Оценки количества рациональных точек на выпуклых кривых и поверхностях

Актуальность темы

Работа относится к асимптотической геометрии чисел. В самом общем контексте речь идет об оценке количества точек решетки, принадлежащих данному множеству. Сюда относится, например, проблема круга (в старшей размерности — проблема шара) об оценке остаточного члена R (N) в равенстве у) eZ2: x2 + y4 N2} = irN2 + R{N).

Этой проблематике, а также асимптотике количества рациональных точек в других областях, посвящено множество работ, использующих, как правило, методы аналитической теории чисел.

В диофантовой геометрии одним из основных является вопрос о количестве рациональных точек на алгебраических поверхностях.

В диссертации исследуется вопрос о возможном количестве рациональных точек на границе выпуклого тела. Тут имеется связь как с проблемой шара (поскольку остаточный член для количества точек внутри вообще говоря не меньше количества точек на границе), так и с диофантовой геометрией (для некоторых алгебраических поверхностей в вопросе о количестве целых точек оказывается существенным общее геометрическое свойство выпуклости).

В размерности 2 этот вопрос был впервые поставлен в работе Ярника [1], в которой получена оценка вида С • на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник периметра I. Ярником также была вычислена асимптотически точная константа С = 3(27г)1'/3. В 1963 году Эндрюс [13] обобщил результат Ярника на случай большей размерности, доказав, что объем V выпуклого многогранника в M. d с N целыми вершинами не меньше чем C (d) • iV^r. При d=2 получаем оценку С • 51/3 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник площади S. Из изопериметрического неравенства видно, что эта оценка сильнее, чем С • 12//3.

Пусть 7 — фиксированная ограниченная строго выпуклая кривая на плоскости, Г — ограниченная строго выпуклая поверхность в Rd. Положим кп (7) := #(7 П ±Z2), кп{Г) := #(Г П ±Zd). Приведенные результаты Ярника и Эндрюса можно переформулировать следующим образом:

Ш < С ¦ /^(7) • п2' кп (Г) < Cd ¦ УЩт). здесь за /(7) обозначена длина кривой /, за V® — объем выпуклой оболочки поверхности Г). Оценкам на величину кп при различных ограничениях на Г посвящен ряд работ.

Свиннертон-Дайер [3] доказал, что для кривой 7, являющейся графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции с всюду ненулевой второй производной, при любом? > 0 выполняется оценка kn{i) -n3/5+?. Шмидт [12] доказал ту же оценку для кривой у — f{x), х? [0,1], являющейся графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции / такой, что f" существует, нестрого монотонна и обращается в 0 не более чем в одной точке.

Им же была высказана (не доказанная и не опровергнутая до сих пор) гипотеза о том, что показатель 3/5 можно уменьшить до ½ (как показывает пример функции г/ = ?2, меньший чем ½ показатель невозможен). Им также получены оценки на количество целых точек на алгебраических и аналитических поверхностях.

Бомбьери и Пила [4] доказали, что если /6 (7^(0,1], |/'| < 1 и ф 0 на [0,1], то для любого е > 0 для кривой 7, являющейся графиком функции /, выполняется оценка где? j) —"0 при D —> оо. Для трансцендентной аналитической кривой 7 в [4] установлена оценка кп (7) ^ с (е) • п£ для любого е > 0. Пила [11] получил аналогичный результат для трансцендентной части полуаналитических поверхностей. В работе Грекоса [5] доказано, что fcra (7)^maX (2,2/(7)r-1/3-n2/3), где г есть минимальный радиус кривизны кривой 7. Отметим, что эта оценка (с другой константой вместо 2) слабее чем с • (S (7))1/3. В связи с оценкой.

Ярника fcn (7) = 0(n2/3) возникает естественный вопрос: а существует ли универсальная кривая 7, для которой неравенство кп (7) ^ сп2/3 выполняется для бесконечного количества натуральных iV7 Этот вопрос сформулирован А. М. Вер-шиком, но впервые появляется в литературе, видимо, в работе Планя [2], в которой автор указывает, что был введен в проблематику Ж-М. Дезуйе (J.-M. Deshouillers) и Дж. Грекосом.

