновых пучков, что позволяет выяснить и аналитически описать связь слабо нелинейных мод с высокочастотными модами линейного уравнения Гельмгольца. Основные результаты главы опубликованы в монографии, статьях 2, 6, 14, 15 и сборниках трудов конференций 1, 4.

Глава 2 посвящена исследованию слабо нелинейной динамики пикосекундного и субпикосекундного оптического импульса в градиентном световоде при допущении продольной неоднородности световода и пространственной искривлённости его оси. В рамках последовательной асимптотической процедуры осуществлено выделение линейной компоненты процесса и описана модовая структура импульса. Для огибающей импульса выведено нелинейное уравнение Шредингера с коэффициентами, зависящими от медленной продольной координаты. Рассмотрено распространение импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения (несущей), слабо нелинейная динамика этого процесса в существенном обусловливается соотношением между глубиной модуляции и шириной спектра импульса. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения построено и для случая, когда глубина модуляции много меньше ширины спектра, и для режима, когда величины этих двух характеристик соизмеримы. Относящиеся к отмеченным задачам результаты представлены в статьях 8, 11, 12, 20, 21, 22 и сборнике трудов конференции 5.

Глава 3 несколько отличается от всех других глав предметом и применяемым методом исследования. Если в других главах, так или иначе, конструируются асимптотические решения тех или иных задач, то в этой главе исследуется локальная и глобальная разрешимость задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера, а методы исследования взяты из арсенала теории дифференциальных уравнений в частных производных. Принципиальная новизна проведённого исследования определяется тем, что коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера зависят от «временной» переменной, разрешимость устанавливается в классе быстро убывающих функций, используются также методы теории пространств Соболева. Полученные в главе результаты представляют самостоятельный интерес для теории нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами, а для целей настоящей работы они позволяют рассчитать длину световодной трассы, в пределах которой гарантированно сохраняется локализованный по продольной координате характер импульса. Основные результаты главы опубликованы в монографии и в статьях 3, 4, 5.

Предмет Главы 4 относится к нелинейной акустике, здесь исследуется распространение акустических импульсов в градиентном волноводном слое со слабой продольной неоднородностью. Вывод из системы гидродинамических уравнений Эйлера нелинейного волнового уравнения с квадратичной нелинейностью скорости звука позволил получить явное выражение для коэффициента, характеризующего нелинейность, и тем самым установить, при каких значениях показателя адиабаты среда является фокусирующей или дефокусирующей для акустического излучения. Отдельно оценено влияние слагаемых, содержащих изменение энтропии, и показано, что неадиабатическими слагаемыми при выводе нелинейного волнового уравнения допустимо пренебрегать. Основные результаты главы изложены в статьях 1, 13, 23.

Глава 5 посвящена исследованиям нелинейной динамики огибающей импульса в различных режимах распространения, методика исследования состоит в асимптотическом решении модификации нелинейного волнового уравнения, соответствующей физическому содержанию задачи. Для описания влияния продольной неоднородности рассматривается нелинейное уравнение Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. Разрабатываются два асимптотических подхода: один из них подразумевает, что продольная неоднородность в определённом смысле является малой и плавной, и позволяет построить решение для всей трассы распространения, другой подход не требует дополнительных ограничений на характер продольной неоднородности, зато применим он лишь на малых расстояниях вдоль оси волновода. Оба подхода в пределах своей применимости обеспечивают явные формулы, описывающие вариации амплитуды, формы, длительности и скорости импульса под влиянием продольной неоднородности волноводного канала.

Аналогичная ситуация имеет место и при изучении эффектов нелинейности и дисперсии высших порядков. Рассматривается нелинейное уравнение Шредингера с дополнительными членами, характеризующими самоукручение огибающей и дисперсию третьего порядкаодно асимптотическое решение строится в предположении малости коэффициентов при возмущающих слагаемых, другое — в предположении малости расстояния распространения, первое справедливо на произвольных дистанциях, зато при втором не ограничивается величина исследуемых нелинейных и дисперсионных эффектов.

