Развитие метода пограничных функций и его приложения к задачам химической кинетики и магнитогидродинамики

I. Общая характеристика работы.

Наличие малого параметра при старших производных характерно для многих описываемых дифференциальными уравнениями задач физики, механики, других естественных наук. Если рассматривать члены, содержащие малый параметр, как возвещение исходной задачи, не содержащей этих членов, то возмущения такого рода называются сингулярными [1,2,3,4,35] .

Теория сингулярных возмущений для уравнений в частных производных находит применение в задачах гидрои аэро-динамики [3,35^, квантовой механики [б ], химической кинетики [ 6 ], теории тонких оболочек [7,8], биологии и экологии [4,9], и других. Следует отметить использование этой теории в вычислительной математике [ю, П,12] .

Большой теоретический и прикладной интерес представляет развитие самой теории сингулярных возмущений для уравнений в частных производных.

Среди методов этой теории следует отметить метод Вшпика и Лист ерник, а [13,14], метод регуляризации [ 2 ], метод сращивания асимптотических разложений [15,16]. Для асимптотических решений уравнений в частных производных в областях с угловыми точками границы В. Ф. Еутузовым был предложен метод угловых пограничных функций [17−21] .

Целью работы является развитие и обоснование метода пограничных функций для определенных классов сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач в областях с угловыми точками границы и приложение метода к задачам химической кинетики и магнитогидродинамики.

— 4.

Научная новизна работы состоит в том, что:

1) впервые метод угловых пограничных функций применен к ряду сингулярно возвещенных эллиптических краевых задач в областях с угловыми точками границы, а именно, к задаче для системы эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных, к задаче для эллиптической системы в критическом случае, к задаче для эллиптической системы с «несогласованными» степенями малого параметра при старших и младших производных;

2) получены равномерные во всей области асимптотические приближения по малому параметру решений перечисленных краевых задач;

3) с помощью метода пограничных функций получена равномерная во всей области асимптотика решения линеаризованной задачи химической кинетики, описывающей диффузию двух веществ с учетом реакции между ними ;

4) исследована сингулярно возмущенная задача магнитогидродинамики, описывающая полностью развитое течение проводящей жидкости в прямоугольном канале с щеально проводящими стенками параллельными направлению магнитного поля при больших значениях числа Гартмана;

5) исследован новый тип углового пограничного слоя, возникающего в асимптотике решения эллиптической краевой задачи с «несогласованными» степенями малого параметра при старших и младших производных и характеризующегося тем, что угловые пограничные функции определяются из системы, состоящей из обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных параболического типа с постоянными коэффициентами.

Практическая ценность работы определяется большим интересом к теории сингулярных возмущений как с прикладной, так с теоретической точек зрения. Полученные в работе асимптотические прибликения могут быть использованы для решения модельных задач, возникающих в различных областях физики, других естественных наук, а так же в качестве начальных приближений при численных расчетах на ЭВМ более слоеных задач. К практической ценности работы следует отнести доступность полученных результатов для широкого круга исследователей, занимающихся прикладными задачами.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе-семинаре молодых ученых «Методы малого параметра и их применение» (Минск, 1982), обсувдались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ и семинаре по теории сингулярных возмущений под руководством профессора Васильевой А. Б. и профессора Кутузова В. Ф., и опубликованы в пяти печатных работах [22−2б] .

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложена на 121 странице машинописного текста, сод ер кит библиографический список из 35 наименований.

Основные результаты диссертации.

1. Расширена область применения метода пограничных функций на некоторые виды сингулярно возмущенных эллиптических систем уравнений.

2. Методом пограничных функций исследована линеаризованная сингулярно возмущенная система уравнений химической кинетики, описывающая диффузию двух веществ с учетом реакции между ними.

3. Методом пограничных функций построено и исследовано асимптотическое решение линейной задачи магнитогидродинамики, описывающей полностью развитое течение проводящей жидкости в прямоугольном канале с адеатьно проводящими стенками, параллельными направлению магнитного поля, при больших значениях числа Гартмана.

4. Построены равномерные асимптотические приближения решений ряда сингулярно возмущенных краевых задач для эллиптических систем уравнений в областях с угловыми точками, а именно, для систем с различными степенями малого параметра при старших производных, для сингулярно возмущенной системы в критическом случае, для систем с «несогласованными» степенями малого параметра при старших вторых и младших производных.

5. Развита методика доказательства оценки остаточного члена асимптотики для сингулярно возмущенных эллиптических систем уравнений в областях с угловыми точками границы.

6. Обнаружен новый тип углового пограничного слоя, для которого погранфункции определяются из системы, состоящей из обыкно.

— Говенного дифференциального уравнения и параболического уравнения с постоянными коэффициентами. Получено интегральное представление решения для данной системы и экспоненциальная решения по погранслойным переменным.

В заключение выражаю глубокую признательность моему научному руководителю профессору доктору физико-математических наук Валентину Фёдоровичу Бутузову за предложение интересной темы диссертации и плодотворное обсуждение результатов.

Благодарю также коллектив кафедры математики физического факультета МГУ за создание благоприятной обстановки для творческой работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.