Плань [2] доказал, что для некоторой экспоненциально убывающей к нулю последовательности ап для сколь угодно быстро растущей последовательности натуральных чисел qn существует кривая 7, для которой кдп (7) ^ ап ¦. Мы покажем, что в качестве последовательности ап можно взять последовательность членов любого (положительного) сходящегося ряда (§ 9).

В работах Вершика и Барани [6, 7] обсуждаются вопросы о предельных формах многоугольников с вершинами на мелкой сетке. Ответы на эти вопросы выявляют связь с аффинной геометрией. А именно, пусть /а (7) обозначает аффинную длину кривой 7 (интеграл по натуральному параметру от кубического корня из кривизны). Оказывается, что количество многоугольников с вершинами в узлах сетки Ln, лежащих в малой окрестности данной кривой 7, растет как ес1а^'п2/3, а количество вершин этих многоугольников — как с-1а (у)'П2//3 (замечательно, что это верно как для максимально возможного количества вершин, так и для количества вершин типичного многоугольника, различаются только константы). Многоугольники с вершинами в узлах сетки ЬП) содержащиеся в данном выпуклом многоугольнике, концентрируются около замкнутой выпуклой кривой, которая имеет максимально возможную аффинную длину [7]. Эта кривая составлена из кусков парабол, вписанных в углы многоугольника. Поэтому количество узлов сетки на такой кривой не превосходит CN½. Таким образом, типичная кривая не является универсальной. В главе 2 доказывается, что универсальной кривой Ярника не существует — это основной результат работы.

В двумерном случае ключевым моментом, позволяющим вычислить точные асимптотики и предельные формы целочисленных многоугольников является соответствие между выпуклыми многоугольниками и векторными разбиениями: каждый выпуклый многоугольник однозначно задается набором векторов своих сторон. К сожалению, подобной параметризации нет (или пока не найдено) в случае большей размерности. Для многогранников, являющихся суммами отрезков (зонотопов) соответствующая параметризация (набором этих отрезков) имеется, и соответствующие результаты получены [17]. Отметим, что соображения теории разбиений позволили также [19] доказать верхнюю оценку ехр (С^ • п <*+i>) на количество различных целочисленных многогранников диаметра не больше п (нижняя оценка с другой константой почти очевидна).

В главе 1 развивается связь целочисленных многогранников с аффинной геометрией в произвольной размерности. Там же дается (окончательный начиная с размерности 5) ответ на вопрос, заданный автору С. В. Конягиным, о поведении кп (7), А-П (Г) не при сколь угодно больших значениях п, а при всех достаточно больших п. Доказывается, что liminf kn (y) / logn < оо при d=2 и lim inf kn (j)/nd~2 < оо при d > 3. Последняя оценка точна для сферы при d ^ 5.

Таким образом, тематика диссертации актуальна.

Цель работы состоит в исследовании возможного поведения количества точек мелкой сетки на строго выпуклых кривых и поверхностях.

Основные результаты работы.

Обозначим через Ln множество узлов решетки Положим? n = U^=1Lm. Для произвольного множества Л CRd через кп (А) обозначим количество элементов множества, А П Ln, а через Кп{А) — количество элементов множества АГСп.

Зафиксируем на плоскости ограниченную строго выпуклую кривую 7. В пространстве Kri зафиксируем ограниченное строго выпуклое тело Ф с границей дФ.

— Доказано, что kn (j) = о (п2/3).

— Доказано, что для любого положительного сходящегося ряда найдется сколь угодно быстро растущая последовательность натуральных чисел и ограниченная строго выпуклая поверхность Г С Rd такие, что кЯп (Г) ^ ап •.

— Доказано, что если аффинная площадь поверхности ав (Ф) d (d-1) тела Ф положительна, то кп (дФ) ^ C (d) • as (Ф) • п при достаточно больших п > п0(Ф). Для строго выпуклых тел с нулевой афd{d-1) финной площадью поверхности кп (дФ) = о (п, J+1).