Особый предмет представляет собой режим распространения импульсов, при котором длина волны высокочастотного заполнения близка к длине волны нулевой дисперсии, интерес к таким импульсам инициирован, прежде всего, работами в области волоконнооптических коммуникаций. Моделирование этого режима осуществляется нелинейным уравнением Шредингера, дополненным членом с третьей производной, решающим фактором, определяющим динамику огибающей, является соотношение между величиной дисперсии второго и третьего порядка. Это соотношение, в свою очередь, зависит от разности между длиной волны высокочастотного заполнения и длиной волны нулевой дисперсии. Если эта разность ещё достаточно значительна, то дисперсия третьего порядка может рассматриваться как возмущающий эффект, ведущий к образованию связанных состояний из светлых и тёмных солитонов. Если же длина волны высокочастотного заполнения берётся из непосредственной окрестности длины волны нулевой дисперсии, то влияние дисперсии третьего порядка становится преобладающим, здесь требуется применять малоамплитудное приближение, позволяющее описать существенно друтую нелинейную структуру — солитон на пьедестале.

Результаты Главы 5 применимы к волновым процессам любой физической природы, если только эволюция огибающей импульса подчиняется возмущённому нелинейному уравнению Шредингера. Основные результаты главы опубликованы в монографии, в статьях 7, 9, 10, 16, 17, 18, 19 и в сборниках трудов конференций 2, 3, 6.

Подробно о содержании глав говорится во вводных разделах к ним. Там же приводится и обзор литературы по соответствующему предмету исследования.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Монография.

И.А.Молотков, С. А. Вакуленко, М. А. Бисярин. Нелинейные локализованные волновые процессы. — М., Янус-К, 1999. 176 с.

Статьи.

1. М. А. Бисярин. Распространение неадиабатического возмущения в релаксирующей среде // Физика горения и взрыва. 1987. Т.23, № 3.

2. И. А. Молотков, М. А. Бисярин. Распространение коротких импульсов в нелинейных и неоднородных световодах // В сб.: Проблемы теоретической физики. Т. 3. — Л., изд-во ЛГУ, 1988.

3. М. А. Бисярин. О локальной разрешимости нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1989. Вып.2.

4. М. А. Бисярин. Нелинейное уравнение Шредингера с переменными коэффициентами: сосредоточенное решение и его разрушение // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1988. Т. 173.

5. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Эволюция огибающей импульса в нелинейном световоде со слабой продольной неоднородностью // Оптика и спектроскопия. 1989. Т. 67, № 2.

6. М. А. Бисярин. Волноводное распространение слабо нелинейных пучков в неоднородной среде // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1990. Вып.1.

7. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Влияние нео д нор одно стей оптического волокна, а также нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на параметры солитонных импульсов // Известия РАН. Серия физическая. 2001. № 6.

8. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Модовая структура и огибающая короткого импульса в градиентном световоде с продольной неоднородностью и с пространственной кривизной//Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, № 6.

9. И. А. Молотков, М. А. Бисярин. Яркие и темные импульсы в оптических волокнах в окрестности длины волны нулевой дисперсии // Квантовая электроника. 2004. Т. 34, № 2.

10. Л. Д. Бахрах, М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Сверхкороткие импульсы в нелинейных неоднородных средах // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. № 7.

11. М. А. Бисярин. Короткие импульсы с линейной частотной модуляцией в градиентных световодах//Известия вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 1.

12. М. А. Бисярин. Мощные импульсы с сильной линейной частотной модуляцией в градиентных волноводах // Вестник СПбГУ. Сер. физ., хим. 2006. Вып. 2.

13. М. А. Бисярин. Акустические импульсы конечной амплитуды в волноводном слое с продольной неоднородностью // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т.48, № 6.

14. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Self-action of short pulses in nonhomogeneous graded-index light guides // Optical and Quantum Electronics. 1992. Vol. 24, № 3.

15. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Finite-amplitude pulses in light guides with quadratic profile of the refractive index // Proceedings of the SPIE. 1996. Vol. 2943.

16. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Effects of transverse and longitudinal inhomogeneities of optical waveguide on propagation of nonlinear pulses // Journal of Technical Physics. 1996. Vol. 37, № 3−4.

17. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Distortions of the pulse shape in inhomogeneous graded-index light guides // Proceedings of the SPIE. 1999. Vol. 3609.

18. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Weak-nonlinear propagation of subpicosecond pulses in graded-index light guides with a small longitudinal inhomogeneity // Proceedings of the SPIE. 2000. Vol. 3927.

19. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in graded-index optical fibers under the influence of weak longitudinal inhomogeneities and higher-order nonlinear and dispersive effects // Proceedings of the SPIE. 2001. Vol. 4579.

20. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in optical fibres with transverse and longitudinal inhomogeneities // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. Vol. 17, № 2/3 .

21. M.A.Bisyarin. Nonlinear evolution of a pulse with a linear frequency modulation in a graded-index waveguide // International Journal of Geomagnetism and Aeronomy. 2005. Vol. 6, № 2, doi: 10.1029/2005GI000104.

22. M.A.Bisyarin. Nonlinear chirped pulses in graded-index optical fibers with longitudinal inhomogeneity // Proceedings of the SPIE. 2007. Vol. 6614, paper 661 406.

23. M.A.Bisyarin. Weak-nonlinear acoustic pulse dynamics in a waveguide channel with longitudinal inhomogeneity // AIP Conference Proceedings. 2008. Vol. 1022.

Публикации в сборниках трудов конференций.

1. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Распространение пикосекундных импульсов в нелинейных градиентных световодах // Волны и дифракция — 90. X Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. -Винница, 1990.

2. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Эволюция огибающей нелинейного импульса в неоднородном световоде // Итоговый семинар по физике и астрономии победителей конкурса грантов 1997 года для молодых ученых Санкт-Петербурга. — СПб., Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе, 1998.

3. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Эволюция солитона нелинейного уравнения Шредингера под действием высших дисперсионных и нелинейных членов// Международная конференция «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы». — Уфа, 2000.

4. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Short pulses in nonlinear graded-index light guides with weak longitudinal inhomogeneity // X Topical Meeting on Gradient-Index Optical Systems. — Santiago de Compostela, 1992.

5. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Nonlinear dynamics of short pulses in optical fibres with strong transverse and weak longitudinal inhomogeneities // XXVII General Assembly of the International Union of Radio Science. — Maastricht, 2002.

6. I.A.Molotkov, M.A.Bisyarin. Coupled nonlinear structures of bright and dark solitons in the vicinity of zero-dispersion wavelength // Conference MSS-04, Institute of Space Research. — Moscow, 2004.

Тезисы докладов.

1. М. А. Бисярин. Самовоздействие слабо нелинейных акустических импульсов в градиентном волноводе // Всесоюзная научная конференция «Волновые и вибрационные процессы в машиностроении». — Горький, 1989.

2. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Эволюция солитонного импульса в неоднородном волноводе под действием нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков // Региональная VI конференция по распространению радиоволн. — Санкт-Петербург, 2000.

3. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Модовая структура и огибающая короткого импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью // Региональная VII конференция по распространению радиоволн. — Санкт-Петербург, 2001.

4. М. А. Бисярин, И. А. Молотков. Распространение встроенного солитона с несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии // Региональная VIII конференция по распространению радиоволн. — Санкт-Петербург, 2002.

5. М. А. Бисярин. Распространение нелинейных чирпированных импульсов в градиентных волноводах // Региональная X конференция по распространению радиоволн. — Санкт-Петербург, 2004.

6. М. А. Бисярин. Распространение нелинейных сильно чирпированных импульсов в градиентных волноводах // Региональная X конференция по распространению радиоволн. — Санкт-Петербург, 2004.

7. М. А. Бисярин. Слабо нелинейный акустический импульс в волноводном слое с продольной неоднородностью // Региональная XII конференция по распространению радиоволн. — Санкт-Петербург, 2006.