— Доказано, что если ав (Ф) > 0, то Кп (дФ) ^ C (d) • ай (Ф) • nd1 при достаточно больших п>по (Ф). Для строго выпуклых тел с нулевой аффинной площадью поверхности Кп (дФ) =.

— Доказано, что liminf кп (дФ)/па~2 <оо при d^ 3 и lim inf fcn (7)/ log n < со.

— Доказано, что для произвольной последовательности векторов сдвигов {хп} найдется такое натуральное п, что kn^ + x^^C-ihgn)1^-^.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы для дальнейшего исследования проблематики возможного количества целых точек на кривых и поверхностях и других асимптотических задачах геометрии чисел.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ПОМ И РАН по теории представлений и динамическим системам, на семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ по ортогональным рядам, на международной конференции «Эйлер и современная комбинаторика» (Санкт-Петербург, 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы.

21] и [22].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 9 параграфов (нумерация параграфов сквозная), изложена на 68 стр.

Список литературы

включает 22 названия.

1. Jarnik V. Uber die Gitterpunkte auf konvexen Kurven. Math. Z., 24, 500−518 (1926).

2. Plagne A. A uniform version of Jarmk’s theorem. Acta Arith., 57, No. 3, 255−267 (1999).

3. Swinnerton-Dyer H. P. F. The number of lattice points on a convex curve. J. Number Theory, 6, 128−135 (1974).

4. Bombieri E., Pila J. The number of integral points on arcs and ovals. Duke Math. J., 59, 337−357 (1989).

5. Grekos G. Sur le nombre de points entiers d’une courbe convexe Bull. Sci. Math. (2), 112, 235−254 (1988).

6. Вершик A. M. Предельная форма выпуклых многоугольников. Функц. анализ и его прил., 28, 13−20 (1994).

7. Barany I. The limit shape of convex lattice polygons. Discrete Comput. Geom., 13, 279−295 (1995).

8. Фаеар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. ИЛ, М., 1961.

9. Eskin A., McMullen С. Mixing, counting and equidistribution in Lie groups. Duke Math. J., 71, 181−209 (1993).

10. Хинчин А. Я. Цепные дроби. Физматгиз, M., 1961.

11. Pila J. Rational points on a subanalytic surface. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55, no. 5, 1501−1516. (2005).

12. Schmidt W. M. Integer points on curves and surfaces. Monatsh. Math., 99, no. 1, 45−72 (1985).

13. Andrews G. E. A lower bound for the volume of strictly convex bodies with many boundary lattice points. Trans. Amer. Math. Soc. 270−279 (1963).

14. Werner E. A general geometric construction for affine surface area. Studia Math., 132, no. 3, 227−238 (1999).

15. Gruber P. M. Baire categories in convexity. Handbook of convex geometry, Vol. A, B, 1327−1346, North-Holland, Amsterdam (1993).

16. Barany I. The technique of M-regions and cap coverings: a survey. Ill International Conference in «Stochastic Geometry, Convex Bodies and Empirical Measures Part II (2000).

17. Davydov Yu., Vershik A. M. Rearrangements convexes des marches aleatoires. Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist., 34, no. 1, 73−95 (1998).

18. Мороз Б. З. Распределение целых точек на многомерных гиперболоидах и конусах. Зап. Научн. Сем. ЛОМИ, 1, 84−113 (1966).

19. Barany I., Vershik А. М. On the number of convex lattice polytopes. Geom. Funct. Anal., 2, no. 4, 381−393 (1992).

20. Barany I., barman D. G. The convex hull of the integer points in a large ball, Math. Annalen, 312, 167−181 (1998).Публикации автора по теме диссертации.

21. Петров Ф. В. О количестве рациональных точек на строго выпуклой кривой. Функц. анал. прил., 40, вып. 1, 30−42 (2006).

22. Петров Ф. В. Оценки количества рациональных точек на выпуклых кривых и поверхностях. Зап. Научн. Сем. ПОМИ. 344, 174−189 (2007).