8. M.A.Bisyarin. Propagation of finite-amplitude pulses in gradient waveguides // I European Fluid Mechanics Conference. — Cambridge, 1991.

9. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Finite-amplitude pulses in light guides with quadratic profile of the refractive index // International Conference «GradientIndex Optics in Science and Engineering». — Kazimierz-Dolny, 1995.

10. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Effects of transverse and longitudinal inhomogeneities of light guides on propagation of nonlinear pulses // International Conference on Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems. — Zakopane, 1995.

— 2811. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Effects of optical fiber inhomogeneities on the performance of soliton systems // International Conference «Materials and Devices for Photonic Circuits», SPIE’s 44th Annual Meeting. — Denver, 1999.

12. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Distortions of the pulse shape in inhomogeneous graded-index light guides // International Conference «Optical Pulse and Beam Propagation». — San Jose, 1999.

13. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Weak-nonlinear propagation of subpicosecond pulses in graded-index light guides with a small longitudinal inhomogeneity // International Conference «Optical Pulse and Beam Propagation — II». — San Jose, 2000.

14. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in optical fibres with transverse and longitudinal inhomogeneities // Applied Nonlinear Dynamics. From Semiconductors to Information Technologies. — Thessaloniki, 2001.

15. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in graded-index optical fibers under the influence of weak longitudinal inhomogeneities and higher-order nonlinear and dispersive effects // Asia-Pacific Optical and Wireless Communications Conference. — Beijing, 2001.

16. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Influence of optical fiber inhomogeneities and higher-order nonlinear and dispersive effects o the performance of soliton systems // X International Conference «Laser Optics». — St. Petersburg, 2000.

17. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Nonlinear dynamics of optical solitons in graded-index light guides with longitudinal inhomogeneities // XI International Conference «Laser Optics». — St. Petersburg, 2003.

18. M.A.Bisyarin. Nonlinear chirped pulses in graded-index optical fibres with longitudinal inhomogeneity // XII International Conference «Laser Optics». -St.Petersburg, 2006.

19. M.A.Bisyarin. Weak-nonlinear acoustic pulsedynamics in a waveguide channel with longitudinal inhomogeneity // 18 International Symposium on Nonlinear Acoustics. — Stockholm, 2008.

Депонированная рукопись.

М.А.Бисярин. Звуковые импульсы конечной амплитуды в нелинейном неоднородном волноводном слое // Деп. в ВИНИТИ 24.05.89 № 3464-В89.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1. Локализация слабо нелинейного волнового процесса в среде, характеризующейся двумя масштабами неоднородности в направлении распространения и перпендикулярно к нему, обеспечивается качественно различающимися механизмами. Само образование волноводного канала и осевое сосредоточение волнового поля в нём являются следствием сильной поперечной неоднородности среды. Нелинейность процесса проявляется в динамике огибающей, и в первую очередь, в образовании солитона огибающей. Параметры солитона изменяются в процессе распространения импульса под влиянием слабой продольной неоднородности и изогнутости волноводного канала.

2. Слабо нелинейный режим распространения короткого импульса в градиентном волноводе адекватно моделируется нелинейным волновым уравнением и может быть асимптотически охарактеризован посредством единого малого параметра. Этим параметром определяется порядок величины амплитуды импульса, а квадратом этого параметра характеризуется продольная неоднородность волноводного канала и его кривизна.

3. Динамика слабо нелинейного короткого импульса в градиентной волноводной структуре со слабой продольной неоднородностью характеризуется тремя масштабами. Высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна. Соотношения между фазами высокочастотного заполнения и огибающей различаются для различных распространяющихся мод. Распространение огибающей вдоль волновода происходит со скоростью, отличающейся от фазовой скорости высокочастотного заполнения, и сопровождается медленными вариациями амплитуды, ширины и формы.

4. Моды слабо нелинейного режима распространения в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью имеют линейные аналоги, которые, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют высокочастотным модам.

5. Динамика огибающей слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью удовлетворяет возмущенному нелинейному уравнению Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. Для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей волноводного канала существует интервал, на котором гарантированно сохраняется сосредоточенный характер импульса. При определенных ограничениях на продольную неоднородность такая сосредоточенность сохраняется на произвольно больших расстояниях вдоль волноводного канала.

6. Влияние дисперсии и слабой нелинейности высших порядков на огибающую короткого импульса может быть взаимно скомпенсировано, что позволяет минимизировать искажения формы импульса в процессе его распространения. Этот эффект аналогичен образованию солитонов огибающей в результате совместного действия нелинейности и дисперсии в главном порядке.

7. Распространение излучения с длиной волны, близкой к длине волны нулевой дисперсии, инициирует образование связанных нелинейных структур. Качественный состав и динамика этих структур определяются величиной отстройки длины волны высокочастотного заполнения импульса от длины волны нулевой дисперсии. Если отстройка превышает установленную величину, то образуется связанное состояние из светлых и тёмных солитонов огибающей. В непосредственной же окрестности длины волны нулевой дисперсии формируется особая нелинейная структура — солитон на пьедестале.

8. Слабо нелинейная динамика импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения существенно различается в зависимости от того, является ли глубина модуляции много меньшей ширины спектра или эти две величины соизмеримы. На этой основе производится классификация импульсов на чирпированные и сильно чирпированные. Динамика огибающей сильно чирпированного импульса оказывает влияние на распределение волнового поля в поперечном сечении волноводного канала. И в том и в другом случае коэффициент модуляции может задаваться лишь в определенных соотношениях с параметрами поперечной и продольной неоднородности волноводного канала.

9. Система гидродинамических уравнений Эйлера, применённая к описанию слабо нелинейного процесса распространения короткого акустического импульса в градиентном волноводном слое с продольной неоднородностью, редуцируется к нелинейному волновому уравнению с 3 кубичной нелинейностью. Значение показателя адиабаты / = —.

3 3.

разделяет среды на фокусирующие (/> —) и дефокусирующие (/< —) акустическое излучение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Представляемая диссертационная работа посвящена изучению слабо нелинейных волновых процессов электромагнитной и акустической природы, протекающих в градиентных волноводных каналах. В диссертации рассмотрены, проанализированы и решены некоторые важные и актуальные задачи нелинейной волновой динамики. Решение каждой из них представляет самостоятельный интерес как для общей теории нелинейных локализованных волновых процессов, так и для той специальной области физики, проблемами которой данная задача инициирована. Объединяют же эти задачи в рамках единой темы исследования общие свойства рассматриваемых процессов, обусловленные их фундаментальной природой как нелинейных волновых процессов, и определённая системность математических методов исследования. Принципиальный элемент новизны решения поставленных задач заключается во введении в рассмотрение продольной неоднородности градиентного волноводного канала, а также искривлённости его оси.

Возможность объединения методик изучения электромагнитных и акустических — весьма разных с физической точки зрения — процессов обусловлена тем, что они могут моделироваться с помощью нелинейного волнового уравнения с квадратичной зависимостью квадрата преломления среды от амплитуды волнового поля. В случае оптического излучения в планарных структурах или оптических волокнах зависимость свойств среды от амплитуды распространяющейся электромагнитной волны вводится посредством материальных уравнений: при вычислении поляризация среды учитывается кубичное по электрическому полю слагаемое. Иная ситуация при описании нелинейных акустических волн, установление применимости к ним нелинейного волнового уравнения представляет собой результат автора: зависимость квадрата скорости звука от амплитуды акустического поля редуцируется непосредственно из системы гидродинамических уравнений Эйлера, нелинейной изначально. Здесь речь может идти, таким образом, об упрощении вида нелинейности.

Другим, и не менее важным, общим элементом рассматриваемых задач нелинейной волновой динамики является обобщённое нелинейное уравнение Шредингера, выводимое в рассматриваемых задачах для огибающей распространяющегося импульса. Коэффициенты этого уравнения выражаются через распределение волнового поля в поперечном сечении градиентного волноводного канала и являются функциями от продольной координаты, посредством этого и учитывается продольная неоднородность волноводного канала. В диссертации проведено исследование общих свойств разрешимости нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами и построены асимптотические решения обобщённых нелинейных уравнений Шредингера, относящихся к различным режимам распространения импульсов.

Материал диссертации разбит на пять глав в соответствии с различными объектами исследования. Имеется, однако, определённое родство Глав 1 и 2, в них обоих рассматривается распространение короткого импульса в оптическом волноводе и в качестве модельного принимается нелинейное волновое уравнение с кубичной нелинейностью. В Главе 1 в качестве оптического волновода выступает градиентная планарная структура, и, как следствие, решается двумерная (плоская) задача, физической же средой в Главе 2 является градиентное оптическое волокно, и нелинейное волновое уравнение записывается и решается в трёх пространственных координатах. Несмотря на специфику двумерной и трёхмерной задач, основные выводы основные выводы относятся к ним обеим. Процесс распространения короткого оптического импульса в градиентном оптическом волноводе формируется как комбинация различных компонент, которые характеризуются соответствующими малыми параметрами (малость амплитуды, соотношение масштабов неоднородности в различных направлениях, соотношение периода колебаний и длительности импульса и т. д.). Принципиально важным результатом работы является установление возможности адекватного описания процесса распространения импульса с помощью единого малого параметра. Этим параметром задаётся порядок величины амплитуды импульса, а второй степенью этого параметра характеризуется продольная неоднородность градиентного волноводного канала и его кривизна (плоская кривизна в двумерной задаче и кривизна и кручение оси световода в трёхмерном случае). Разработанный автором асимптотический метод и предложенный анзатц позволяют в ходе асимптотического решения нелинейного волнового уравнения естественным образом разделить процесс распространения импульса на составляющие. Образование волноводного канала и сосредоточение волнового поля в окрестности его оси происходит в линейном режиме и является следствием сильной поперечной неоднородности средынелинейность процесса проявляется в динамике огибающей.

В целом, динамика слабо нелинейного короткого импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью характеризуется тремя масштабами. Высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна, при этом соотношения между фазами высокочастотного заполнения и огибающей различаются в зависимости от распространяющейся моды. Распространение огибающей вдоль волновода происходит со скоростью, отличающейся от фазовой скорости высокочастотного заполнения, и сопровождается медленными вариациями амплитуды, ширины и формы вследствие продольной неоднородности и изогнутости волноводного канала.

Кроме задачи о распространении импульса в Главе 1 рассмотрена также вспомогательная задача о слабо нелинейной эволюции двумерного пучка в среде с различными масштабами неоднородности в продольном и поперечном направлениях. Её анализ позволил установить, что моды слабо нелинейного режима распространения в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью имеют линейные аналоги, взаимно однозначно соответствующие высокочастотным модам.

И в двумерном, и в трёхмерном оптическом волноводе огибающая короткого импульса подчиняется обобщённому нелинейному уравнению Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. В процессе вывода этого уравнения получены выражения для коэффициентов, связывающие их с поперечной неоднородностью волновода, при этом поперечная неоднородность проявляется в соответствующих выражениях как непосредственно, так и через распределение волнового поля в поперечном сечении волноводного канала. В зависимости коэффициентов обобщённого нелинейного уравнения Шредингера от медленной продольной координаты проявляется слабая продольная неоднородность оптического волновода. Анализ уравнения для огибающей позволяет для некоторых специальных типов продольной неоднородности выписать солитонное решение, которое наглядно демонстрирует трёхмасштабность процесса и в явном виде представляет формулы для амплитуды, формы, ширины и скорости огибающей импульса в зависимости от поперечной и продольной неоднородности волновода.

Кроме амплитудной модуляции, в Главе 2 изучено также распространение импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения. Главный вывод, который следует из проведённого исследования, заключается в том, что слабо нелинейная динамика такого импульса существенно различается в зависимости от соотношения между глубиной модуляции и шириной спектра немодулированного импульса. Следует подразделять импульсы на чирпированные и сильно чирпированные, у первых глубина линейной частотной модуляции много меньше ширины спектра импульса, а сильно чирпированные импульсы отличает то, что эти две характеристики соизмеримы. Решения нелинейного волнового уравнения построены в обоих случаях, установлены соотношения, связывающие коэффициент линейной частотной модуляции с параметрами поперечной и продольной неоднородности световода. Принципиально динамика сильно чирпированного импульса отличается тем, что она оказывает влияние на распределение волнового поля в поперечном сечении волноводного канала. Это требует для описания более сложного математического метода.

Исследование нелинейной динамики импульса подразумевает построение асимптотических решений уравнений для огибающей. Однако перед обращением к разнообразным асимптотическим процедурам необходимо установить разрешимость этого уравнения в подходящем классе функций. Проблеме разрешимости уравнения для огибающей посвящена Глава 3. Предметом главы является задача Коши для нелинейного уравнения Шредингера с коэффициентами, зависящими от «временной» переменной, начальные условия выбираются из множества быстро убывающих функций. Методами теории дифференциальных уравнений в частных производных выясняются ограничения на переменные коэффициенты, при выполнении которых сформулированная задача Коши локально или глобально разрешима в пространстве быстро убывающих функции. Условия локальной разрешимости позволяют оценить протяжённость участка волноводного канала, в пределах которого гарантированно сохраняется сосредоточенный характер импульса, соответствующие численные расчёты проведены и результаты представлены для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей. Следует подчеркнуть, что результаты Главы 3 значительно выходят за рамки, необходимые для целей представляемой диссертации, они весьма важны и актуальны для теории нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами.

Глава 4 посвящена нелинейной акустике. В большинстве работ в этой области анализ распространения акустического импульса базируется на системе уравнений Эйлера или Навье-Стокса, или, наоборот, сразу же постулируется нелинейное уравнение Шредингера, которое и служит отправной точкой анализа. Первый подход ведёт к громоздким специфическим вычислениям, и в них скрываются общие черты, присущие всем нелинейным волновым процессам независимо от физической природы. Что же касается другого метода, то нелинейное уравнение Шредингера описывает только эволюцию огибающей, вне рассмотрения оказывается поперечная структура волнового поля импульса, что делает метод неприменимым к волноводным задачам. В Главе 4 устанавливается применимость нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью к описанию слабо нелинейных акустических волновых процессов. Достигается это путём непосредственного вывода нелинейного волнового уравнения из системы уравнений Эйлера, для чего используется разложение плотности и давления в ряд вплоть до кубичных слагаемых. Такая точность аналитических вычислений требует учёта влияния изменений энтропии в процессе распространения. В работе рассмотрено влияние неадиабатичности процесса распространения импульса в среде с релаксацией, изучены режимы, когда время релаксации среды соизмеримо с длительностью импульса или много больше его. В обоих случаях получены численные оценки влияния непостоянства энтропии на параметры импульса, эффект оценивается как достаточно малый. Это оправдывает реализованный метод вывода нелинейного волнового уравнения и даёт возможность судить о её точности.

В результате вывода нелинейного волнового уравнения из системы гидродинамических уравнений Эйлера получена формула, выражающая коэффициент квадратичной нелинейности с показателем адиабаты среды. Анализ этой формулы показал, что значение показателя адиабаты, равное служит граничным значением между фокусирующими и дефокусирующими средами. Если показатель адиабаты превосходит это граничное значение, то в среде происходит фокусировка акустического излучения, аналогично фокусировке электромагнитного пучка в среде с положительным коэффициентом Керра. Если же показатель адиабаты меньше это соответствует отрицательному значению коэффициента.

Керра, и среда оказывается дефокусирующей для акустического излучения.

Таким образом, слабо нелинейная динамика короткого акустического импульса в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью и кривизной может моделироваться нелинейным волновым уравнением. Это позволяет применить к акустическому процессу методы исследования, изложенные в Главе 1, и тем самым устанавливаются общие черты электромагнитного и акустического процессов. Огибающая акустического импульса также подчиняется нелинейному уравнению Шредингера с переменными коэффициентами, но здесь строится более интересное для нелинейной акустики решение в виде тёмного солитона.

В Главе 5 исследуется нелинейная динамика огибающей короткого и сверхкороткого импульса в различных режимах распространения. Изучается влияние на параметры солитона нелинейного уравнения Шредингера слабой продольной неоднородности, нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков. Особое внимание уделяется режиму распространения, при котором длина волны высокочастотного заполнения импульса лишь на малую величину отличается от длины волны нулевой дисперсии. В случае малой и плавной продольной неоднородности построено асимптотическое решение нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами, справедливое на произвольных расстояниях вдоль трассы распространения. Решение этого же уравнения при произвольной продольной неоднородности осуществлено асимптотическим методом, малым параметром в котором является сама продольная координата, то есть, метод справедлив лишь на малых расстояниях вдоль волноводного канала. В обоих случаях выписаны явные выражения, характеризующие вариации амплитуды, формы, ширины и скорости импульса в процессе его распространения под действием продольной неоднородности волновода.

Решение обобщённого нелинейного уравнения Шредингера с дополнительными членами, характеризующими дисперсию третьего порядка и самоукручение огибающей импульса, позволяет описать влияние этих эффектов на стандартный солитон нелинейного уравнения Шредингера. Здесь также потребовалось разработать два асимптотических подхода: один, при малых коэффициентах при возмущающих слагаемых, справедлив на произвольных расстояниях, другой применим при произвольных величинах коэффициентов, но лишь на малых расстояниях вдоль волноводного канала. Установлена аналогия с известным эффектом образования солитона огибающей как результата взаимодействия в главном порядке дисперсии и нелинейности. В работе указано соотношение между коэффициентами дисперсии третьего порядка и самоукручения, при котором эти два эффекта компенсируют друг друга, вследствие чего форма импульса остаётся постоянной даже в приближении, учитывающем эти два эффекта. Этот вывод, помимо чисто теоретического, имеет и важное практическое применение, поскольку предоставляет способ минимизации искажений формы импульса в процессе его распространения.

Нелинейная динамика импульса с длиной волны несущей, близкой к длине волны нулевой дисперсии, моделируется обобщённым нелинейным уравнением Шредингера с дополнительным слагаемым, соответствующим дисперсии третьего порядка. И эту задачу также невозможно решить одним методом: различные асимптотические подходы требуются в двух интервалах величины отстройки длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии. Если разница между длиной волны несущей и длиной волны нулевой дисперсии ещё не слишком мала, то влияние дисперсии третьего порядка может трактоваться как эффект, возмущающий процесс распространения стандартного солитона нелинейного уравнения Шредингера. Этот эффект описан аналитически, он состоит в возбуждении примесных солитонов светлого и тёмного типов, и огибающая распространяющегося импульса представляет собой связанное состояние основного и примесного солитонов.

Принципиально важным результатом Главы 5 является установление граничной величины отстройки длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии. Выделяется непосредственная окрестность длины волны нулевой дисперсии, в пределах которой именно дисперсия третьего порядка является определяющим фактором динамики импульса. В этом интервале длин волн необходимо использовать малоамплитудное приближение, с его помощью аналитически описывается формирование уединённой волны на пьедестале — особой нелинейной структуры, характерной именно для данного режима распространения. Эта уединённая волна представляет собой солитон уравнения Кортевега — де Фриза, его амплитуда, ширина и скорость выражаются через нелинейные и дисперсионные характеристики среды распространения.

В представленной диссертации с единых позиций теории нелинейных локализованных волновых процессов разработаны асимптотические методы и получено аналитическое описание нелинейной динамики электромагнитных и акустических волн, модулированных по амплитуде и частоте и распространяющихся в градиентных волноводных каналах с продольной неоднородностью. Основные результаты работы могут быть сформулированы следующим образом.